昆明理工大學(xué)材料力學(xué)第八章 桿件的扭轉(zhuǎn)

1、材材 料料 力力 學(xué)學(xué)第八章第八章 桿件的扭轉(zhuǎn)桿件的扭轉(zhuǎn)8-1 8-1 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念8-2 8-2 軸的外力偶矩軸的外力偶矩扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖8-3 8-3 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律8-4 8-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件8-5 8-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形剛度條件剛度條件8-6 8-6 矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)8-1 8-1 扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念實(shí)例實(shí)例1 1對稱扳手?jǐn)Q緊螺帽對稱扳手?jǐn)Q緊螺帽實(shí)例實(shí)例2 2汽車傳動軸汽車傳動軸傳動軸傳動軸實(shí)例實(shí)例3 3MeMe 受力特點(diǎn)受力特點(diǎn): 受到一對等大、反向、

2、在垂直于軸線平面內(nèi)受到一對等大、反向、在垂直于軸線平面內(nèi)的力偶作用。的力偶作用。扭轉(zhuǎn)的概念扭轉(zhuǎn)的概念變形特點(diǎn)變形特點(diǎn):桿件任意兩個橫截面發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動，軸線不變。桿件任意兩個橫截面發(fā)生繞軸線的相對轉(zhuǎn)動，軸線不變。概念概念:兩個橫截面的相對轉(zhuǎn)角兩個橫截面的相對轉(zhuǎn)角稱為稱為扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 ；縱向線傾斜的角度縱向線傾斜的角度 ，即為切應(yīng)變，即為切應(yīng)變(或稱角應(yīng)變或稱角應(yīng)變) ；軸軸承受扭轉(zhuǎn)變形的桿件。承受扭轉(zhuǎn)變形的桿件。MeMe 8-2 8-2 軸的外力偶矩軸的外力偶矩扭矩及扭矩圖扭矩及扭矩圖 一、外一、外力力偶偶矩矩的計算的計算 1. 1.力偶作用力偶作用切線方向的力切線方向的力 F 產(chǎn)生力偶

3、矩產(chǎn)生力偶矩 Me=FR皮帶的拉力皮帶的拉力 F1和和F2 產(chǎn)生力偶產(chǎn)生力偶矩。矩。若若 F2F1則則 Me=(F2-F1)D/22.2.皮帶輪或鏈條皮帶輪或鏈條作用在齒輪上的切向力產(chǎn)生力偶矩作用在齒輪上的切向力產(chǎn)生力偶矩Me=FtR3.3.齒輪齒輪功率功率 P ( (kW 或或 HP) )標(biāo)示牌標(biāo)示牌顯示顯示旋轉(zhuǎn)速度旋轉(zhuǎn)速度 n ( (r/ /min) )4.4.由轉(zhuǎn)速和功率計算外力偶矩由轉(zhuǎn)速和功率計算外力偶矩PnM/nMPee 260 602 m)(Nmin)(r(HP)7024 /nPMem)(N(r/min)(kw)9549 nPMenn 二、扭轉(zhuǎn)的內(nèi)二、扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力力 1. 1.扭矩扭

4、矩MeMeMeTx 0 xm0 eMTeMT 扭轉(zhuǎn)的內(nèi)扭轉(zhuǎn)的內(nèi)力力： 橫截面內(nèi)的一個力偶矩，稱為橫截面內(nèi)的一個力偶矩，稱為扭矩扭矩。nn 求求n-n橫截面上的內(nèi)橫截面上的內(nèi)力力？kkMeTkx 0 xm0 ekMTekMT 求求k-k橫截面上的內(nèi)橫截面上的內(nèi)力力？MeMekk 比較比較n-n與與k-k橫截面上的內(nèi)橫截面上的內(nèi)力力？MeMennnnMeTxeMT 扭矩扭矩T 的正負(fù)規(guī)定的正負(fù)規(guī)定 : :按右手螺旋法則，扭矩的矢量與截面的外法線重合，按右手螺旋法則，扭矩的矢量與截面的外法線重合，扭矩為正，反之為負(fù)。扭矩為正，反之為負(fù)。用用“設(shè)正法設(shè)正法”求扭矩求扭矩: :kkMeTkx 0 xm0

5、 ekMTekMT 求求k-k橫截面上的扭矩？橫截面上的扭矩？MeMekk2.2.扭矩圖扭矩圖用坐標(biāo)用坐標(biāo) (x, T) 來表示沿軸線方向的扭矩變化。來表示沿軸線方向的扭矩變化。 x 表示橫截面的位置。表示橫截面的位置。T表示扭矩的大小。表示扭矩的大小。例例1. 傳動軸如圖所示，已知：轉(zhuǎn)速傳動軸如圖所示，已知：轉(zhuǎn)速 n = 300r/min；主動；主動輪功率輪功率 P1= = 500kW， 從動輪功率分別為從動輪功率分別為P2= 150kW， P3= 150kW， P4= 200kW。 求各段的扭矩并畫出軸的求各段的扭矩并畫出軸的扭矩圖。扭矩圖。 M1 M2 M3 M4 BCAD（1）計算各傳

6、動輪所受的外力偶矩）計算各傳動輪所受的外力偶矩解解:m4.78kNm)N3001509549(32 MMM1 M2 M3 M4 BCAD注：任意兩外力偶矩之間各截面扭矩相同。注：任意兩外力偶矩之間各截面扭矩相同。m.9kN51m)N3005009549(1 Mm.37kN6m)N3002009549(4 M.951 784. 784. 376. (kN.m)（2）計算各段上的扭矩）計算各段上的扭矩mkN78421 .MTmkN37643 .MT11M2BxT1x33DT3M4 mkN569322 .MMT112233021 MT0322 MMT034 TMBM2 CM3 22xT2M1 M2

7、M3 M4 BCAD.951 784. 784. 376. (kN.m)（3）畫扭矩圖）畫扭矩圖Tmax = 9.56 kNm , 位于位于 CA段上。段上。4.789.566.37T (kNm)M1 M2 M3 M4 BCAD.951 784. 784. 376. (kN.m) 由外力偶矩直接求扭矩的法則：由外力偶矩直接求扭矩的法則： 任意橫截面上的扭矩等于截面一側(cè)所有外力偶矩任意橫截面上的扭矩等于截面一側(cè)所有外力偶矩的代數(shù)和。的代數(shù)和。（看外力偶矩的正投影，有向上和向下之分。）（看外力偶矩的正投影，有向上和向下之分。）M1 M2 M3 M4 BCAD 左邊向上，右邊向下取左邊向上，右邊向下

8、取“+”，反之取，反之取“”。 主動輪主動輪M1與從動論與從動論M4互換位置，畫扭矩圖?；Q位置，畫扭矩圖。Tmax = 15.9 kNm , 位于位于 AD段上。段上。4.789.5615.9T (kNm)M1 M2 M3 M4 BCAD.951 784. 784. 376. (kN.m)4.789.5615.9T (kNm)M1 M2 M3 M4 BCAD.951 784. 784. 376. (kN.m)M1 M2 M3 M4 BCAD.951 784. 784. 376. (kN.m)4.789.566.37T (kNm)比較傳動輪的位置的不同安排，哪一種合理？比較傳動輪的位置的不同安

9、排，哪一種合理？Tmax = 15.9 kNm Tmax = 9.56 kNm 主動輪與從動論位置的合理安排：主動輪與從動論位置的合理安排： 主動輪放在從動論之間，并盡量使兩邊從動論所主動輪放在從動論之間，并盡量使兩邊從動論所傳遞的外力偶矩相等。傳遞的外力偶矩相等。例例2 2. 軸受力如圖所示，畫出軸的扭矩圖。軸受力如圖所示，畫出軸的扭矩圖。 CMe=2mamABa2am分布力偶矩分布力偶矩單位：單位：kNkNm/mm/m分布力偶矩作用的段，扭矩圖是斜直線。分布力偶矩作用的段，扭矩圖是斜直線。1122xmaT21 扭扭矩矩方方程程 2mxT )20(ax ma2T一、一、 薄壁圓筒的扭轉(zhuǎn)薄壁圓

10、筒的扭轉(zhuǎn)R0 0tR0 0平均半徑平均半徑t ( (或或) )筒壁厚度筒壁厚度薄壁：薄壁： R0 0 / t 10101. 1. 薄壁圓筒薄壁圓筒lMeMe11任取的任取的1-11-1橫截面上的扭矩可求。橫截面上的扭矩可求。8-3 8-3 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理剪切胡克定律剪切胡克定律R0 0tMeMe11eMT Me11T 求求1-11-1橫截面上的扭矩？橫截面上的扭矩？(1)(1)圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動；圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動；(2)(2)圓周線的大小和間距不變；圓周線的大小和間距不變；(3)(3)各縱向線傾斜同一角度；各縱向線傾斜同一角度；(4)(4)矩形網(wǎng)格變?yōu)槠叫兴倪呅?。矩形網(wǎng)格變

11、為平行四邊形。變形現(xiàn)象：變形現(xiàn)象：近似認(rèn)為管內(nèi)變形與管表面變形相同近似認(rèn)為管內(nèi)變形與管表面變形相同2 2. 實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)：CDABDC 微正六面體微正六面體微體只產(chǎn)生剪切變形。微體只產(chǎn)生剪切變形。沿圓周方向所有微體的剪切變形相同沿圓周方向所有微體的剪切變形相同 結(jié)論：結(jié)論： 橫截面上只存在切應(yīng)力，橫截面上只存在切應(yīng)力，沒有正應(yīng)力。沒有正應(yīng)力?？v向線傾斜的角度縱向線傾斜的角度 就是切應(yīng)變，就是切應(yīng)變，是由切應(yīng)力引起的。是由切應(yīng)力引起的。CDABDC 3 3. 切應(yīng)力的方向：切應(yīng)力的方向是與半徑垂直，切應(yīng)力的方向：切應(yīng)力的方向是與半徑垂直， 并與扭矩繞向一致。并與扭矩繞向一致。 TT 4 4. 切應(yīng)

12、力的計算：切應(yīng)力的計算： 因?yàn)楸诤鼙?，所以認(rèn)為沿壁厚方向切應(yīng)力均因?yàn)楸诤鼙。哉J(rèn)為沿壁厚方向切應(yīng)力均勻分布。勻分布。T R0切應(yīng)力的分布規(guī)律切應(yīng)力的分布規(guī)律 橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力的合橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力的合力為一力偶矩，此力偶矩就是力為一力偶矩，此力偶矩就是扭矩。扭矩。 20000022tRtRRdARRdATAAT R0 切應(yīng)力的大小切應(yīng)力的大小tRT202 二、二、 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理從圓筒上取出一微正六面體從圓筒上取出一微正六面體 dxdydxdytTMedxdytdydxt 切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理MeMet切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理: 在相互垂直的兩個平面在相互垂直的兩

13、個平面上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，上，切應(yīng)力必然成對出現(xiàn)，且大小相等，并都垂直于兩且大小相等，并都垂直于兩個平面的交線，方向則共同個平面的交線，方向則共同指向或共同背離這一交線。指向或共同背離這一交線。 dxdyt 純剪切應(yīng)力狀態(tài)純剪切應(yīng)力狀態(tài) 單元體的四個側(cè)面上只有切單元體的四個側(cè)面上只有切 應(yīng)力而無正應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)。應(yīng)力而無正應(yīng)力的應(yīng)力狀態(tài)。 思考思考已知單元體上、下兩個面上的切應(yīng)力，以下各圖中已知單元體上、下兩個面上的切應(yīng)力，以下各圖中所畫的其他面上的切應(yīng)力，哪個圖是正確的？所畫的其他面上的切應(yīng)力，哪個圖是正確的？ A B C D三、三、 剪切胡克定理剪切胡克定理 切應(yīng)變切應(yīng)變MeMe 用一

14、低碳鋼所做的圓軸做扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，在兩端截面上用一低碳鋼所做的圓軸做扭轉(zhuǎn)實(shí)驗(yàn)，在兩端截面上加力偶矩直至扭斷。加力偶矩直至扭斷。 b s p p剪切比例極限剪切比例極限 s剪切屈服極限剪切屈服極限 b剪切強(qiáng)度極限剪切強(qiáng)度極限剪切時的應(yīng)力剪切時的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線應(yīng)變關(guān)系曲線在剪切比例極限前，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。在剪切比例極限前，切應(yīng)力與切應(yīng)變成正比。 剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律剪切胡克定律G 剪切彈性模量。剪切彈性模量。 它與它與具有相同的量綱。常用單位：具有相同的量綱。常用單位： GPa 。 G, , E 和和 都是材料的彈性常量，它們中只有兩都是材料的彈性常量，它們中只有兩個是獨(dú)立的，關(guān)

15、系是個是獨(dú)立的，關(guān)系是 12EG( (在線在線彈性范圍內(nèi)彈性范圍內(nèi)) ) G 8-4 8-4 圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力強(qiáng)度條件強(qiáng)度條件 一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力一、等直圓軸扭轉(zhuǎn)時的應(yīng)力 rMeMe(1)(1)圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動；圓周線繞軸線相對轉(zhuǎn)動；(2)(2)圓周線大小和間距不變；圓周線大小和間距不變；(4)(4) 縱向線傾斜同一角度縱向線傾斜同一角度 ；(5)(5)矩形變?yōu)榱庑?。矩形變?yōu)榱庑?。變形現(xiàn)象：變形現(xiàn)象：實(shí)驗(yàn)：實(shí)驗(yàn)： 切應(yīng)變切應(yīng)變(3)(3)徑向直線仍然保持為直線；徑向直線仍然保持為直線； 圓軸扭轉(zhuǎn)變形前的橫截面，變形后仍保持為平面，圓軸扭轉(zhuǎn)變形前的橫截面，變形后仍保持為

16、平面，大小和形狀不變，半徑仍保持為直線，任意兩橫截面大小和形狀不變，半徑仍保持為直線，任意兩橫截面間的距離保持不變，但繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。間的距離保持不變，但繞軸線發(fā)生相對轉(zhuǎn)動。平面截面假設(shè)平面截面假設(shè)分析論證平面保持平面分析論證平面保持平面 rMeMe結(jié)論：結(jié)論：1 1. 橫截面上不產(chǎn)生正應(yīng)力；橫截面上不產(chǎn)生正應(yīng)力； ( (任意兩橫截面間的距離保持不變?nèi)我鈨蓹M截面間的距離保持不變。) )2 2. 橫截面上只產(chǎn)生剪應(yīng)力；橫截面上只產(chǎn)生剪應(yīng)力； ( (縱向線縱向線傾斜的角度傾斜的角度 就是切應(yīng)變，由切應(yīng)力引起。就是切應(yīng)變，由切應(yīng)力引起。) )3 3. 剪應(yīng)力的分布不是均勻分布。剪應(yīng)力的分布不是均

17、勻分布。理論分析理論分析與拉壓桿問題相比，圓軸扭轉(zhuǎn)問題的載荷和變形都與拉壓桿問題相比，圓軸扭轉(zhuǎn)問題的載荷和變形都要復(fù)雜一些，因此理論分析必須包含三類條件。要復(fù)雜一些，因此理論分析必須包含三類條件。三類條件三類條件變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系物理關(guān)系物理關(guān)系 靜力關(guān)系靜力關(guān)系1. 變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系橫截面周界上一點(diǎn)的切應(yīng)變橫截面周界上一點(diǎn)的切應(yīng)變距圓心為距圓心為 處一點(diǎn)的切應(yīng)變處一點(diǎn)的切應(yīng)變dxddxddxcc )(dxrddxCCtgr )(變形幾何關(guān)系：變形幾何關(guān)系： 扭轉(zhuǎn)角扭轉(zhuǎn)角 沿軸線的變化率；沿軸線的變化率；當(dāng)外力當(dāng)外力 一定時是一常量。一定時是一常量。上式表明上式表明: 橫截面上任

18、意一點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)到圓心的距橫截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)變與該點(diǎn)到圓心的距離成正比。距圓心相同的點(diǎn)切應(yīng)變相同，圓心處為離成正比。距圓心相同的點(diǎn)切應(yīng)變相同，圓心處為零，在外表面達(dá)到最大值。零，在外表面達(dá)到最大值。dxd )(dxd 2 2. 物理關(guān)系物理關(guān)系 O說明：橫截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力與它到圓心的距離說明：橫截面上任意一點(diǎn)的切應(yīng)力與它到圓心的距離 成正比，方向垂直于半徑，并與扭矩繞向一致。成正比，方向垂直于半徑，并與扭矩繞向一致。剪切胡克定律剪切胡克定律 G dxd dxdGdxdGG CdxdG 切應(yīng)力的分布規(guī)律：切應(yīng)力的分布規(guī)律： dxdG 實(shí)心圓截面實(shí)心圓截面空心圓截面空心圓截面T ma

19、x minrmax( ) T切應(yīng)力互等定理切應(yīng)力互等定理Trmax( ) nM3. 3. 靜力關(guān)系靜力關(guān)系 Ad AT極慣性矩極慣性矩基本變形公式基本變形公式Tr dA dxdG dAIAp 2 TIdxdGdAdxdGdAdxdGpAA 22 切應(yīng)力的計算式：切應(yīng)力的計算式：rIWPt 扭轉(zhuǎn)截面模量扭轉(zhuǎn)截面模量( (抗扭矩）抗扭矩）tpppmaxmaxWTrITITrIT dxdG 等直圓等直圓截面、圓環(huán)截面桿；截面、圓環(huán)截面桿；應(yīng)力不超過剪切比例極限。應(yīng)力不超過剪切比例極限。注意：公式的適用范圍注意：公式的適用范圍rmax( ) TPGITdxd D422322002232DDpADIdA

20、dd 空心圓截面空心圓截面 22224444213232DpAdIdAdDDd dD Od Dd Od1623PtD/DIW 43Pt1162 D/DIW 二、二、Ip和和Wt的計算的計算實(shí)心圓截面實(shí)心圓截面 44132 DIP324DIP 三、強(qiáng)度條件三、強(qiáng)度條件等直圓截面軸等直圓截面軸強(qiáng)度分析的三類問題：強(qiáng)度分析的三類問題：1. 1. 校核強(qiáng)度校核強(qiáng)度2 2. 設(shè)計橫截面直徑設(shè)計橫截面直徑3 3. 計算許用扭矩計算許用扭矩 maxtmaxWT 316 maxTd tmaxWT tmaxmaxWT階梯圓截面軸階梯圓截面軸 max max 四、圓軸扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象四、圓軸扭轉(zhuǎn)破壞現(xiàn)象 低碳鋼低碳鋼

21、: :沿橫截面斷裂，由切應(yīng)力引起。沿橫截面斷裂，由切應(yīng)力引起。 鑄鐵鑄鐵: :沿與軸線成沿與軸線成4545角左右的斜截面斷裂，由拉角左右的斜截面斷裂，由拉 應(yīng)力引起，因?yàn)榇诵苯孛嫔嫌凶畲蟮睦瓚?yīng)力。應(yīng)力引起，因?yàn)榇诵苯孛嫔嫌凶畲蟮睦瓚?yīng)力。MeMeMeMe8-5 8-5 圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形剛度條件剛度條件一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形一、圓軸扭轉(zhuǎn)時的變形1 1. 相對扭轉(zhuǎn)角相對扭轉(zhuǎn)角 d DTO1O2ababdxDATpGITdxd dxGITdp 相距為相距為dx的兩橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角為的兩橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角為d rMeMe l 相距為相距為l 的兩端橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角的兩端橫截面的相對扭轉(zhuǎn)

22、角 ：dxGITdlpl 0 對于僅在兩端受外力對于僅在兩端受外力偶矩作用的圓截面軸偶矩作用的圓截面軸其中其中GIp 抗扭剛度。抗扭剛度。（rad）pGITl o180 pGITl（）或者或者 階梯軸階梯軸AMe3Me1BCMe2求求A、C兩橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角？兩橫截面的相對扭轉(zhuǎn)角？ niPiiiniiGIlT11 注意注意：Ti 要代入符號計算。要代入符號計算。2 2. 單位扭轉(zhuǎn)角單位扭轉(zhuǎn)角 單位長度上的扭轉(zhuǎn)角。單位長度上的扭轉(zhuǎn)角。ppGITlGITll o180 pGIT（rad/m )（/m )或者或者二、剛度條件二、剛度條件1. 1. 對于等直圓軸對于等直圓軸 180pmaxmaxGI

23、T許可單位扭轉(zhuǎn)角，單位許可單位扭轉(zhuǎn)角，單位 : /m2. 2. 對于階梯軸對于階梯軸 180maxpmaxGIT max對于精密機(jī)械上的軸對于精密機(jī)械上的軸對于一般傳動軸對于一般傳動軸 m/.o300150 m/o2 0.5m2mABC思考思考AC軸是否滿足剛度要求？軸是否滿足剛度要求？ 。，已知：已知：m51 90 81 ooo/.BCAB 一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的變形特征一、非圓截面桿扭轉(zhuǎn)時的變形特征翹曲翹曲桿橫截面外周線改變原來的形狀，且橫桿橫截面外周線改變原來的形狀，且橫 截面將截面將不再保持平面不再保持平面。8-6 8-6 矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)自由扭轉(zhuǎn)兩端受

24、外力偶作用時，端面可以自由翹曲。兩端受外力偶作用時，端面可以自由翹曲。 也稱為純扭轉(zhuǎn)。也稱為純扭轉(zhuǎn)。非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)分類：非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)分類： 相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同，橫截面上只相鄰兩橫截面的翹曲程度完全相同，橫截面上只有切應(yīng)力而沒有正應(yīng)力。有切應(yīng)力而沒有正應(yīng)力。MeMe約束轉(zhuǎn)動約束轉(zhuǎn)動端面有約束不能自由翹曲。相鄰兩橫截端面有約束不能自由翹曲。相鄰兩橫截 面的翹曲程度不同，此時橫截面上有切面的翹曲程度不同，此時橫截面上有切 應(yīng)力，還有正應(yīng)力。應(yīng)力，還有正應(yīng)力。MeMe非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問題只能用彈性力學(xué)的方法求解非圓截面桿的扭轉(zhuǎn)問題只能用彈性力學(xué)的方法求解。Me二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)

25、二、矩形截面桿的自由扭轉(zhuǎn)矩形截面的切應(yīng)力分布圖：矩形截面的切應(yīng)力分布圖：maxm axo橫截面上周邊各點(diǎn)處的切應(yīng)力方向必與周邊相切，橫截面上周邊各點(diǎn)處的切應(yīng)力方向必與周邊相切， 且組成切應(yīng)力。且組成切應(yīng)力。橫截面的四個角點(diǎn)和形心處切應(yīng)力等于零。橫截面的四個角點(diǎn)和形心處切應(yīng)力等于零。最大切應(yīng)力發(fā)生在長邊的中點(diǎn)，短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力最大切應(yīng)力發(fā)生在長邊的中點(diǎn)，短邊中點(diǎn)處的切應(yīng)力 max 1 例例3.3. 如圖所示，一直徑為如圖所示，一直徑為d的實(shí)心圓軸和另一外徑的實(shí)心圓軸和另一外徑為內(nèi)徑為內(nèi)徑2 2倍的空心圓軸（外徑為倍的空心圓軸（外徑為d1）受相同的扭矩）受相同的扭矩T作用，作用，為使兩根軸的最大

26、切應(yīng)力相等，問空心圓軸截面的面積為使兩根軸的最大切應(yīng)力相等，問空心圓軸截面的面積應(yīng)為實(shí)心圓軸截面面積的百分之多少？應(yīng)為實(shí)心圓軸截面面積的百分之多少？Tdd1d1/2T1. 實(shí)心圓軸的最大切應(yīng)力實(shí)心圓軸的最大切應(yīng)力163dWt tmaxWT 2. 空心圓軸的最大切應(yīng)力空心圓軸的最大切應(yīng)力 411311t2116dddW 11tmaxWT 316dT 3121516dT 43121116dT 解解:Tdd1d1/2Tmaxmax1 欲使欲使3123151616dTdT 即即解得解得d.dd02111516311 2221221102111631632114d.ddA 781804021116322

27、21.dd.AA 空心圓軸空心圓軸截面面積截面面積兩圓軸截面兩圓軸截面面積之比面積之比 在同等扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度的條件下，空心圓軸截面面積只有在同等扭轉(zhuǎn)強(qiáng)度的條件下，空心圓軸截面面積只有實(shí)心圓軸截面面積的實(shí)心圓軸截面面積的78.18%78.18%，所以空心圓軸較為合理。，所以空心圓軸較為合理。例例4.4.如圖所示，由兩種不同材料制成的套管組合圓如圖所示，由兩種不同材料制成的套管組合圓軸受扭矩軸受扭矩T作用。外套管的外半徑為作用。外套管的外半徑為r1，切變模量為，切變模量為G1，內(nèi)圓軸的半徑為，內(nèi)圓軸的半徑為r2，切變模量為，切變模量為G2，設(shè)兩層材，設(shè)兩層材料的界面緊密結(jié)合不會相對錯動，求兩種材料橫截料

28、的界面緊密結(jié)合不會相對錯動，求兩種材料橫截面上的最大切應(yīng)力。面上的最大切應(yīng)力。lr1r2TT由靜力關(guān)系由靜力關(guān)系解解:21TTT 21 pIGlT1111 pIGlT2222 ppIGlTIGlT222111 界面不發(fā)生錯動界面不發(fā)生錯動由軸的變形公式由軸的變形公式（a）（b）（c）（d）將將(c)式代入式代入(b)可得可得lr1r2TTT1T2)(242411rrIp 4222rIp pmaxIrT1111 pmaxIrT2222 TIGIGrGpp221111 TIGIGrGpp221122 TIGIGIGTppp2211111 TIGIGIGTppp2211222 聯(lián)立求解聯(lián)立求解(a)

29、式和式和(d)式可得式可得由最大切應(yīng)力公式有由最大切應(yīng)力公式有其中其中 例例5. 如圖所示傳動軸，已知其轉(zhuǎn)速如圖所示傳動軸，已知其轉(zhuǎn)速n=200r/min，主，主動輪動輪2傳遞的功率為傳遞的功率為N2=80馬力，其余從動輪傳遞的功馬力，其余從動輪傳遞的功率分別為率分別為N1=25馬力、馬力、 N3=15馬力、馬力、 N4=30馬力及馬力及 N5=10馬力。若材料的許用切應(yīng)力馬力。若材料的許用切應(yīng)力 =20MPa，單位長，單位長度容許扭轉(zhuǎn)角度容許扭轉(zhuǎn)角 =0.5o/m，切變模量，切變模量G=82GPa，試確，試確定此軸的直徑。定此軸的直徑。12345Me1Me2Me3Me4Me51. 計算外力偶

30、矩計算外力偶矩解解:nN.M11e027 20025027 .mkN880 .nN.M2e2027 20080027 .m81kN2 .nN.M3e3027 20051027 .m53kN0 .nN.M4e4027 20030027 .m05kN1 .nN.M5e5027 20010027 .m35kN0 .n=200r/min， N1=25馬力、馬力、 N2=80馬力、馬力、N3=15馬力、馬力、 N4=30馬力、馬力、 N5=10馬力馬力123450.881.931.40.35mkN931 .Tmax2. 畫扭矩圖，找出最大扭矩。畫扭矩圖，找出最大扭矩。位于位于II段上段上T (kNm)M

31、e1=0.88Me2=2.81Me3=0.53Me4=1.05Me5=0.35123453. 根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計軸的直徑根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計軸的直徑 tmaxmaxWT163dWt 316 maxTd mm97820109311636. 即圓軸的直徑不得小于即圓軸的直徑不得小于78.9mm。 根據(jù)強(qiáng)度條件和剛度條件，圓軸的最小直徑為根據(jù)強(qiáng)度條件和剛度條件，圓軸的最小直徑為78.9mm，取，取79.0mm。 180pmaxmaxGIT 1803298.71082101109314336.m350/. m50/. 4. 校核其剛度：校核其剛度：3. 根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計軸的直徑根據(jù)強(qiáng)度條件設(shè)計軸的直徑 tmaxmaxWT163dWt 316 maxTd mm97820109311636. 即圓軸的直徑不得小于即圓軸的直徑不得小于78.9mm。 根據(jù)強(qiáng)度條件和剛度條件，圓軸的最小直徑為根據(jù)強(qiáng)度條件和剛度條件，圓軸的最小直徑為78.9mm，取，取79.0mm。 180pmaxmaxGITmm472. 4. 根據(jù)剛度條件設(shè)計軸的直徑根據(jù)剛度條件設(shè)計軸的直徑324dIP 423361805010821011093132 . 4218032 GTdmax 例例6.已知：已知：P7.5kW, n =100r/min, 空心圓軸的內(nèi)外空心圓軸的內(nèi)外徑