多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t

1、山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分第四節(jié)多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂)(),(ttfz一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t一、多元復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t定理定理. 若函數(shù),)(, )(可導(dǎo)在點ttvtu),(vufz 處偏導(dǎo)連續(xù), ),(vu在點在點 t 可導(dǎo), tvvztuuztzddddddz則復(fù)合函數(shù)證證: 設(shè) t 取增量t ,vvzuuzz)()(22vu)(o則相應(yīng)中間變量且有鏈?zhǔn)椒▌tvutt有增量u ,v ,山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂,0t令,0,0vu則有to)( 全導(dǎo)數(shù)公式全導(dǎo)

2、數(shù)公式 )tvvztuuztzto)(zvutt)()(22vu )(o )()(22tvtu0(t0 時,根式前加“”號)tvtvtutudd,ddtvvztuuztzdddddd山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂推廣推廣:1) 中間變量多于兩個的情形. 例如, ),(wvufz 設(shè)下面所涉及的函數(shù)都可微 .tzdd321fff2) 中間變量是多元函數(shù)的情形.例如,),(, ),(, ),(yxvyxuvufzxz1211ff2221ffyzzzwvuvuyxyxttttuuzddtvvzddtwwzddxuuzxvvzyuuzyvvz)(, )(, )(twtvtu山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等

3、數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂又如,),(, ),(yxvvxfz當(dāng)它們都具有可微條件時, 有xz121ffyz22 ffz xyx注意注意: 這里xzxfxz表示固定 y 對 x 求導(dǎo),xf表示固定 v 對 x 求導(dǎo)口訣口訣 : 分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)xfxvvfyvvf與不同,v山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例1. 設(shè)設(shè),sinyxvyxuvezu.,yzxz求解解:xzveusin)cos()sin(yxyxyeyxyz)cos()sin(yxyxxeyxveusinxuuzxvvzveucosyuuzyvvzveucosy1 x1 zvuyxyx山東農(nóng)業(yè)大學(xué)

4、高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例2.,sin,),(2222yxzezyxfuzyxyuxu,求解解:xu2222zyxexyxyxeyxx2422sin22)sin21(2zyxyxuyu2222zyxeyyxyxeyyxy2422sin4)cossin(2xfxzzf2222zyxezyfyzzf2222zyxezyxsin2yx cos2山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂例例3. 設(shè) ,sintvuz.ddtzztvutttzddtevtttetcos)sin(costuuzddtvvzddtz求全導(dǎo)數(shù),teu ,costv 解解:tusintcos注意：多元抽象復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)在偏微分

5、方程變形與驗證解的問題中經(jīng)常遇到, 下列例題有助于掌握這方面問題的求導(dǎo)技巧與常用導(dǎo)數(shù)符號.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂為簡便起見 , 引入記號,2121vuffuff ),(1zyxzyxf例例4. 設(shè) f 具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù), ),(zyxzyxfw求.,2zxwxw解解: 令,zyxvzyxuxwwvuzyxzyx),(vufw 11 fzyf 2),(2zyxzyxfzy則zxw2111 f22221211)(fyfzyxfzxyf yxf 122fy zy121 fyxf 2221,ff山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂練習(xí) 1. 設(shè)xuy11f 11fyyu1f )

6、(2yx2f z1zu2f )(2zy2121fzfyx22fzyzyyxfu,求偏導(dǎo)數(shù)。山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂1f xzye1f 2f yxz2ye11f yex2ye13f yex21f 23f 練習(xí)2 設(shè)yexuyxufz, ),(求zx2zx y 山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分二、多元復(fù)合函數(shù)的全微分設(shè)函數(shù)),(, ),(, ),(yxvyxuvufz的全微分為yyzxxzzdddxxvvzxuuzd)(yyvvzyuuzd)(uzvzuz可見無論 u , v 是自變量還是中間變量, )dd(yyuxxu)dd(yyvxxv則復(fù)合函數(shù)

7、) (fz ),(, ),(yxyxudvzvd都可微, 其全微分表達(dá) 形式都一樣, 這性質(zhì)叫做全微分形式不變性全微分形式不變性.山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂 )cos( )sin(yxyxeyx例例1 .,sinyxvyxuvezu.,yzxz求例例 5. 利用全微分形式不變性再解例1. 解解:) (dd zuveudsin)cos()sin(yxyxyeyx)cos()sin(yxyxyexzyx)cos()sin(yxyxxeyzyx所以veusinvveudcos )cos( )sin(yxyxeyx)(dyx)(dyx )cos()sin(yxyxxeyx)d(dyx xdyd)dd(yxxy山東農(nóng)業(yè)大學(xué) 高等數(shù)學(xué) 主講人： 蘇本堂內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)1. 復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)的鏈?zhǔn)椒▌t“分段用乘, 分叉用加, 單路全導(dǎo), 叉路偏導(dǎo)”例如例如, ),(, ),(yxvvyxfuuvyxyxxu1f 3f;1yu2f 3f22. 全微分形