第3章第4節(jié)實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程

1、七年級(jí)數(shù)學(xué)（人教版上）同步練習(xí)第三章 第四節(jié) 實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程一. 教學(xué)內(nèi)容：       實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程1. 體會(huì)數(shù)學(xué)建模思想. 2. 進(jìn)一步探究如何用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題.  二. 知識(shí)要點(diǎn)：1. 數(shù)學(xué)建模這里所講的數(shù)學(xué)建模是利用數(shù)學(xué)方法（一元一次方程）解決實(shí)際問(wèn)題的一種實(shí)踐. 即通過(guò)抽象、簡(jiǎn)化、假設(shè)、引進(jìn)變量等處理過(guò)程后，將實(shí)際問(wèn)題用數(shù)學(xué)方式（一元一次方程）表達(dá)，建立起數(shù)學(xué)模型，然后運(yùn)用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行求解. 建立數(shù)學(xué)模型的這個(gè)過(guò)程就稱(chēng)為數(shù)學(xué)建模. 2. 用一元一次方程解決實(shí)際問(wèn)題的幾個(gè)注意事項(xiàng)（1）先弄

2、清題意，找出相等關(guān)系，再按照相等關(guān)系來(lái)選擇未知數(shù)和列代數(shù)式，比先設(shè)未知數(shù)，再找出含有未知數(shù)的代數(shù)式，再找相等關(guān)系更為合理. （2）所列方程兩邊的代數(shù)式的意義必須一致，單位要統(tǒng)一，數(shù)量關(guān)系一定要相等. （3）要養(yǎng)成“驗(yàn)”的好習(xí)慣，即所求結(jié)果要使實(shí)際問(wèn)題有意義. （4）不要漏寫(xiě)“答”、“設(shè)”和“答”都不要丟掉單位名稱(chēng). （5）分析過(guò)程可以只寫(xiě)在草稿紙上，但一定要認(rèn)真.  三. 重點(diǎn)難點(diǎn)：1. 重點(diǎn)：進(jìn)一步體現(xiàn)一元一次方程與實(shí)際的密切聯(lián)系，滲透數(shù)學(xué)建模思想，培養(yǎng)運(yùn)用一元一次方程分析和解決實(shí)際問(wèn)題的能力. 2. 難點(diǎn)：本講問(wèn)題的背景和表達(dá)都比較貼近實(shí)際，其中有些數(shù)量關(guān)系比較隱蔽，所以在探究過(guò)

3、程中正確地列方程是主要難點(diǎn). 突破難點(diǎn)的關(guān)鍵是弄清問(wèn)題背景，分析清楚有關(guān)數(shù)量關(guān)系，特別是找出可以作為列方程依據(jù)的主要相等關(guān)系.  【典型例題】例1. 墻上釘著一根彩繩圍成的梯形形狀的飾物，如圖中實(shí)線所示. 小明將梯形下底的釘子去掉，并將這條彩繩釘成一個(gè)長(zhǎng)方形，如圖中虛線所示. 小明所釘長(zhǎng)方形的長(zhǎng)、寬各為多少厘米？       分析：飾物形狀變化前后有兩個(gè)不變的量，一個(gè)是周長(zhǎng)，另一個(gè)是變化前梯形的上底和變化后長(zhǎng)方形的寬. 根據(jù)題意可設(shè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，則長(zhǎng)方形的周長(zhǎng)為2x2×10，梯形的周長(zhǎng)為101010610652.

4、 則2x2052，從而解得x16.        解：設(shè)小明所釘長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為x，根據(jù)題意得：2x2×101010610610整理得，2x2052解得，x16由于飾物變化前后長(zhǎng)度為10的邊沒(méi)有變化，所以長(zhǎng)方形的一邊長(zhǎng)為10厘米. 答：長(zhǎng)方形的長(zhǎng)為16厘米，寬為10厘米.        評(píng)析：圖形變化問(wèn)題的等量關(guān)系往往是變化前后的周長(zhǎng)相等、面積相等、體積相等.  例2. 一批貨物，甲把原價(jià)降低10元賣(mài)出，用售價(jià)的10%做積累，乙把原價(jià)降低20元，用售價(jià)的20%

5、做積累，若兩種積累一樣多，則這批貨物的原售價(jià)是多少？       分析：設(shè)這批貨物的原售價(jià)為x元，則甲的積累是（x10）×10%元，乙的積累是（x20）×20%，相等關(guān)系是：甲的積累乙的積累.        解：設(shè)這批貨物的原售價(jià)為x元，根據(jù)題意得：（x10）×10%（x20）×20%化簡(jiǎn)得：x102（x20）即x102x40解得x30答：這批貨物的原售價(jià)為30元.       

6、; 評(píng)析：這個(gè)問(wèn)題的相等關(guān)系比較簡(jiǎn)單，難點(diǎn)是對(duì)兩個(gè)百分?jǐn)?shù)的處理.  例3.某足球比賽的計(jì)分規(guī)則為勝一場(chǎng)得3分，平一場(chǎng)得1分，負(fù)一場(chǎng)得0分. 一個(gè)隊(duì)踢14場(chǎng)球負(fù)5場(chǎng)共得19分，問(wèn)這個(gè)隊(duì)勝了幾場(chǎng)？       分析：根據(jù)題意，所得的19分是踢勝的場(chǎng)數(shù)和踢平的場(chǎng)數(shù)所得的積分，而踢勝的場(chǎng)數(shù)和踢平的場(chǎng)數(shù)共1459場(chǎng)，如果設(shè)勝了x場(chǎng)，那么踢平的場(chǎng)數(shù)就是9x場(chǎng). 分別乘它們的分值，和為19.        解：設(shè)勝了x場(chǎng)，根據(jù)題意得：3x1×（14x5）19即3x9x1

7、9解得x5答：這個(gè)隊(duì)勝了5場(chǎng).        評(píng)析：積分多少與勝、平、負(fù)的場(chǎng)數(shù)相關(guān)，同時(shí)也與比賽積分規(guī)定有關(guān)，如果對(duì)體育比賽有一定了解，會(huì)有助于理解題意.  例4.某石油進(jìn)口國(guó)這個(gè)月的石油進(jìn)口量比上個(gè)月減少了5%，由于國(guó)際油價(jià)上漲，這個(gè)月進(jìn)口石油的費(fèi)用反而比上個(gè)月增加了14%. 求這個(gè)月的石油價(jià)格相對(duì)上個(gè)月的增長(zhǎng)率.        分析：數(shù)量關(guān)系如下表： 上個(gè)月這個(gè)月石油進(jìn)口量115%進(jìn)口石油費(fèi)用1114%石油價(jià)格11x   

8、    解：設(shè)這個(gè)月的石油價(jià)格相對(duì)上個(gè)月的增長(zhǎng)率為x. 根據(jù)題意得：（1x）（15%）114%解得x1/220%答：這個(gè)月的石油價(jià)格相對(duì)上個(gè)月的增長(zhǎng)率為20%.        評(píng)析：借助表格來(lái)分析較復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系. 這道題所用的相等關(guān)系是：數(shù)量×價(jià)格費(fèi)用.  例5.2001年以來(lái)，我市藥店積極實(shí)施藥品降價(jià)，累計(jì)降價(jià)的總金額為269億元. 五次藥品降價(jià)的年份與相應(yīng)降價(jià)金額如下表所示，表中缺失了2003年，2007年的相關(guān)數(shù)據(jù). 已知2007年藥品降價(jià)金額是2003年藥品降價(jià)金額的6倍，結(jié)

9、合表中信息，求2003年和2007年的藥品降價(jià)金額. 年份20012003200420052007降價(jià)金額（億元）54 3540       分析：相等關(guān)系較為明顯，可以根據(jù)累計(jì)降價(jià)的總金額為269億元列方程，結(jié)合表格如果設(shè)2003年降價(jià)金額為x億元，則2007年降價(jià)金額為6x億元，有54x35406x269.        解：設(shè)2003年降價(jià)金額為x億元，根據(jù)題意得：54x35406x269整理得，7x140解得，x206x6×20120答：

10、2003年和2007年藥品降價(jià)金額分別是20億元和120億元       評(píng)析：這個(gè)問(wèn)題是以表格形式傳遞信息的，這種形式在現(xiàn)實(shí)中很普遍，重點(diǎn)培養(yǎng)從不同形式獲取有關(guān)數(shù)據(jù)信息，是值得注意的問(wèn)題.  例6.初一（1）班有學(xué)生60人，其中參加數(shù)學(xué)小組的有36人，參加英語(yǔ)小組的人數(shù)比參加數(shù)學(xué)小組的人數(shù)少5人，并且這兩個(gè)小組都不參加的人數(shù)比兩個(gè)小組都參加的人數(shù)的1/4多2人，則同時(shí)參加這兩個(gè)小組的人數(shù)是    （   ）     

11、0; A. 16                           B. 12                  C. 10   

12、0;                       D. 8            解：B       評(píng)析：這道題的數(shù)量關(guān)系非常復(fù)雜，但是結(jié)合圖形可以使其變得很明朗.  【方法總結(jié)】應(yīng)用數(shù)學(xué)知識(shí)去研究

13、和和解決實(shí)際問(wèn)題，遇到的第一項(xiàng)工作就是建立恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型. 從這一意義上講，可以說(shuō)數(shù)學(xué)建模是一切科學(xué)研究的基礎(chǔ). 沒(méi)有一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型就不可能得到較好的研究結(jié)果，所以，建立一個(gè)較好的數(shù)學(xué)模型乃是解決實(shí)際問(wèn)題的關(guān)鍵之一. 數(shù)學(xué)建模將各種知識(shí)綜合應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題中，是培養(yǎng)和提高同學(xué)們應(yīng)用所學(xué)知識(shí)分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力的必備手段之一.  【模擬試題】（答題時(shí)間：60分鐘）一. 選擇題1. 實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)（2）班有學(xué)生56人，已知男生人數(shù)比女生人數(shù)的2倍少11人，求男生和女生各多少人？下面設(shè)未知數(shù)的方法，合適的是      &

14、#160;    （   ） A. 設(shè)總?cè)藬?shù)為x人             B. 設(shè)男生比女生多x人C. 設(shè)男生人數(shù)是女生人數(shù)的x倍       D. 設(shè)女生人數(shù)為x人2. 甲廠的年產(chǎn)值為7450萬(wàn)元，比乙廠的年產(chǎn)值的5倍還多420萬(wàn)元，若設(shè)乙廠的年產(chǎn)值為x萬(wàn)元，下列所列方程中錯(cuò)誤的是      &

15、#160;  （   ） A. 5x4207450              B. 74505x420C. 7450（5x420）0           D. 5x42074503. 某種品牌的彩電降價(jià)30%后，每臺(tái)售價(jià)為a元，則該品牌彩電每臺(tái)原價(jià)應(yīng)為   （  ）  

16、 A. 0.7a元                  B. 0.3a元   C. 元                    D. 元4. A、B兩城相距720km，普快列車(chē)從A城出發(fā)120km后，特快列車(chē)從B城

17、開(kāi)往A城，6h后兩車(chē)相遇. 若普快列車(chē)是特快列車(chē)速度的，且設(shè)普快列車(chē)速度為xkm/h，則下列所列方程錯(cuò)誤的是      （   ）5. 用兩根長(zhǎng)12cm的鐵絲分別圍成正方形和長(zhǎng)與寬之比為21的長(zhǎng)方形，則長(zhǎng)方形和正方形的面積依次為   （   ）    A. 9cm2和8cm2       B. 8cm2和9cm2       &

18、#160; C. 32cm2和36cm2      D. 36cm2和32cm2*6. 有一位旅客攜帶了30kg重的行李從上海乘飛機(jī)去北京，按民航總局規(guī)定：旅客最多可免費(fèi)攜帶20kg重的行李，超重部分每千克按飛機(jī)票價(jià)格1.5%購(gòu)買(mǎi)行李票，現(xiàn)該旅客購(gòu)買(mǎi)了180元的行李票，則他的飛機(jī)票價(jià)格應(yīng)是      （   ）A. 800元       B. 1000元    

19、60;  C. 1200元      D. 1500元 二. 填空題1.一件運(yùn)動(dòng)衣按原價(jià)的八折出售時(shí)，售價(jià)是40元，則原價(jià)為_(kāi)元. 2. 買(mǎi)4本練習(xí)本與3枝鉛筆一共用了4.7元. 已知鉛筆每枝0.5元，則練習(xí)本每本_元. *3. 一個(gè)長(zhǎng)方形雞場(chǎng)的一邊靠墻，墻的對(duì)面有一個(gè)2m寬的門(mén)，另三邊（門(mén)除外）用籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)33m，若雞場(chǎng)的長(zhǎng)寬32（盡量用墻），則雞場(chǎng)的長(zhǎng)為_(kāi)m，寬為_(kāi)m. 4. 某市居民2007年末的儲(chǔ)蓄存款達(dá)到9079萬(wàn)元，比2006年末的儲(chǔ)蓄存款的15倍還多4萬(wàn)元，則2006年末的存款為_(kāi). 5.某商

20、店銷(xiāo)售一批服裝，每件售價(jià)150元，打8折出售后，仍可獲利20元，設(shè)這種服裝的成本價(jià)為每件x元，則x滿足的方程是_. *6.依法納稅是每個(gè)公民應(yīng)盡的義務(wù)，新的中華人民共和國(guó)個(gè)人所得稅法規(guī)定，從2008年3月1日起，公民全月工薪不超過(guò)2000元的部分不必納稅，超過(guò)2000元的部分應(yīng)繳納個(gè)人所得稅，此項(xiàng)稅款按下表分段累進(jìn)計(jì)算. 黃先生4月份繳納個(gè)人所得稅稅金55元，那么黃先生該月的工薪是_元. 全月應(yīng)納稅所得稅額稅率不超過(guò)500元的部分5%超過(guò)500元至2000元的部分10% 三. 列方程解應(yīng)用題1.據(jù)某統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)顯示，在我國(guó)的664座城市中，按水資源情況可分為三類(lèi)：暫不缺水城市、一般缺水城

21、市和嚴(yán)重缺水城市. 其中，暫不缺水城市數(shù)比嚴(yán)重缺水城市數(shù)的4倍少50座，一般缺水城市數(shù)是嚴(yán)重缺水城市數(shù)的2倍. 求嚴(yán)重缺水城市有多少座？*2. 甲、乙兩個(gè)工人接受了加工一批服裝的任務(wù)，規(guī)定兩人各加工這批服裝的一半，已知乙的工作效率相當(dāng)于甲的，工作了8小時(shí)，甲完成了自己的任務(wù)，這時(shí)乙還差24件服裝沒(méi)有完成. 這批服裝共有多少件？3. 如圖所示，小紅將一個(gè)正方形剪去一個(gè)寬為4cm的長(zhǎng)條后，再?gòu)氖Ｏ碌拈L(zhǎng)方形紙片上沿平行短邊的方向剪去一個(gè)寬為5cm的長(zhǎng)條. 若兩次剪下的長(zhǎng)條面積正好相等，那么每一長(zhǎng)條的面積為多少？原正方形的面積為多少？*4. 為了加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，合理利用水資源，某市采用價(jià)格調(diào)控手段

22、以達(dá)到節(jié)約用水的目的. 該市規(guī)定了如下的用水標(biāo)準(zhǔn)：每戶(hù)每月的用水不超過(guò)6m3時(shí)，水費(fèi)按每立方米a元收費(fèi)；超過(guò)6m3時(shí)，不超過(guò)部分每立方米仍按a元收費(fèi)，超過(guò)部分每立方米按b元收費(fèi). 該市居民張大爺一家今年3、4月份的用水量和水費(fèi)如下表：月份用水量/m3水費(fèi)/元357.54927       設(shè)該戶(hù)每月用水量為x（m3），應(yīng)繳水費(fèi)y（元）. （1）求a、b的值，寫(xiě)出用水不超過(guò)6m3和超過(guò)6m3時(shí)，y與x之間的代數(shù)表達(dá)式；（2）若張大爺一家今年5月份的用水量為8m3，該戶(hù)5月份應(yīng)繳的水費(fèi)是多少？*5. 振華中學(xué)為進(jìn)一步推進(jìn)素質(zhì)教育，把素質(zhì)教

23、育落到實(shí)處，利用課外興趣小組活動(dòng)開(kāi)展棋類(lèi)教學(xué)活動(dòng)，以提高學(xué)生的思維能力，開(kāi)發(fā)智力，七年級(jí)一班有50名同學(xué)，通過(guò)活動(dòng)發(fā)現(xiàn)只有1人象棋、圍棋都不會(huì)下，有30人象棋、圍棋都會(huì)下，且會(huì)下象棋的學(xué)生比會(huì)下圍棋的學(xué)生多7人. （1）若設(shè)會(huì)下圍棋的有x個(gè)人，你能列出方程并證明x是35、36、37三個(gè)數(shù)中的哪一個(gè)嗎？（2）你知道只會(huì)下象棋不會(huì)下圍棋的人數(shù)嗎？ 【試題答案】一. 選擇題1. D    2. D        3. D        4. B        5. B