等腰直角三角形的性質(zhì)

1、課 題：3.1等腰三角形的性質(zhì)和判定義務(wù)教育課程標(biāo)準(zhǔn)實驗教科書數(shù)學(xué)（蘇科版）九年級上冊第一章第1節(jié)設(shè)計：連云港市連云區(qū)教研室 馬 敏點評：連云港市教育局教研室 孫朝仁【設(shè)計說明】本節(jié)課是蘇科版教材九（上）第一章圖形與證明（二）的第1節(jié)，從知識本身來看，學(xué)生在八年級時曾利用軸對稱性發(fā)現(xiàn)了等腰三角形的相關(guān)性質(zhì)，因此，學(xué)生對于結(jié)論很熟悉；從證明過程來看，由于在學(xué)習(xí)圖形與證明（一）時已接觸過有條理地思考與表達(dá)，因此，用綜合法書寫證明過程的基本格式學(xué)生也并不陌生；從活動經(jīng)驗來看，學(xué)生已初步體驗到觀察、操作、實驗、猜想得到的結(jié)論有時是不全面的、不深入的，甚至是錯誤的，已體會到證明的必要性，但這些感受還是較

2、膚淺的，并且剛上九年級的學(xué)生其演繹推理的能力還比較薄弱，思維的廣闊性、嚴(yán)密性、靈活性比較欠缺。因此，本節(jié)課的教學(xué)是從學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)出發(fā)，以學(xué)生自主探索、合作交流為主要方式，讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)學(xué)知識的形成與應(yīng)用的過程。具體來說，一是要通過創(chuàng)設(shè)具有啟發(fā)性的、學(xué)生感興趣的、有助自主學(xué)習(xí)和探索的問題情境，使學(xué)生在思維積極的狀態(tài)中進(jìn)行主動探究，發(fā)現(xiàn)證明等腰三角形的性質(zhì)和判定定理的證明思路，明確“怎么想”與“怎么寫”之間的關(guān)系；二是通過此探索活動進(jìn)一步理解合情推理和演繹推理都是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的重要途徑，體會證明的必要性，發(fā)展學(xué)生合乎邏輯的思考和有條理地表達(dá)能力；三是通過設(shè)計思考一個命題的逆命題的真假和對例題的

3、拓展，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)結(jié)論的另一個途徑，教會學(xué)善于從正反兩個不同的角度研究問題；四是通過積累活動經(jīng)驗，進(jìn)一步理解“觀察猜想概括論證”這一數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的過程，同時為后續(xù)的有關(guān)三角形、四邊形中相關(guān)定理的證明提供了經(jīng)驗儲備和證明依據(jù)?！窘虒W(xué)目標(biāo)】1能證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理；了解分析與思考的方法。2經(jīng)歷思考、猜想以及對操作活動的合理性進(jìn)行證明的過程，不斷感受證明的必要性，同時積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展邏輯推理能力。 3在動手實踐、自主探索、合作交流中獲得成功的體驗，建立自信心；感受數(shù)學(xué)推理的嚴(yán)密性，數(shù)學(xué)語言的簡潔性?！窘虒W(xué)重點、難點】教學(xué)重點：等腰三角形的性質(zhì)定理、判定定理的分析與證明方法。教學(xué)難

4、點：學(xué)會分析問題、解決問題，理解合情推理和演繹推理的作用【教學(xué)過程】一、 創(chuàng)設(shè)情境，引入新課1動畫演示折疊等腰三角形紙片的過程，提出如下問題：我們在八年級時曾通過折疊等腰三角形紙片，發(fā)現(xiàn)了一些性質(zhì)，你能說說看嗎？2點明課題：由此可見，觀察、操作都是我們發(fā)現(xiàn)一些結(jié)論的重要途徑，但僅僅通過觀察、操作所得到的結(jié)論有時是不全面的，甚至是錯誤的，所以有必要對所得到的結(jié)論進(jìn)行驗證。下面我們就用說理的形式來證明這兩個結(jié)論?！就ㄟ^動畫再現(xiàn)折疊過程，回憶等腰三角形的性質(zhì)，一方面活潑、熟悉地畫面能激發(fā)學(xué)生的興趣，激起學(xué)習(xí)的欲望，另一方面可以自然地引入本節(jié)課的主題，即證明由合情推理得出的結(jié)論的正確性，此外，這一操作

5、過程可以為下面的證明提供思路，特別是為如何添加輔助線提供方法。】二、合作交流，探索新知（一）等腰三角形的性質(zhì)定理1畫出圖形，并用幾何語言表示命題：等腰三角形的兩個底角相等。已知：如圖，在ABC中,AB=AC.求證:B=C【學(xué)生在八（下）的學(xué)習(xí)中雖然已經(jīng)涉及到文字題的證明，但對不少學(xué)生來說也還是較為困難的，因此此處可讓學(xué)生在獨(dú)立思考的基礎(chǔ)上合作完成，讓其進(jìn)一步在情境中理解文字題的證明步驟：先根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)命題，結(jié)合圖形寫出已知、求證。】2探索證明思路師：能說說你的證明思路嗎？【要證明B=C，學(xué)生通常會想到證明這兩角所在的兩個三角形全等，而圖中只有一個三角形，這就讓學(xué)生的思維推向了“邊緣

6、”。而由前面的折疊過程知，折痕兩邊的三角形顯然全等，這就為學(xué)生打開了思路，即可通過作出折痕這條輔助線，從而可以構(gòu)造出兩個全等三角形，而此時的折痕就是頂角的平分線,也是底邊上的中線,還是底邊上的高.】在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上，教師板書下列內(nèi)容：要證B=C， 只需證ABDACD。只需有 AB=AC， BAD=CAD，AD=AD?！就暾臄?shù)學(xué)證明學(xué)生沒有實質(zhì)接觸，而且這又是以前感受過的定理證明，既熟悉又陌生，所以學(xué)生會一時摸不著頭緒。故此處要留給學(xué)生充分的思考時間和空間，引導(dǎo)學(xué)生分析過程，幫助學(xué)生逐步完善證明思路，不斷發(fā)展學(xué)生合乎邏輯思考的能力。其實在證明題中，以上過程只是探索的一個大腦活動，并不要書寫，

7、因為初次接觸，所以有必要要板書過程?！?有條理的表達(dá)（1）討論思考與表達(dá)之間的關(guān)系怎么想怎么寫要證B=C， 只需證ABDACD。只需有 AB=AC， BAD=CAD，AD=AD?！疽?guī)范正確的證明書寫格式，即怎樣將頭腦想的思路轉(zhuǎn)化成數(shù)學(xué)語言，怎么描述，是困擾許多學(xué)生的一個問題。在學(xué)生討論的交流的基礎(chǔ)上，教師添加“箭頭” ，重現(xiàn)“小黑板”，點明“怎么想”是我們證明的思路，是從結(jié)論入手的，而寫出它的證明過程要從已知條件入手，也就是將“怎么想“的過程逆過來，二者是互逆關(guān)系。】（2）書寫證明過程D證明：作BAC的平分線AD.在ABD和ACD中,AB=AC(已知)，BAD=CAD(輔助線畫法)，AD=AD

8、(公共邊.ABDACD.(SAS)B=C（全等三角形的對應(yīng)角相等）。【以上是通過作BAC的平分線構(gòu)造兩個全等三角形的證明過程，當(dāng)然，學(xué)生也可能通過作底邊上的中線或底邊上的高來證明?！浚?）師：拿到一個命題，分析的時候從“結(jié)論”入手，而書寫的時候從“已知”入手，正好相反。以后我們會經(jīng)常用到這些方法。4數(shù)學(xué)歸納：以前我們通過折疊發(fā)現(xiàn)“等腰三角形的兩個底角相等”這一結(jié)論，今天我們又通過說理的方式證明了這一結(jié)論，因此把它稱之為“定理”，簡稱“等邊對等角”。【通過等腰三角形的其中一個性質(zhì)的證明，從用數(shù)學(xué)語言表述題目，到思考證明的思路，再到書寫證明過程，這一完整的數(shù)學(xué)活動才結(jié)束。同時從合情推理發(fā)現(xiàn)結(jié)論，到

9、用演繹推理證明結(jié)論，展示了得出定理的全過程，這也為今后學(xué)生的探索活動積累了活動經(jīng)驗?！?思維拓展：從上面的證明過程中,你還能得到其他結(jié)論嗎?【學(xué)生易從上述證明中,得到BD=DC,ADBC,從而說明了等腰三角形的頂角平分線既是底邊上的中線也是底邊上的高因此,即可得出定理“等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高互相重合”在此過程中，也讓學(xué)生感受到只要多觀察，多思考，就可能獲得一些數(shù)學(xué)結(jié)論，從而激起數(shù)學(xué)探究的欲望和興趣?！浚ǘ┑妊切蔚呐卸ǘɡ?提出探索方向：師：剛才我們證明了“等腰三角形的兩個底角相等”。接下來我們來研究它的逆命題，請你寫出這個逆命題，并證明它是正確的。 2個別學(xué)生展

10、示。3數(shù)學(xué)歸納：定理：如果一個三角形的兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等（簡稱“等角對等邊”）?！居辛饲懊娴幕顒臃e累，解決此問題對學(xué)生來說不是難事，故此處可先分組，讓學(xué)生在組內(nèi)交流證明思路，后由學(xué)生獨(dú)立完成此證明過程，教師巡回指導(dǎo)學(xué)困生。通過這一過程，一是鞏固證明命題的思考方法與表達(dá)形式，二是讓學(xué)生學(xué)會從正反兩個不同的角度研究問題，引導(dǎo)學(xué)生體會這也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一個途徑。此外，此活動形式也有利于開闊學(xué)生的視野，形成一個既有獨(dú)立思考，又有互相合作，廣泛交流的學(xué)習(xí)氛圍，培養(yǎng)了學(xué)生合作精神?！縀B CA 三、例題講解，應(yīng)用新知已知：EAC是ABC的外角，AD平分EAC ，且ADBC求證：AB=

11、AC1師生共同審題【在此過程中采用師問生答的形式，如看到AD平分EAC，你會想到什么？看到ADBC，你會想到什么？通過這種形式，一是通過由因探果，培養(yǎng)了學(xué)生的聯(lián)想能力；二是形式活潑，能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情。】2相互討論，交流證明思路【當(dāng)部分同學(xué)找到了問題的突破口，而少數(shù)找不到思路的同學(xué)也充分感知了困難后，及時組織學(xué)生進(jìn)行合作探究和交流，教師并作為合作者參與到學(xué)生的交流之中，小組合作交流后，請小組一名代表上臺講解，在此處要給學(xué)困生提供上臺機(jī)會，讓他們嘗到成功的喜悅。要想證明B=C，只需證B=C已知AD=，只需證AD=，在這一過程中，一是通過執(zhí)果索因，培養(yǎng)了學(xué)生的分析能力；二是可以激發(fā)學(xué)困生的自信心

12、，增強(qiáng)他們學(xué)好數(shù)學(xué)的信念?！?寫出證明過程（個別學(xué)生板演）4提出問題：剛才我們研究了等邊對等角，同時又研究了它的逆命題，仿照我們剛才研究問題的思路，請你將例題中一個條件與結(jié)論互換，看命題是否還成立，并說明理由?！倦m然前面學(xué)生已體會到研究一個命題時，不僅要研究其正確性，有時還要研究其逆命題，也有可能獲得數(shù)學(xué)結(jié)論。但此處讓學(xué)生主動地提出問題，有些困難，因此，教師此時就要引導(dǎo)學(xué)生向這一方向去思考。故此問題即指明了研究方向，又留給了學(xué)生探究的空間，學(xué)生可能會有兩種猜想：一是將AD平分EAC與AB=AC互換，二是將ADBC與AB=AC互換，此處課件中可演示動態(tài)互換，這樣更具有直觀性?！?成果展示：方案一

13、：如果“AB=AC，ADBC”，那么“AD平分EAC ”證明：ADBC，=，D=，=.=.即AD平分EAC方案二：如果AD平分EAC，那么ADBC證明：AD平分EAC，C=2D，=.又EAC是ABC的外角，C=B+=2.D=ADBC【在整個過程中要提供學(xué)生充分討論和交流的機(jī)會，展現(xiàn)學(xué)生的思路，并通過討論，引導(dǎo)學(xué)生體會推理的思考方法，并由學(xué)生自己逐步完善證明的思路。教師要注重學(xué)生的分析問題的過程，并要指出學(xué)生的書寫過程中的問題。并且通過設(shè)計這個例題與拓展延伸，再一次引導(dǎo)學(xué)生體會構(gòu)造一個命題的逆命題，這也是獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一個途徑，從而逐步發(fā)展數(shù)學(xué)思考的能力?！克?、總結(jié)回顧，內(nèi)化提升1本節(jié)課你有哪些

14、收獲?你認(rèn)為重點是什么?2本節(jié)課所運(yùn)用的學(xué)習(xí)方法對你今后學(xué)習(xí)有什么啟示?談?wù)勀愕目捶ā?你還有什么疑惑嗎？【這樣進(jìn)行課堂小結(jié)，關(guān)注學(xué)生個體差異，使每一個學(xué)生都有成功的學(xué)習(xí)體驗，得到相應(yīng)的提高和發(fā)展，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的主體意識，鍛煉學(xué)生的歸納總結(jié)能力。但學(xué)生的小結(jié)一般只停留在零散的知識層面上，因此教師有必要在學(xué)生小結(jié)的基礎(chǔ)上，從思想方法以及活動經(jīng)驗上加以提煉?！繋煟罕竟?jié)課我們就通過證明得到了等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理在此證明過程中，操作得到的結(jié)論等腰三角形的性質(zhì)和判定定理證明操作過程發(fā)現(xiàn)證明思路（作輔助線的方法）證明思路（怎么想）逆過來證明過程（怎么寫）我們還發(fā)現(xiàn)：操作過程可以為我們的證明提供

15、思路，特別是為如何添加輔助線提供方法；拿到一個命題，分析的時候從“結(jié)論”入手，而書寫的時候從“已知”入手，過程恰好相反；此外，對于一個命題來說，我們不僅要思考它的正確性，也常常要思考它的逆命題是否正確。也就是說，我們要學(xué)會從正反兩個不同的角度研究問題。五、課后拓展，升華認(rèn)識1舉例說明運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)定理及推論能夠解決的實際問題。 2舉例說明“逆推”這種思想方法在數(shù)學(xué)或生活中的應(yīng)用。評析：縱觀本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計，體現(xiàn)出以下三個特點：一是多元化目標(biāo)有機(jī)融于教學(xué)流程之中。設(shè)計者所確立的教學(xué)目標(biāo)既有具體實在的“能證明等腰三角形的性質(zhì)定理和判定定理”等結(jié)果性達(dá)成目標(biāo)，也有操作可行的“經(jīng)歷思考、猜想以及對

16、操作活動的合理性進(jìn)行證明的過程，不斷感受證明的必要性，積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展邏輯推理能力”等過程性揭示目標(biāo)，還有模糊受用的“在動手實踐、自主探索、合作交流中獲得成功的體驗，建立自信心”等情感性孕育目標(biāo)。這種課堂教學(xué)目標(biāo)設(shè)置的多元化，是新課程背景下課堂教學(xué)促進(jìn)學(xué)生全面、和諧、持續(xù)發(fā)展的重要體現(xiàn)。那么如何達(dá)成所預(yù)設(shè)的多元化目標(biāo)呢？設(shè)計者從理性角度提出了三個層次的構(gòu)想和設(shè)計。首先，課堂教學(xué)立足于學(xué)生已有的知識經(jīng)驗，從“折疊等腰三角形”出發(fā)，由合情推理得到其性質(zhì)，繼而引出如何用演繹推理來規(guī)范證明的問題，遵循了啟發(fā)式教學(xué)原則；其次，依據(jù)原則選擇立足于學(xué)生自我獲取知識的引導(dǎo)發(fā)現(xiàn)式教學(xué)法，輔之以多媒體等教學(xué)

17、手段，讓學(xué)生體會到“操作過程不僅可以提供證明思路，而且可以從中發(fā)現(xiàn)輔助線的添加方法”；第三，立足于學(xué)生的自主發(fā)展而將教法融于與之相匹配的教學(xué)流程之中，并細(xì)化或分解為可操作的教學(xué)技藝，緊緊扣住“命題的證明過程與分析過程”這一主線展開教學(xué)，最終形成“從不同的角度思考與研究問題”的認(rèn)識。應(yīng)該說，設(shè)計者能將多元化的教學(xué)目標(biāo)，通過宏觀層面的教學(xué)原則、中觀層面的教學(xué)方法和微觀層面的教學(xué)技藝落實在課堂教學(xué)行為之中，使原則得以體現(xiàn)、方法得以應(yīng)用、技藝得以展示、目標(biāo)得以落實。二是“思路、教路、學(xué)路”三者有機(jī)結(jié)合在教學(xué)過程之中。一個好的教學(xué)設(shè)計思路固然重要，但其體現(xiàn)在課堂教學(xué)中的“教路”與“學(xué)路”是否與之匹配也是

18、衡量課堂教學(xué)成功與否的關(guān)鍵?？v觀本課的教學(xué)設(shè)計，在“設(shè)計說明”中清晰的設(shè)計思路指引下，教學(xué)過程設(shè)計中的“教路”也十分明確，即在“合作交流，探索新知”這一板塊的教學(xué)中，對“等腰三角形的性質(zhì)定理”的教學(xué)進(jìn)行了較為詳細(xì)的引導(dǎo)，從“僅僅通過觀察、操作所得到的結(jié)論有時是不全面的，甚至是錯誤的，所以有必要對所得到的結(jié)論進(jìn)行驗證”的思想出發(fā)，逐步引導(dǎo)學(xué)生“畫出圖形并用符號語言表示出命題”并“探索證明思路”，抓住“怎么想”與“怎么寫”二者之間的關(guān)系讓學(xué)生進(jìn)行“有條理的表達(dá)”，在此基礎(chǔ)上引導(dǎo)學(xué)生“數(shù)學(xué)歸納”與“拓展思維”，揭示出本節(jié)課數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的本質(zhì)性內(nèi)容等腰三角形的性質(zhì)定理以及由此得到的一些結(jié)論；由于有了明確的

19、“教路”，其“學(xué)路”也顯得非常自然，表現(xiàn)在師生共同探索并證明了“等腰三角形的性質(zhì)定理”的基礎(chǔ)上，對“等腰三角形判定定理”的證明由學(xué)生來自完成則不是難事了，實現(xiàn)了“教是為了不教”的教學(xué)理想。三是教學(xué)過程設(shè)計的五個環(huán)節(jié)有機(jī)形成一個整體。本課所設(shè)計的五個教學(xué)環(huán)節(jié)，即“創(chuàng)設(shè)情境，引入新課”、“合作交流，探索新知”、“例題證明，應(yīng)用新知”、“總結(jié)回顧，內(nèi)在提升”、“課后拓展，升華認(rèn)識”等形成了一個有機(jī)的整體，它們構(gòu)成了一個具有特色的教學(xué)結(jié)構(gòu)，即問題情境探索活動變式訓(xùn)練歸納總結(jié)升華認(rèn)識，這也是新課程背景下初中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)的一般結(jié)構(gòu)。其中的探索活動是中心環(huán)節(jié)，問題情境是為學(xué)生進(jìn)行探索創(chuàng)造條件，而變式訓(xùn)練是鞏固和強(qiáng)化探索所得的知識和技能，歸納總結(jié)是使探索獲得的知