對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)-對(duì)數(shù)的公式互化-詳盡的講解

1、2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算1對(duì)數(shù)的概念一般地，如果axN (a>0，且a1)，那么數(shù)x叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作xlogaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)說明：(1)實(shí)質(zhì)上，上述對(duì)數(shù)表達(dá)式，不過是指數(shù)函數(shù)yax的另一種表達(dá)形式，例如：3481與4log381這兩個(gè)式子表達(dá)是同一關(guān)系，因此，有關(guān)系式axNxlogaN，從而得對(duì)數(shù)恒等式：alogaNN.(2)“l(fā)og”同“”“×”“”等符號(hào)一樣，表示一種運(yùn)算，即已知一個(gè)數(shù)和它的冪求指數(shù)的運(yùn)算，這種運(yùn)算叫對(duì)數(shù)運(yùn)算，不過對(duì)數(shù)運(yùn)算的符號(hào)寫在數(shù)的前面(3)根據(jù)對(duì)數(shù)的定義，對(duì)數(shù)logaN(a>0，且a1)具有下列性質(zhì)：零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)，

2、即N>0；1的對(duì)數(shù)為零，即loga10；底的對(duì)數(shù)等于1，即logaa1.2對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則，可以把乘、除、乘方、開方的運(yùn)算轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減、乘、除運(yùn)算，反之亦然這種運(yùn)算的互化可簡化計(jì)算方法，加快計(jì)算速度(1)基本公式loga(MN)logaMlogaN (a>0，a1，M>0，N>0)，即正數(shù)的積的對(duì)數(shù)，等于同一底數(shù)的各個(gè)因數(shù)的對(duì)數(shù)的和logalogaMlogaN (a>0，a1，M>0，N>0)，即兩個(gè)正數(shù)的商的對(duì)數(shù)，等于被除數(shù)的對(duì)數(shù)減去除數(shù)的對(duì)數(shù)logaMnn·logaM (a>0，a1，M>0，nR)，即正

3、數(shù)的冪的對(duì)數(shù)等于冪的底數(shù)的對(duì)數(shù)乘以冪指數(shù)(2)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)注意點(diǎn)必須注意M>0，N>0，例如loga(3)×(4)是存在的，但是loga(3)與loga(4)均不存在，故不能寫成loga(3)×(4)loga(3)loga(4)防止出現(xiàn)以下錯(cuò)誤：loga(M±N)logaM±logaN，loga(M·N)logaM·logaN，loga，logaMn(logaM)n.3對(duì)數(shù)換底公式在實(shí)際應(yīng)用中，常碰到底數(shù)不為10的對(duì)數(shù)，如何求這類對(duì)數(shù)，我們有下面的對(duì)數(shù)換底公式：logbN (b>0，且b1；c>0，且c1；N

4、>0)證明設(shè)logbNx，則bxN.兩邊取以c為底的對(duì)數(shù)，得xlogcblogcN.所以x，即logbN.換底公式體現(xiàn)了對(duì)數(shù)運(yùn)算中一種常用的轉(zhuǎn)化，即將復(fù)雜的或未知的底數(shù)轉(zhuǎn)化為已知的或需要的底數(shù)，這是數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想的具體應(yīng)用由換底公式可推出下面兩個(gè)常用公式：(1)logbN或logbN·logNb1 (N>0，且N1；b>0，且b1)；(2)logbnNmlogbN(N>0；b>0，且b1；n0，mR). 題型一正確理解對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)對(duì)于a>0且a1，下列說法中，正確的是()若MN，則logaMlogaN；若logaMlogaN，則MN；若logaM2l

5、ogaN2，則MN；若MN，則logaM2logaN2.A與B與CD、解析在中，當(dāng)MN0時(shí)，logaM與logaN均無意義，因此logaMlogaN不成立在中，當(dāng)logaMlogaN時(shí)，必有M>0，N>0，且MN，因此MN成立在中，當(dāng)logaM2logaN2時(shí)，有M0，N0，且M2N2，即|M|N|，但未必有MN.例如，M2，N2時(shí)，也有l(wèi)ogaM2logaN2，但MN.在中，若MN0，則logaM2與logaN2均無意義，因此logaM2logaN2不成立所以，只有成立答案C點(diǎn)評(píng)正確理解對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式，是利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式解題的前提條件，使用運(yùn)算性質(zhì)時(shí)，應(yīng)牢記公式的形式及公式

6、成立的條件 題型二對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用求下列各式的值：(1)2log32log3log385log53；(2)lg25lg8lg5·lg20(lg2)2；(3).分析利用對(duì)數(shù)的性質(zhì)求值，首先要明確解題目標(biāo)是化異為同，先使各項(xiàng)底數(shù)相同，才能使用性質(zhì)，再找真數(shù)間的聯(lián)系，對(duì)于復(fù)雜的真數(shù)，可以先化簡再計(jì)算解(1)原式2log32(log332log39)3log3232log325log3223log3231.(2)原式2lg52lg2lg·lg(2×10)(lg2)22lg(5×2)(1lg2)·(lg21)(lg2)221(lg2)2(lg2)23.

7、(3).點(diǎn)評(píng)對(duì)數(shù)的求值方法一般有兩種：一種是將式中真數(shù)的積、商、冪、方根利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)將它們化為對(duì)數(shù)的和、差、積、商，然后化簡求值；另一種方法是將式中的和、差、積、商運(yùn)用對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則將它們化為真數(shù)的積、商、冪、方根，然后化簡求值 題型三對(duì)數(shù)換底公式的應(yīng)用計(jì)算：(log2125log425log85)(log52log254log1258)分析由題目可獲取以下主要信息：本題是一道對(duì)數(shù)化簡求值題，在題目中各個(gè)對(duì)數(shù)的底數(shù)都各不相同解答本題可先通過對(duì)數(shù)換底公式統(tǒng)一底數(shù)再進(jìn)行化簡求值解方法一原式log25·(3log52)13log25·13.方法二原式13.點(diǎn)評(píng)方法一是先將括

8、號(hào)內(nèi)換底，然后再將底統(tǒng)一；方法二是在解題方向還不清楚的情況下，一次性地統(tǒng)一為常用對(duì)數(shù)(當(dāng)然也可以換成其他非1的正數(shù)為底)，然后再化簡上述方法是不同底數(shù)對(duì)數(shù)的計(jì)算、化簡和恒等證明的常用方法已知log(x3)(x23x)1，求實(shí)數(shù)x的值錯(cuò)解由對(duì)數(shù)的性質(zhì)可得x23xx3.解得x1或x3.錯(cuò)因分析對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)必須大于0且底數(shù)不等于1，這點(diǎn)在解題中忽略了正解由對(duì)數(shù)的性質(zhì)知解得x1，故實(shí)數(shù)x的值為1.對(duì)數(shù)的定義及其性質(zhì)是高考中的重要考點(diǎn)之一，主要性質(zhì)有：loga10，logaa1，alogaNN (a>0，且a1，N>0)1(上海高考)方程9x6·3x70的解是_解析9x6

9、83;3x70，即32x6·3x70(3x7)(3x1)03x7或3x1(舍去)xlog37.答案 log372(遼寧高考)設(shè)g(x)則g_.解析gln<0，geln，g.答案1對(duì)數(shù)式log(a3)(7a)b，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，7) B(3,7)C(3,4)(4,7) D(3，)答案C解析由題意得解得3<a<7且a4.2設(shè)alog32，則log382log36用a表示的形式是()Aa2 B3a(1a)2C5a2 Da23a1答案A解析alog32，log382log363log322(log321)3a2(a1)a2.3log56·log67&#

10、183;log78·log89·log910的值為()A1 Blg5 C. D1lg2答案C解析原式····.4已知loga(a21)<loga2a<0，則a的取值范圍是()A(0,1) B.C. D(1，)答案C解析由題意，得a>0，a1，loga(a21)<loga2a，0<a<1.<a<1.5已知函數(shù)f(x)ax1logax (a>0，a1)在1,3上最大值與最小值之和為a2，則a的值為()A4 B. C3 D.答案D6若方程(lgx)2(lg7lg5)lgxlg7·

11、;lg50的兩根為，則等于()Alg7·lg5 Blg35 C35 D.答案D解析lglg(lg7lg5)lg35lg·.7已知f(log2x)x，則f_.答案解析令log2x，則2x，f2.8log(1)(1)_.答案1解析log1(1)log1log(1)1.9已知lg20.301 0，lg30.477 1，lgx20.778 1，則x_.答案0.06解析lg20.301 0，lg30.477 1，而0.301 00.477 10.778 1，lgx2lg2lg3，即lgxlg102lg6.lgxlg(6×102)，即x6×1020.06.10(1)

12、已知lgxlgy2lg(x2y)，求log的值；(2)已知log189a,18b5，試用a，b表示log365.解(1)lgxlgy2lg(x2y)，xy(x2y)2，即x25xy4y20.即(xy)(x4y)0，解得xy或x4y，又x>2y>0，xy，應(yīng)舍去，取x4y.則logloglog44.(2)18b5，log185b, 又log189a，log365.11設(shè)a，b，c均為不等于1的正數(shù)，且axbycz，0，求abc的值解令axbyczt (t>0且t1)，則有l(wèi)ogta，logtb，logtc，又0，logtabc0，abc1.12已知a，b，c是ABC的三邊，且關(guān)

13、于x的方程x22xlg(c2b2)2lga10有等根，試判定ABC的形狀解關(guān)于x的方程x22xlg(c2b2)2lga10有等根，0，即44lg(c2b2)2lga10.即lg(c2b2)2lga0，故c2b2a2，a2b2c2，ABC為直角三角形22.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(一) 學(xué)習(xí)目標(biāo)1理解對(duì)數(shù)的概念，能進(jìn)行指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化2了解常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)的意義3理解對(duì)數(shù)恒等式并能用于有關(guān)對(duì)數(shù)的計(jì)算 自學(xué)導(dǎo)引1如果a(a>0且a1)的b次冪等于N，就是abN，那么數(shù)b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作blogaN，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)2對(duì)數(shù)的性質(zhì)有：(1)1的對(duì)數(shù)為零；(2)底的對(duì)數(shù)為1

14、；(3)零和負(fù)數(shù)沒有對(duì)數(shù)3通常將以10為底的對(duì)數(shù)叫做常用對(duì)數(shù)，以e為底的對(duì)數(shù)叫做自然對(duì)數(shù)，log10N可簡記為lgN，logeN簡記為lnN.4若a>0，且a1，則abN等價(jià)于logaNb.5對(duì)數(shù)恒等式：alogaNN(a>0且a1). 一、對(duì)數(shù)式有意義的條件例1求下列各式中x的取值范圍：(1)log2(x10)；(2)log(x1)(x2)；(3)log(x1)(x1)2.分析由真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1可得到關(guān)于x的不等式(組)，解之即可解(1)由題意有x10>0，x>10，即為所求(2)由題意有即x>1且x2.(3)由題意有解得x>1且x0，x1

15、.點(diǎn)評(píng)在解決與對(duì)數(shù)有關(guān)的問題時(shí)，一定要注意：對(duì)數(shù)真數(shù)大于零，對(duì)數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1.變式遷移1在blog(a2)(5a)中，實(shí)數(shù)a的取值范圍是()Aa>5或a<2B2<a<5C2<a<3或3<a<5 D3<a<4答案C解析由題意得，2<a<5且a3. 二、對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化例2將下列對(duì)數(shù)形式化成指數(shù)形式或?qū)⒅笖?shù)形式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)形式：(1)54625；(2)log83；(3)216; (4)log101 0003.分析利用axNxlogaN進(jìn)行互化解(1)54625，log56254.(2)log83，38.(3)216

16、，log162.(4)log101 0003，1031 000.點(diǎn)評(píng)指數(shù)和對(duì)數(shù)運(yùn)算是一對(duì)互逆運(yùn)算，在解題過程中，互相轉(zhuǎn)化是解決相關(guān)問題的重要途徑在利用axNxlogaN進(jìn)行互化時(shí)，要分清各字母分別在指數(shù)式和對(duì)數(shù)式中的位置變式遷移2將下列對(duì)數(shù)式化為指數(shù)式求x值：(1)logx27；(2)log2x；(3)log5(log2x)0; (4)xlog27；(5)xlog16.解(1)由logx27，得x27，x27329.(2)由log2x，得2x，x.(3)由log5(log2x)0，得log2x1，x212.(4)由xlog27，得27x，即33x32，x.(5)由xlog16，得x16，即2x

17、24，x4. 三、對(duì)數(shù)恒等式的應(yīng)用例3(1)alogab·logbc·logcN的值(a，b，cR，且不等于1，N>0)；(2)4(log29log25)解(1)原式(alogab)logbc·logcNblogbc·logcN(blogbc)logcNclogcNN.(2)原式2(log29log25).點(diǎn)評(píng)對(duì)數(shù)恒等式alogaNN中要注意格式：(1)它們是同底的；(2)指數(shù)中含有對(duì)數(shù)形式；(3)其值為真數(shù)變式遷移3計(jì)算：3log3()log3.解原式3log3(3log3).1一般地，如果a(a>0，a1)的b次冪等于N，就是abN，那么

18、b叫做以a為底N的對(duì)數(shù)，記作logaNb，其中a叫做對(duì)數(shù)的底數(shù)，N叫做真數(shù)2利用abNblogaN (其中a>0，a1，N>0)可以進(jìn)行指數(shù)與對(duì)數(shù)式的互化3對(duì)數(shù)恒等式：alogaNN(a>0且a1)一、選擇題1下列指數(shù)式與對(duì)數(shù)式互化不正確的一組是()A1001與lg10B27與log27Clog39與93Dlog551與515答案C2指數(shù)式b6a (b>0，b1)所對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)式是()Alog6aa Blog6baClogab6 Dlogba6答案D3若logx(2)1，則x的值為()A.2 B.2C.2或2 D2答案B4如果f(10x)x，則f(3)等于()Alog31

19、0 Blg3 C103 D310答案B解析方法一令10xt，則xlgt，f(t)lgt，f(3)lg3.方法二令10x3，則xlg3，f(3)lg3.521·log25的值等于()A2 B2C2 D1答案B解析21log252×2log252×2log252×52.二、填空題6若5lgx25，則x的值為_答案100解析5lgx52，lgx2，x102100.7設(shè)loga2m，loga3n，則a2mn的值為_答案12解析loga2m，loga3n，am2，an3，a2mna2m·an(am)2·an22×312.8已知lg60

20、.778 2，則102.778 2_.答案600解析102.778 2102×10lg6600.三、解答題9求下列各式中x的值(1)若log31，則求x值；(2)若log2 003(x21)0，則求x值解(1)log31，312x27，即x13(2)log2 003(x21)0x211，即x22x±10求x的值：(1)xlog4；(2)xlog9；(3)x71log75；(4)logx83；(5)logx4.解(1)由已知得：x4，2x22，2，x4.(2)由已知得：9x，即32x3.2x，x.(3)x7÷7log757÷5.(4)由已知得：x38，即3

21、23，2，x.(5)由已知得：x4.2.2.1對(duì)數(shù)與對(duì)數(shù)運(yùn)算(二) 學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)及其推導(dǎo)2能運(yùn)用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行化簡、求值和證明 自學(xué)導(dǎo)引1對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果a>0，a1，M>0，N>0，那么，(1)loga(MN)logaMlogaN；(2)logalogaMlogaN；(3)logaMnnlogaM(nR)2對(duì)數(shù)換底公式：logab. 一、正確理解對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)例1若a>0，a1，x>0，y>0，x>y，下列式子中正確的個(gè)數(shù)有()logax· logayloga (xy)；logaxlogayloga(xy)；logalo

22、gax÷logay；loga(xy)logax·logay.A0個(gè)B1個(gè)C2個(gè)D3個(gè)答案A解析對(duì)數(shù)的運(yùn)算實(shí)質(zhì)是把積、商、冪的對(duì)數(shù)運(yùn)算分別轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)的加、減、乘的運(yùn)算在運(yùn)算中要注意不能把對(duì)數(shù)的符號(hào)當(dāng)作表示數(shù)的字母參與運(yùn)算，如logaxloga·x，logax是不可分開的一個(gè)整體四個(gè)選項(xiàng)都把對(duì)數(shù)符號(hào)當(dāng)作字母參與運(yùn)算，因而都是錯(cuò)誤的點(diǎn)評(píng)正確理解對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式，是利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)公式解題的前提條件變式遷移1若a>0且a1，x>0，nN*，則下列各式正確的是()Alogaxloga B(logax)nnlogaxC(logax)nlogaxn Dlogaxlo

23、ga 答案A 二、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)的應(yīng)用例2計(jì)算：(1)log5352log5log57log51.8；(2)2(lg)2lg·lg5；(3)；(4)(lg5)2lg2·lg50.分析利用對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算解(1)原式log5(5×7)2(log57log53)log57log5log55log572log572log53log572log53log552log552.(2)原式lg(2lglg5)lg(lg2lg5)1lglg1lg1.(3)原式.(4)原式(lg5)2lg2·(lg22lg5)(lg5)22lg5·lg2(lg2)2(lg5lg2

24、)21.點(diǎn)評(píng)要靈活運(yùn)用有關(guān)公式注意公式的正用、逆用及變形使用變式遷移2求下列各式的值：(1)log5352loglog5log514；(2)(1log63)2log62·log618÷log64.解(1)原式log5(5×7)2log22log5(52×2)log5(2×7)1log5712log52log52log572.(2)原式log2log62·log6(3×6)÷log622log62(log62log631)÷(2log62)1. 三、換底公式的應(yīng)用例3(1)設(shè)3x4y36，求的值；(2)已知

25、log189a,18b5，求log3645.解(1)由已知分別求出x和y.3x36,4y36，xlog336，ylog436，由換底公式得：x，y，log363，log364，2log363log364log36(32×4)log36361.(2)log189a,18b5，log185b.log3645.點(diǎn)評(píng)指數(shù)式化為對(duì)數(shù)式后，兩對(duì)數(shù)式的底不同，但式子兩端取倒數(shù)后，利用對(duì)數(shù)的換底公式可將差異消除變式遷移3(1)設(shè)log34·log48·log8mlog416，求m；(2)已知log1227a，求log616的值解(1)利用換底公式，得··2，l

26、gm2lg3，于是m9.(2)由log1227a，得a，lg3，.log616.1對(duì)于同底的對(duì)數(shù)的化簡常用方法是：(1)“收”，將同底的兩對(duì)數(shù)的和(差)化成積(商)的對(duì)數(shù)；(2)“拆”，將積(商)的對(duì)數(shù)拆成對(duì)數(shù)的和(差)2對(duì)于常用對(duì)數(shù)的化簡要充分利用“l(fā)g5lg21”來解題3對(duì)于多重對(duì)數(shù)符號(hào)對(duì)數(shù)的化簡，應(yīng)從內(nèi)向外逐層化簡求值一、選擇題1lg83lg5的值為()A3 B1 C1 D3答案D解析lg83lg5lg8lg53lg1 0003.2已知lg2a，lg3b，則log36等于()A. B.C. D.答案B解析log36.3若lga，lgb是方程2x24x10的兩個(gè)根，則2的值等于()A2 B

27、. C4 D.答案A解析由根與系數(shù)的關(guān)系，得lgalgb2，lga·lgb，2(lgalgb)2(lgalgb)24lga·lgb224×2.4若2.5x1 000,0.25y1 000，則等于()A. B3 C D3答案A解析由指數(shù)式轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)式：xlog2.51 000，ylog0.251 000，則log1 0002.5log1 0000.25log1 00010.5設(shè)函數(shù)f(x)logax (a>0，且a1)，若f(x1x2x2 005)8，則f(x)f(x)f(x)的值等于()A4 B8 C16 D2loga8答案C解析因?yàn)閒(x)logax，f(

28、x1x2x2 005)8，所以f(x)f(x)f(x)logaxlogaxlogax2loga|x1|2loga|x2|2loga|x2 005|2loga|x1x2x2 005|2f(x1x2x2 005)2×816.二、填空題6設(shè)lg2a，lg3b，那么lg_.答案解析lglg1.8lglg(lg2lg91)(a2b1)7若logax2，logbx3，logcx6，則logabcx的值為_答案1解析logabcxlogax2，logbx3，logcx6logxa，logxb，logxc，logabcx1.8已知log630.613 1，log6x0.386 9，則x_.答案2解析

29、由log63log6x0.613 10.386 91.得log6(3x)1.故3x6，x2.三、解答題9求下列各式的值：(1)lglglg；(2)(lg5)22lg2(lg2)2.解(1)方法一原式(5lg22lg7)·lg2(2lg7lg5)lg2lg72lg2lg7lg5lg2lg5(lg2lg5)lg10.方法二原式lglg4lg7lglg(·)lg.(2)方法一原式(lg5lg2)(lg5lg2)2lg2lg10·lglg4lglg101.方法二原式(lg10lg2)22lg2lg2212lg2lg222lg2lg221.10若26a33b62c，求證：.

30、證明設(shè)26a33b62ck (k>0)，那么6·logk22×3logk3logk(26×36)6logk63×2logk6，即.22.2對(duì)數(shù)函數(shù)及其性質(zhì)1對(duì)數(shù)函數(shù)的概念形如ylogax (a>0且a1)的函數(shù)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)對(duì)于對(duì)數(shù)函數(shù)定義的理解，要注意：(1)對(duì)數(shù)函數(shù)是由指數(shù)函數(shù)變化而來的，由指數(shù)式與對(duì)數(shù)式關(guān)系知，對(duì)數(shù)函數(shù)的自變量x恰好是指數(shù)函數(shù)的函數(shù)值y，所以對(duì)數(shù)函數(shù)的定義域是(0，)；(2)對(duì)數(shù)函數(shù)的解析式y(tǒng)logax中，logax前面的系數(shù)為1，自變量在真數(shù)的位置，底數(shù)a必須滿足a>0，且a1；(3)以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為ylgx

31、，以e為底的對(duì)數(shù)函數(shù)為ylnx.2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)：a>10<a<1圖象性質(zhì)函數(shù)的定義域?yàn)?0，)，值域?yàn)?，)函數(shù)圖象恒過定點(diǎn)(1，0)，即恒有l(wèi)oga10當(dāng)x>1時(shí)，恒有y>0；當(dāng)0<x<1時(shí)，恒有y<0當(dāng)x>1時(shí)，恒有y<0；當(dāng)0<x<1時(shí)，恒有y>0函數(shù)在定義域(0，)上為增函數(shù)函數(shù)在定義域(0，)上為減函數(shù)3.指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)的關(guān)系比較名稱指數(shù)函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)解析式y(tǒng)ax (a>0，且a1)ylogax(a>0，且a1)定義域(，)(0，)值域(0，)(，)函數(shù)值變化情況a>1時(shí)，；0&

32、lt;a<1時(shí)，xa>1時(shí)，logax；0<a<1時(shí)，logax圖象必過定點(diǎn)點(diǎn)(0,1)點(diǎn)(1,0)單調(diào)性a>1時(shí)，yax是增函數(shù)；0<a<1時(shí)，yax是減函數(shù)a>1時(shí)，ylogax是增函數(shù)；0<a<1時(shí)，ylogax是減函數(shù)圖象yax的圖象與ylogax的圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱實(shí)際上，觀察對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象不難發(fā)現(xiàn)，對(duì)數(shù)函數(shù)中的值ylogmn有以下規(guī)律：(1)當(dāng)(m1)(n1)>0，即m、n范圍相同(相對(duì)于“1”而言)，則logmn>0；(2)當(dāng)(m1)(n1)<0，即m、n范圍相反(相對(duì)于“1”而言)，則logmn&l

33、t;0.有了這個(gè)規(guī)律，我們?cè)倥袛鄬?duì)數(shù)值的正負(fù)就很簡單了，如log2<0，log52>0等，一眼就看出來了！ 題型一求函數(shù)定義域求下列函數(shù)的定義域：(1)ylog3x1；(2)y (a>0，a1)分析定義域即使函數(shù)解析式有意義的x的范圍解(1)要使函數(shù)有意義，必須同時(shí)成立，解得x>1.定義域?yàn)?1，)(2)要使原函數(shù)有意義，需1loga(xa)>0，即loga(xa)<1logaa.當(dāng)a>1時(shí)，0<xa<a，a<x<0.當(dāng)0<a<1時(shí)，xa>a，x>0.當(dāng)a>1時(shí)，原函數(shù)定義域?yàn)閤|a<x<

34、;0；當(dāng)0<a<1時(shí)，原函數(shù)定義域?yàn)閤|x>0點(diǎn)評(píng)求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的定義域問題，首先要考慮：真數(shù)大于零，底數(shù)大于零且不等于1，若分母中含有x，還要考慮不能使分母為零 題型二對(duì)數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)log43，log34，log的大小順序?yàn)?)Alog34<log43<logBlog34>log43>logClog34>log>log43Dlog>log34>log43(2)若a2>b>a>1，試比較loga，logb ，logba，logab的大小(1)解析log34>1,0<log43<1，l

35、oglog11，log34>log43>log.答案B(2)解b>a>1，0<<1.loga<0，logb(0,1)，logba(0,1)又a>>1，且b>1，logb<logba，故有l(wèi)oga<logb<logba<logab.點(diǎn)評(píng)比較對(duì)數(shù)的大小，一般遵循以下幾條原則：如果兩對(duì)數(shù)的底數(shù)相同，則由對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性(底數(shù)a>1為增；0<a<1為減)比較如果兩對(duì)數(shù)的底數(shù)和真數(shù)均不相同，通常引入中間變量進(jìn)行比較如果兩對(duì)數(shù)的底數(shù)不同而真數(shù)相同，如yloga1x與yloga2x的比較(a1>0，a

36、11，a2>0，a21)當(dāng)a1>a2>1時(shí)，曲線y1比y2的圖象(在第一象限內(nèi))上升得慢即當(dāng)x>1時(shí)，y1<y2；當(dāng)0<x<1時(shí)，y1>y2.而在第一象限內(nèi)，圖象越靠近x軸對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大當(dāng)0<a2<a1<1時(shí)，曲線y1比y2的圖象(在第四象限內(nèi))下降得快即當(dāng)x>1時(shí)，y1<y2；當(dāng)0<x<1時(shí)，y1>y2即在第四象限內(nèi)，圖象越靠近x軸的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越小已知loga<1，那么a的取值范圍是_分析利用函數(shù)單調(diào)性或利用數(shù)形結(jié)合求解解析由loga<1logaa，得當(dāng)a>1時(shí)，顯然符合

37、上述不等式，a>1；當(dāng)0<a<1時(shí)，a<，0<a<.故a>1或0<a<.答案a>1或0<a<點(diǎn)評(píng)解含有對(duì)數(shù)符號(hào)的不等式時(shí)，必須注意對(duì)數(shù)的底數(shù)是大于1還是小于1，然后再利用相應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行解答理解會(huì)用以下幾個(gè)結(jié)論很有必要：(1)當(dāng)a>1時(shí)，logax>0x>1，logax<00<x<1；(2)當(dāng)0<a<1時(shí)，logax>00<x<1，logax<0x>1. 題型三函數(shù)圖象的應(yīng)用若不等式2xlogax<0，當(dāng)x時(shí)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值

38、范圍解要使不等式2x<logax在x時(shí)恒成立，即函數(shù)y=logax的圖象在內(nèi)恒在函數(shù)y=2x圖象的上方，而y=2x圖象過點(diǎn).由圖可知，loga>，顯然這里0<a<1，函數(shù)y=logax遞減又loga>=log，a>，即a>.所求的a的取值范圍為<a<1.點(diǎn)評(píng)原問題等價(jià)于當(dāng)x時(shí)，y1=2x的圖象在y2=logax的圖象的下方，由于a的大小不確定，當(dāng)a>1時(shí)，顯然y2<y1，因此a必為小于1的正數(shù)，當(dāng)y2的圖象通過點(diǎn)時(shí)，y2滿足條件，此時(shí)a=.那么a是大于a還是小于a才滿足呢？可以畫圖象觀察，請(qǐng)?jiān)囍嬕划嬤@樣可以對(duì)數(shù)形結(jié)合的方法有更

39、好地掌握設(shè)函數(shù)f(x)lg(ax22x1)，若f(x)的值域是R，求實(shí)數(shù)a的取值范圍錯(cuò)解f(x)的值域是R，ax22x1>0對(duì)xR恒成立，即a>1.錯(cuò)因分析出錯(cuò)的原因是分不清定義域?yàn)镽與值域?yàn)镽的區(qū)別正解函數(shù)f(x)lg(ax22x1)的值域是R真數(shù)tax22x1能取到所有的正數(shù)當(dāng)a0時(shí)，只要x>，即可使真數(shù)t取到所有的正數(shù)，符合要求；當(dāng)a0時(shí)，必須有0<a1.f(x)的值域?yàn)镽時(shí)，實(shí)數(shù)a的取值范圍為0,1本節(jié)內(nèi)容在高考中考查的形式、地位與指數(shù)函數(shù)相似，著重考查對(duì)數(shù)的概念與對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，考查指數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象、性質(zhì)及其應(yīng)用1(廣東高考)已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镸

40、，g(x)ln(1x)的定義域?yàn)镹，則MN等于()Ax|x>1Bx|x<1Cx|1<x<1 D解析由題意知Mx|x<1，Nx|x>1故MNx|1<x<1答案C2(湖南高考)下列不等式成立的是()Alog32<log23<log25Blog32<log25<log23Clog23<log32<log25Dlog23<log25<log32解析ylog2x在(0，)上是增函數(shù)，log25>log23>log221.又ylog3x在(0，)上為增函數(shù)，log32<log331.log32

41、<log23<log25.答案A3(全國高考)若x(e1,1)，alnx，b2lnx，cln3x，則()Aa<b<c Bc<a<bCb<a<c Db<c<a解析<x<1，1<lnx<0.令tlnx，則1<t<0.abt2tt>0.a>b.cat3tt(t21)t(t1)(t1)，又1<t<0，0<t1<1，2<t1<1，ca>0，c>a.c>a>b.答案C1已知函數(shù)f(x)的定義域?yàn)榧螹，g(x)ln(1x)的定義域?yàn)榧螻，

42、則MN等于()Ax|x>1 Bx|x<1C. D答案C2已知函數(shù)f(x)lg，若f(a)，則f(a)等于()A. B C2 D2答案B解析f(a)lglg1lgf(a).3已知alog23，blog32，clog42，則a，b，c的大小關(guān)系是()Ac<b<a Ba<b<cCb<c<a Dc<a<b答案A解析因?yàn)閍log23>1，blog3 2<1，所以a>b；又因?yàn)?>，則log32>log3，而log42log2，所以b>，c，即b>c.從而a>b>c.4函數(shù)f(x)lg|x|為

43、()A奇函數(shù)，在區(qū)間(0，)上是減函數(shù)B奇函數(shù)，在區(qū)間(0，)上是增函數(shù)C偶函數(shù)，在區(qū)間(，0)上是增函數(shù)D偶函數(shù)，在區(qū)間(，0)上是減函數(shù)答案D解析已知函數(shù)定義域?yàn)?，0)(0，)，關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對(duì)稱，且f(x)lg|x|lg|x|f(x)，所以它是偶函數(shù)又當(dāng)x>0時(shí)，|x|x，即函數(shù)ylg|x|在區(qū)間(0，)上是增函數(shù)又f(x)為偶函數(shù)，所以f(x)lg|x|在區(qū)間(，0)上是減函數(shù)5函數(shù)yax與ylogax (a>0，且a1)在同一坐標(biāo)系中的圖象只可能為()答案A解析方法一若0<a<1，則曲線yax下降且過(0,1)，而曲線ylogax上升且過(1,0)；若a>

44、;1，則曲線yax上升且過(0,1)，而曲線ylogax下降且過(1,0)只有選項(xiàng)A滿足條件方法二注意到y(tǒng)logax的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱的圖象的表達(dá)式為ylogax，又ylogax與yax互為反函數(shù)(圖象關(guān)于直線yx對(duì)稱)，則可直接選定選項(xiàng)A.6設(shè)函數(shù)f(x)log2a(x1)，若對(duì)于區(qū)間(1,0)內(nèi)的每一個(gè)x值都有f(x)>0，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(0，) B.C. D.答案D解析已知1<x<0，則0<x1<1，又當(dāng)1<x<0時(shí)，都有f(x)>0，即0<x1<1時(shí)都有f(x)>0，所以0<2a<1，即0<

45、a<.7若指數(shù)函數(shù)f(x)ax (xR)的部分對(duì)應(yīng)值如下表：x202f(x)0.69411.44則不等式loga(x1)<0的解集為_答案x|1<x<2解析由題可知a1.2，log1.2(x1)<0，log1.2(x1)<log1.21，解得x<2，又x1>0，即x>1，1<x<2.故原不等式的解集為x|1<x<28函數(shù)ylogax (1x2)的值域?yàn)?,0，那么a的值為_答案解析若a>1，則函數(shù)ylogax在區(qū)間1,2上為增函數(shù)，其值域不可能為1,0；故0<a<1，此時(shí)當(dāng)x2時(shí)，y取最小值1，即l

46、oga21，得a12，所以a.9已知函數(shù)f(x)是實(shí)數(shù)集R上的減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)a的取值范圍為_答案解析函數(shù)f(x)為實(shí)數(shù)集R上的減函數(shù)，一方面，0<a<1且3a1<0，所以0<a<，另一方面，由于f(x)在R上為減函數(shù)，因此應(yīng)有(3a1)×14aloga 1，即a.因此滿足題意的實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<.10已知f(x)1log2x (1x4)，求函數(shù)g(x)f2(x)f(x2)的最大值和最小值解f(x)的定義域?yàn)?,4，g(x)的定義域?yàn)?,2g(x)f2(x)f(x2)(1log2x)2(1log2x2)(log2x2)22，又1x2，0log2

47、x1.當(dāng)x1時(shí)，g(x)min2；當(dāng)x2時(shí)，g(x)max=7. 學(xué)習(xí)目標(biāo)1掌握對(duì)數(shù)函數(shù)的概念、圖象和性質(zhì)2能夠根據(jù)指數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)得出對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象和性質(zhì)，把握指數(shù)函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)關(guān)系的實(shí)質(zhì) 自學(xué)導(dǎo)引1對(duì)數(shù)函數(shù)的定義：一般地，我們把函數(shù)ylogax(a>0，且a1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，)2對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)定義ylogax (a>0，且a1)底數(shù)a>10<a<1圖象定義域(0，)值域R單調(diào)性在(0，)上是增函數(shù)在(0，)上是減函數(shù)共點(diǎn)性圖象過點(diǎn)(1,0)，即loga10函數(shù)值特點(diǎn)x(0,1)時(shí)，y(，0)；x1，)時(shí)，y0，)x

48、(0,1)時(shí)，y(0，)；x1，)時(shí)，y(，0對(duì)稱性函數(shù)ylogax與ylogx的圖象關(guān)于x軸對(duì)稱3.反函數(shù)對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax (a>0且a1)和指數(shù)函數(shù)yax_(a>0且a1)互為反函數(shù) 一、對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象例1下圖是對(duì)數(shù)函數(shù)ylogax的圖象，已知a值取，則圖象C1，C2，C3，C4相應(yīng)的a值依次是() A. B CD答案A解析方法一因?yàn)閷?duì)數(shù)的底數(shù)越大，函數(shù)的圖象越遠(yuǎn)離y軸的正方向，所以C1，C2，C3，C4的a值依次由大到小，即C1，C2，C3，C4的a值依次為.方法二過(0,1)作平行于x軸的直線，與C1，C2，C3，C4的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為(a1,1)，(a2,1)，(a3,

49、1)，(a4,1)，其中a1，a2，a3，a4分別為各對(duì)數(shù)的底，顯然a1>a2>a3>a4，所以C1，C2，C3，C4的底值依次由大到小點(diǎn)評(píng)函數(shù)y=logax (a>0，且a1)的底數(shù)a的變化對(duì)圖象位置的影響如下：上下比較：在直線x=1的右側(cè)，底數(shù)大于1時(shí)，底數(shù)越大，圖象越靠近x軸；底數(shù)大于0且小于1時(shí)，底數(shù)越小，圖象越靠近x軸左右比較：(比較圖象與y=1的交點(diǎn))交點(diǎn)的橫坐標(biāo)越大，對(duì)應(yīng)的對(duì)數(shù)函數(shù)的底數(shù)越大變式遷移1借助圖象比較m，n的大小關(guān)系：(1)若logm5>logn5，則mn；(2)若logm0.5>logn0.5，則mn.答案(1)<(2)&g

50、t; 二、求函數(shù)的定義域例2求下列函數(shù)的定義域：(1)y；(2)y；(3)ylog(x1)(2x)分析定義域即使函數(shù)解析式有意義的x的范圍解(1)該函數(shù)是奇次根式，要使函數(shù)有意義，只要對(duì)數(shù)的真數(shù)是正數(shù)即可，定義域是x|x>0(2)要使函數(shù)y有意義，必須log0.5(4x3)0log0.51，0<4x31.解得<x1.定義域是.(3)由，得即0<x<2或1<x<0，所求定義域?yàn)?1,0)(0,2)點(diǎn)評(píng)求與對(duì)數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)定義域時(shí)，除遵循前面已學(xué)習(xí)過的求函數(shù)定義域的方法外，還要對(duì)這種函數(shù)自身有如下要求：一是要特別注意真數(shù)大于零；二是要注意對(duì)數(shù)的底數(shù)；三是

51、按底數(shù)的取值應(yīng)用單調(diào)性，有針對(duì)性的解不等式變式遷移2求y(a>0，a1)的定義域解loga(4x3)0.(*)當(dāng)a>1時(shí)，(*)可化為loga(4x3)loga1，4x31，x1.當(dāng)0<a<1時(shí)，(*)可化為loga(4x3)loga1，0<4x31，<x1.綜上所述，當(dāng)a>1時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)?，)，當(dāng)0<a<1時(shí)，函數(shù)定義域?yàn)? 三、對(duì)數(shù)函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用例3比較大小：(1)log0.81.5與log0.82；(2)log35與log64.分析從比較底數(shù)、真數(shù)是否相同入手解(1)考查對(duì)數(shù)函數(shù)ylog0.8x在(0，)內(nèi)是減函數(shù)，1.5<2，log0.81.5>log0.82.(2)log35和log64的底數(shù)和真數(shù)都不相同，找出中間