球的表面積與體積題型

1、排液法：排液法：hHhR32:,3VR半球猜測從而? 半球半球V331RV 圓錐圓錐3VR圓柱高等于底面半徑的旋轉(zhuǎn)體體積對比球的體積343VR球球的體積公式343VR球則球的體積為：則球的體積為：iV 設(shè)“小錐體”的體積為設(shè)“小錐體”的體積為iVnVVVVV 321iSO OO O34133RsR24SR例例1.(1)把球的半徑擴(kuò)大為原來的把球的半徑擴(kuò)大為原來的3倍，則體積擴(kuò)大為原來倍，則體積擴(kuò)大為原來的的_倍倍.(2)把球隊(duì)表面積擴(kuò)大到原來的把球隊(duì)表面積擴(kuò)大到原來的2倍，那么體積擴(kuò)大為原倍，那么體積擴(kuò)大為原來的來的_倍倍.(3)三個球的表面積之比為三個球的表面積之比為1:2:3，則它們的體積

2、之比為，則它們的體積之比為_.(4)三個球的體積之比為三個球的體積之比為1:8:27，則它們的表面積之比為，則它們的表面積之比為_.82233:22:19:4:1例題講解例題講解（4）.若兩球體積之比是1:2，則其表面積之比是_.2422:134:1（1）.若球的表面積變?yōu)樵瓉淼?倍,則半徑變?yōu)樵瓉淼腳倍.（2）.若球半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，則表面積變?yōu)樵瓉淼腳倍.（3）.若兩球表面積之比為1:2，則其體積之比是_.練習(xí)練習(xí). .鋼球直徑是鋼球直徑是5cm,5cm,求它的體積求它的體積. .333445125()3326VRcm例例3.如圖如圖,圓柱的底面直徑與高都等于球的圓柱的底面直徑與高都等于

3、球的直徑直徑,求證求證:(1)球的表面積等于圓柱的側(cè)面積球的表面積等于圓柱的側(cè)面積.(2)球的表面積等于圓柱全面積的三分之二球的表面積等于圓柱全面積的三分之二.O O例例4.一種空心鋼球的質(zhì)量是一種空心鋼球的質(zhì)量是142g,142g,外徑是外徑是5cm,5cm,求它的求它的內(nèi)徑內(nèi)徑.( .(鋼的密度是鋼的密度是7.9g/cm7.9g/cm2 2) )解解:設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為設(shè)空心鋼球的內(nèi)徑為2xcm,則鋼球的質(zhì)量是則鋼球的質(zhì)量是答答:空心鋼球的內(nèi)徑約為空心鋼球的內(nèi)徑約為4.5cm.334547.9 ()142323x3.1149.73142)25(33 x由計(jì)算器算得由計(jì)算器算得:2.24x

4、5 . 42 x球的體積公式343VR球24SR球的表面積公式2)球的球的體積比體積比等于半徑的等于半徑的立方比立方比, 表面積之比表面積之比等于半徑的等于半徑的平方比平方比.1)球的體積：球的體積：數(shù)。數(shù)。球的體積是球半徑的函球的體積是球半徑的函, ,R R3 34 4v v3 3的函數(shù)。的函數(shù)。，球的表面積也是半徑，球的表面積也是半徑4 4R R球的表面積：s球的表面積：s2 2表表規(guī)律小結(jié)規(guī)律小結(jié):問問:若三個球的體積之比為若三個球的體積之比為1:8:27,則它們的半徑之比則它們的半徑之比 . (1) V1:V2=R13:R23; S1:S2=R12:R22.(3) 解這類問題的關(guān)鍵解這

5、類問題的關(guān)鍵:找到變化前后找到變化前后半徑半徑的大小關(guān)系的大小關(guān)系.AOirO.B2C2BiCiAO把垂直于底面的半徑OA作n等分，經(jīng)過這些分點(diǎn)，用一組平行于底面的平面把半球切割成n層，每一層的幾何體怎樣？用一個平面用一個平面 去截一個去截一個球球O，截面是，截面是圓面圓面222dRrrdRO球的截面的性質(zhì)：球的截面的性質(zhì)：球心和截面圓心的連線垂直于截面球心和截面圓心的連線垂直于截面球心到截面的距離為球心到截面的距離為d，球的半徑為，球的半徑為R，則，則 例例4.4.在球心同側(cè)有相距在球心同側(cè)有相距9cm9cm的兩個平行截面的兩個平行截面, ,它們的面它們的面積分別為積分別為49cm49cm和

6、和400cm,400cm,求球的表面積。求球的表面積。 若將若將“球心同側(cè)球心同側(cè)”這個條件去掉，又如何？這個條件去掉，又如何？OBAOOOBAOO. 2R .16444S2R,)3()2R(R222OABCO ,222AOOOOAAOORt 中中解解：在在 ;3322343433RV例例5.已知過球面上三點(diǎn)已知過球面上三點(diǎn)A、B、C的截面到球心的截面到球心O的距離的距離等于球半徑的一半，且等于球半徑的一半，且AB=BC=CA=3cm，求球的體積，表面積求球的體積，表面積例例6.一球的球面面積為一球的球面面積為256cm2，過此球的一條半徑，過此球的一條半徑的中點(diǎn)，作垂直于這條半徑的截面，求截

7、面圓的的中點(diǎn)，作垂直于這條半徑的截面，求截面圓的面積面積.48二、球與多面體的接、切定義1：若一個多面體的各頂點(diǎn)都在一個球的球面上， 則稱這個多面體是這個球的內(nèi)接多面體， 這個球是這個多面體的外接球。定義2：若一個多面體的各面都與一個球的球面相切， 則稱這個多面體是這個球的外切多面體， 這個球是這個多面體的內(nèi)切球。解決解決“接切接切”問題的關(guān)鍵是畫出正確的問題的關(guān)鍵是畫出正確的，把，把空間空間“接切接切”轉(zhuǎn)化為平面轉(zhuǎn)化為平面“接切接切”問題問題1.與正方體有關(guān)的切接問題正方體的內(nèi)切球正方體的內(nèi)切球的半徑是棱長的一半21ar aa正方體的外接球正方體的外接球半徑是體對角線的一半ABCDD1C1B

8、1A1OA AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O正方體的棱切球aa2ar222例例3 3. .如圖，正方體如圖，正方體ABCD-AABCD-A1 1B B1 1C C1 1D D1 1的棱長為的棱長為a,a,它的各它的各個頂點(diǎn)都在球個頂點(diǎn)都在球O O的球面上，問球的球面上，問球O O的表面積。的表面積。A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O22222113423,)2()2(:aRSaRaaRDDBRt 得得中中略略解解：A AB BC CD DD D1 1C C1 1B B1 1A A1 1O O正方體的外接球正方

9、體的外接球：有三個球：有三個球,甲球切于正方體的各面甲球切于正方體的各面,乙球切乙球切于正方體的各側(cè)棱于正方體的各側(cè)棱,丙球過正方體的各頂點(diǎn)丙球過正方體的各頂點(diǎn),求求這三個球的體積之比這三個球的體積之比. 畫出正確的截面：(1)中截面；(2)對角面；找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系21ar aaaa2ar222aa2ar23333:22:1 要研究球的表面積，必須考慮要研究球的表面積，必須考慮球面的特征，球面有什么特征呢？球面的特征，球面有什么特征呢？ 球面不可展，球面不可展，故球的表面積故球的表面積不便用求平面圖形面積的方法來不便用求平面圖形面積的方法來解決。解決。2、求長方體的外接球的有關(guān)問題、求長方體的外接

10、球的有關(guān)問題例、一個長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且例、一個長方體的各頂點(diǎn)均在同一球面上，且一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別為一個頂點(diǎn)上的三條棱長分別為1,2,3 ，則此球，則此球的表面積為的表面積為 .解析：關(guān)鍵是求出球的半徑，因?yàn)殚L方體內(nèi)接于球，所以它的體對角線正好為球的直徑。長方體體對角線長為 ，故球的表面積為 .1414若長方體的過同一頂點(diǎn)的三條棱長為a,b,c各頂點(diǎn)均在同一球面上,則此球的半徑為 .22221cbar 已知點(diǎn)已知點(diǎn)P,A,B,C,D是球是球O表面上的點(diǎn)表面上的點(diǎn),PA平面平面ABCD,四邊形四邊形ABCD是邊長是邊長為為3寬為寬為4的長方形的長方形.若若PA=2,則球則球O表

11、面表面積為積為_. 2、構(gòu)造長方體、構(gòu)造長方體3.構(gòu)造直角三角形構(gòu)造直角三角形1、一個四面體的所有的棱都為、一個四面體的所有的棱都為 ，四個頂點(diǎn)在同，四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積（一球面上，則此球的表面積（ ）A 3B 43 3C D 62OBDCA1O 解：設(shè)四面體為解：設(shè)四面體為ABCD， 為其外接球?yàn)槠渫饨忧蛐摹Ｐ摹?O 球半徑為球半徑為R，O為為A在平面在平面BCD上的上的射影，射影，M為為CD的中點(diǎn)。的中點(diǎn)。M連結(jié)連結(jié)B1O2236().3323BOBMBC222,3AOABBO所以22211BOOBBOOO1在Rt中,由O得222223() ,43 .323RRRR球解得所

12、以SR1、一個四面體的所有的棱都為、一個四面體的所有的棱都為 ，四個頂點(diǎn)在同，四個頂點(diǎn)在同一球面上，則此球的表面積（一球面上，則此球的表面積（ ）A 3B 43 3C 2D 6D1C1B1A1DCBA234()3,2S球= 解法解法2 構(gòu)造棱長為構(gòu)造棱長為1的正方的正方體，如圖。則體，如圖。則A1、C1、B、D是是棱長為棱長為 的正四面體的頂點(diǎn)。的正四面體的頂點(diǎn)。正方體的外接球也是正四面體正方體的外接球也是正四面體的外接球，此時球的直徑的外接球，此時球的直徑為為 ，23選選A4.補(bǔ)形成正方體正四面體的棱長為a ,與外接球半徑R的關(guān)系為aR262邊長為a的正四面體可以看成是邊長是(2/2)a的正

13、方體截出來的,則其外接球直徑是正方體邊長的 倍.3OABCD設(shè)球的半徑為 r，則 VA- BCD = VO-ABC + VO- ABD + VO-ACD + VO-BCD這四個四面體的高都是內(nèi)切球的半徑R,底面都是以a為邊長是正三角形,利用等體積法可以求出內(nèi)切球半徑R的值.2、若正四體的棱長都為、若正四體的棱長都為6，內(nèi)有一球與四個面都相，內(nèi)有一球與四個面都相切，求球的表面積。切，求球的表面積。2、若正四體的棱長都為、若正四體的棱長都為6，內(nèi)有一球與四個面都相，內(nèi)有一球與四個面都相切，求球的表面積。切，求球的表面積。解法解法2：連結(jié)：連結(jié)OA、OB、OC、OP，那么，那么E EO O1 1P

14、PO OD DC CB BA A4P ABCO PABO PBCO PCAO ABCO ABCVVVVVV11,3P ABCABCVSPO因11,3O ABCABCVSOO14Or所以P162 6,.2Or易求P所以2、若正四體的棱長都為、若正四體的棱長都為6，內(nèi)有一球與四個面都相，內(nèi)有一球與四個面都相切，求球的表面積。切，求球的表面積。 解：作出過一條側(cè)棱解：作出過一條側(cè)棱PC和高和高PO的截面，則截面三角形的截面，則截面三角形PDC的的邊邊PD是斜高，是斜高，DC是斜高的射影，是斜高的射影，球被截成的大圓與球被截成的大圓與DP、DC相切，相切，連結(jié)連結(jié)EO，設(shè)球半徑為，設(shè)球半徑為r，16,

15、2rPOrDOPD得246Sr球故Rt PEO1Rt PO D由由E EO O1 1P PO OD DC CB BA A：正四面體：正四面體ABCD的棱長為的棱長為a，求，求其內(nèi)切球半徑其內(nèi)切球半徑r與外接球半徑與外接球半徑R.1、內(nèi)切球內(nèi)切球球心到多面體各面各面的距離均相等， 外接球外接球球心到多面體各頂點(diǎn)各頂點(diǎn)的距離均相等2、正多面體正多面體的內(nèi)切球和外接球的球心重合球心重合3、正棱錐正棱錐的內(nèi)切球和外接球球心都在高線上，但不都在高線上，但不重合重合4、基本方法：構(gòu)造三角形利用相似比和勾股定理利用相似比和勾股定理5、體積分割體積分割是求內(nèi)切球半徑的通用做法假設(shè)正多面體的幾何中心為P點(diǎn),連接

16、P點(diǎn)和各個定點(diǎn),你可以用全等三角形證明P點(diǎn)到各個頂點(diǎn)的距離相等,即P點(diǎn)為該多面體的外接球的球心.同理,連接P點(diǎn)和各個面的中心,你可以證明這些線段也相等,即P點(diǎn)也是該多面體的內(nèi)切球球心.即為一點(diǎn)解題小結(jié)：解題小結(jié)：1、多面體的、多面體的“切切”、“接接”問題，必須明問題，必須明確確“切切”、“接接”位置和有關(guān)元素間的數(shù)量位置和有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，常借助關(guān)系，常借助“截面截面”圖形來解決。圖形來解決。2、正三棱錐、正四面體是重要的基本圖形，要、正三棱錐、正四面體是重要的基本圖形，要掌握其中的邊、角關(guān)系。能將空間問題化為平掌握其中的邊、角關(guān)系。能將空間問題化為平面問題得到解決，并注意方程思想的應(yīng)用。面問題得到解決，并注意方程思想的應(yīng)用。4 4、正四面體的內(nèi)切球半徑等于其、正四面體的內(nèi)切球半徑等于其高的四分之一高的四分之一，外接球半徑等于其高的外接球半徑等