定積分及其應用精講精練

1、第5章 定積分及其應用學習目標理解定積分的概念，掌握定積分的基本性質.掌握變上限定積分的導數的計算方法.熟練應用牛頓-萊布尼茲公式計算定積分，熟練掌握定積分的換元積分法和分部積分法.了解定積分在經濟管理中的應用，會利用定積分計算平面圖形的面積.定積分和不定積分是積分學中密切相關的兩個基本概念,定積分在自然科學和實際問題中有著廣泛的應用.本章將從實例出發(fā)介紹定積分的概念、性質和微積分基本定理,最后討論定積分在幾何、物理上的一些簡單應用.5.1 定積分的概念與性質定積分無論在理論上還是實際應用上，都有著十分重要的意義，它是整個高等數學最重要的內容之一.5.1.1實例分析1.曲邊梯形的面積在初等數學

2、中,我們已經學會計算多邊形和圓的面積,至于任意曲邊所圍成的平面圖形的面積,只有依賴于曲邊梯形并利用極限的方法才能得到比較完滿的解決.所謂曲邊梯形,就是在直角坐標系中,由直線及曲線所圍成的圖形，如圖5.1(a),(b),(c)都是曲邊梯形.a o xa o b xya o b xbyy(a)(b)(c)圖5.1現在求時，在連續(xù)區(qū)間上圍成的曲邊梯形的面積A（如圖5.1(a),(b)所示），用以往的知識沒有辦法解決.為了求得它的面積，我們按下述步驟來計算：(1)分割將曲邊梯形分割成小曲邊梯形在區(qū)間內任意插入個分點：，把區(qū)間分成個小區(qū)間：，第個小區(qū)間的長度為，過每個分點作垂直于軸的直線段，它們把曲邊梯

3、形分成個小曲邊梯形（圖5.2），小曲邊梯形的面積記為. o xy圖5.2(2)近似用小矩形面積近似代替小曲邊梯形面積在小區(qū)間上任取一點，作以為底，為高的小矩形，用小矩形的面積近似代替小曲邊梯形的面積，則.(3)求和求個小矩形面積之和個小矩形面積之和近似等于曲邊梯形之和，即.(4)取極限令，當分點無限增多且時，和式的極限便是曲邊梯形的面積A，即.2變速直線運動的路程設一物體作變速直線運動，其速度是時間的連續(xù)函數，求物體在時刻到間所經過的路程.我們知道，勻速直線運動的路程公式是：，現設物體運動的速度是隨時間的變化而連續(xù)變化的，不能直接用此公式計算路程，而采用以下方法計算：(1)分割把整個運動時間分

4、成個時間段在時間間隔內任意插入個分點：，把分成個小區(qū)間：，第個小區(qū)間的長度為第個時間段內對應的路程記作.(2)近似在每個小區(qū)間上以勻速直線運動的路程近似代替變速直線運動的路程在小區(qū)間上任取一點,用速度近似代替物體在時間上各個時刻的速度，則有.(3)求和求個小時間段路程之和將所有這些近似值求和，得到總路程的近似值，即.(4)取極限令，當分點的個數無限增多且時，和式的極限便是所求的路程.即 從上面兩個實例可以看出，雖然二者的實際意義不同，但是解決問題的方法卻是相同的，即采用“分割-近似-求和-取極限”的方法，最后都歸結為同一種結構的和式極限問題.類似這樣的實際問題還有很多，我們拋開實際問題的具體意

5、義，抓住它們在數量關系上共同的本質特征，從數學的結構加以研究，就引出了定積分的概念.5.1.2定積分的概念定義5.1 設函數在區(qū)間上有定義，任取分點把區(qū)間任意分割成個小區(qū)間，第個小區(qū)間的長度為，記.在每個小區(qū)間上任取一點作和式，當時，若極限存在（這個極限值與區(qū)間的分法及點的取法無關），則稱函數在上可積，并稱這個極限為函數在區(qū)間上的定積分，記作，即 . 其中，“”稱為被積函數，“”稱為被積表達式，稱為積分變量，稱為積分下限，稱為積分上限，稱為積分區(qū)間.根據定積分的定義，前面所討論的兩個實例可分別敘述為：曲邊梯形的面積是曲線在區(qū)間上的定積分.().變速直線運動的物體所走過的路程等于速度函數在時間間

6、隔上的定積分.關于定積分的定義作以下幾點說明：閉區(qū)間上的連續(xù)函數是可積的；閉區(qū)間上只有有限個間斷點的有界函數也是可積的.定積分是一個確定的常數，它取決于被積函數和積分區(qū)間，而與積分變量使用的字母的選取無關，即有.在定積分的定義中，有，為了今后計算方便，我們規(guī)定：.容易得到 .5.1.3定積分的幾何意義設是上的連續(xù)函數，由曲線及直線所圍成的曲邊梯形的面積記為.由定積分的定義及5.1.1實例1，容易知道定積分有如下幾何意義：（1）當時，（2）當時，（3）如果在上有時取正值，有時取負值時，那么以為底邊，以曲線為曲邊的曲邊梯形可分成幾個部分，使得每一部分都位于軸的上方或下方.這時定積分在幾何上表示上述

7、這些部分曲邊梯形面積的代數和，如圖5.3所示，有其中分別是圖5.3中三部分曲邊梯形的面積，它們都是正數.例5.1.1 利用定積分的幾何意義，證明.證 令 ，顯然，則由和直線，所圍成的曲邊梯形是單位圓位于軸上方的半圓.如圖5.4所示.因為單位圓的面積，所以 半圓的面積為.由定積分的幾何意義知： .5.1.4定積分的性質由定積分的定義，直接求定積分的值，往往比較復雜，但易推證定積分具有下述性質，其中所涉及的函數在討論的區(qū)間上都是可積的.性質5.1.1 被積表達式中的常數因子可以提到積分號前，即.性質5.1.2 兩個函數代數和的定積分等于各函數定積分的代數和，即.這一結論可以推廣到任意有限多個函數代

8、數和的情形.性質5.1.3（積分的可加性）對任意的點，有.注意 的任意性意味著不論是在之內，還是在之外，這一性質均成立.性質5.1.4如果被積函數為常數),則.特別地,當時,有.性質5.1.5（積分的保序性）如果在區(qū)間上,恒有，則.性質5.1.6（積分估值定理）如果函數在區(qū)間上有最大值和最小值,則性質5.1.7 (積分中值定理) 如果函數在區(qū)間上連續(xù),則在內至少有一點,使得 .證 因在內連續(xù)，所以在內有最大值和最小值，由性質5.1.6知： 從而有 這就說：是介于與之間的一個實數.由連續(xù)函數的介值定理1.10知：至少存在一點，使得.即 .o a b xy圖5.5注 性質5.1.7的幾何意義是:由

9、曲線,直線和軸所圍成曲邊梯形的面積等于區(qū)間上某個矩形的面積,這個矩形的底是區(qū)間,矩形的高為區(qū)間內某一點處的函數值，如圖5.5所示.顯然，由性質5.1.7可得，稱為函數在區(qū)間上的平均值.這是求有限個數的平均值的拓廣.性質5.1.8(對稱區(qū)間上奇偶函數的積分性質) 設在對稱區(qū)間上連續(xù),則有如果為奇函數,則；如果為偶函數,則.例5.1.2 估計定積分的值.解 設,，令,得駐點，比較及區(qū)間端點的函數值,有,.顯然在區(qū)間上連續(xù),則在上的最小值為,最大值為，由定積分的估值性質,得.例5.1.3 比較定積分與的大小.解 因為在區(qū)間上,有,由定積分保序性質,得.定積分定積分的原始思想可以追溯到古希臘古希臘人在

10、丈量形狀不規(guī)則的土地的面積時，先盡可能地用規(guī)則圖形(例如矩形和三角形)把要丈量的土地分割成若干小塊，并且忽略那些邊邊角角的不規(guī)則的小塊計算出每一小塊規(guī)則圖形的面積，然后將它們相加，就得到土地面積的近似值后來看來，古希臘人丈量土地面積的方法就是面積思想的萌芽在十七世紀之前，數學家們沒有重視古希臘人的偉大思想，當時流行的方法是不可分量法這種方法認為面積和體積可以看作是由不可分量的運動產生出來的這種方法沒有包含極限概念，也沒有采用代數與算數的方法因此，不可分量的思想沒有取得成功雖然積分概念未能很好得建立起來，然而，到牛頓那個年代，數學家們已經能夠計算許多簡單的函數的積分雖然十三世紀就出現了利用分割區(qū)

11、間作和式并計算面積的朦朧思想(奧雷姆，法國數學家)但是建立黎曼積分(即定積分)的嚴格定義的努力基本上由柯西開始他比較早地用函數值的和式的極限定義積分(他還定義了廣義積分)但是柯西對于積分的定義僅限于連續(xù)函數1854年，黎曼指出了積分的函數不一定是連續(xù)的或者分段連續(xù)的，從而把柯西建立的積分進行了推廣他把可積函數類從連續(xù)函數擴大到在有限區(qū)間中具有無窮多個間斷點的函數黎曼給出關于黎曼可積的兩個充分必要條件其中一個是考察函數的振幅；另一個充分必要條件就是對于區(qū)間的每一個劃分，構造積分上和與積分下和:S= s=其中M和m分別是函數在每個子區(qū)間上的最大值和最小值.在黎曼可積的充分必要條件就是至今，這個定理

12、仍然經常出現在微積分和數學分析的教科書中達布(法國數學家)對于黎曼的積分的定義作了推廣他嚴格地證明了不連續(xù)函數，甚至有無窮多個間斷點的函數，只要間斷點可以被包含在長度可以任意小的有限個區(qū)間之內就是可積分的在牛頓和萊布尼茲之前，微分和積分作為兩種數學運算、兩種數學問題，是分別加以研究的雖然有不少數學家已經開始考慮微分和積分之間的聯系，然而只有萊布尼茲和牛頓(各自獨立地)將微分和積分真正溝通起來，明確地找到了兩者之間內在的直接的聯系，指出微分和積分是互逆的兩種運算而這正是建立微積分的關鍵所在牛頓在1666年發(fā)表的著作流數簡論中，從確定面積率的變化入手，通過反微分計算面積，把面積計算看作是求切線的逆

13、從而得到了微積分基本定理在1675年，萊布尼茲就認識到，作為求和過程的積分是微分的逆他于16751676年給出了微積分基本定理并于1693年給出了這個定理的證明簡單直觀并且便于應用，是黎曼積分的優(yōu)點.黎曼積分的缺點主要是理論方面的一方面,黎曼積分的可積函數類太小基本上是“分段連續(xù)函數”構成的函數類另一方面，黎曼積分在處理諸如函數級數的逐項積分、重積分的交換積分順序以及函數空間的完備性這樣一些重要的理論問題時，存在許多不可克服的障礙于是在上一世紀末到本世紀初，一種新的積分理論勒貝格積分應運而生它是黎曼積分的推廣，勒貝格積分的建立是積分學領域的重大發(fā)展它在很大程度上克服了黎曼積分在理論上遇到的上述

14、困難勒貝格積分是近代分析數學發(fā)展的重要動力和基礎習題5.11.用定積分表示由曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積.2.利用定積分的幾何意義,作圖證明：(1) (2)3.不計算定積分,比較下列各組積分值的大小.(1), (2),(3), (4), 4.利用定積分估值性質,估計下列積分值所在的范圍.(1) (2)(3) (4)5.試用積分中值定理證明.5.2 定積分的基本公式定積分就是一種特定形式的極限，直接利用定義計算定積分是十分繁雜的，有時甚至無法計算.本節(jié)將介紹定積分計算的有力工具牛頓萊布尼茲公式.5.2.1變上限定積分定義5.2 設函數在區(qū)間上連續(xù)，對于任意，在區(qū)間上也連續(xù)，所以函數在上也

15、可積.顯然對于上的每一個的取值，都有唯一對應的定積分和對應，因此是定義在上的函數.記為，.稱叫做變上限定積分,有時又稱為變上限積分函數.o a x b xy圖5.6變上限積分函數的幾何意義是：如果，對上任意x，都對應唯一一個曲邊梯形的面積，如圖5.6中的陰影部分.因此變上限積分函數有時又稱為面積函數.函數具有如下重要性質.定理5.1 如果函數在區(qū)間上連續(xù)，則在上可導，且.證 給定函數的自變量的改變量，函數有相應的改變量.則.由定積分的中值定理，存在，使成立.所以.由定理5.1可知，如果函數在區(qū)間上連續(xù)，則函數就是在區(qū)間上的一個原函數.由定理5.1我們有下面的結論.定理5.2（原函數存在定理）

16、如果在區(qū)間上連續(xù)，則它的原函數一定存在，且其中的一個原函數為.注 這個定理一方面肯定了閉區(qū)間上連續(xù)函數的一定有原函數（解決了第四章第一節(jié)留下的原函數存在問題），另一方面初步地揭示積分學中的定積分與原函數之間的聯系.為下一步研究微積分基本公式奠定基礎.例5.2.1 計算.解 =.例5.2.2 求.解 當時，此極限為型不定式，兩次利用洛必塔法則有= =例5.2.3 求.解 注意，此處的變上限積分的上限是，若記，則函數可以看成是由與復合而成，根據復合函數的求導法則得=.一般地有，如果可導，則.上式可作為公式直接使用.例5.2.4 求極限.解 因為，所以這個極限是型的未定式，利用洛必塔法則得= =.5

17、.2.2微積分基本公式定理5.3 如果函數在區(qū)間上連續(xù)，且是的任意一個原函數，那么.證 由定理5.2知，是在區(qū)間的一個原函數，則與相差一個常數C，即.又因為，所以.于是有.所以 成立.為方便起見，通常把簡記為或，所以公式可改寫為上述公式稱為牛頓萊布尼茲（Newton-Leibniz）公式，又稱為微積分基本公式.定理5.3揭示了定積分與被積函數的原函數之間的內在聯系，它把求定積分的問題轉化為求原函數的問題.確切地說，要求連續(xù)函數在上的定積分，只需要求出在區(qū)間上的一個原函數，然后計算就可以了.例5.2.5 計算.解 因為，所以=.例5.2.6 求.解 =.例5.2.7 求.解 根據定積分性質5.1

18、.3，得=.例5.2.8 求極限解 根據定積分定義,得牛頓與萊布尼茲牛頓（Newton，Isaac，16431727）英國物理學家，數學家，天文學家.經典物理學理論體系的建立者.萊布尼茲（Gottfriend Wilhelm Leibniz,1646-1716）是17、18世紀之交德國最重要的數學家、物理學家和哲學家，一個舉世罕見的科學天才.他博覽群書，涉獵百科，對豐富人類的科學知識寶庫做出了不可磨滅的貢獻.微積分創(chuàng)立的優(yōu)先權，數學上曾掀起了一場激烈的爭論.實際上，牛頓在微積分方面的研究雖早于萊布尼茲，但萊布尼茲成果的發(fā)表則早于牛頓.萊布尼茲在1684年10月發(fā)表的教師學報上的論文，“一種求極

19、大極小的奇妙類型的計算”，在數學史上被認為是最早發(fā)表的微積分文獻.牛頓在1687年出版的自然哲學的數學原理的第一版和第二版也寫道：“十年前在我和最杰出的幾何學家G、W萊布尼茲的通信中，我表明我已經知道確定極大值和極小值的方法、作切線的方法以及類似的方法，但我在交換的信件中隱瞞了這方法，這位最卓越的科學家在回信中寫道，他也發(fā)現了一種同樣的方法.他并訴述了他的方法，它與我的方法幾乎沒有什么不同，除了他的措詞和符號而外.”（但在第三版及以后再版時，這段話被刪掉了.）因此，后來人們公認牛頓和萊布尼茲是各自獨立地創(chuàng)建微積分的.牛頓從物理學出發(fā)，運用集合方法研究微積分，其應用上更多地結合了運動學，造詣高于

20、萊布尼茲.萊布尼茲則從幾何問題出發(fā)，運用分析學方法引進微積分概念、得出運算法則，其數學的嚴密性與系統(tǒng)性是牛頓所不及的.萊布尼茲認識到好的數學符號能節(jié)省思維勞動，運用符號的技巧是數學成功的關鍵之一.因此，他發(fā)明了一套適用的符號系統(tǒng)，如，引入dx表示x的微分，表示積分，等等.這些符號進一步促進了微積分學的發(fā)展.1713年，萊布尼茲發(fā)表了微積分的歷史和起源一文，總結了自己創(chuàng)立微積分學的思路，說明了自己成就的獨立性.你知道為什么稱為牛頓-萊布尼茲公式了吧！習題5.21. 求下列函數的導數： (1) (2) (3) (4)2.求下列函數的極限：(1) (2)(3) (4)3.求函數在區(qū)間上的最大值和最小

21、值.4.求由曲線與直線及軸所圍成的曲邊梯形的面積.5.求下列定積分的值：(1) (2)(3) (4)(5) (6)5.3 定積分的積分法在第四章我們學習了用換元積分法和分部積分法求已知函數的原函數.把它們稍微改動就是定積分的換元積分法和分部積分法.但最終的計算總是離不開牛頓-萊布尼茲公式.5.3.1定積分的換元積分法定理5.4 設函數在區(qū)間上連續(xù)，并且滿足下列條件：（1），且，；（2）在區(qū)間上單調且有連續(xù)的導數；（3）當從變到時，從單調地變到.則有上述公式稱為定積分的換元積分公式.在應用該公式計算定積分時需要注意以下兩點：從左到右應用公式，相當于不定積分的第二換元法.計算時，用把原積分變量換成

22、新變量，積分限也必須由原來的積分限和相應地換為新變量的積分限和，而不必代回原來的變量，這與不定積分的第二換元法是完全不同的.從右到左應用公式，相當于不定積分的第一換元法（即湊微分法）.一般不用設出新的積分變量，這時，原積分的上、下限不需改變，只要求出被積函數的一個原函數，就可以直接應用牛頓萊布尼茲公式求出定積分的值.例5.3.1 求.解 令，則，當時，當時，于是=例5.3.2 求.解法一設，則，當時，；當時，于是=.解法二=.解法一是變量替換法，上下限要改變；解法二是湊微分法，上下限不改變.例5.3.3 求.解 令，則，當時，；當時，于是=.例5.3.4 設在區(qū)間上連續(xù)，證明：（1）如果為奇函

23、數，則；（2）如果為偶函數，則.這結論是定積分的性質5.1.8，下面我們給出嚴格的證明.證 由定積分的可加性知，對于定積分，作代換，得=，所以 =（1）如果為奇函數，即，則，于是 .（2）如果為偶函數，即，則，于是 .例5.3.5 求下列定積分：（1） （2）解 （1）因為被積函數是奇函數，且積分區(qū)間是對稱區(qū)間，所以=.（2）被積函數是偶函數，積分區(qū)間是對稱區(qū)間，所以=，令，則，當時，；當時，于是=.2.分部積分法定理5.5 設函數和在區(qū)間上有連續(xù)的導數，則有.上述公式稱為定積分的分部積分公式.選取的方式、方法與不定積分的分部積分法完全一樣.例5.3.6 求.解 =.例5.3.7 求.解 =.

24、例5.3.8 求.解 令，則，,當時，；當時，.于是=.此題先利用換元積分法，然后應用分部積分法.習題 5.31.求下列定積分的值：(1) (2)(3) (4)(5) (6)(7) (8)(9) (10)2.求下列定積分：(1) (2)(3) (4)5.4 定積分的應用由于定積分的概念和理論是在解決實際問題的過程中產生和發(fā)展起來的，因而它的應用非常廣泛.問題1 在機械制造中，某凸輪橫截面的輪廓線是由極坐標方程確定的，要計算該凸輪的面積和體積.問題2 修建一道梯形閘門，它的兩條底邊各長6m和4m，高為6m,較長的底邊與水面平齊，要計算閘門一側所受水的壓力.為了解決這些問題，下面先介紹運用定積分解

25、決實際問題的常用方法微元法，然后討論定積分在幾何和物理上的一些簡單應用.讀者通過這部分內容的學習，不僅要掌握一些具體應用的計算公式，而且還要學會用定積分解決實際問題的思想方法.5.4.1定積分應用的微元法為了說明定積分的微元法，我們先回顧求曲邊梯形面積A的方法和步驟：(1)將區(qū)間分成個小區(qū)間，相應得到個小曲邊梯形，小曲邊梯形的面積記為；(2)計算的近似值，即（其中）；(3)求和得的近似值，即；(4)對和取極限得.下面對上述四個步驟進行具體分析：第(1)步指明了所求量（面積）具有的特性：即在區(qū)間上具有可分割性和可加性.o a b xy圖5.7第(2)步是關鍵，這一步確定的是被積表達式的雛形.這可

26、以從以下過程來理解：由于分割的任意性，在實際應用中，為了簡便起見，對省略下標，得，用表示內的任一小區(qū)間，并取小區(qū)間的左端點為，則的近似值就是以為底，為高的小矩形的面積（如圖5.7陰影部分），即.通常稱為面積元素，記為. 將(3),(4)兩步合并，即將這些面積元素在上“無限累加”，就得到面積.即.一般說來，用定積分解決實際問題時，通常按以下步驟來進行：（1）確定積分變量，并求出相應的積分區(qū)間；（2）在區(qū)間上任取一個小區(qū)間，并在小區(qū)間上找出所求量的微元；（3）寫出所求量的積分表達式，然后計算它的值.利用定積分按上述步驟解決實際問題的方法叫做定積分的微元法.注 能夠用微元法求出結果的量一般應滿足以下

27、兩個條件：是與變量的變化范圍有關的量；對于具有可加性，即如果把區(qū)間分成若干個部分區(qū)間，則相應地分成若干個分量.ya o b x圖5.85.4.2定積分求平面圖形的面積1.直角坐標系下面積的計算(1)由曲線和直線所圍成曲邊梯形的面積的求法前面已經介紹，此處不再敘述.(2)求由兩條曲線，及直線所圍成平面的面積（如圖5.8所示）.下面用微元法求面積.取為積分變量，.在區(qū)間上任取一小區(qū)間，該區(qū)間上小曲邊梯形的面積可以用高，底邊為的小矩形的面積近似代替，從而得面積元素.寫出積分表達式，即.求由兩條曲線，及直線所圍成平 o xyd y+dyyc面圖形（如圖5.9）的面積.這里取為積分變量，用類似 (2)的

28、方法可以推出：.例5.4.1 求由曲線與圖5.9所圍圖形的面積.解 先畫出所圍的圖形（如圖5.10）由方程組，得兩條曲線的交點為，取為積分變量，.由公式得.o 2 8 xA(2,-2) y4-2B(8,4) 圖5.11o 1 2 xy A (1,1)圖5.10例5.4.2 求曲線與所圍圖形的面積.解 畫出所圍的圖形（如圖5.11）.由方程組得兩條曲線的交點坐標為，取為積分變量，.將兩曲線方程分別改寫為得所求面積為.注 本題若以為積分變量，由于圖形在兩個區(qū)間上的構成情況不同，因此需要分成兩部分來計算，其結果應為：.顯然，對于例5.4.2選取作為積分變量，不如選取作為積分變量計算簡便.可見適當選取

29、積分變量，可使計算簡化.例5.4.3 求曲線在區(qū)間上所圍平面圖形的面積.解 如圖5.12所示，曲線的交點坐標為，選取作為積分變量，于是，所求面積為.0 xy 圖5.122.極坐標系下面積的計算設曲邊扇形由極坐標方程與射線所圍成（如圖5.13所示）.下面用微元法求它的面積A.以極角為積分變量，它的變化區(qū)間是，相應的小曲邊扇形的面積近似等于半徑為，中心角為的圓扇形的面積，從而得面積微元為于是，所求曲邊扇形的面積為 .O 2a x圖5.14xo圖5.13例5.4.4 計算心形線所圍圖形的面積（如圖5.14）.解 此圖形對稱于極軸，因此所求圖形的面積是極軸上方部分圖形面積的兩倍.對于極軸上方部分圖形，

30、取為積分變量，由上述公式得：.這個結果就是本節(jié)前面問題1提到的凸輪橫截面的面積，如果知道凸輪的厚度，可進一步求出它的體積，這里不再贅述.3定積分求體積(1)旋轉體的體積旋轉體是一個平面圖形繞這平面內的一條直線旋轉而成的立體.這條直線叫做旋轉軸.設旋轉體是由連續(xù)曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一周而成（如圖5.15）.取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在上任取一小區(qū)間，相應薄片的體積近似于以為底面圓半徑，為高的小圓柱體的體積，從而得到體積元素為，于是，所求旋轉體體積為.o xydy+dyyy圖5.16co a x x+dx b xy 圖5.15類似地，由曲線和直線及軸所圍成的曲邊梯形繞軸旋轉一

31、周而成（如圖5.16），所得旋轉體的體積為 .例5.4.5 求由橢圓繞軸及軸旋轉而成的橢球體的體積.解 (1)繞軸旋轉的橢球體如圖5.17所示,它可看作上半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉而成.取為積分變量,由公式所求橢球體的體積為.(2)繞軸旋轉的橢球體,可看作右半橢圓與軸圍成的平面圖形繞軸旋轉而成（如圖5.18所示）,取為積分變量, ,由公式所求橢球體體積為bo xy 圖5.18-b .當時,上述結果為,這就是大家所熟悉的球體的體積公式.(2)平行截面面積為已知的立體體積設一物體被垂直于某直線的平面所截的面積可求，則該物體可用定積分求其體積.不妨設直線為軸，則在處的截面面積是的已知連續(xù)函數，

32、求該物體介于和之間的體積（如圖5.19）.o a x x+dx b x圖5.19取為積分變量，它的變化區(qū)間為，在微小區(qū)間上近似不變，即把上的立體薄片近似看作為底，為高的柱片，從而得到體積元素.于是該物體的體積為.例5.4.6 一平面經過半徑為R的圓柱體的底圓中心，并與底面交成角，計算這平面截圓柱體所得立體的體積.（如圖5.20）解 取這平面與圓柱體的底面交線為軸-R o x R xyA (x)圖5.20建立如圖5.20的直角坐標系，則底面圓的方程為.立體中過點且垂直于軸的截面是一個直角三角形.它的直角邊分別為，即.因而截面面積為.故所求立體體積為.4.定積分在物理上的應用舉例(1)變力作功由物

33、理學知道,物體在常力的作用下,沿力的方向作直線運動,當物體發(fā)生了位移時,力對物體所作的功是.但在實際問題中,物體在發(fā)生位移的過程中所受到的力常常是變化的,這就需要考慮變力作功的問題.由于所求的功是一個整體量,且對于區(qū)間具有可加性,所以可以用微元法來求這個量.設物體在變力的作用下,沿軸由點移動到點,如圖5.21所示,且變力方向與軸方向一致.取為積分變量,a x x+dx b xF(x)圖5.21.在區(qū)間上任取一小區(qū)間,該區(qū)間上各點處的力可以用點處的力近似代替.因此功的微元為，因此,從到這一段位移上變力所作的功為.例5.4.7 彈簧在拉伸過程中,所需要的力與彈簧的伸長量成正比,即(為比例系數).已

34、知彈簧拉長時,需力,要使彈簧伸長,計算外力所做的功.解 由題設,時,.代入,得.從而變力為,由上述公式所求的功為.(2)液體的壓力由物理學知道,在液面下深度為處的壓強為,其中是液體的密度,是重力加速度.如果有一面積為的薄板水平地置于深度為處,那么薄板一側所受的液體壓力.但在實際問題中,往往要計算薄板豎直放置在液體中(如前面問題2中的閘門)時，其一側所受到的壓力.由于壓強p隨液體的深度而變化,所以薄板一側所受的液體壓力就不能用上述方法計算,但可以用定積分的微元法來加以解決.設薄板形狀是曲邊梯形,為了計算方便,建立如圖5.22所示的坐標系,曲邊方程為.取液體深度為積分變量,o y axx+dx b

35、 x圖5.22,在上取一小區(qū)間,該區(qū)間上小曲邊平板所受的壓力可近似地看作長為,寬為的小矩形水平地放在距液體表面深度為的位置上時,一側所受的壓力.因此所求的壓力微元為:.于是，整個平板一側所受壓力為. 下面我們來看本節(jié)前面問題2的答案.例5.4.8 修建一道梯形閘門，它的兩條底邊各長6m和4m，高為6m,較長的底邊與水面平齊，要計算閘門一側所受水的壓力.解 根據題設條件.建立如圖5.23所示的坐標系，的方程為.取為積分變量,在上任一小區(qū)間的壓力微元為，從而所求的壓力為 .5.定積分在經濟中應用舉例在第3章我們研究了導數在經濟問題的應用，可以對經濟函數進行邊際分析和彈性分析，但在實際中往往還要涉及

36、到已知邊際函數或彈性函數，來求原函數的問題，就需要利用定積分或不定積分來完成，根據導數與積分的關系有：(1)已知邊際成本，求總成本.有，其中是固定成本，一般不為零.(2)已知邊際收益，求總成本.有.其中被稱為自然條件，意指當銷售量為0時，自然收益為0.下面通過實例說明定積分在經濟方面的應用.例5.4.9 已知某產品邊際成本函數且固定成本為1000元，求總成本函數C(Q).解 .例5.4.10 某工廠生產某產品（百臺）的邊際成本為=2（萬元/百臺）設固定成本為0，邊際收益為(萬元/百臺).求：（1）生產量為多少時，總利潤L最大？最大總利潤是多少？（2）在利潤最大的生產量的基礎上又生產了50臺，總

37、利潤減少多少？解 （1）因，所以利潤函數，則，令，得唯一駐點，且有.故，即產量為2.5百臺時，有最大利潤，最大利潤為萬元.（2）在2.5百臺的基礎上又生產了50臺，即生產3百臺，此時利潤為萬元.即利潤減少了0.25萬元.習題5.41.求下列曲線圍成平面圖形的面積.(1) (2) (3) (4)(5) （6）2.求由直線與曲線及它在點處的法線所圍成圖形的面積.3.求下列平面圖形分別繞軸,軸旋轉所產生的立體的體積.(1)及 (2)及4.有一彈簧,用的力可以把它拉長,求把彈簧拉長時力所做的功.5.有一圓柱形貯水桶,高,底圓半徑為,桶內裝深的水,試問要將桶內的水全部吸出要作多少功?6.求曲線所圍成圖形

38、的面積. 7.已知物體作變速直線運動的速度為,求該物體在前5秒內經過的路程.8.設一沿軸運動的物體所受的外力是(牛頓),試問當此物體從(米)處移到(米)處時外力所做的功.9.一水庫閘門的形狀為直角梯形,上底為,下底為,高為,求當水面與上底相齊時,閘門一側所受的壓力.10.已知某產品的的固定成本為1萬元，邊際收益和邊際成本分別為（單位：萬元/百臺） .(1)求產量由1百臺增加到5百臺時，總收益增加了多少？(2)求產量由2百臺增加到5百臺時，總成本增加了多少？(3)求產量為多少時，總利潤最大；(4)求總利潤最大時的總收益、總成本和總利潤.5.5 廣義積分前面討論定積分的定義時，要求函數的定義域只能

39、是有限區(qū)間，并且被積函數在積分區(qū)間上是有界的.但是在實際問題中，還會遇到函數的定義域是無窮區(qū)間，或，或被積函數為無界的情況.前者稱為無限區(qū)間上的積分，后者稱為無界函數的積分.一般地，我們把這兩種情況下的積分稱為廣義積分，而前面討論的定積分稱為常義積分.本節(jié)將介紹廣義積分的概念和計算方法.5.5.1無窮區(qū)間上的廣義積分無窮積分定義5.3 設函數在區(qū)間上連續(xù), 取，若極限 存在,則稱此極限為函數在 上的廣義積分,記作,即 .此時也稱廣義積分收斂；如果上述極限不存在, 就稱發(fā)散.類似地，定義f(x)在區(qū)間上的廣義積分為.f(x)在(-, +)上的廣義積分定義為.其中為任意實數.當且僅當上式右端兩個積

40、分同時收斂時，稱廣義積分收斂，否則稱其發(fā)散.從廣義積分的定義可以直接得到廣義積分的計算方法，即先求有限區(qū)間上的定積分，再取極限.例5.5.1 計算廣義積分.解 任取實數，則 .例5.5.2 計算.解 =.所以，廣義積分是發(fā)散.利用極限的性質，可以把定積分的分部積分法、換元積分法推廣到廣義積分.例5.5.3 計算.解 .注 顯然這里的極限是不定式，利用洛必達法則可得其結果為零.例5.5.4 判斷的收斂性.解 .顯然時,沒有極限,所以廣義積分是發(fā)散的.例5.5.5 求曲線與直線所圍成的圖形的面積.圖5.24o 1 xy解 如圖5.24所示，陰影部分的面積可以看作函數在的定積分，故所求圖形的面積為.

41、例5.5.6 討論廣義積分的斂散性.解 當時，（發(fā)散）；當時，.故時，該廣義積分收斂，其值為；當時，該廣義積分發(fā)散.此廣義積分稱為積分，牢記它的斂散性，可以直接運用.5.5.2無界函數的廣義積分瑕積分定義5.4 設函數在區(qū)間上連續(xù)，且.取,如果極限存在,則稱此極限為函數在上的廣義積分,記作，即.此時也稱廣義積分收斂，否則就稱廣義積分發(fā)散.類似地，當為的無窮大間斷點時，在上的廣義積分為：取,.當無窮間斷點位于區(qū)間的內部時，則定義廣義積分為：.注 上式右端兩個積分均為廣義積分，當且僅當右端兩個積分同時收斂時，稱廣義積分收斂，否則稱其發(fā)散.注 (1)廣義積分是常義積分（定積分）概念的擴充，收斂的廣義

42、積分與定積分具有類似的性質，但不能直接利用牛頓萊布尼茲公式.(2)求廣義積分就是求常義積分的一種極限，因此，首先計算一個常義積分，再求極限，定積分中換元積分法和分部積分法都可以推廣到廣義積分；在求極限時可以利用求極限的一切方法，包括洛必塔法則.(3)為了方便，利用下列符號表示極限：；.(4)瑕積分與常義積分的記號一樣，要注意判斷和區(qū)別.例5.5.7 求.解 因為函數在上連續(xù)，且，所以是廣義積分，于是.例5.5.8 求.解 因為函數在上連續(xù)，且，所以是廣義積分,于是故發(fā)散.例5.5.9 計算.解 因為，所以是廣義積分，于是.由于，即發(fā)散，從而發(fā)散.對于例5.5.9，如果沒有考慮到被積函數在處有無窮間斷點的情況，仍然按定積分來計算，就會得出如下錯誤的結果：.例5.5.10 求積分.解 因為被積函數，當時無界，所以按瑕積分進行.例5.5.11 討論廣義積分的斂散性.解 當時，發(fā)散；當時，.故時，該廣義積分收斂，其值為；當時，該廣義積分發(fā)散.此廣義積分稱為積分，牢記它的斂散性，可以直接運用.習題5.51.求下列廣義積分：(