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文檔簡介
1、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和教學(xué)設(shè)計(jì)羅雪梅一、教學(xué)內(nèi)容分析本節(jié)課教學(xué)內(nèi)容是普通高中課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教科書·數(shù)學(xué)(5)(人教A版)中第二章的第三節(jié)“等差數(shù)列的前n項(xiàng)和”(第一課時(shí))本節(jié)課主要研究如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和以及該求和公式的應(yīng)用等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見,因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中經(jīng)常遇到的一類問題同時(shí),求數(shù)列前n項(xiàng)和也是數(shù)列研究的基本問題,通過對(duì)公式推導(dǎo),可以讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問題方法二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析在本節(jié)課之前學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及基本性質(zhì),也對(duì)高斯算法有所了解,這都為倒序相加法的教學(xué)提供了基礎(chǔ)高斯的算法與一般的等差數(shù)列求和還
2、有一定的距離,如何從首尾配對(duì)法引出倒序相加法,這是學(xué)生學(xué)習(xí)的障礙三、設(shè)計(jì)思想建構(gòu)主義學(xué)習(xí)理論認(rèn)為,學(xué)習(xí)是學(xué)生積極主動(dòng)地建構(gòu)知識(shí)的過程,因此,應(yīng)該讓學(xué)生在具體的問題情境中經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展,讓學(xué)生利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn),自主地在教師的引導(dǎo)下促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的建構(gòu)在教學(xué)過程中,根據(jù)教學(xué)內(nèi)容,從介紹高斯的算法開始,探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法通過設(shè)計(jì)一些從簡單到復(fù)雜,從特殊到一般的問題,層層鋪墊,組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路,并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開自主、合作、探究學(xué)習(xí),通過生生互動(dòng)和師生互動(dòng)等形式,讓學(xué)生在問題解決中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)四、教學(xué)目標(biāo)1、知識(shí)目標(biāo)
3、理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程;掌握并能熟練運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式;了解倒序相加法的原理;2、能力目標(biāo)經(jīng)歷公式的推導(dǎo)過程,體會(huì)數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想,體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、反思的能力;通過小組討論學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)3、情感目標(biāo)通過生動(dòng)具體的現(xiàn)實(shí)問題,激發(fā)學(xué)生探究的興趣和欲望,樹立學(xué)生求真的勇氣和自信心,增強(qiáng)學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)心理體驗(yàn),產(chǎn)生熱愛數(shù)學(xué)的情感,體驗(yàn)在學(xué)習(xí)中獲得成功。五、教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)本節(jié)教學(xué)重點(diǎn)是探索并掌握等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式,學(xué)會(huì)用公式解決一些實(shí)際問題;難點(diǎn)是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)思路的獲得六、教學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)創(chuàng)設(shè)情景 :問題
4、1:如圖,一個(gè)堆放鉛筆的V形架的最下面一層放一支鉛筆,往上每一層都比它下面一層多放一支鉛筆,最上面一層放100根, 這個(gè)V形架上共放著多少根鋼管?設(shè)計(jì)意圖 情境學(xué)習(xí)理論認(rèn)為:數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)總是與一定的知識(shí)背景,即“情境”相聯(lián)系從實(shí)際問題入手,圖中蘊(yùn)含算數(shù),能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)新知識(shí)的興趣,并且可引導(dǎo)學(xué)生共同探討高斯算法更一般的應(yīng)用,為新課的講解作鋪墊知識(shí)鏈接 高斯,德國著名數(shù)學(xué)家,被譽(yù)為“數(shù)學(xué)王子”。高斯讀四年級(jí)時(shí)他的算術(shù)教師提出了下面的問題: 123+100?據(jù)說,當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個(gè)數(shù)逐項(xiàng)相加時(shí),10歲的高斯卻用下面的方法迅速算出了正確答案:首項(xiàng)與末項(xiàng)的和:1+100=101, 第2項(xiàng)與倒數(shù)第2項(xiàng)
5、的和:2+99=101, 第3項(xiàng)與倒數(shù)第3項(xiàng)的和:3+98=101, 第50項(xiàng)與倒數(shù)第50項(xiàng)的和:50+51=101,于是所求的和是101×=5050上面的問題可以看成是求等差數(shù)列1,2,3,n, 的前100項(xiàng)的和,高斯算法的高明之處在于他將不同數(shù)的的求和問題轉(zhuǎn)化為相同數(shù)的求和問題,將加法問題轉(zhuǎn)化為乘法運(yùn)算,迅速準(zhǔn)確得到了結(jié)果.。學(xué)情預(yù)設(shè)高斯的算法蘊(yùn)涵著求等差數(shù)列前n項(xiàng)和一般的規(guī)律性教學(xué)時(shí),應(yīng)給學(xué)生提供充裕的時(shí)間和空間,讓學(xué)生自己去觀察、探索發(fā)現(xiàn)這種數(shù)列的內(nèi)在規(guī)律學(xué)生對(duì)高斯的算法是熟悉的,知道采用首尾配對(duì)的方法來求和,但估計(jì)他們對(duì)這種方法的認(rèn)識(shí)可能處于記憶階段,為了促進(jìn)學(xué)生對(duì)這種算法
6、的進(jìn)一步理解,設(shè)計(jì)了以下兩個(gè)問題(二)由易到難,在自主探究與合作中學(xué)習(xí)問題2:Sn=123+(n-1)+n?學(xué)情預(yù)設(shè) 學(xué)生通過激烈的討論后,發(fā)現(xiàn)n為奇數(shù)時(shí)不能配對(duì),可能會(huì)分n為奇數(shù)、偶數(shù)的情況分別求解,教師如何引導(dǎo)學(xué)生避免討論成為該環(huán)節(jié)的關(guān)鍵學(xué)生可能出現(xiàn)以下求法:方法1:(分類討論)當(dāng)n為偶數(shù)時(shí),當(dāng)n為奇數(shù)時(shí),綜上:方法2:Sn =1 + 2 + 3 + +(n1) + n Sn =n +(n1)+ (n2)+ + 2 + 1_2 Sn = (n+1) + (n+1) + (n+1) + +(n+1) + (n+1) Sn = 1 + 2 + 3 + + n = 設(shè)計(jì)意圖 從求確定的前n個(gè)正整
7、數(shù)之和到求一般項(xiàng)數(shù)的前n個(gè)正整數(shù)之和,讓學(xué)生領(lǐng)會(huì)從特殊到一般的研究方法,旨在讓學(xué)生對(duì)“首尾配對(duì)求和”這一算法的改進(jìn)問題3:在公差為d的等差數(shù)列an中,定義前n項(xiàng)和Sn=a1+a2+an,如何求Sn?由前面的大量鋪墊,學(xué)生應(yīng)容易得出如下過程:Sn=a1 + (a1+d) + (a1+2d) +a1+(n1)d Sn=an + (and) +(an2d)+an(n1)d (公式1)組織學(xué)生討論:在公式1中若將an=a1+(n1)d代入又可得出哪個(gè)表達(dá)式?即:(公式2)(三)例題講解對(duì)于以上兩個(gè)公式,初學(xué)的學(xué)生在解決一些問題時(shí),往往不知道該如何選取教師應(yīng)通過適當(dāng)?shù)睦右龑?dǎo)學(xué)生對(duì)這兩個(gè)公式進(jìn)行分析,根
8、據(jù)公式各自的特點(diǎn),幫助學(xué)生恰當(dāng)?shù)剡x擇合適的公式例1、一個(gè)梯形筆架,最下面一層放著20支筆,往上一層都比它往下面一層多放1支,最上面一層放100支,這個(gè)筆架上共放著多少支筆? 用梯形面積公式記憶等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式:例2、 2000年11月14日教育部下發(fā)了關(guān)于在中小學(xué)實(shí)施“校校通” 工程的通知.某市據(jù)此提出了實(shí)施“校校通” 工程的總目標(biāo):從2001年起用10年的時(shí)間,在全市中小學(xué)建成不同標(biāo)準(zhǔn)的校園網(wǎng)。據(jù)測算,2001年該市用于“校校通”工程的經(jīng)費(fèi)為500萬元.為了保證工程的順利實(shí)施,計(jì)劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內(nèi),該市在“校校通”工程中的總投入是多
9、少?(四)課堂練習(xí)課本P46習(xí)題練習(xí)1、3(五)回顧反思,深化知識(shí)組織學(xué)生共同反思本節(jié)課的教學(xué)內(nèi)容及思想方法,共同完成課堂小結(jié),實(shí)現(xiàn)對(duì)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的再次深化1. 數(shù)列an前 n項(xiàng)和公式的概念2. 等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程3. 等差數(shù)列前 n項(xiàng)和公式及公式應(yīng)用(六)布置作業(yè)課本P46習(xí)題23,第1題(1)(3),第2題(3)(4)七、教學(xué)反思“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的推導(dǎo)不只一種方法,本節(jié)課是通過介紹高斯的算法,探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的求和該方法反映了等差數(shù)列的本質(zhì),可以進(jìn)一步促進(jìn)學(xué)生對(duì)等差數(shù)列性質(zhì)的理解,而且該推導(dǎo)過程體現(xiàn)了人類研究、解決問題的一般思路本節(jié)課教學(xué)過程的難點(diǎn)在于如何獲得推導(dǎo)公式的“倒序相加法”這一思
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