第1章復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)

1、1 1 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算3 3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)數(shù)的乘冪與方根2 2 復(fù)數(shù)幾何表示復(fù)數(shù)幾何表示4 4 區(qū)區(qū) 域域5 5 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù)第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)6 6 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性第一章 復(fù)數(shù)與復(fù)變函數(shù)1 1 復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)及其代數(shù)運(yùn)算 1. 1.復(fù)數(shù)的概念復(fù)數(shù)的概念 復(fù)數(shù)復(fù)數(shù) 形如z=x+iy 或 z=x+yi的數(shù)，稱為復(fù)數(shù) 虛部為零的復(fù)數(shù)就可看作實(shí)數(shù)，即x+i0=x 稱實(shí)部相同而虛部為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)x+iy和x-iy為共軛復(fù)數(shù)，簡(jiǎn)稱共軛數(shù)。 共軛復(fù)數(shù)共軛復(fù)數(shù) 與z=x+iy共軛的復(fù)數(shù)記為 ，即ziyxiyx 2. 2.復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)

2、的代數(shù)運(yùn)算 復(fù)數(shù)的相等復(fù)數(shù)的相等 復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算復(fù)數(shù)的代數(shù)運(yùn)算 (1)復(fù)數(shù)的加(減)法)()(212121yyixxzz)(221121iyxiyxzz (2)復(fù)數(shù)的乘法)()(21212121xyyxiyyxx (3)復(fù)數(shù)的除法222221122222212121yxyxyxyxyyxxzz 復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則12211221,zzzzzzzz(交換律)321321321321)()()()(zzzzzzzzzzzz(結(jié)合律)(分配律)()(3121321zzzzzzz 注意 一般說(shuō)來(lái)，任意兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小 3. 3.復(fù)數(shù)的共軛運(yùn)算復(fù)數(shù)的共軛運(yùn)算; (1)2121zzzz 根據(jù)

3、共軛復(fù)數(shù)的定義，不難證明共軛復(fù)數(shù)具有如下性質(zhì);zz (2)2121zz0);(z zz (3)22121zz;z (4)z;)(Im)(Rezz (5)222zzz.Im2 ,Re2z (6)zizz-zz 利用共軛復(fù)數(shù)的概念，還可以得到兩個(gè)關(guān)于復(fù)數(shù)模的重要公式：),Re(212221221zzzzzz).Re(212221221zzzzzz2 2 復(fù)數(shù)幾何表示復(fù)數(shù)幾何表示 1. 1.復(fù)數(shù)的點(diǎn)表示法復(fù)數(shù)的點(diǎn)表示法 2. 2.復(fù)數(shù)的向量表示復(fù)數(shù)的向量表示 3. 3.復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)表示sin ,cosyxieizsincos 復(fù)數(shù)的這種表示稱為復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式，亦稱為三角形式和指數(shù)形

4、式 關(guān)于復(fù)數(shù)的模、幅角，應(yīng)當(dāng)作如下的說(shuō)明： (1)復(fù)數(shù)的模 復(fù)數(shù)z的模滿足zzzzzzzImRe ,Im ,Re (2)復(fù)數(shù)的幅角 任何一個(gè)不為0的復(fù)數(shù)z，有無(wú)窮多個(gè)幅角。 (3)幅角主值的求法,arctan,arctan,arctan,arctanargxyxyxyxyz當(dāng)x在第一象限當(dāng)x在第二象限當(dāng)x在第三象限當(dāng)x在第四象限, 022argz當(dāng)z在正y軸上當(dāng)z在負(fù)y軸上當(dāng)z在正x軸上當(dāng)z在負(fù)x軸上 4. 4.復(fù)球面復(fù)球面 擴(kuò)充復(fù)平面的一個(gè)幾何模型就是復(fù)球面。 (1)復(fù)平面上每一條直線都通過(guò)點(diǎn)，同時(shí)，沒(méi)有一個(gè)半平面包括點(diǎn)。 關(guān)于新“數(shù)”還需作如下幾點(diǎn)規(guī)定： (2) 的實(shí)部，虛部及幅角都無(wú)意義

5、， (3)b0(但可為)時(shí)， ,bb;0b (4)a時(shí)， , 0 ,aa; aa (5)運(yùn)算 ，0 ， 無(wú)意義00 ,3 3 復(fù)數(shù)的乘冪與方根復(fù)數(shù)的乘冪與方根 1. 1.復(fù)數(shù)的乘積與商復(fù)數(shù)的乘積與商 定理定理1.3.11.3.1 兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的模等于它們的模的乘積；兩個(gè)復(fù)數(shù)乘積的幅角等于它們的幅角的和。 定理定理1.3.21.3.2 兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的模等于它們模的商；兩個(gè)復(fù)數(shù)的商的幅角等于被除數(shù)與除數(shù)的幅角的差。 2. 2.復(fù)數(shù)的乘方與開(kāi)方復(fù)數(shù)的乘方與開(kāi)方則設(shè) ),sin(cosirreziinnnnerninrz)sin(cos)2sin2(cos1nkinkrznn)sin(cos10nin

6、rwn)2sin2(cos11ninrwn) 1(2sin) 1(2(cos11nninnrwnn4 4 區(qū)區(qū) 域域 1. 1.平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念平面點(diǎn)集的幾個(gè)基本概念 定義定義1.4.11.4.1由不等式(為任意的正數(shù))所確定的平面點(diǎn)集(以后平面點(diǎn)集均簡(jiǎn)稱點(diǎn)集)，就是以z0的一鄰域或鄰域。而稱由不等式0zz0zzD 所確定的點(diǎn)集為z0的去心一鄰域或去心鄰域。 定義定義1.4.21.4.2設(shè)G為點(diǎn)集，z0為G中的一點(diǎn)。如果存在z0的一個(gè)鄰域，該鄰域內(nèi)的所有點(diǎn)都屬于G，則稱z0為G的內(nèi)點(diǎn)；若點(diǎn)z0的某一個(gè)鄰域內(nèi)的點(diǎn)都不屬于G，則稱點(diǎn)z0為G的外點(diǎn)。若在點(diǎn)z0的任意一個(gè)鄰域內(nèi)，既有屬于G的點(diǎn)，

7、也有不屬于G的點(diǎn)，則稱點(diǎn)z0為G的邊界點(diǎn)，點(diǎn)集G的全部邊界點(diǎn)稱為G的邊界(如圖1.4.1) 注意注意 區(qū)域的邊界可能是由幾條曲線和一些孤立的點(diǎn)所組成的(如圖1.4.2) 定義定義1.4.31.4.3 若點(diǎn)集G的點(diǎn)皆為內(nèi)點(diǎn)，則稱G為開(kāi)集 定義定義1.4.41.4.4點(diǎn)集G稱為一個(gè)區(qū)域，如果它滿足： (1)G是一個(gè)開(kāi)集； (2)G是連通的，就是說(shuō)G中任何兩點(diǎn)z1和z2都可以用完全屬于G的一條折線連接起來(lái)(圖1.4.1) 通常稱具有性質(zhì)(2)的集為連通的，所以一個(gè)區(qū)域就是一個(gè)連通的開(kāi)集。 定義定義1.4.51.4.5 區(qū)域G加上它的邊界C稱為閉區(qū)域或閉域，記為G 定義定義1.4.61.4.6如果區(qū)域

8、G可以包含在一個(gè)以原點(diǎn)為中心的圓內(nèi)，則稱區(qū)域G是有界的，否則稱區(qū)域G是無(wú)界的。 定義定義1.4.71.4.7 以原點(diǎn)為圓心，以正數(shù)R為半徑的圓域外部的點(diǎn)的全體，稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的鄰域，它可以表示為 。不包括無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)自身在內(nèi)，僅滿足 的所有點(diǎn)的集合，稱為無(wú)窮遠(yuǎn)點(diǎn)的去心鄰域，它可以表示為RM+。Rz Rz 2. 2.簡(jiǎn)單曲線簡(jiǎn)單曲線 定義定義1.4.81.4.8設(shè)x(t)及y(t)是實(shí)變數(shù)t的兩個(gè)實(shí)函數(shù)，在閉區(qū)間上連續(xù)，則由方程組或由復(fù)數(shù)方程)( )()(ttyytxx)( )()(ttiytxz所決定的點(diǎn)集C，稱為z平面上的一條連續(xù)曲線。上式稱為C的參數(shù)方程，z()及z()分別稱為C的起點(diǎn)和終點(diǎn)。

9、對(duì)滿足t1, t2, t1 t2的t1及t2,當(dāng)z(t1)=z2(t)成立時(shí)，點(diǎn)z(t1)稱為此曲線C的重點(diǎn)；凡無(wú)重點(diǎn)的連續(xù)曲線，稱為簡(jiǎn)單曲線或Jordan(約當(dāng))曲線；z()=z()的簡(jiǎn)單曲線稱為簡(jiǎn)單閉曲線。 定義定義1.4.91.4.9設(shè)簡(jiǎn)單(或簡(jiǎn)單閉)曲線C的參數(shù)方程為:又在t上，x(t)及y(t)存在連續(xù)且不全為零*，則C稱為光滑(閉)*曲線。)( )()(ttiytxz 注注 光滑(閉)曲線C具有連續(xù)轉(zhuǎn)動(dòng)的切線。 定義定義1.4.101.4.10由有限光滑曲線銜接而成的連續(xù)曲線稱為逐段光滑曲線。特別，簡(jiǎn)單折線是逐段光滑曲線。 沿著一條簡(jiǎn)單曲線C有兩個(gè)相反的方向，其中一個(gè)方向是：當(dāng)觀察

10、者順此方向沿C前進(jìn)一周時(shí)，C的內(nèi)部一直在C的左方，即“逆時(shí)針”方向，稱為正方向；另一個(gè)方向是：當(dāng)觀察者順此方向沿C前進(jìn)一周時(shí)，C的外部一直在C的左方，即“順時(shí)針”方向，稱為負(fù)方向(如圖1.4.3)。 3. 3.單連通區(qū)域與多連通區(qū)域單連通區(qū)域與多連通區(qū)域 定義定義1.4.111.4.11設(shè)G為復(fù)平面上的區(qū)域，若在G內(nèi)的任意簡(jiǎn)單閉曲線，其內(nèi)部仍全含于G，則稱G為單連通區(qū)域(如圖1.4.4(a)。非單連通的區(qū)域稱為多連通區(qū)域(如圖1.4.4(b)。5 5 復(fù)變函數(shù)復(fù)變函數(shù) 定義定義1.5.11.5.1設(shè)在復(fù)平面上有點(diǎn)集D。若對(duì)于D內(nèi)每一點(diǎn)z，按照某一法則，有確定的復(fù)數(shù)與之對(duì)應(yīng)，則稱這種對(duì)應(yīng)關(guān)系是z

11、的復(fù)變函數(shù)，記作=f (z)；稱是z在函數(shù)f 下的像。 若z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著的一個(gè)值，則稱f (z)為單值函數(shù)；若z的一個(gè)值對(duì)應(yīng)著的幾個(gè)或無(wú)窮多個(gè)值，則稱f (z)為多值函數(shù)。6 6 復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性復(fù)變函數(shù)的極限和連續(xù)性 1. 1.復(fù)數(shù)的乘積與商復(fù)數(shù)的乘積與商 定義定義1.6.11.6.1設(shè)復(fù)變函數(shù)=f (z)在z0的去心鄰域 內(nèi)有定義。如果存在常數(shù)A，對(duì)于任意給定的0，相應(yīng)地必有一正數(shù)()(0),使得當(dāng) 時(shí)有 Azf)( 那么稱A為函數(shù)f (z)當(dāng)z趨于z0時(shí)的極限，記作 或記作當(dāng)zz0時(shí)，f (z)A(如圖1.6.1)00zz00zzAzfzz)(lim0 定理定理1.6.11.6.

12、1設(shè)=f (z)=(x,y)+iv(x,y),A=u0+iv0，z0=x0+iy0,則 的充要條件是0 xx0),(lim ,),(lim0000vyxvuyxuyyyyxxAzfzz)(lim0 定理定理1.6.21.6.2設(shè)復(fù)變函數(shù)f (z)與g(z),若 ，則BzgAzfzzzz)(lim,)(lim00;)()(lim0BAzgzfzz (1);)()(lim0ABzgzfzz (2).0( )()(lim0BBAzgzfzz (3) 2. 2.函數(shù)的連續(xù)性函數(shù)的連續(xù)性 定義定義1.6.21.6.2設(shè)函數(shù)=f (z)在點(diǎn)z0及其某鄰域內(nèi)有定義。若 ，則稱函數(shù)=f(z)在點(diǎn)z0處是連續(xù)的；若=f (z)在區(qū)域D內(nèi)處處連續(xù)，則稱=f (z)在區(qū)域D內(nèi)是連續(xù)的。)()(lim00zfzfzz 定理定理1.6.31.6.3函數(shù)=f (z)=u(x,y)+iv(x,y)在點(diǎn)z0= x0+ iy0處連續(xù)的充要條件是：實(shí)部u(x,y)都在點(diǎn)(x0, y0)處連續(xù)。 定理定理1.6.41.6.4連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商(分母不為零)仍為連續(xù)函數(shù)，連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍為連續(xù)函數(shù)。 思考題思考題怎樣定義三元數(shù)(x,y,z)的加、減、乘、除、乘方、開(kāi)方運(yùn)算？使其是二元數(shù)(x,y)相應(yīng)運(yùn)算的推廣。如果