第二章 三類典型的偏微分方程

1、第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程三類典型的偏三類典型的偏微分方程微分方程第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程 一根緊拉著的一根緊拉著的均勻均勻柔軟柔軟弦，長為弦，長為l，兩端固定在，兩端固定在X軸上軸上O、L兩點，當它在平衡位置附近做垂直于兩點，當它在平衡位置附近做垂直于OL方向的方向的微小微小橫向橫向振動時，求這根弦上各點的運動規(guī)律。振動時，求這根弦上各點的運動規(guī)律。OLxy2.1 波動方程波動方程 一維波動方程一維波動方程 最典型的一維波動問題是均勻弦的橫向振動問題。最典型的一維波動問題是均勻弦的橫向振動問題。第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典

2、型的偏微分方程 討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學上的定解問題。討論如何將這一物理問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學上的定解問題。要確定弦的運動方程，需要明確：要確定弦的運動方程，需要明確：確定確定弦的弦的運動運動方程方程 （2）被研究的物理量遵循哪些）被研究的物理量遵循哪些物理定理？物理定理？牛頓第二定律牛頓第二定律. （3）按物理定理寫出數(shù)學物）按物理定理寫出數(shù)學物理方程（即建立理方程（即建立泛定方程泛定方程） (1)要研究的物理量是什么？要研究的物理量是什么？弦沿垂直方向的位移弦沿垂直方向的位移 ( , )u x t條件條件：均勻均勻柔軟柔軟的細弦，在平衡位置附近產(chǎn)生的細弦，在平衡位置附近產(chǎn)生振幅極小振幅極小

3、的的 橫振動。橫振動。不受外力不受外力影響。影響。研究對象研究對象：線上某點在線上某點在 t 時刻沿垂直方向的位移。時刻沿垂直方向的位移。( , )u x t第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程簡化假設：簡化假設： 由于弦是柔軟的，弦上的任意一點的由于弦是柔軟的，弦上的任意一點的張力沿弦的切線方向張力沿弦的切線方向。21 ( )xxuxxsdx 在弦上任取一小段在弦上任取一小段 它的弧長為：它的弧長為：( ,)x xx由于假定弦在平衡位置附近做由于假定弦在平衡位置附近做微小振動微小振動， 很小，從而很小，從而ux1xxxsdxx 可以認為這段弦在振動中沒有伸長，由胡克定律可可

4、以認為這段弦在振動中沒有伸長，由胡克定律可知，弦上每一點所受張力在運動過程中知，弦上每一點所受張力在運動過程中保持不變保持不變，與時，與時間無關。即間無關。即 點處的張力記為點處的張力記為 。x( )T x 由于振幅極小，由于振幅極小， 張力與水平方向的夾角很小張力與水平方向的夾角很小。 g s M M s x T y xx x T 第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程cos1cos1 g s M M s x T y xx x T 橫向：橫向：( )cos()cosT xT xx其中：其中： 作用在這段弦上的力有張力和慣性力，下面根據(jù)作用在這段弦上的力有張力和慣性力，下面根據(jù)

5、牛頓牛頓運動定律運動定律，寫出它們的表達式和平衡條件。，寫出它們的表達式和平衡條件。( )()0T xT xx 也就是說，張力也就是說，張力 是一個常數(shù)。是一個常數(shù)。T橫向：橫向：第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程22(, )( , )( , )0u xx tu x tu x tTxgxxxt 22(, )( , )(, ) 01u xx tu x tu xx txxxx 由由中值定理中值定理：0 xxxx 令，此時2222( , )( , )0u x tu x tTxxgxxt ( )sin()sin T xT xxsgsa 縱向：縱向：( , )(, )sintan,

6、sintanu x tu xx txx a 為小弦段在縱向的加速度 g s M M s x T y xx x T 第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程22222uuagtx一維波動方程一維波動方程2Ta 令：令：-非齊次方程非齊次方程自由項自由項22222uuatx-齊次方程齊次方程忽略重力作用：忽略重力作用：2222( , )( , )u x tTux tgtxa 就是弦的振動傳播速度就是弦的振動傳播速度第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程假設外力在假設外力在 處外力密度為：處外力密度為： 方向垂直于方向垂直于 軸。軸。x( , )F x tx22(, )

7、( , )( , )( , )xxxu xx tu x tu x tTxgxFt dxxxt 等號兩邊用中值定理：并令等號兩邊用中值定理：并令0 x 2222( , )( , )( , )u x tu x tTgF x txt 22222( , )uuagf x ttx( , )( , )F x tf x t為單位質(zhì)量在為單位質(zhì)量在 點處所受外力。點處所受外力。x當存在外力作用時：當存在外力作用時：等號兩邊除以等號兩邊除以第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程 弦振動方程中只含有兩個自變量：弦振動方程中只含有兩個自變量： 。由于它描寫的是。由于它描寫的是弦的振動，因而它又稱為弦

8、的振動，因而它又稱為一維波動方程一維波動方程。類似可以導出二維波。類似可以導出二維波動方程（如膜振動）和三維波動方程，它們的形式分別為：動方程（如膜振動）和三維波動方程，它們的形式分別為：, x t2222222( , , )uuuaf x y ttxy222222222( , , , )uuuuaf x y z ttxyz二維波動方程：二維波動方程：三維波動方程：三維波動方程：第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程 建立數(shù)學物理方程是一個辯證分析的過程。建立數(shù)學物理方程是一個辯證分析的過程。由于客觀事物的復雜性，要求對所研究的對象由于客觀事物的復雜性，要求對所研究的對象能夠抓

9、住事物發(fā)展的主要因素，擯棄次要因素，能夠抓住事物發(fā)展的主要因素，擯棄次要因素，使問題得到適度的簡化。使問題得到適度的簡化。 總結(jié)：總結(jié)：第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程 均勻桿的縱振動均勻桿的縱振動 考慮一考慮一均勻細桿均勻細桿，沿桿長方向作，沿桿長方向作微小微小振動。假設在垂直振動。假設在垂直桿長方向的任一截面上各點的振動情況桿長方向的任一截面上各點的振動情況(即偏移平衡位置位即偏移平衡位置位移移)完全相同。試寫出桿的振動方程。完全相同。試寫出桿的振動方程。在任一時刻在任一時刻t，此截面相對于平衡位置的位移為，此截面相對于平衡位置的位移為u(x, t)。在桿中隔離出一小

10、段在桿中隔離出一小段(x, x + dx)，分析受力：，分析受力：第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程通過截面通過截面x，受到彈性力，受到彈性力P(x,t)S的作用的作用通過截面通過截面x + dx受到彈性力受到彈性力P(x + dx, t)S的作用的作用P(x, t)為單位面積所受的彈性力為單位面積所受的彈性力(應力應力)，沿，沿x方向為正方向為正根據(jù)根據(jù)Newton第二定律，就得到：第二定律，就得到：22(, )( , )uP x dx tP x t SSdxtuPEx根據(jù)胡克定律根據(jù)胡克定律22uPtx22220uEutxEa令：222220uuatx第二章第二章 三類

11、典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程 靜止空氣中一維微小壓力波的傳播靜止空氣中一維微小壓力波的傳播2 01 uutxxuuputxxpa 設設為空氣的密度，為空氣的密度，u u為壓力誘導的速度，由一維歐拉方程：為壓力誘導的速度，由一維歐拉方程：動力學方程動力學方程連續(xù)性方程連續(xù)性方程物態(tài)方程物態(tài)方程考慮到微小壓力波，考慮到微小壓力波，u u 是一階小量，是一階小量， 是二階小量是二階小量uuuxx和1 uuptxtx ，第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程utx 21pptptat1uptx 代入代入21upxat 得得對對t t求導，得求導，得22221upx tat 利用

12、利用22222ppatx得得一維聲波方程。一維聲波方程。第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程222222222ppppatxyz 靜止空氣中三維聲波方程靜止空氣中三維聲波方程 微幅水波動方程微幅水波動方程22222),(),(xtxattx式中：式中： gHa 水面水面波高波高為為 pa為聲波速度為聲波速度 水波水波速度速度為為第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程2.2 擴散方程擴散方程 問題問題：一根長為：一根長為l 的的均勻?qū)峋鶆驅(qū)峒殫U，截面為一個單位細桿，截面為一個單位面積。面積。側(cè)面絕熱側(cè)面絕熱，內(nèi)部無熱源內(nèi)部無熱源。其熱傳導系數(shù)為。其熱傳導系數(shù)

13、為k，比熱，比熱為為c，線密度為，線密度為。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。求桿內(nèi)溫度變化的規(guī)律。 1x2xAB一維熱傳導方程的推導一維熱傳導方程的推導熱傳導現(xiàn)象熱傳導現(xiàn)象：當導熱介質(zhì)中各點的溫度分布不均勻時，有當導熱介質(zhì)中各點的溫度分布不均勻時，有熱量從高溫處流向低溫處。熱量從高溫處流向低溫處。第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程所要研究的所要研究的物理量物理量：( , )T x t1x2x( , )T x t分析分析：設桿長方向為：設桿長方向為 x 軸，考慮桿上從軸，考慮桿上從到到的一段的一段(代表代表)，設桿中溫度分布為設桿中溫度分布為2112t tt ttt t 熱量 熱量通過

14、邊界的流入量滿足滿足的物理規(guī)律：的物理規(guī)律：均勻物體均勻物體：物體的物體的密度密度為常數(shù)為常數(shù)各向同性各向同性： 物體的物體的比熱和熱傳導系數(shù)比熱和熱傳導系數(shù)均為常數(shù)均為常數(shù)假設假設條件：條件：第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程利用利用 Fourier 熱力學定律熱力學定律和和能量守恒定律能量守恒定律來建立來建立熱傳導方程。熱傳導方程。 由由 Fourier 熱力學定律熱力學定律，單位時間內(nèi)通過，單位時間內(nèi)通過 A 端端面的熱量為：面的熱量為：22(, )xT x tQk Tkx 單位時間內(nèi)通過單位時間內(nèi)通過 B 端面的熱量為：端面的熱量為：11( , )xT x tQk

15、Tkx 第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程在在 dt 時段內(nèi)通過微元的兩端流入的熱量時段內(nèi)通過微元的兩端流入的熱量 12211(, )( , )()()xxT x tT x tdQQQdtkdtxx2122( , )xxT x tkdxdtx12 , t t2211212( , )t xt xT x tQkdxdtx1( , )T x t在任意時段在任意時段內(nèi)，內(nèi)，同時在此時段內(nèi)同時在此時段內(nèi), 微元內(nèi)各點的溫度由微元內(nèi)各點的溫度由流入微元的熱量流入微元的熱量 升高為升高為 2( , )T x t第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程21221 ( , )(

16、 , )xxQcT x tT x tdx2211( , )t xt xT x tcdxdtt12QQ12 , t t12 ,x x22TTcktx為此所需的熱量為為此所需的熱量為由由能量守恒定律能量守恒定律可得：可得： 由由和和的任意性可得的任意性可得第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程222TTatx2kac即：即：其中其中 內(nèi)部有熱源的情況：內(nèi)部有熱源的情況：22( , )TTckF x ttx( , ),F x tf x tc222,TTaf x ttx其中其中 分析分析：設熱源強度：設熱源強度(單位時間在單位長度中產(chǎn)生的熱量單位時間在單位長度中產(chǎn)生的熱量)為為F(x,

17、t)，代表段的吸熱為，代表段的吸熱為Fdxdt。 22113( , )t xt xQF x t dxdt第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程根據(jù)熱學中的根據(jù)熱學中的傅立葉定律傅立葉定律在在dt時間內(nèi)從時間內(nèi)從dS流入流入V的熱量為：的熱量為：從時刻從時刻t1到到t2通過通過S流入流入V的熱量為的熱量為 211ddttSQk TSt高斯公式高斯公式（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分）（矢量散度的體積分等于該矢量的沿著該體積的面積分） 2121d dttVQkT V t dd dTQkS tn d dkT nS td dk TS t 熱場熱場MSSVn 三維熱傳導方

18、程的推導三維熱傳導方程的推導第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程2121d dttVQkT V t 1( , , , )T x y z t2( , , , )T x y z t221( , , , )( , , , ) dVQcT x y z tT x y z tV21QQ 流入的熱量導致流入的熱量導致V V 內(nèi)的溫度發(fā)生變化內(nèi)的溫度發(fā)生變化 22112d dd dttttVVTkT V tcV tt 2TkTct2TkTtc22TaTft流入的熱量：流入的熱量：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：溫度發(fā)生變化需要的熱量為：21d dttVTct Vt21d dttVTcV tt 22

19、aT三維熱傳導方程三維熱傳導方程熱場熱場MSSVn有熱源三維熱傳導方程有熱源三維熱傳導方程213d dttVQF V t 第二章第二章 三類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程22,CCF x ttx 一維濃度擴散方程一維濃度擴散方程 動量輸運方程動量輸運方程22uufxtxC為物質(zhì)濃度，為物質(zhì)濃度，為擴散系數(shù)。為擴散系數(shù)。 u為速度，為速度，fx為流體體積力，為流體體積力， 為流體粘性系數(shù)。為流體粘性系數(shù)。 顯然，熱傳導、物質(zhì)擴散、動量輸運這些過程屬于同顯然，熱傳導、物質(zhì)擴散、動量輸運這些過程屬于同一類物理現(xiàn)象，可用一類物理現(xiàn)象，可用同一類型方程同一類型方程來描述。來描述。 第二章第二章 三

20、類典型的偏微分方程三類典型的偏微分方程2.3 穩(wěn)態(tài)方程穩(wěn)態(tài)方程(調(diào)和方程調(diào)和方程) 穩(wěn)態(tài)問題也是自然界中普遍存在的一類物理現(xiàn)象，穩(wěn)態(tài)問題也是自然界中普遍存在的一類物理現(xiàn)象，表征物理過程達到平衡狀態(tài)的情況，因此物理量不隨時表征物理過程達到平衡狀態(tài)的情況，因此物理量不隨時間變化，但隨空間發(fā)生變化。因此，穩(wěn)態(tài)問題描述物理間變化，但隨空間發(fā)生變化。因此，穩(wěn)態(tài)問題描述物理量的空間分布狀態(tài)或場的空間分布。量的空間分布狀態(tài)或場的空間分布。 熱傳導問題，控制方程為：熱傳導問題，控制方程為： 2222222( , , , )TTTTaf x y z ttxyz設場內(nèi)熱源為穩(wěn)態(tài)的，即為設場內(nèi)熱源為穩(wěn)態(tài)的，即為 f(x, y, z) 流場溫度不隨時間變化，即流場溫度不隨時間變化，即T=T( x, y, z )