《傅立葉變換》

1、1積分變換第八章第八章 Fourier變換變換Recall: 周期函數(shù)在一定條件下可以展開為Fourier級(jí)數(shù)；但全直線上的非周期函數(shù)不能有Fourier表示；引進(jìn)類似于Fourier級(jí)數(shù)的Fourier積分 (周期趨于無窮時(shí)的極限形式)21 Fourier積分公式1.1 Recall: 在工程計(jì)算中, 無論是電學(xué)還是力學(xué), 經(jīng)常要和隨時(shí)間而變的周期函數(shù)fT(t)打交道. 例如:具有性質(zhì)fT(t+T)=fT(t), 其中T3 最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)。人們發(fā)現(xiàn)最常用的一種周期函數(shù)是三角函數(shù)。人們發(fā)現(xiàn), 所有所有的工程中使用的周期函數(shù)都可以用一系列的三角函數(shù)的的工程中使用的周期函數(shù)都可以用

2、一系列的三角函數(shù)的線性組合來逼近線性組合來逼近.- Fourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)方波4個(gè)正弦波的逼近100個(gè)正弦波的逼近401( ),2 2Dirichlet( )( )( )Fourier( )cossin2TTTTTnnnT TftTftftfttaftan tbn t為周期函數(shù)，在上滿足條件：連續(xù)或僅有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)；僅有有限個(gè)極值點(diǎn)則可展開為級(jí)數(shù)，且在連續(xù)點(diǎn) 處成立： 研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周研究周期函數(shù)實(shí)際上只須研究其中的一個(gè)周期內(nèi)的情況即可期內(nèi)的情況即可, 通常研究在閉區(qū)間通常研究在閉區(qū)間 T/2,T/2內(nèi)內(nèi)函數(shù)變化的情況函數(shù)變化的情況.522222,2( )cos0,

3、1,2,2( )sin1,2,TnTTTnTTTaftn tdt nTbftn tdt nT其中01(0)(0)cossin22TTnnntaftftan tbn t在間斷點(diǎn) 處成立：引進(jìn)復(fù)數(shù)形式：ieetneetntintintintin2sin,2cos61010222222ntinnntinnnntintinntintinneibaeibaaieebeeaa級(jí)數(shù)化為：20002222222221,( )22211( ) cossin( )11( ) cossin( )1,2,()TnnnnnnTTTTin tnTTTTTTin tnTTnTTnnaaibaibccdcft dtTcftn

4、 tin t dtf tedtTTdftn tin t dtf tedtcTTncc令則7221( )0, 1, 2,Tin tnTTcft edt nT 合并為：221( )Tin tinin tnTTnnc efedeT 級(jí)數(shù)化為：ncF n Tnftc的離散頻譜； argTnftc的離散振幅頻譜； .Tftn 的離散相位頻譜；8 對(duì)任何一個(gè)非周期函數(shù)f (t)都可以看成是由某個(gè)周期函數(shù)fT(t)當(dāng)T時(shí)轉(zhuǎn)化而來的. 作周期為T的函數(shù)fT(t), 使其在T/2,T/2之內(nèi)等于f (t), 在T/2,T/2之外按周期T延拓到整個(gè)數(shù)軸上, 則T越大, fT(t)與f (t)相等的范圍也越大, 這

5、就說明當(dāng)T時(shí), 周期函數(shù)fT(t)便可轉(zhuǎn)化為f (t), 即有l(wèi)im( )( )TTftf t9例 矩形脈沖函數(shù)為1| | 1( )0| | 1tf tt如圖所示:11otf (t)110 現(xiàn)以f (t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為T的周期函數(shù)fT(t), 令T=4, 則2,2422, )4()(4nnTntftfnn113T=4f4(t)t11則), 2, 1, 0()sinc(21sin2141114141)(41)(11122422neejejdtedtetfdtetfTcnnnjjntjntjtjtjTnnnnnnTTn12sinc函數(shù)介紹0sinsincsinc( )sin0,lim1sins

6、inc(0)1,1,0 xxxxxxxxxx函數(shù)定義為嚴(yán)格講函數(shù)在處是無定義的 但是因?yàn)樗远x用不嚴(yán)格的形式就寫作則函數(shù)在整個(gè)實(shí)軸連續(xù)。sinc(x)x13前面計(jì)算出以豎線標(biāo)在頻率圖上可將nnnncnTnnnc,22), 2, 1, 0()sinc(2114 現(xiàn)在將周期擴(kuò)大一倍, 令T=8, 以f(t)為基礎(chǔ)構(gòu)造一周期為8的周期函數(shù)f8(t)4,4822, )8()(8nnTntftfnn117T=8f8(t)t15則), 2, 1, 0()sinc(41sin4181118181)(81)(11144822neejejdtedtetfdtetfTcnnnjjntjntjtjtjTnnnnn

7、nTTn16則在T=8時(shí),以豎線標(biāo)在頻率圖上再將nnnncnnnnc,482), 2, 1, 0()sinc(4117如果再將周期增加一倍, 令T=16, 可計(jì)算出以豎線標(biāo)在頻率圖上再將nnnncnnnnc,8162), 2, 1, 0()sinc(811819202122()( )( )( )nTiiTnTTFfedfedFT 1( )( )2i tf tFe d由定積分定義（注：積分限對(duì)稱）.1( )( )2ii tf tfede d即 f t 付氏積分公式22(Fourier)( )Dirichlet1( )2( )(0)(0)2ii tf tfede df ttf tf tt 定理積分

8、存在定理 若在任何有限區(qū)間上滿足條件，且在，絕對(duì)可積，則為連續(xù)點(diǎn)；為間斷點(diǎn)。232 Fourier變換2.1 Fourier變換的定義，已知： dedeftftii)(21)( )( )()( )Fourier ( )i tFf t edtf tf t實(shí)自變量的復(fù)值函數(shù)稱為的變換，記為。F11( )( )Fourier2 ( ).i tFe dFF稱為的逆變換，記為F24( )( )Fourier( )( )f tFf tF ：一一對(duì)應(yīng)，稱為一組變換對(duì)。稱為原像函數(shù)，稱為像函數(shù)。11 ( )( ), ( )( ) ( )( ), ( )( )f tFFf tFf tf tF在一定條件下，成立若

9、則；若則FFFF25 在頻譜分析中在頻譜分析中, 傅氏變換傅氏變換F( )又稱為又稱為f(t)的頻的頻譜密度函數(shù)（頻譜）譜密度函數(shù)（頻譜）, 而它的模而它的模|F( )|稱為稱為f (t)的振的振幅譜幅譜. 對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)對(duì)一個(gè)時(shí)間函數(shù)f (t)作傅氏變換作傅氏變換, 就是求這個(gè)就是求這個(gè)時(shí)間函數(shù)時(shí)間函數(shù)f (t)的頻譜的頻譜. F f tF的頻譜密度函數(shù)； argf tF的振幅頻譜； f t 的相位頻譜。26例 1 求矩形脈沖函數(shù) 的付氏變換。1,1( )0,1tf tt1111( )( )12sini ti ti tiieFf t edtedtieei 270,0( )e,0,0.ttf

10、tt例2 求指數(shù)衰減函數(shù)的傅氏變換及其積分表達(dá)式 其中tf (t)jj(j)2200( )( )ed1jeededjttttFf tttt282.2 單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換 在物理和工程技術(shù)中在物理和工程技術(shù)中, 常常會(huì)碰到單位脈沖常常會(huì)碰到單位脈沖函數(shù)函數(shù). 因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì)因?yàn)橛性S多物理現(xiàn)象具有脈沖性質(zhì), 如在如在電學(xué)中電學(xué)中, 要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢要研究線性電路受具有脈沖性質(zhì)的電勢作用后產(chǎn)生的電流作用后產(chǎn)生的電流; 在力學(xué)中在力學(xué)中, 要研究機(jī)械系統(tǒng)要研究機(jī)械系統(tǒng)受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等受沖擊力作用后的運(yùn)動(dòng)情況等. 研究此類問題就研究此類問題就會(huì)產(chǎn)生我們要

11、介紹的單位脈沖函數(shù)會(huì)產(chǎn)生我們要介紹的單位脈沖函數(shù).29簡單定義：1)()2(0)(0)1(dtttt時(shí)， 可將可將 -函數(shù)用一個(gè)長度等于函數(shù)用一個(gè)長度等于1的有向線段表示的有向線段表示, 這個(gè)線段的長度表示這個(gè)線段的長度表示 -函數(shù)的積分值函數(shù)的積分值, 稱為稱為 -函數(shù)函數(shù)的強(qiáng)度的強(qiáng)度.tO (t)130-函數(shù)有性質(zhì)： 00( ) ( )d(0)() ( )d( ).t f ttfttf ttf tf t及（為連續(xù)函數(shù)）處連續(xù)，則上的有界函數(shù)，且在是定義在實(shí)數(shù)、設(shè)0)(1tRtf)()(2tt函數(shù)為偶函數(shù)，即、).()(),()(0, 00, 1)()(3tdttdutudtttttutut

12、則有為單位階躍函數(shù)，即、設(shè)31-函數(shù)的傅氏變換為:0 ( )()( )ede1j tj tttFttF于是 (t)與常數(shù)1構(gòu)成了一傅氏變換對(duì).11( )12i tte dF2( )i te dt證法2：若F()=2 (), 由傅氏逆變換可得j01( )2( )ed12tj tf te 例1 證明：1和2 ()構(gòu)成傅氏變換對(duì).證法1： 12.j tj sedtsteds F 132000jjjj0j01( )( )ed212()edee.2e2()tttttf tF 證：即和構(gòu)成了一個(gè)傅氏變換對(duì)。0j0e2()t 例2證明和構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對(duì)。由上面兩個(gè)函數(shù)的變換可得0jj()0ed2( )ed

13、2()tttt 33例如常數(shù)例如常數(shù), 符號(hào)函數(shù)符號(hào)函數(shù), 單位階躍函數(shù)以及正單位階躍函數(shù)以及正, 余弦函余弦函數(shù)等數(shù)等, 然而它們的廣義傅氏變換也是存在的然而它們的廣義傅氏變換也是存在的, 利用利用單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅單位脈沖函數(shù)及其傅氏變換就可以求出它們的傅氏變換氏變換. 所謂廣義是相對(duì)于古典意義而言的所謂廣義是相對(duì)于古典意義而言的, 在廣在廣義意義下義意義下, 同樣可以說同樣可以說,原原象象函數(shù)函數(shù)f(t) 和象函數(shù)和象函數(shù)F( ) 構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對(duì)構(gòu)成一個(gè)傅氏變換對(duì). 在物理學(xué)和工程技術(shù)中在物理學(xué)和工程技術(shù)中, 有許多重要函數(shù)不滿有許多重要函數(shù)不滿足傅氏積分定理

14、中的絕對(duì)可積條件足傅氏積分定理中的絕對(duì)可積條件, 即不滿足條即不滿足條件件|( )|df tt 34例4 求正弦函數(shù)f (t)=sin0t的傅氏變換。0000j0jjj()j(j0000( ) ( )esindee1ed(ee)d2j2j12()2()j()() .2jttttttFf tt ttt Ft00O|F()|0sint35例 5 證明：0,0( ),1,0tu tt單位階躍函數(shù)1 ( )( ).u tj F證：10111( )( )2111( )2211cossin2211sin11sin222j tj tj tedjjededjtjtdjttdd F360,20,2sin0ttd

15、t1110,02211( ),0( )2111,022ttu tjt F373 Fourier變換與逆變換的性質(zhì)變換與逆變換的性質(zhì) 這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì)這一講介紹傅氏變換的幾個(gè)重要性質(zhì), 為了為了敘述方便起見敘述方便起見, 假定在這些性質(zhì)中假定在這些性質(zhì)中, 凡是需要求傅凡是需要求傅氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件氏變換的函數(shù)都滿足傅氏積分定理中的條件, 在在證明這些性質(zhì)時(shí)證明這些性質(zhì)時(shí), 不再重述這些條件不再重述這些條件.)()()()()()()()(111GBFABGAFtgbtfatbgtafFFFFFF1.線性性質(zhì)線性性質(zhì):382. 位移性質(zhì)位移性質(zhì):為實(shí)常數(shù)，則，

16、若00,)()(tFtfF0000100 ()( ) ()( )( )()j tjtjtf tteFFef tef tF，或FFF00000()0 ()()( )( )( )j tjs tj tjtj sf ttf tt edtsttf s edsef s edseF F證明： 返回391 ( )( )0,11 ()() ; ()( )f tFatf atFF atfaaaa若，則FFF3. 相似性相似性：證明：1( ),0 ()()1( ),011( )()sjas atj tsjajsaf s edsaaf atf at edtf s edsaaf s edsFaaaF40例1 計(jì)算 。

17、)25(tuF方法1：（先用相似性，再用平移性）)25()5(),2()(tutgtutg則令 5522552511 (52) (5 ) ( ) (2)55111 ( )()5515.55jjjutgtg tu teu tejej FFFFF41方法2：（先用平移性，再用相似性）2( )(5 ),()(52)5g tutg tut令則 2255225555252 (52) () ( ) (5 )5111 ( )5515.55jjjjjutg teg teuteu tejej FFFFF424.4.微分性：微分性： 則，且若原像函數(shù)的微分性：, 0)(lim)()(tfFtftF( )( )ft

18、j FF( )( )lim( )00,1,2,1 ,( )( )ktnnftknftjF 一般地，若則F( )( )( ) ( ) ( )( )( )()( )( )( )nnnnnnFjtf ttf tjFFjt f tt f tj F 像函數(shù)的微分性：或或FFFF435.5.積分性：積分性： ( )( )lim( )(0)0,1( )( ).tttf tFf s dsFf s dsFj設(shè)，若則FF6. 帕塞瓦爾帕塞瓦爾(Parserval)等式等式221( )d( ).2f ttFd ( )( )f tF設(shè)， 則有F44 實(shí)際上, 只要記住下面五個(gè)傅里葉變換, 則所有的傅里葉變換都無須用公式直接計(jì)算而可由傅里葉變換的性質(zhì)導(dǎo)出.022j04( )11( )()j1( )je2()eettttu tu t e 4500j0j022( )1,()e12( ),e2()1( )( )jd1( )( )( )djj1( )j( )tttttu tjtu tjjtu t 因由位移性質(zhì)得由得由例2 利用傅氏變換的性質(zhì)求 (tt0),性質(zhì)0je,( )ttu t以及的傅氏變換.性質(zhì)46例3 若 f (t)=cos0t u(t), 求其傅氏變換。)()(2j)()j(1)()j(121)(2ee)(