第七章解析幾何與微分幾何SECTION6

1、§6 二次曲面一、 球面 球面的方程、球心與半徑方程與圖形球心與半徑或(球面坐標方程.式中j為經度,q為余緯度)球心G(0,0,0)半徑R或(球面坐標方程式中j,q同上) 球心G(a,b,c)半徑R 方程與圖形 球心與半徑球心半徑球面的切面與法線 設一平面P通過球面上一點M且垂直于半徑GM,則稱P為球面在M的切面.直線MG稱為球面在點M的法線.設球面方程為則球面在點M()的切面方程為球面在點M()的法線方程為兩個球面的交角 設兩個球面=0=0兩個球面的交角是指它們在交點的兩個切面的夾角,記作q,則因公式中不包含交點的坐標,所以在兩個球面的交線上的各點的交角必相等.兩個球面的正交條件為

2、球面束·兩個球面的根面 設式中和如(1)式定義,為參數(shù),則有對的一個確定值,表示一個球面,當取一切值時,所表示的球面的全體稱為球面束.時為一平面,稱為兩個球面的根面,其方程為根面與和的連心線垂直,束中任一球面的中心在連心線上,且分連心線的比為.球面匯·三個球面的根軸 設和如(1)式定義,又設設式中為二獨立參數(shù),則有對的一對確定值,表示一個球面,當取一切值時,所表示的球面的全體稱為球面匯.三個球面中每對球面的根面分別為和這三個平面交于一條直線,稱為的根軸.二、 橢球面方程與圖形基本元素特征橢球面當a=b時為旋轉橢球面 (在Ozx平面上的曲線 繞z軸旋轉而得到)當a=b=c時為

3、球面頂點主軸主平面及其方程: Oxy平面z=0 Oyz平面x=0 Ozx平面y=0主軸的方程:AA y=z=0 BB z=x=0 CC x=y=0中心O(0,0,0)直徑平面通過中心的平面任一平面與橢球面的交線為一橢圓(特殊情況下為一圓).平行于一已知方向d的一組弦的中點在一個平面上,該平面是一直徑平面,它共軛于方向d.三個主平面是分別共軛于主軸的直徑平面.橢球體的體積:三、 雙曲面方程與圖形基本元素特征單葉雙曲面雙葉雙曲面當a=b時,為旋轉雙曲面(在Oxz平面上的曲線繞z軸旋轉而得到)主軸中心O(0,0,0)主平面及其方程:Oxy平面z=0Oyz平面x=0Ozx平面y=0 平行于z軸的平面與

4、雙曲面的交線都是雙曲線(對于單葉雙曲面,可能是一對相交直線).平行于Oxy平面的平面與雙曲面的交線都是橢圓.單葉雙曲面上有兩族直母線,它們的方程是 (l為參數(shù))與 ( m為參數(shù))四、拋物面方程與圖形基本元素特征橢圓拋物面當a=b時,為旋轉拋物面(在Ozx平面上的曲線繞z軸旋轉而得到)雙曲拋物面頂點O(0,0,0)主軸z軸主平面及其方程:Oyz平面x=0Ozx平面y=0橢圓拋物面與平行于z軸的平面的交線是拋物線;與平行于Oxy的平面的交線都是橢圓.體積體積雙曲拋物面與平行于Oyz的平面(或平行于Ozx的平面)的交線是拋物線;與平行于Oxy的平面的交線是雙曲線.雙曲拋物面的形狀呈馬鞍形,所以也稱為

5、馬鞍面.雙曲拋物面上有兩族直母線,它們的方程是 (l為參數(shù))與(m為參數(shù))五、 錐面與柱面方程與圖形基本元素特征橢圓錐面當a=b時, 為圓錐面(在Oxz平面上的直線繞z軸旋轉而得到)主軸z軸頂點原點Oa,b為z=c的平面與錐面的交線(橢圓)的半軸橢圓錐面與平行于Oxy的平面z=h的交線是橢圓與Oxy平面交于原點O.橢圓柱面當a=b時,為圓柱面準線的方程為母線的方向數(shù)為(0,0,1)橢圓柱面與任何平行于Oxy的平面的交線都是同樣的橢圓雙曲柱面準線的方程為母線的方向數(shù)為 (0,0,1) 方程與圖形 基本元素 特征拋物柱面準線的方程為母線的方向數(shù)為 (0,0,1)漸近錐面二次錐面為雙曲面的漸近錐面與

6、雙曲線的漸近線類似,通過z軸的每個平面與雙曲面的交線為一對共軛雙曲線,與錐面的交線是兩條直線,即這對雙曲線的漸近線.六、 一般二次曲面1. 二次曲面的一般性質上面所列舉的橢球面、雙曲面、拋物面等,它們的方程關于x,y,z都是二次的.關于x,y,z的一般二次方程的形式是它表示的曲面稱為一般二次曲面.這里列舉這些曲面的一些共同性質. 直線與二次曲面的交點 一直線與一個二次曲面交于兩點(實的,虛的,重合的).或者這直線全在曲面上,此時稱它為二次曲面的直母線或母線. 平面與二次曲面的交線 任一平面與一個二次曲面的交線為一個二次曲線. 二次曲面的直徑平面與中心 一個二次曲面的平行于已知方向的弦的中點在一

7、個平面上,稱為直徑平面,它平分某一組平行弦.設已知方向的方向數(shù)為l,m,n,則直徑平面的方程為或改寫為當l,m,n變動時,這個方程表示一個平面把,由此二次曲面的直徑平面組成一個平面把.把內任一平面都通過下列三個平面的交點:如果交點不在曲面上,則稱它為二次曲面的中心,如果交點在曲面上,則稱它為二次曲面的頂點.凡有中心的二次曲面稱為有心二次曲面,其余的都稱為無心二次曲面. 二次曲面的主平面與主軸 如果直徑平面垂直于被它所平分的弦,則稱為主平面(對稱平面),每個二次曲面至少有一個實主平面,非旋轉二次曲面的任兩主平面是互相垂直的,它們的交線為主軸. 二次曲面的切面與法線 二次曲面在一點M()的切面方程

8、為在點M與二次曲面的切面垂直的直線稱為曲面在點M的法線,它的方程可寫為 二次曲面的圓截面 如果一個平面與一個二次曲面的交線為一個圓,則稱該平面為曲面的圓截面.如果二次曲面不是球面,則通過空間中一點,二次曲面有六個圓截面;其中一般有兩個實圓截面,四個虛圓截面;而且六個圓截面中有幾個是重合的.2. 二次曲面的不變量由二次曲面的一般方程 (1)的系數(shù)組成的下列四個函數(shù):稱為二次曲面的不變量,即經過坐標變換后,這些量是不變的.行列式稱為二次方程(1)的判別式.3. 二次曲面的標準方程及形狀不變量坐標變換后的方程曲線形狀有心二次曲面D>0式中A,B,C,為特征方程的三個特征根A,B,C,異號時為單葉雙曲面A,B,C,同號時無軌跡D<0A,B,C, 同號時為橢球面A,B,C, 異號時為雙葉雙曲面D=0A,B,C,同號時無軌跡A,B,C,異號時為二次錐面D = 0無心二次曲面D<0橢圓拋物面(A,