第一類曲線曲面積分續(xù)

1、第八章 曲線積分與曲面積分（續(xù)）上次課介紹了第一類曲線積分的定義、第一類曲線積分的計算方法以及第一類曲面積分的定義。從定義可以看出第一類曲線、曲面積分實際上是定積分的推廣。若函數(shù)在曲線弧上連續(xù)，參數(shù)方程為（）其中，且與不同時為零則上面公式表明，計算對弧長的曲線積分只須依次將代入到積分中對其從到求定積分即可（這里積分下限始終小于上限）積分曲線為空間曲線的情形時有計算下列第一類曲線積分P186 2(4)(7)(8)（4）,為球面與平面的交線解 將代入得令則，（7），為曲線，上相應(yīng)于從變到的一段弧，為上的切向量，指向參數(shù)增加的方向，解 ，（8），為橢圓周，為的外法向量，解 記，則的外法線方向向量為單

2、位法向量為的參數(shù)方程為：，第一類曲面積分定義數(shù)量值函數(shù)在曲面上的積分又稱為第一類曲面積分可以證明，如果函數(shù)在上連續(xù)，則第一類曲面積分一定存在如果積分曲面為封閉曲面，習(xí)慣上寫成同樣第一類曲面積分具有線性性質(zhì)以及關(guān)于積分曲面具有可加性二、第一類曲面積分的計算第一類曲面積分可以化為二重積分來計算設(shè)曲面方程為，該曲面在面上的投影區(qū)域為，函數(shù)在上連續(xù)，則下面解釋一下上面公式由于在上取值，所以被積函數(shù)中用表示，被積函數(shù)成為，而曲面面積元素，由二重積分應(yīng)用可知同樣，如果積分曲面由或表示也有類似的計算公式例1計算曲面積分，其中是夾在平面（）與平面之間的一部分解的方程為，（）這里為投影區(qū)域于是有例2 計算，其中

3、是由圓柱面，平面和所圍立體的表面解由頂面、底面和側(cè)面構(gòu)成，見下圖對于，方程為，對于，對于，被面分為兩塊，它們的方程分別為和，它們在面上的投影區(qū)域均為，用不等式組表示為，并且都有于是于是三、數(shù)值函數(shù)在幾何形體上的積分及其物理應(yīng)用綜述從已經(jīng)學(xué)過的積分的定義來看，研究的都是數(shù)值函數(shù)，并且都是通過：分割幾何形體，求函數(shù)值與小幾何形的度量的乘積，求乘積之和，取極限于是以前學(xué)過的幾種積分的定義可以統(tǒng)一敘述如下定義設(shè)是一個幾何形體（它可以是直線段、平面區(qū)域、空間區(qū)域、曲線、曲面），是上的有界數(shù)量值函數(shù)將幾何形體任意分成若干個小幾何形體，并把的度量記為（）（它是長度、面積、或為體積）在每一中任取一點(diǎn)，作和式（）并記的最大直徑，如果當(dāng)時，這和的極限總存在，則稱此極限值為函數(shù)在幾何形體上積分，記作，即在此定義下，當(dāng)分別為區(qū)間、平面區(qū)域、空間區(qū)域、曲線、曲面時，分別表示如下的積分：，對于數(shù)值函數(shù)的物理應(yīng)用，無論是哪種形體，都有如下公式的質(zhì)量的質(zhì)心坐標(biāo)，繞軸、軸、軸和坐標(biāo)原點(diǎn)的轉(zhuǎn)動慣