實數(shù)的相關(guān)概念

1、第一講 實數(shù)一、實數(shù)的相關(guān)概念：1.實數(shù)的分類：2. 偶數(shù)： 奇數(shù)：3. 相反數(shù) 只有符號不相同的兩個數(shù)（“0”的相反數(shù)是“0”）表示：表示一個數(shù)的相反數(shù)，就是在這個數(shù)的前面加“”號如：aa；ab（ab）=ba性質(zhì)特征：互為相反數(shù)的兩個數(shù)，和為零。4. 倒數(shù)乘積為“1”的兩個數(shù)（“0”沒有倒數(shù)）表示：a特征：互為倒數(shù)的兩個數(shù)積為“1” （若a與b互為倒數(shù)，則ab=1）5. 絕對值就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的距離.(互為相反數(shù)的兩個數(shù)絕對值相等)a=a；ab=baa= 6.平方根、算術(shù)平方根、立方根：(1) 一個正數(shù)的平方等于,即,那么這個正數(shù)叫做的算術(shù)平方根.(記作).(2) 一個數(shù)的平方

2、等于,那么這個數(shù)叫做的平方根.(3) 正數(shù)有兩個平方根（），它們互為相反數(shù)；其中正的平方根（ 0）是它的算術(shù)平方根.(4) “0”的平方根只有一個，就是“0”;負數(shù)沒有平方根.(5)完全平方數(shù)平方根是整數(shù)的數(shù)如：0，1，4，9，16，(6)立方根（）,正數(shù)的立方根是正數(shù); “0”的立方根是“0”;負數(shù)的立方根是負數(shù)二、數(shù)軸:1.數(shù)軸三要素：原點、正方向、單位長度2.數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng);任意一個有理數(shù)在數(shù)軸上都有一個點與之對應(yīng),但數(shù)軸上的任意一個點不一定有一個有理數(shù)與之對應(yīng).(無理數(shù)點)三、科學記數(shù)法、近似數(shù)及有效數(shù)字：1科學記數(shù)法： 精確度：（1）保留幾位有效數(shù)字 ；（2）精確到那一位2

3、近似數(shù)：用四舍五入精確到某一位的數(shù)3有效數(shù)字：四、實數(shù)的運算：1.實數(shù)運算法則：2.實數(shù)大小的比較利用數(shù)軸進行比較；作差法；作商法；平方法. 3.除法 4.乘方 典型例題一例01下面命題中，正確的是（ ）A不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù)B有絕對值最大的數(shù)，也有絕對值最小的數(shù)C任何實數(shù)的絕對值都是正數(shù)D無理數(shù)一定是無限小數(shù)分析 圓周率就是一個無理數(shù)；不存在最大的正數(shù)（對任何正數(shù)a，都不如大），導(dǎo)致不存在絕對值最大的數(shù)，所以B是假命題；實數(shù)0的絕對值不是正數(shù)，可見命題C也不正確. 解答 D說明 考查實數(shù)的意義. 典型例題二例02下列說法中正確的是（ ）A無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)B無限小數(shù)不能化成分數(shù)C無限

4、不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)D一個負數(shù)的立方根是無理數(shù)分析 實數(shù)可分為無理數(shù)和有理數(shù). 有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù). 開方開不盡的數(shù)一定是無理數(shù)，但無理數(shù)還包含了其他數(shù)，如，任何有理數(shù)都枳經(jīng)成分數(shù)形成. 所以A、B、D都是錯的. C正確. 解答 C說明 考查實數(shù)的分類及定義無理數(shù)主要有3種表現(xiàn)形式：開方開不盡的數(shù)；一些常數(shù)，如、e等；無限不循環(huán)小數(shù)，如0.1010010001典型例題三例03實數(shù)，3.1416，0.2020020002（每兩個2之間多一個零）中，無理數(shù)的個數(shù)有（ ）A2個 B3個 C4個 D5個分析 其中無理數(shù)有：，0.202002解答 B說明 考查無理

5、數(shù)的定義及有關(guān)的數(shù)都是無理數(shù). 典型例題四例04點A在數(shù)軸上和原點相距個單位，點B在數(shù)軸上和原點相距2個單位，則A，B兩點間的距離是_. 分析 在數(shù)軸上和原點相距個單位的點A有兩個，即和兩個點. 點B和原點相距2個單位，則點B的坐標或. 如圖所示. 所示A、B兩點間距離是：，. 故或. 解答 或. 說明 點A在數(shù)軸上的坐標為，點B的坐標，則A，B兩點的距離是. 典型例題五例05若實數(shù)a和b互為相反數(shù)，則；若實數(shù)a，b互為倒數(shù)，則；分析 因為a、b互為相反數(shù)，則. 若互為倒數(shù)，則. 又因故解答 0；1；. 典型例題六例06判斷下列說法是否正確，并簡單說明理由（1）實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù). （2

6、）無理數(shù)都是無限小數(shù). （3）有理數(shù)都是有限小數(shù). （4）不帶根號的數(shù)都是有理數(shù) . （5）帶根號的數(shù)都是無理數(shù). （6）數(shù)軸上的任何一點都可以表示實數(shù). 解答 （1）實數(shù)不是有理數(shù)就是無理數(shù). 正確. 因為實數(shù)就是由有理數(shù)和無理數(shù)組成的，二者必居其一. （2）無理數(shù)都是無限小數(shù). 正確. 無理數(shù)都是無限不循環(huán)小數(shù)當然都是無限小數(shù). （3）有理數(shù)都是有限小數(shù). 不正確. 有理數(shù)中也有無限小數(shù)，例如是有理數(shù)，但它卻是，是無限循環(huán)小數(shù). （4）不帶根號的數(shù)都是有理數(shù). 不正確. 這個數(shù)不帶根號，我們都知道它是無理數(shù). （5）帶根號的數(shù)都是無理數(shù). 不正確. 是一個帶根號的數(shù)，可是它是一個有理數(shù).

7、（6）數(shù)軸上的任何一點. 都可以表示實數(shù). 正確. 數(shù)軸上的點與實數(shù)是一一對應(yīng)的. 說明 有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù)，無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，有了無理數(shù)才使數(shù)軸上的點與實數(shù)一一對應(yīng)，這些是我們判斷某些說法是否正確的依據(jù). 不要去試圖確立無理數(shù)的其他定義或標準，只有緊扣無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)這個定義，才能避免錯誤. 典型例題七例07計算（精確到0.01）（1）； （2）解答 （1）原式 （2）原式說明 在實數(shù)運算中，有理數(shù)中的運算法則和運算定律同樣適用，在無理數(shù)運算中，常用其近似值去代替無理數(shù). 典型例題八例08化簡 解答 ，說明 關(guān)鍵在于根據(jù)絕對值的定義，正確地去掉絕對值的符號，以便進行運算，運

8、算中還要注意防止發(fā)生符號錯誤. 典型例題九例09比較與的大小. 分析 若，則；，則；若，則，反之亦然. 解答 當時，顯然，即；當時，即；當時，即；當時，即；當時，即；當時， ，即. 綜上，當和時，；當時，；當和時. 典型例題十例10設(shè)x，y是有理數(shù)，并且x，y滿足等式，求的值. 分析 利用實數(shù)等于零的條件，即有理數(shù)和無理數(shù)部分分別是零. 解答 又x，y都是有理數(shù). 和都是有理數(shù). 而由于0是有理數(shù)，必為有理數(shù). 當時，；當時，. 典型例題十一例11怎樣運用作圖的方法，在數(shù)軸上找出表示的點. 分析 我們可以借助勾股定理來找出表示的線段長. 如果一個直角三角形的兩條直角邊長分別是1和和，那么它的斜

9、邊長就是. 解答 如圖，作一個直解邊分別是3和1的直角三角形，以原點O為圓心，三角形斜邊長為半徑畫弧，它與數(shù)軸負半軸的交點C即為表示的點. （）說明 這個直角三角形也可以作在其他地方，但必須使它1個單位長度與數(shù)軸所取的單位長度一致. 另外與學習有理數(shù)時相同數(shù)軸上原點右邊的點表示正數(shù)，故在原點左邊. 典型例題十二例12化簡下列各式（1） （2）（3） （4）解答 （1）（2） （3）（4） 原式= 說明 要化簡帶絕對值符號的式子，首先按絕對值定義，將絕對值符號去掉，再去括號，合并同類項，或進行數(shù)的運算. 典型例題十三例13下列說法是否正確？為什么？（1）無限小數(shù)都是無理數(shù)；（2）無理數(shù)都是無限小

10、數(shù)；（3）有理數(shù)都是有限小數(shù)；（4）不帶根號的數(shù)都是有理數(shù)；（5）實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)；（6）實數(shù)有正實數(shù)與負實數(shù)兩種解答：（1）不正確，因為只有無限不循環(huán)小數(shù)方是無理數(shù)，而無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，如是有理數(shù)（2）正確，因為無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)；（3）不正確，因為無限循環(huán)小數(shù)是有理數(shù)，因此有理數(shù)不一定是有限小數(shù)，如；（4）不正確，如不帶號，但是無理數(shù)；（5）正確，因為每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的一個點來表示，反過來，數(shù)軸上的每一個點都可以用一個實數(shù)來表示（6）不正確，因為實數(shù)除了有正實數(shù)和負實數(shù)外，還包括0說明：要理解無理數(shù)、實數(shù)的概念，掌握實數(shù)的分類，分類要有統(tǒng)一標準，分類后不漏不多.典型

11、例題十四例14下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？0.5，3.14，0分析：判定一個數(shù)是不是無理數(shù)，不能只看它的形式，還要看算出的結(jié)果，應(yīng)先將含有根號的數(shù)化簡，然后再根據(jù)無理數(shù)的定義進行判斷解答： ，；有理數(shù)有：0.5，3.14，0；無理數(shù)有：，典型例題十五例15計算：（1）（精確到0.01）；（2）（保留三個有效數(shù)字）解答：（1）；（2）說明：近似值的計算過程中，所取近似值的小數(shù)位，必須比題目要求的精確度多取一位進行計算，最后結(jié)果按題目要求取近似值典型例題十六例16比較下列數(shù)的大?。海?）和3.1415； （2）和分析：比較大小首先判斷數(shù)的正負，再比較數(shù)的絕對值的大小. 解答：（1），

12、（2），而，則說明：比較無理數(shù)和有理數(shù)的大小，一種是將無理數(shù)轉(zhuǎn)化為近似值的有理數(shù)比較，另一種采用算術(shù)平方根的比較法，即被開方數(shù)間比較大小. 典型例題十七例17求下列各式的x：（1）； （2）分析：根據(jù)絕對值的概念：正實數(shù)的絕對值是它本身，負實數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，把絕對值符號內(nèi)的數(shù)看作整體求解. 解答：（1）（2），即或當時，；當時，. 選擇題1選擇題（1）下列說法正確是A無限小數(shù)都是無理數(shù) B帶根號的數(shù)是無理數(shù)C無理數(shù)是無限小數(shù) D無理數(shù)是開不盡方的數(shù)（2）和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)的數(shù)集是A整數(shù)集 B有理數(shù)集C無理數(shù)集 D實數(shù)集（3），這六個數(shù)中，無理數(shù)的個數(shù)是A2個 B3個 C4個 D6個（

13、4）下面關(guān)于0的判斷正確的是A0是小數(shù) B0是整數(shù)C0是無理數(shù) D0是質(zhì)數(shù)（5）實數(shù)中算術(shù)平方根最小的數(shù)是A1 B0 C非負數(shù) D不存在2選擇題（1）若有算術(shù)平方根，則的取值范圍是A B C D一切實數(shù)（2）根式有意義，的取值范圍是A一切實數(shù) B C D（3）下列語句中正確的是A帶根號的數(shù)都是無理數(shù)B不帶根號的數(shù)一定是有理數(shù)C無理數(shù)一定是無限不循環(huán)小數(shù)D無限小數(shù)是無理數(shù)（4）是有理整數(shù)，是A有理數(shù) B負的實數(shù) C完全平方數(shù) D完全平方數(shù)的相反數(shù)（5）實數(shù)的平方的算術(shù)平方根是A BC D（6）下面式子成立的是A BC D3選擇題（1）若與它的絕對值之和為0，則的值是A B1 C D（2）若實數(shù)滿

14、足，則等于A B C D1（3）使有意義的的取值范圍是A BC D且（4）下列語句中正確的是A任何實數(shù)都有兩個互為相反數(shù)的平方根B零的立方根就是零C帶根號的數(shù)就是無理數(shù)D9的平方根是34選擇題（1）下列命題中：帶有根號的數(shù)是無理數(shù)；無理數(shù)是開方開不盡的數(shù)；無論取何實數(shù)，都有意義；絕對值最小的實數(shù)是零.正確的命題有（ ）A1個 B2個 C3個 D4個（2）已知、為實數(shù)，下列命題中正確的是（ ）A，則 B，則C,則 D，則參考答案：1（1）C （2）D （3）A （4）B （5）B2（1）C （2）A （3）C（4）D（5）D（6）C3（1）B （2）B （3）D （4）B4（1）B（2）B填空題

15、1填空題（1）_. （2）的相反數(shù)為_.（3）的倒數(shù)為_. （4）絕對值最小的數(shù)為_.（5）若，則_.（6）的倒數(shù)的絕對數(shù)為_.（7）絕對值為的數(shù)為_.（8）的平方為_.（9）比較大?。篲 ；_ .（10）數(shù)軸上表示的點與原點距離是_.參考答案：（1） （2） （3）3 （4）0 （5） （6） （7） （8）15（9） （10）填空題1填空題（1）的相反數(shù)為_.（2）_.（3）比較大?。篲 （4）有意義，則的取值范圍是_.（5）平方根等于本身的數(shù)為_.（6），則_.（7）有意義，則取值范圍是_.（8）若，則_.（9）比小且比大的整數(shù)為_.（10）_.參考答案：（1）3 （2） （3） （4）

16、 （5）0 （6） （7）全體實數(shù)（8） （9）2 （10）9填空題1填空題（1）若，則的取值范圍是_.（2）若，則的范圍是_.（3）當_時，有意義.（4）當，_時，在實數(shù)范圍內(nèi)有意義.（5）若，則_.（6）當_時，有最大值是_.（7）計算：_.（保留三個有效數(shù)字）（8）若，則_.（9）比較大小_.（10），則的算術(shù)平方根為_.參考答案：（1） （2） （3）且 （4） （5）2 （6）0 （7） （8）4或2 （9） （10）1或填空題1填空題（1）小于的所有正整數(shù)為_.（2）_.（3）的相反數(shù)為_.（4）比較大?。篲.（5）若有算術(shù)平方根，則的取值范圍是_.（6）若，則_.（7）某數(shù)的立方根的絕對值為5，則這個數(shù)為_.（8）若，則的取值范圍是_.（9）大于的負整數(shù)為_.（10）化簡_.參考答案：（1）1，2，3，4，5，6， （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （9）4，3，2，1 （10）解答題1計算題（精確到）（1） （2）（3） （4）（5） （6）2計算題（精確到）（1） （2）（3） （4）（5） （6）3已知，