小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用

1、小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用 施吉鳴 摘要：近十幾年來小波理論研究已成為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個新方向。作為數(shù)學(xué)工具，小波被迅速應(yīng)用到圖像和語音分析等眾多領(lǐng)域。本文試圖從工程和實驗角度出發(fā)，較為直觀地探討小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用。關(guān)鍵詞：小波 變換 重構(gòu) 圖像壓縮 1、小波概述 小波（wavelet是定義在有限間隔且平均值為0的函數(shù)，小波函數(shù)多以開發(fā)者名字命名，如圖1所示：圖1 部分小波 眾所周知，傅立葉分析是把一個信號分解成各種不同頻率的正弦波，因此正弦波是傅立葉變換的基函數(shù)。同樣，小波分析是把一個信號分解成由原始小波經(jīng)過移位和縮放后的一系列小波，因此小波是小波

2、變換的基函數(shù)，即小波可用作表示一些函數(shù)的基函數(shù)。小波是近十幾年才發(fā)展并迅速應(yīng)用到圖像和語音分析等眾多領(lǐng)域的數(shù)學(xué)工具，是繼110多年前建立傅立葉（Joseph Fourier）分析之后的一個重大突破。經(jīng)過十幾年的努力，小波理論基礎(chǔ)已經(jīng)基本建立并成為應(yīng)用數(shù)學(xué)的一個新領(lǐng)域，引起了眾多數(shù)學(xué)家和工程技術(shù)人員的極大關(guān)注，是國際上科技學(xué)術(shù)界高度關(guān)注的前沿領(lǐng)域。本文試圖從工程和實驗角度出發(fā)，較為直觀地探討小波變換在圖像壓縮中的應(yīng)用。 2、小波變換和重構(gòu)小波變換的基本思想是用一組小波或基函數(shù)表示一個函數(shù)或信號，例如圖像信號。以哈爾（Haar）小波基函數(shù)為例，基本哈爾小波函數(shù)（Haar wavelet

3、function）定義如下：1, 當(dāng)0x<1/2(x = -1, 當(dāng)1/2x<10, 其他設(shè)有一幅分辨率只有4個像素的一維圖像，對應(yīng)像素值為：9 7 3 5。用哈爾小波變換的過程是：計算相鄰像素對的平均值（averaging，亦可稱之為近似值approximation），得到一幅分辨率為原圖像1/2的新圖像：8 4。這時圖像信息已部分丟失，為了能從2個像素組成的圖像重構(gòu)出4個像素的原圖像，必須把每個像素對的第一個像素值減這個像素的平均值作為圖像的細(xì)節(jié)系數(shù)（detail coefficient）保存。因此，原圖像可用下面的兩個平均值和兩個細(xì)節(jié)系數(shù)表示：8 4 1 -1?？梢园训谝徊阶?/p>

4、換得到的圖像進(jìn)一步變換，原圖像兩級變換的過程如表1所示：表1 哈爾小波變換過程分辨率平均值細(xì)節(jié)系數(shù)49 7 3 5 28 41 -1162 哈爾變換過程事實上是用求均值和差值的方法對函數(shù)或圖像進(jìn)行分解，對于f(x=9 7 3 5，我們可作最多2層的分解。對于2維圖像，同樣可以用依次對行列進(jìn)行小波變換得到2維圖像的分解。這時經(jīng)過一次小波變換得到是2維圖像的近似值(CA以及水平(CH、垂直(CV和對角(CD細(xì)節(jié)分量值。顯然，從2維圖像的CA、CH、CV和CD值可以重構(gòu)出原來的2維圖像。 3、圖像壓縮事實上，去掉某些經(jīng)過小波變換得到的細(xì)節(jié)分量值對重構(gòu)圖像的質(zhì)量影響不大。

5、具體的做法是設(shè)置一個閾值，例如把的經(jīng)小波變換得到的水平(CH、垂直(CV和對角(CD細(xì)節(jié)分量值細(xì)節(jié)分量值置為0， 行 變 換列 變 換     圖2 小波圖像變換過程這樣就實現(xiàn)了圖像壓縮。為了驗證圖像壓縮的效果，筆者使用數(shù)學(xué)軟件工具M(jìn)ATLAB 6.1設(shè)計了3級非標(biāo)準(zhǔn)小波變換和重構(gòu)圖像程序function = report(picname，同時以分辨率256×256的真彩色照片為測試圖像，通過執(zhí)行程序完成了閾值分別為0，5，10和20的情況下利用Haar小波進(jìn)行變換變換和重構(gòu)過程。以使用Haar小波，閾值

6、等于10，真彩色圖像G分量為例，小波圖像變換過程如圖2所示。 4、實驗結(jié)論 用report('jimm'對jimm_org.png真彩圖像文件計算閾值分別為0，5，10和20的情況下進(jìn)行3級非標(biāo)準(zhǔn)haar小波變換和重構(gòu)后，系數(shù)為“0"的數(shù)目和以PNG格式存儲的重構(gòu)圖像文件大小，實驗結(jié)果得到圖像測試表如表2所示：表2 圖像測試表圖像名稱閾值系數(shù)為“0"的數(shù)目PNG文件大小原始圖像jimm_org.png103KB重構(gòu)圖像 jimm_haar_00.png=019527103KB重構(gòu)圖像jimm_haar_05.png512326184KB重構(gòu)圖像ji

7、mm_haar_10.png1015500361KB重構(gòu)圖像jimm_haar_20.png2017565538KB 圖3表示了在不同閾值下的重構(gòu)圖像： =051020圖3 不同閾值下的重構(gòu)圖像 從圖像測試表和觀察不同閾值下的重構(gòu)圖像可得出以下結(jié)論：         可利用小波變換與重構(gòu)對圖像文件進(jìn)行壓縮。         通常在給定小波基函數(shù)條件下，閥值越大，系數(shù)為0的數(shù)目就越多，重構(gòu)圖像文件壓縮率也越高，重構(gòu)的圖像失真程度隨之增加。         閥值>0時，利用小波變換與重構(gòu)進(jìn)行圖像壓縮是一種有損壓縮方法，可以根據(jù)實際需要在圖像失真度允許的范圍內(nèi)選擇適當(dāng)?shù)拈y值來確定壓縮率。  參考文獻(xiàn)1 林福宗,小波與小波變換,清華大