指數(shù)與對數(shù)的運算

1、 指數(shù)與對數(shù)的運算【課標要求】（1）通過具體實例（如細胞的分裂，考古中所用的14C的衰減，藥物在人體內(nèi)殘留量的變化等），了解指數(shù)函數(shù)模型的實際背景；（2）理解有理指數(shù)冪的含義，通過具體實例了解實數(shù)指數(shù)冪的意義，掌握冪的運算。（3）理解對數(shù)的概念及其運算性質(zhì)，知道用換底公式能將一般對數(shù)轉(zhuǎn)化成自然對數(shù)或常用對數(shù)；通過閱讀材料，了解對數(shù)的發(fā)現(xiàn)歷史以及對簡化運算的作用；【命題走向】指數(shù)與對數(shù)的性質(zhì)和運算，在歷年的高考中一般不單獨命題。大多以指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等基本函數(shù)的性質(zhì)為依托，結(jié)合運算推理，能運用它們的性質(zhì)解決具體問題。為此，我們要熟練掌握指數(shù)、對數(shù)運算法則，明確算理，能對常見的指數(shù)型函數(shù)、對數(shù)型

2、函數(shù)進行變形處理?！疽c精講】1、整數(shù)指數(shù)冪的概念。（1）概念： n個a (2)運算性質(zhì)： 兩點解釋： 可看作 = 可看作 =2、根式：（1）定義：若 則x叫做a的n次方根。（2）求法：當n為奇數(shù)時：正數(shù)的n次方根為正數(shù)，負數(shù)的n次方根為負數(shù) 記作： 當n為偶數(shù)時，正數(shù)的n次方根有兩個（互為相反數(shù)） 記作： 負數(shù)沒有偶次方根 0的任何次方根為0名稱：叫做根式 n叫做根指數(shù) a叫做被開方數(shù)（3）公式： ；當n為奇數(shù)時 ； 當n為偶數(shù)時 3、分數(shù)指數(shù)冪（1）有關(guān)規(guī)定： 事實上， 若設(shè)a>0, ，由n次根式定義, 次方根，即：（2）同樣規(guī)定：；0的正分數(shù)指數(shù)冪等于0，0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義。

3、（3）指數(shù)冪的性質(zhì)：整數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)推廣到有理指數(shù)冪。 （注）上述性質(zhì)對r、R均適用。4、對數(shù)的概念（1）定義：如果的b次冪等于N，就是，那么數(shù)稱以為底N的對數(shù)，記作其中稱對數(shù)的底，N稱真數(shù)。以10為底的對數(shù)稱常用對數(shù)，記作；以無理數(shù)為底的對數(shù)稱自然對數(shù)，記作；（2）基本性質(zhì)：真數(shù)N為正數(shù)（負數(shù)和零無對數(shù)）；2）；4）對數(shù)恒等式：。（3）運算性質(zhì)：如果則；R）。（4）換底公式：兩個非常有用的結(jié)論；?！咀ⅰ恐笖?shù)方程和對數(shù)方程主要有以下幾種類型：(1) af(x)=bÛf(x)=logab, logaf(x)=bÛf(x)=ab; （定義法）(2) af(x)=ag(x)&

4、#219;f(x)=g(x), logaf(x)=logag(x)Ûf(x)=g(x)>0（轉(zhuǎn)化法）(3) af(x)=bg(x)Ûf(x)logma=g(x)logmb(取對數(shù)法)(4) logaf(x)=logbg(x)Ûlogaf(x)=logag(x)/logab(換底法)【典例解析】題型1：指數(shù)運算例1（1）計算：；（2）化簡 （3）化簡：。（4）化簡： 例2已知，求的值。題型2：對數(shù)運算例3計算（1）；（2）；（3）。例4設(shè)、為正數(shù)，且滿足 （1）求證：；（2）若，求、的值。例5。（1）已知 log 18 9 = a , 18 b = 5 , 求

5、 log 36 45 （用 a, b 表示）（2）設(shè) 求證： 題型4：指數(shù)、對數(shù)方程例6：解方程（1） （2）例7設(shè)關(guān)于的方程R），（1）若方程有實數(shù)解，求實數(shù)b的取值范圍；（2）當方程有實數(shù)解時，討論方程實根的個數(shù)，并求出方程的解。.【鞏固練習】1.若，則的值為A50 B58 C89 D111 （ ）2.若，則= ；3.已知的值域為1，7，則的取值范圍是 （）A.，B. C. D.4若則 5. 已知(a>0) ，則 .6.（1）；（2）.7. 若，求的值 8.解下列指數(shù)方程： (1) (2) (3) (4) 9.解下列對數(shù)方程 (1) (2) (3) (4)10.如果函數(shù)在區(qū)間-1，1

6、上的最大值是14，求的值。11.設(shè)若時有意義，求實數(shù)的范圍?！舅季S總結(jié)】1（其中）是同一數(shù)量關(guān)系的三種不同表示形式，因此在許多問題中需要熟練進行它們之間的相互轉(zhuǎn)化，選擇最好的形式進行運算.在運算中，根式常常化為指數(shù)式比較方便，而對數(shù)式一般應化為同應化為同底；2要熟練運用初中學習的多項式各種乘法公式；進行數(shù)式運算的難點是運用各種變換技巧，如配方、因式分解、有理化（分子或分母）、拆項、添項、換元等等，這些都是經(jīng)常使用的變換技巧，必須通過各種題型的訓練逐漸積累經(jīng)驗；3解決含指數(shù)式或?qū)?shù)式的各種問題，要熟練運用指數(shù)、對數(shù)運算法則及運算性質(zhì)，更關(guān)鍵是熟練運用指數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，其中單調(diào)性是使用率比較高

7、的知識；【課后作業(yè)】1.計算。1）； （2）2.化簡下列各式（結(jié)果用有理數(shù)指數(shù)冪表示）：（1）； （2）；3.化簡下列各式（結(jié)果用有理數(shù)指數(shù)冪表示）：（1）； （2）4.已知，求下列各式的值：（1）； （2）； （3）；5.計算：（1）；（2）；（3）6.（1）已知，用表示；（2）設(shè)，用表示；7. 設(shè)，且，求的最小值。8. （1）已知，求的值。答案詳解題型1：指數(shù)運算例1 解：（1）原式=；（2）原式= = （注意復習，根式開平方）（3）原式=。（4）原式點評：根式的化簡求值問題就是將根式化成分數(shù)指數(shù)冪的形式，然后利用分數(shù)指數(shù)冪的運算性質(zhì)求解，對化簡求值的結(jié)果，一般用分數(shù)指數(shù)冪的形式保留；一般

8、的進行指數(shù)冪運算時，化負指數(shù)為正指數(shù)，化根式為分數(shù)指數(shù)冪，化小數(shù)為分數(shù)運算，同時兼顧運算的順序。例2 解：，又，。點評：本題直接代入條件求解繁瑣，故應先化簡變形，創(chuàng)造條件簡化運算。題型2：對數(shù)運算例3解：（1）原式 ；（2）原式 ；（3）分子=；分母=；原式=。點評：這是一組很基本的對數(shù)運算的練習題，雖然在考試中這些運算要求并不高，但是數(shù)式運算是學習數(shù)學的基本功，通過這樣的運算練習熟練掌握運算公式、法則，以及學習數(shù)式變換的各種技巧。例4 證明：（1）左邊；解：（2）由得，由得 由得由得，代入得， 由、解得，從而。點評：對于含對數(shù)因式的證明和求值問題，還是以對數(shù)運算法則為主，將代數(shù)式化簡到最見形

9、式再來處理即可。題型3：指對數(shù)式的簡單應用例5 （1） 解： log 18 9 = a log 18 2 = 1 - a 18 b = 5 log 18 5 = b （2） 證： 題型4：指數(shù)、對數(shù)方程例6： 解（1）但必須： 舍去 （2）, , 例7 解：（1）原方程為，時方程有實數(shù)解；（2）當時，方程有唯一解；當時，.的解為；令的解為；綜合、，得1）當時原方程有兩解：；2）當時，原方程有唯一解；3）當時，原方程無解。點評：具有一些綜合性的指數(shù)、對數(shù)問題，問題的解答涉及指數(shù)、對數(shù)函數(shù)，二次函數(shù)、參數(shù)討論、方程討論等各種基本能力，這也是指數(shù)、對數(shù)問題的特點，題型非常廣泛，應通過解題學習不斷積累經(jīng)驗?！眷柟叹毩暋?. 答案: C 易得；2、 -2 3、答案:D 先求出范圍