初中數(shù)學(xué)思想的例題

1、淮南市2009年數(shù)學(xué)學(xué)科參評(píng)論文初中數(shù)學(xué)思想的例題淺談作者 宮明星 單位 淮南十一中電話摘要】教學(xué)中教會(huì)學(xué)生建立數(shù)學(xué)思想，掌握思想方法，可以使學(xué)生在解題時(shí)，尋求出已知和未知的聯(lián)系，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力，從而使學(xué)習(xí)的思維品質(zhì)和能力有所提高。數(shù)學(xué)思想方法的滲透、展現(xiàn)是借助于數(shù)學(xué)知識(shí)、技能這些載體的，離開(kāi)了具體內(nèi)容，是無(wú)法向?qū)W生滲透、傳授數(shù)學(xué)思想方法的?！娟P(guān)鍵詞】數(shù)學(xué)思想； 分析能力； 指導(dǎo)作用數(shù)學(xué)課的教學(xué)，是使學(xué)生獲得基礎(chǔ)知識(shí)和技能，從而形成解決問(wèn)題的能力的過(guò)程。而在此過(guò)程中，數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)，直接影響了學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的質(zhì)量和水準(zhǔn)。初中數(shù)學(xué)的教學(xué)就是要使學(xué)生獲得知識(shí)技能和一

2、些數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的基本思想，從而為接受更高教育的學(xué)習(xí)做好準(zhǔn)本備。初中學(xué)生的理解和接受能力是比較有限的，所以教學(xué)中所涉及到的數(shù)學(xué)思想也是普遍和易懂的。在數(shù)學(xué)思想的培養(yǎng)過(guò)程中，幾乎沒(méi)有哪位數(shù)學(xué)教師單純?yōu)榱私淌跀?shù)學(xué)思想而刻意單獨(dú)作文字闡述，而基本上是在一些特定的情境或者以例題、習(xí)題為載體，通過(guò)解決問(wèn)題或者解答題目逐步滲透數(shù)學(xué)思想。從而通過(guò)較長(zhǎng)一段時(shí)間的該方式的教學(xué)，使學(xué)生能夠形成以一定的思想為指導(dǎo)解決問(wèn)題的方法。教學(xué)中教會(huì)學(xué)生建立數(shù)學(xué)思想，掌握思想方法，可以使學(xué)生在解題時(shí)，尋求出已知和未知的聯(lián)系，提高學(xué)生分析問(wèn)題的能力，從而使學(xué)習(xí)的思維品質(zhì)和能力有所提高。或許直到初三畢業(yè)，好多學(xué)生也不能敘述到底有哪些數(shù)學(xué)

3、思想，也說(shuō)不出某某數(shù)學(xué)思想到底是什么含義，但是他們能夠?qū)芏嗬}或者習(xí)題的內(nèi)容加以分析，進(jìn)而利用長(zhǎng)期鍛煉出來(lái)的數(shù)學(xué)思想來(lái)解決，這就是培養(yǎng)數(shù)學(xué)思想最樸素的目的。下面，筆者對(duì)初中所涉及的幾種基本數(shù)學(xué)思想舉例說(shuō)明。一 符號(hào)思想例1、根據(jù)下表中的規(guī)律，從左到右的空格中應(yīng)依次填寫的數(shù)字是（ ）000110010111001101A100，011B011，100C011，101D101，110解析:從表格中圖形與相應(yīng)代表的數(shù)之間關(guān)系可以發(fā)現(xiàn)代表0、1的圖形，選B.例2、已知：，若 符合前面式子的規(guī)律， 則 a + b = 解析：觀察已知的四個(gè)等式我們發(fā)現(xiàn)：等式的左邊是一個(gè)整數(shù)與分?jǐn)?shù)的和，且整數(shù)與分?jǐn)?shù)的分子

4、相同，分?jǐn)?shù)的分母等于整數(shù)的平方減1，等式的右邊是左邊的整數(shù)的平方與左邊的分?jǐn)?shù)的積，從上述規(guī)律可以得到式子中，所以.評(píng)注：這種題形式多樣，學(xué)生感到熟悉又易于理解，具有較強(qiáng)的探索性，求解過(guò)程反映了課程標(biāo)準(zhǔn)所倡導(dǎo)的數(shù)學(xué)活動(dòng)方式觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理等.因此既要重視基礎(chǔ)知識(shí)的學(xué)習(xí)，又要加強(qiáng)此種題型的訓(xùn)練和研究，切實(shí)提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力.二 整體思想整體思想方法是指用“集成”的眼光，把某些式子或圖形看成一個(gè)整體，把握已知和所求之間的關(guān)聯(lián)，進(jìn)行有目的、有意識(shí)的整體處理來(lái)解決問(wèn)題的方法.利用整體思想往往能夠避免局部思考帶來(lái)的困惑.例3 解方程組分析：如果選用代入法解答，比如由得，x= ,再代入，得2

5、003×（）+2002y=2004解答起來(lái)十分麻煩. 如果選用加減法，比如，×2003- ×2002，可以消去x，得2003×2003y-2002×2002y=2001×2003- 2004×2002形式也很復(fù)雜，不易求解. 注意到兩個(gè)方程的系數(shù)正好對(duì)調(diào)這一特征，先將兩方程相加，+，得4005x + 4005y = 4005化簡(jiǎn)，得 x+y=1 再將兩方程相減， - ，得 -x + y = - 3即 x-y=3 由、組成方程組，得解這個(gè)方程組得.例4 如圖，矩形ABCD被兩條對(duì)角線分成四個(gè)小三角形，如果四個(gè)小三角形的周長(zhǎng)的和

6、為86cm，一條對(duì)角線長(zhǎng)是13cm，那么矩形的面積是多少？ABCDO分析 本題要求矩形的面積，根據(jù)面積公式S=AB·BC,只需求出AB·BC即可。解 根據(jù)題意，有AB+BC+CD+DA=86-2（AC+BD）=86-4×13=34.AB+BC=17.兩邊平方，得AB+2AB·BC+BC=289,又AB+BC=AC=169,兩式相減，得2AB·BC=120,AB·BC=60（）.整體思想在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用，不僅僅局限于上述的類型，還涉及到其他的各種題型，只有通過(guò)不斷地挖掘、歸納、提煉，才能更好地把握整體思想的本質(zhì)和規(guī)律，從而使問(wèn)題迎刃而

7、解。三 數(shù)形結(jié)合思想數(shù)和形是初中數(shù)學(xué)中被研究得最多的對(duì)象，數(shù)形結(jié)合是一種極富數(shù)學(xué)特點(diǎn)的信息轉(zhuǎn)換，它通過(guò)形理解數(shù)，利用形的直觀加深對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解；通過(guò)數(shù)理解形，利用數(shù)的抽象性加深對(duì)圖形位置關(guān)系的理解，即圖形位置問(wèn)題的坐標(biāo)化，數(shù)量關(guān)系圖形化。例5 已知正比例函數(shù)的圖象與反比例函數(shù)（為常數(shù)，）的圖象有一個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)；若點(diǎn)，是反比例函數(shù)圖象上的兩點(diǎn)，且，試比較的大小分析與解答：（1）由由交點(diǎn)橫坐標(biāo)的含義可得方程組消去字母y，得，解得所以正比例函數(shù)的表達(dá)式為，反比例函數(shù)的表達(dá)式為要求兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)坐標(biāo)，只須在得出的函數(shù)解析式基礎(chǔ)上畫出圖象（反比例函數(shù)的圖象分別在第一、

8、三象限內(nèi)的雙曲線，正比例函數(shù)的圖象是經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的一條直線）由題知交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2即可求出縱坐標(biāo)也是2即為（2，2），由圖象的關(guān)于原點(diǎn)成中心對(duì)稱可得另一交點(diǎn)為所以兩函數(shù)圖象交點(diǎn)的坐標(biāo)為（2，2），（2）利用上問(wèn)中所畫圖形得反比例函數(shù)的圖象的的值隨值的增大而減小，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，所以借助“形”的幾何直觀來(lái)闡明“數(shù)”之間的某種關(guān)系能使問(wèn)題簡(jiǎn)單。這類問(wèn)題常把函數(shù)、方程、不等式聯(lián)系起來(lái).四 化歸思想 所謂化歸思想，就是指對(duì)于那些數(shù)學(xué)問(wèn)題難以求解時(shí)，我們可以根據(jù)問(wèn)題的性質(zhì)、條件和關(guān)系，采取適當(dāng)?shù)姆椒ò演^困難的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為較簡(jiǎn)單的或早已熟悉的問(wèn)題來(lái)進(jìn)行解答。例6 如圖，“回”字形的道路寬為1米，整個(gè)

9、“回”字形的長(zhǎng)為8米，寬為7米，一個(gè)人從入口點(diǎn)A沿著道路中央走到終點(diǎn)B，他共走了 .8米7米BA思路和解答 假設(shè)拖把的寬度是1米，某服務(wù)員拿著拖把沿著小路向前推，那人走遍小路相當(dāng)于把整塊場(chǎng)地拖完了，而拖1的場(chǎng)地相當(dāng)于那人向前走了1米，整塊場(chǎng)地面積是7×8=56（），所以那人從A走到B共走了56米，這樣我們就把求線段長(zhǎng)度問(wèn)題化歸成求面積問(wèn)題了。下面是一個(gè)化幾何問(wèn)題為代數(shù)問(wèn)題的例題例7 如圖，是一塊在電腦屏幕上出現(xiàn)的矩形色塊圖，由6個(gè)顏色不同的正方形組成，設(shè)中間最小一個(gè)正方形邊長(zhǎng)為1，則這個(gè)矩形色塊圖的面積為 .思路和解答 設(shè)次小正方形邊長(zhǎng)為x，則其余正方形的邊長(zhǎng)依次為1+x,2+x,3

10、+x,根據(jù)題意得：（2+x+3+x）（3+x+x）-【（3+x）+（2+x）+（1+x）+2x】=1，解得x=4.所以矩形色塊圖的面積為13×11=143.注：如果對(duì)待這個(gè)問(wèn)題時(shí)只考慮幾何的面積求法，很容易陷入分別求邊長(zhǎng)的死胡同，從而一籌莫展，這里采用代數(shù)考慮，將問(wèn)題用一個(gè)方程表達(dá)出來(lái)，進(jìn)而求出次小正方形的邊長(zhǎng)，進(jìn)而求得解。這里又包含了整體思想、方程思想.五 換元思想例8 分解因式（x2-3x+2）(x2-3x-4)-72分析：注意題目的形式特征，把某一部分（比如x2-3x+2）看作一個(gè)整體，運(yùn)用整體換元，把原方程化為形如x2+px+q的二次三項(xiàng)式，進(jìn)一步用十字相乘法，最后注意分解要

11、徹底。設(shè)x2-3x+2=t 則（x2-3x+2）(x2-3x-4)-72=t（t-6）-72=t-6t-72=（t+6）（t-12）= (x2-3x+2+6)（x2-3x+2-12）=（x2-3x+8）（x2-3x-10）=（x2-3x+8）（x-5）（x+2）. 如果把（x2-3x+2）與(x2-3x-4)相乘，將得到一個(gè)四次多項(xiàng)式，這時(shí)再分解就困難了。例9 解方程3x2-6x-2+4=0分析：如果先移項(xiàng)，兩邊平方，方程變形為一個(gè)四次方程，題目就難解了注意到，3（x2-2x），設(shè)為y,原方程變形為3y2-2y-8=0,再?gòu)闹薪獾脃回代得x。六 分類思想分類思想是根據(jù)所研究的對(duì)象相同點(diǎn)和不同點(diǎn)

12、區(qū)分不同類型的數(shù)學(xué)思想方法.例10 甲、乙兩人分別從相距30km的A、B兩地同時(shí)相向而行，經(jīng)過(guò)3h后相距3km，再經(jīng)過(guò)2h，甲到B地所剩的路程是乙到A地所剩路程的2倍，求甲、乙兩人的速度。解：（1）當(dāng)3h后甲、乙兩人未相遇時(shí)，設(shè)甲的速度為xkm/h，乙的速度為ykm/h，則，解得 ，甲的速度為4Km/h，乙的速度為5Km/h。（2）當(dāng)3h后甲、乙兩人已相遇時(shí)，設(shè)甲的速度為xkm/h，乙的速度為ykm/h，則，解得 ，甲的速度為16/3Km/h，乙的速度為17/3Km/h。答：甲的速度為4Km/h，乙的速度為5Km/h 或甲的速度為16/3Km/h，乙的速度為17/3Km/h。這是一個(gè)比較簡(jiǎn)單的分類討論的題目，在分類中做到細(xì)心縝密，考慮周全，才能夠不遺漏兩外一種情況。以上是筆者簡(jiǎn)單列舉初中數(shù)學(xué)所涉幾個(gè)基本思想，教學(xué)中積極引導(dǎo)學(xué)生思考問(wèn)題的方法，盡量能夠讓學(xué)生在多次的訓(xùn)練中找到相同的思想，事實(shí)上，這也是一種數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想，歸納和類比的思想.數(shù)學(xué)思想方法