MATLAB算法-求解微分方程數(shù)值解和解析解

1、數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)Experiments in Mathematics 微微 分分 方方 程程實(shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)?zāi)康膶?shí)驗(yàn)內(nèi)容實(shí)驗(yàn)內(nèi)容MATLAB2、學(xué)會(huì)用、學(xué)會(huì)用Matlab求微分方程的數(shù)值解求微分方程的數(shù)值解.實(shí)驗(yàn)軟件實(shí)驗(yàn)軟件1、學(xué)會(huì)用、學(xué)會(huì)用Matlab求簡(jiǎn)單微分方程的解析解求簡(jiǎn)單微分方程的解析解.1 1、求簡(jiǎn)單微分方程的解析解求簡(jiǎn)單微分方程的解析解.4 4、實(shí)驗(yàn)作業(yè)、實(shí)驗(yàn)作業(yè). .2、求微分方程的數(shù)值解、求微分方程的數(shù)值解.3、 數(shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)建模實(shí)例 求微分方程的數(shù)值解求微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義（一）常微分方程數(shù)值解的定義（二）建立數(shù)值解法的一些途徑（二）建立數(shù)值解法的一

2、些途徑（三）用（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解軟件求常微分方程的數(shù)值解返 回1、目標(biāo)跟蹤問(wèn)題一：導(dǎo)彈追蹤問(wèn)題、目標(biāo)跟蹤問(wèn)題一：導(dǎo)彈追蹤問(wèn)題 2、目標(biāo)跟蹤問(wèn)題二：慢跑者與狗、目標(biāo)跟蹤問(wèn)題二：慢跑者與狗3、地中海鯊魚(yú)問(wèn)題、地中海鯊魚(yú)問(wèn)題返 回?cái)?shù)學(xué)建模實(shí)例數(shù)學(xué)建模實(shí)例微分方程的解析解微分方程的解析解 求微分方程（組）的解析解命令:dsolve(方程方程1, 方程方程2,方程方程n, 初始條件初始條件, 自變量自變量) 記號(hào): 在表達(dá)微分方程時(shí)，用字母 D 表示求微分，D2、D3 等表示求高階微分.任何 D 后所跟的字母為因變量，自變量可以指定或由系統(tǒng)規(guī)則選定為確省.例如，微分方程 022

3、dxyd應(yīng)表達(dá)為：D2y=0.例例 1 求 21 udtdu 的通解.解解 輸入命令：dsolve(Du=1+u2,t)To Matlab（ff1） 結(jié) 果：u = tg(t-c)例例 2 求微分方程的特解. 15)0( , 0)0(029422yyydxdydxyd 解解 輸入命令: y=dsolve(D2y+4*Dy+29*y=0,y(0)=0,Dy(0)=15,x)結(jié) 果 為 : y =3e-2xsin（5x）To Matlab（ff2） 例例 3 求微分方程組的通解. zyxdtdzzyxdtdyzyxdtdx244354332解解 輸入命令 ： x,y,z=dsolve(Dx=2*x

4、-3*y+3*z,Dy=4*x-5*y+3*z,Dz=4*x-4*y+2*z, t)； x=simple(x) % 將x化簡(jiǎn) y=simple(y) z=simple(z)結(jié) 果 為：x = (c1-c2+c3+c2e -3t-c3e-3t)e2t y = -c1e-4t+c2e-4t+c2e-3t-c3e-3t+c1-c2+c3)e2t z = (-c1e-4t+c2e-4t+c1-c2+c3)e2t To Matlab（ff3）返 回微分方程的數(shù)值解微分方程的數(shù)值解（一）常微分方程數(shù)值解的定義（一）常微分方程數(shù)值解的定義 在生產(chǎn)和科研中所處理的微分方程往往很復(fù)雜且大多得不出一般解。而在實(shí)際

5、上對(duì)初值問(wèn)題，一般是要求得到解在若干個(gè)點(diǎn)上滿(mǎn)足規(guī)定精確度的近似值，或者得到一個(gè)滿(mǎn)足精確度要求的便于計(jì)算的表達(dá)式。因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的因此，研究常微分方程的數(shù)值解法是十分必要的。的相應(yīng)近似值求出準(zhǔn)確值，值處，即對(duì)的若干離散的開(kāi)始其數(shù)值解是指由初始點(diǎn)，：對(duì)常微分方程nnnyyxyxyxxxxxy,y )(,),(),y(x x )y(xy)f(x,y 2121210000返 回（二）建立數(shù)值解法的一些途徑（二）建立數(shù)值解法的一些途徑001i)y(xy)f(x,y , 1, 2 , 1 , 0 , xynihxi解微分方程：可用以下離散化方法求設(shè)1、用差商代替導(dǎo)數(shù)、用差商代替導(dǎo)

6、數(shù) 若步長(zhǎng)h較小，則有hxyhxyxy)()()( 故有公式：1-n,0,1,2,i )(),(001xyyyxhfyyiiii此即歐拉法歐拉法。2、使用數(shù)值積分、使用數(shù)值積分對(duì)方程y=f(x,y), 兩邊由xi到xi+1積分，并利用梯形公式，有：)(,()(,(2)(,()()(11111iiiiiixxiixyxfxyxfxxdttytfxyxyii實(shí)際應(yīng)用時(shí)，與歐拉公式結(jié)合使用：, 2 , 1 , 0 ),(),(2),()(11)1(1)0(1kyxfyxfhyyyxhfyykiiiiikiiiii的計(jì)算。然后繼續(xù)下一步，取時(shí)，當(dāng)滿(mǎn)足，對(duì)于已給的精確度）（ y y 2i111i)(1)

7、1(1kikikiyyy此即改進(jìn)的歐拉法改進(jìn)的歐拉法。故有公式：)(),(),(200111xyyyxfyxfhyyiiiiii3、使用泰勒公式、使用泰勒公式 以此方法為基礎(chǔ)，有龍格龍格-庫(kù)塔法庫(kù)塔法、線(xiàn)性多步法線(xiàn)性多步法等方法。4、數(shù)值公式的精度、數(shù)值公式的精度 當(dāng)一個(gè)數(shù)值公式的截?cái)嗾`差可表示為O（hk+1）時(shí)（k為正整數(shù)，h為步長(zhǎng)），稱(chēng)它是一個(gè)k階公式階公式。k越大，則數(shù)值公式的精度越高。歐拉法是一階公式，改進(jìn)的歐拉法是二階公式。龍格-庫(kù)塔法有二階公式和四階公式。線(xiàn)性多步法有四階阿達(dá)姆斯外插公式和內(nèi)插公式。返 回（三）用（三）用Matlab軟件求常微分方程的數(shù)值解軟件求常微分方程的數(shù)值解t

8、，x=solver（f,ts,x0,options）ode45 ode23 ode113ode15sode23s由待解方程寫(xiě)成的m-文件名ts=t0，tf，t0、tf為自變量的初值和終值函數(shù)的初值ode23：組合的2/3階龍格-庫(kù)塔-芬爾格算法ode45：運(yùn)用組合的4/5階龍格-庫(kù)塔-芬爾格算法自變量值函數(shù)值用于設(shè)定誤差限(缺省時(shí)設(shè)定相對(duì)誤差10-3, 絕對(duì)誤差10-6),命令為：options=odeset（reltol,rt,abstol,at）, rt，at：分別為設(shè)定的相對(duì)誤差和絕對(duì)誤差. 1、在解n個(gè)未知函數(shù)的方程組時(shí)，x0和x均為n維向量，m-文件中的待解方程組應(yīng)以x的分量形式寫(xiě)成

9、. 2、使用Matlab軟件求數(shù)值解時(shí)，高階微分方程必須等價(jià)地變換成一階微分方程組.注意注意:例例 4 0)0( ; 2)0(0)1 (1000222xxxdtdxxdtxd解解: 令 y1=x，y2=y1則微分方程變?yōu)橐浑A微分方程組：0)0(, 2)0()1 (1000211221221yyyyyyyy1、建立m-文件vdp1000.m如下： function dy=vdp1000(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1000*(1-y(1)2)*y(2)-y(1); 2、取t0=0，tf=3000，輸入命令： T,Y=ode15s(vdp1000,0

10、 3000,2 0); plot(T,Y(:,1),-)3、結(jié)果如圖050010001500200025003000-2.5-2-1.5-1-0.500.511.52To Matlab（ff4） 例例 5 解微分方程組. 1)0(, 1)0(, 0)0(51. 0321213312321yyyyyyyyyyyy解解 1、建立m-文件rigid.m如下： function dy=rigid(t,y) dy=zeros(3,1); dy(1)=y(2)*y(3); dy(2)=-y(1)*y(3); dy(3)=-0.51*y(1)*y(2);2、取t0=0，tf=12，輸入命令： T,Y=ode

11、45(rigid,0 12,0 1 1); plot(T,Y(:,1),-,T,Y(:,2),*,T,Y(:,3),+)3、結(jié)果如圖To Matlab（ff5）024681012-1-0.8-0.6-0.4-0.200.20.40.60.81圖中，y1的圖形為實(shí)線(xiàn)，y2的圖形為“*”線(xiàn)，y3的圖形為“+”線(xiàn).返 回導(dǎo)彈追蹤問(wèn)題導(dǎo)彈追蹤問(wèn)題 設(shè)位于坐標(biāo)原點(diǎn)的甲艦向位于x軸上點(diǎn)A(1, 0)處的乙艦發(fā)射導(dǎo)彈，導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦.如果乙艦以最大的速度v0(是常數(shù))沿平行于y軸的直線(xiàn)行駛，導(dǎo)彈的速度是5v0，求導(dǎo)彈運(yùn)行的曲線(xiàn)方程.又乙艦行駛多遠(yuǎn)時(shí)，導(dǎo)彈將它擊中？解法一解法一（解析法）假設(shè)導(dǎo)彈在 t 時(shí)

12、刻的位置為 P(x(t), y(t)，乙艦位于), 1 (0tvQ. 由于導(dǎo)彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦，故此時(shí)直線(xiàn) PQ就是導(dǎo)彈的軌跡曲線(xiàn)弧 OP 在點(diǎn) P 處的切線(xiàn)，即有 xytvy10即 yyxtv)1 (0 (1)又根據(jù)題意，弧 OP 的長(zhǎng)度為AQ的 5 倍，即 tvdxyx00251 (2)由(1),(2)消去t整理得模型:(3) 151)1 (2yyx初值條件為: 0)0(y 0)0( y解即為導(dǎo)彈的運(yùn)行軌跡: 245)1 (125)1 (855654xxy當(dāng)1x時(shí)245y，即當(dāng)乙艦航行到點(diǎn))245 , 1 (處時(shí)被導(dǎo)彈擊中.被擊中時(shí)間為:00245vvyt. 若 v0=1, 則在 t=0.2

13、1 處被擊中.To Matlab(chase1)軌跡圖見(jiàn)程序chase1解法二解法二(數(shù)值解)1.建立m-文件eq1.m function dy=eq1(x,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=y(2); dy(2)=1/5*sqrt(1+y(1)2)/(1-x); 2. 取x0=0，xf=0.9999，建立主程序ff6.m如下： x0=0，xf=0.9999 x,y=ode15s(eq1,x0 xf,0 0); plot(x,y(:,1),b.) hold on y=0:0.01:2; plot(1,y,b*) 結(jié)論結(jié)論: 導(dǎo)彈大致在（導(dǎo)彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦）處擊中乙

14、艦To Matlab(ff6)2151 )1 (yyx)1/(15121221xyyyy令y1=y,y2=y1，將方程（3）化為一階微分方程組。解法三解法三(建立參數(shù)方程求數(shù)值解) 設(shè)時(shí)刻t乙艦的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t)，導(dǎo)彈的坐標(biāo)為(x(t)，y(t).1設(shè)導(dǎo)彈速度恒為w，則 222)()(wdtdydtdx （1）2. 由于彈頭始終對(duì)準(zhǔn)乙艦，故導(dǎo)彈的速度平行于乙艦與導(dǎo)彈頭位置的差向量， 即： yYxXdtdydtdx， 0 （2）消去得：)()()()()()(2222yYyYxXwdtdyxXyYxXwdtdx （3）3因乙艦以速度v0沿直線(xiàn)x=1運(yùn)動(dòng)，設(shè)v0=1，則w=5，X=1，Y

15、=t因此導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程為： 0)0(, 0)0()()()1 (5)1 ()()1 (52222yxytytxdtdyxytxdtdx4. 解導(dǎo)彈運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程建立m-文件eq2.m如下： function dy=eq2(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(1-y(1)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); dy(2)=5*(t-y(2)/sqrt(1-y(1)2+(t-y(2)2); 取t0=0，tf=2，建立主程序chase2.m如下： t,y=ode45(eq2,0 2,0 0); Y=0:0.01:2; plot(1,Y,-)， hold o

16、n plot(y(:,1),y(:,2),*)To Matlab(chase2)5. 結(jié)果見(jiàn)圖1導(dǎo)彈大致在（1，0.2）處擊中乙艦，與前面的結(jié)論一致.圖1圖2返 回 在chase2.m中，按二分法逐步修改tf，即分別取tf=1，0.5,0.25,直到tf=0.21時(shí)，得圖2.結(jié)論：時(shí)刻結(jié)論：時(shí)刻t=0.21時(shí)，導(dǎo)彈在（時(shí)，導(dǎo)彈在（1，0.21）處擊中乙艦。）處擊中乙艦。To Matlab(chase2)慢跑者與狗慢跑者與狗 一個(gè)慢跑者在平面上沿橢圓以恒定的速率v=1跑步,設(shè)橢圓方程為: x=10+20cost, y=20+5sint. 突然有一只狗攻擊他. 這只狗從原點(diǎn)出發(fā),以恒定速率w跑向慢

17、跑者,狗的運(yùn)動(dòng)方向始終指向慢跑者.分別求出w=20,w=5時(shí)狗的運(yùn)動(dòng)軌跡.1. 模型建立設(shè)時(shí)刻t慢跑者的坐標(biāo)為(X(t)，Y(t)，狗的坐標(biāo)為(x(t)，y(t). 則X=10+20cost, Y=20+15sint, 狗從(0,0)出發(fā),與導(dǎo)彈追蹤問(wèn)題類(lèi)似，建立狗的運(yùn)動(dòng)軌跡的參數(shù)方程:0)0( , 0)0()sin1520()sin1520()cos2010()cos2010()sin1520()cos2010(2222yxytytxtwdtdyxtytxtwdtdx2. 模型求解(1) w=20時(shí)時(shí),建立m-文件eq3.m如下: function dy=eq3(t,y) dy=zeros(

18、2,1); dy(1)=20*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=20*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0，tf=10，建立主程序chase3.m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq3,t0 tf,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),

19、y(:,2),*) 在chase3.m，不斷修改tf的值,分別取tf=5, 2.5, 3.5,至3.15時(shí),狗剛好追上慢跑者.To Matlab(chase3)建立m-文件eq4.m如下: function dy=eq4(t,y) dy=zeros(2,1); dy(1)=5*(10+20*cos(t)-y(1)/sqrt (10+20*cos(t)-y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2); dy(2)=5*(20+15*sin(t)-y(2)/sqrt (10+20*cos(t)- y(1)2+(20+15*sin(t)-y(2)2);取t0=0，tf=10，建立主程序chas

20、e4.m如下： t0=0;tf=10; t,y=ode45(eq4,t0 tf,0 0); T=0:0.1:2*pi; X=10+20*cos(T); Y=20+15*sin(T); plot(X,Y,-) hold on plot(y(:,1),y(:,2),*) 在chase3.m，不斷修改tf的值,分別取tf=20, 40, 80,可以看出,狗永遠(yuǎn)追不上慢跑者.To Matlab(chase4)(2) w=5時(shí)時(shí)返 回地中海鯊魚(yú)問(wèn)題地中海鯊魚(yú)問(wèn)題 意大利生物學(xué)家Ancona曾致力于魚(yú)類(lèi)種群相互制約關(guān)系的研究，他從第一次世界大戰(zhàn)期間,地中海各港口捕獲的幾種魚(yú)類(lèi)捕獲量百分比的資料中，發(fā)現(xiàn)鯊魚(yú)

21、等的比例有明顯增加（見(jiàn)下表），而供其捕食的食用魚(yú)的百分比卻明顯下降.顯然戰(zhàn)爭(zhēng)使捕魚(yú)量下降，食用魚(yú)增加，鯊魚(yú)等也隨之增加，但為何鯊魚(yú)的比例大幅增加呢？ 他無(wú)法解釋這個(gè)現(xiàn)象，于是求助于著名的意大利數(shù)學(xué)家V.Volterra，希望建立一個(gè)食餌捕食系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型，定量地回答這個(gè)問(wèn)題.年代19141915191619171918百分比11.921.422.121.236.4年代19191920192119221923百分比27.316.015.914.819.71符符號(hào)號(hào)說(shuō)說(shuō)明明：)(1tx食餌在 t 時(shí)刻的數(shù)量； )(2tx捕食者在 t 時(shí)刻的數(shù)量；1r食餌獨(dú)立生存時(shí)的增長(zhǎng)率；2r捕食者獨(dú)自存在時(shí)的死

22、亡率；1捕食者掠取食餌的能力； 2食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力.e捕獲能力系數(shù)2基基本本假假設(shè)設(shè)：（1） 食餌由于捕食者的存在使增長(zhǎng)率降低，假設(shè)降低的程度與捕食者數(shù)量成正比； （2）捕食者由于食餌為它提供食物的作用使其死亡率降低或使之增長(zhǎng)，假定增長(zhǎng) 的程度與食餌數(shù)量成正比。3模模型型建建立立與與求求解解 模型（一） 不考慮人工捕獲)(21111xrxdtdx)(12222xrxdtdx 該 模型反映了在沒(méi)有人工捕獲的自然環(huán)境中食餌與捕食者之間的制約關(guān)系，沒(méi)有考慮食餌和捕食者自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡(jiǎn)單的模型. 針對(duì)一組具體的數(shù)據(jù)用 Matlab 軟件進(jìn)行計(jì)算. 設(shè)食餌和捕食者的初始

23、數(shù)量分別為101)0(xx，202)0(xx對(duì)于數(shù)據(jù)2,25,02. 0, 5 . 0, 1 . 0, 120102211xxrr，t的終值經(jīng)試驗(yàn)后確定為 15，即模型為： 2)0(,25)0()02. 05 . 0()1 . 01 (21122211xxxxxxxx首先，建立m-文件shier.m如下： function dx=shier(t,x) dx=zeros(2,1); dx(1)=x(1)*(1-0.1*x(2); dx(2)=x(2)*(-0.5+0.02*x(1);其次，建立主程序shark.m如下： t,x=ode45(shier,0 15,25 2); plot(t,x(:,1),-,t,x(:,2),*) plot(x(:,1),x(:,2)To Matlab(shark)相圖),(21xx為：0510150102030405060708090100020406080100051015202530數(shù)值解如下圖：)(1tx為實(shí)線(xiàn)，)(2tx為“*”線(xiàn).求解結(jié)果： 左圖反映了x1（t）與x2（t）的關(guān)系。 可以猜測(cè)： x1（t）與x2