線性代數(shù)：矩陣2-6矩陣的秩

1、第六節(jié)第六節(jié) 矩陣的秩矩陣的秩., 2階子式階子式的的稱(chēng)為矩陣稱(chēng)為矩陣階行列式，階行列式，的的中所處的位置次序而得中所處的位置次序而得變它們?cè)谧兯鼈冊(cè)诓桓牟桓脑卦靥幍膫€(gè)處的個(gè)），位于這些行列交叉），位于這些行列交叉列（列（行行中任取中任取矩陣矩陣在在kAkAknkmkkkAnm 定義定義例例1,00000320002113011111 A,12111 第六節(jié)第六節(jié) 矩陣的秩矩陣的秩., 2階子式階子式的的稱(chēng)為矩陣稱(chēng)為矩陣階行列式，階行列式，的的中所處的位置次序而得中所處的位置次序而得變它們?cè)谧兯鼈冊(cè)诓桓牟桓脑卦靥幍膫€(gè)處的個(gè)），位于這些行列交叉），位于這些行列交叉列（列（行行中任取中任取

2、矩陣矩陣在在kAkAknkmkkkAnm 定義定義例例1,00000320002113011111 A.6200130111 .)()(0)(10 ArAArADrDkA或或的的秩秩，記記作作秩秩矩矩陣陣稱(chēng)稱(chēng)為為的的最最高高階階非非零零子子式式，數(shù)數(shù)稱(chēng)稱(chēng)為為矩矩陣陣那那末末，全全等等于于如如果果存存在在的的話話階階子子式式，且且所所有有階階子子式式的的中中有有一一個(gè)個(gè)不不等等于于設(shè)設(shè)在在矩矩陣陣 .)(中中非非零零子子式式的的最最高高階階數(shù)數(shù)是是的的秩秩矩矩陣陣AArAnm . 個(gè)個(gè)階子式共有階子式共有的的矩陣矩陣knkmCCkAnm 零矩陣的秩規(guī)定為零矩陣的秩規(guī)定為0 0。定義定義矩陣秩的性

3、質(zhì)：矩陣秩的性質(zhì)：(1) (1) 若若A為為nm 矩陣，則矩陣，則 ),min()(0nmAr ； ( (2 2) ) )()(ArArT ；)()(ArkAr ( (0 k) )； ( (3 3) ) 若若A有有一一個(gè)個(gè)r階階子子式式不不為為零零， 則則 rAr )(； 若若A的所有的所有1 r階子式全為零，則階子式全為零，則rAr )(； ( (4 4) ) 對(duì)對(duì)于于n階階方方陣陣A而而言言，有有 0)( AnAr； 可逆矩陣也稱(chēng)為可逆矩陣也稱(chēng)為滿秩矩陣滿秩矩陣。;0)( AnAr( (5 5) ) 設(shè)設(shè)QP,為為可可逆逆陣陣, ,則則 )()(ArPAr , ,)()(ArAQr . .

4、 例例2.174532321的秩的秩求矩陣求矩陣 A解解中，中，在在 A，階子式只有一個(gè)階子式只有一個(gè)的的又又AA3. 03221 ，且且0 A.2)( Ar例例3.00000340005213023012的秩的秩求矩陣求矩陣 B解解行，行，其非零行有其非零行有是一個(gè)行階梯形矩陣，是一個(gè)行階梯形矩陣，3B.4階子式全為零階子式全為零的所有的所有B,0400230312 而而.3)( Br若矩陣的每行第一個(gè)非零元的下方及左下方全為零，若矩陣的每行第一個(gè)非零元的下方及左下方全為零，則稱(chēng)之為則稱(chēng)之為階梯形矩陣階梯形矩陣。 00000317000521040232 540001003020021 00

5、0000400321 00000100000100000310 任意一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)一系列的初等行變換任意一個(gè)矩陣都可以經(jīng)過(guò)一系列的初等行變換化為階梯形矩陣?；癁殡A梯形矩陣。 初等變換不改變矩陣的秩。初等變換不改變矩陣的秩。階梯形矩陣的秩等于其中非零行的個(gè)數(shù)。階梯形矩陣的秩等于其中非零行的個(gè)數(shù)。矩陣秩的計(jì)算方法：矩陣秩的計(jì)算方法： 用初等行變換把矩陣化為階梯形，則該階梯用初等行變換把矩陣化為階梯形，則該階梯形矩陣中的非零行數(shù)就是所求矩陣的秩。形矩陣中的非零行數(shù)就是所求矩陣的秩。 例例4解解的秩的秩求矩陣求矩陣設(shè)設(shè)AA,41461351021632305023 41rr A 050233510

6、21632341461 4 146 1 11 3 40 117 9 120 128 12160 42rr 132rr 143rr 1281216011791201134041461 000840001134041461 233rr 244rr 34rr .3)( Ar 001134041461 8400 8400 00練習(xí)：練習(xí)：P83 習(xí)題二習(xí)題二33.(5) 34.補(bǔ)充題補(bǔ)充題1.1.設(shè)設(shè) 101100010A, , 求所有與求所有與A可交換的矩陣可交換的矩陣. . 2.2.若方陣若方陣A與與B可交換可交換, ,且且A可逆可逆, ,則則1 A與與B也可交換也可交換. . 3.3.設(shè)設(shè),2TxxEA 其中其中.),(4321Taaaax 若若,1 xxT 求求,TA ,2A ,TAA ,AAT.Ax 4.4.如果方陣如果方陣A與與B、