工程力學(xué)(彎曲應(yīng)力)

1、 中南大學(xué)土木建筑學(xué)院力學(xué)系中南大學(xué)土木建筑學(xué)院力學(xué)系 Department of Mechanics of School of Civil Engineering and Architecture of Central South University 第十一章第十一章 彎曲應(yīng)力彎曲應(yīng)力 11-1 11-1 引言引言 橫力彎曲橫力彎曲 純彎曲純彎曲梁橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。梁橫截面上既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力。 梁橫截面上只有正應(yīng)力無(wú)切應(yīng)力。梁橫截面上只有正應(yīng)力無(wú)切應(yīng)力。 0,( )sFMM x 0,sFM常數(shù)常數(shù)11-2 11-2 截面（平面圖形）的幾何性質(zhì)截面（平面圖形）的幾何性質(zhì) 一、

2、截面的靜矩與形心一、截面的靜矩與形心 截面對(duì)截面對(duì)z軸的靜矩軸的靜矩 CdzASy Ay A CdyASz Az A 注意：注意：截面對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸過(guò)截面形心；反之截面對(duì)某軸的靜矩為零，則該軸過(guò)截面形心；反之，軸過(guò)截面形心軸過(guò)截面形心，則則截面對(duì)該軸的靜矩為零。所以截面對(duì)形截面對(duì)該軸的靜矩為零。所以截面對(duì)形心軸的靜矩恒等于零。心軸的靜矩恒等于零。 截面對(duì)截面對(duì)y軸的靜矩軸的靜矩 CdAz AzA CdAy AyA二、慣性積二、慣性積 截面對(duì)截面對(duì)y、z軸的慣性積軸的慣性積 AdyzIyz A 若若y、z軸中有一軸為截面的軸中有一軸為截面的對(duì)稱軸，則對(duì)稱軸，則 Iyz = 0 主慣性軸

3、主慣性軸：Iyz0的一對(duì)的一對(duì)y、z軸。軸。形心主（慣性）軸形心主（慣性）軸：Iyz0且都過(guò)形心且都過(guò)形心 的一對(duì)的一對(duì)y、z軸軸三、慣性矩三、慣性矩 1.1.截面對(duì)軸的慣性矩截面對(duì)軸的慣性矩 截面對(duì)截面對(duì)z軸的慣性矩軸的慣性矩 2AdzIyA 2AdyIzA 慣性矩與極慣性矩的關(guān)系慣性矩與極慣性矩的關(guān)系 2AdA 截面對(duì)截面對(duì)y軸的慣性矩軸的慣性矩 PI 22A()dzyA yzII 2.2.慣性半徑慣性半徑 22,yyzzIAiIAi,yzyzIIiiAA,yzi i分別稱為圖形對(duì)分別稱為圖形對(duì)y、z軸的慣性半徑。軸的慣性半徑。3.3.常見(jiàn)截面對(duì)形心主軸慣性矩的計(jì)算常見(jiàn)截面對(duì)形心主軸慣性矩

4、的計(jì)算 矩形截矩形截面面（矩形截面高（矩形截面高h(yuǎn) ，寬，寬b ，z軸過(guò)截面形心平行矩形底邊）軸過(guò)截面形心平行矩形底邊） zI 2AdyA 222( d )hhyb y 312bh 312zbhI 312yhbI類似地：類似地： 圓形截面圓形截面（直徑為（直徑為d ，y y、z軸過(guò)圓心）軸過(guò)圓心） 464yzdII dyy222yzR2222dddAz yRyy4422222464ddRzARRdIyAyRyy類似地：類似地： 圓環(huán)截面圓環(huán)截面（內(nèi)徑為（內(nèi)徑為d ，外徑為，外徑為D ，y y、z z軸過(guò)圓心）軸過(guò)圓心） 4444()(1)6464zyDdDII ()dD 組合截面組合截面2Ad

5、zIyA 2A1+A2+AndyA 12nzzzIIIn1yyiiII n1zziiII 222A1A2AndddyAyAyA 截面對(duì)軸的慣性矩等于該截面各部分對(duì)同一截面對(duì)軸的慣性矩等于該截面各部分對(duì)同一軸的慣性矩之和。軸的慣性矩之和。 型鋼截面型鋼截面可以查閱有關(guān)工程手冊(cè)（型鋼表）得到。可以查閱有關(guān)工程手冊(cè)（型鋼表）得到。四、平行移軸定理四、平行移軸定理 2AdyIzA 2CA() dzaA 22CCAAAd2ddzAazAaAC2yIa A 截面對(duì)任一坐標(biāo)軸的慣性矩，等于對(duì)與其平行的形心截面對(duì)任一坐標(biāo)軸的慣性矩，等于對(duì)與其平行的形心軸的慣性矩加上截面面積與兩軸間距離平方之乘積。軸的慣性矩加

6、上截面面積與兩軸間距離平方之乘積。 C2yyIIa A類似地：類似地： C2zzIIb A c cyzy zIIab ACAd0zA （yC軸過(guò)形心）軸過(guò)形心）例：例：計(jì)算圖示計(jì)算圖示T 形截面對(duì)其形心軸形截面對(duì)其形心軸yC 的慣性矩。的慣性矩。 解：解：確定形心軸的位置，坐標(biāo)系如圖確定形心軸的位置，坐標(biāo)系如圖 截面對(duì)形心軸截面對(duì)形心軸yC的慣性矩的慣性矩C(0.14 0.02) 0.08(0.1 0.02) 0(0.14 0.02)(0.1 0.02)iiiA zzA CCC12yyyIII3210.020.14(0.080.0467)0.020.1412 3210.1 0.020.0467

7、0.020.112 6412.12 10 m 0.0467m 11-3 11-3 對(duì)稱彎曲正應(yīng)力對(duì)稱彎曲正應(yīng)力 在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)作用一對(duì)等值反向的力偶，在梁的縱向?qū)ΨQ面內(nèi)作用一對(duì)等值反向的力偶，梁處于純彎曲狀態(tài)。梁處于純彎曲狀態(tài)。 一、純彎曲時(shí)的正應(yīng)力一、純彎曲時(shí)的正應(yīng)力1.1.變形幾何關(guān)系變形幾何關(guān)系 實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象實(shí)驗(yàn)現(xiàn)象(1)縱向線由直線變成曲線，且縱向線由直線變成曲線，且ab伸長(zhǎng)、伸長(zhǎng)、cd縮短。縮短。(2)橫向線仍為直線，且仍垂直于變形后的軸線，但相對(duì)橫向線仍為直線，且仍垂直于變形后的軸線，但相對(duì) 其原方位有一微小的偏轉(zhuǎn)。其原方位有一微小的偏轉(zhuǎn)。 平面假設(shè)平面假設(shè) 變形前為平面的橫截面變

8、形后仍為平面，且仍垂直于變變形前為平面的橫截面變形后仍為平面，且仍垂直于變形后的軸線，但繞截面的某一軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)小角度。形后的軸線，但繞截面的某一軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)小角度。 中性層中性層：在彎曲變形時(shí)梁中既：在彎曲變形時(shí)梁中既 不伸長(zhǎng)也不縮短的一層不伸長(zhǎng)也不縮短的一層 纖維纖維中性軸中性軸：中性層與橫截面的交線。：中性層與橫截面的交線。 由于載荷作用于縱向?qū)ΨQ面由于載荷作用于縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，故中性軸內(nèi)，故中性軸z與橫截面對(duì)稱軸與橫截面對(duì)稱軸y垂直。垂直。 距離中性層為距離中性層為y處的纖維處的纖維ab變形前長(zhǎng)度變形前長(zhǎng)度 12ddabxO O ()da by 纖維縱向線應(yīng)變?yōu)槔w維縱向線應(yīng)變?yōu)?()ddda

9、 babyyab 距離中性層為距離中性層為y處的纖維處的纖維ab變形后長(zhǎng)度變形后長(zhǎng)度 變形規(guī)律變形規(guī)律 y 設(shè)中性層的曲率半徑為設(shè)中性層的曲率半徑為變形規(guī)律：變形規(guī)律：2.2.物理關(guān)系物理關(guān)系 E y yE 公式中中性層的曲率半徑公式中中性層的曲率半徑未知，其與內(nèi)力、材料、截未知，其與內(nèi)力、材料、截面的尺寸、形狀有關(guān)。面的尺寸、形狀有關(guān)。 P 時(shí)時(shí)橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律圖橫截面上正應(yīng)力分布規(guī)律圖 xF0:Ad0A AdEy A 0zS 中性軸中性軸z必過(guò)截面形心，同時(shí)中性軸必過(guò)截面形心，同時(shí)中性軸z與截面縱向?qū)εc截面縱向?qū)ΨQ軸稱軸y垂直，故中性軸位置可確定。垂直，故中性軸位置可確定。y、z軸之

10、交點(diǎn)為形軸之交點(diǎn)為形心，心，x軸即為軸線，且軸線在中性層內(nèi)。軸即為軸線，且軸線在中性層內(nèi)。 3.3.靜力關(guān)系靜力關(guān)系 AdEy A zES 0 (1) yMF()0:Ad0A z AdEy A z 0yzI y、z軸為截面的形心主慣性軸軸為截面的形心主慣性軸. .AdEyz A yzEI 0 (2)2AdEyA 1zMEI AdA yM zMF()0:抗彎剛度：截面抵抗抗彎剛度：截面抵抗彎曲變形的能力彎曲變形的能力AdEy A y zEI M (3)純彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式純彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式 zMyI yE 1zMEI 橫截面上的彎矩橫截面上的彎矩 橫截面對(duì)于中性軸的慣性矩橫截面對(duì)于中性軸的

11、慣性矩 所求應(yīng)力的所求應(yīng)力的點(diǎn)距中性軸的垂點(diǎn)距中性軸的垂直距離直距離 上述公式適用于任何截面形式的梁發(fā)生平面彎曲的情形。上述公式適用于任何截面形式的梁發(fā)生平面彎曲的情形。zMyI 0:0,00,0Myy0:0,00,0Myy梁彎曲變形凸出一側(cè)為拉應(yīng)力梁彎曲變形凸出一側(cè)為拉應(yīng)力 凹入一側(cè)為壓應(yīng)力凹入一側(cè)為壓應(yīng)力二、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力二、橫力彎曲時(shí)的正應(yīng)力1( )( ),( )M xMM xxEI 彎曲平面假設(shè)不成立彎曲平面假設(shè)不成立0sF zMyI 應(yīng)用時(shí)肯定有誤差，但誤差在允許范圍內(nèi)。應(yīng)用時(shí)肯定有誤差，但誤差在允許范圍內(nèi)。特別是對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，誤差更小。特別是對(duì)于細(xì)長(zhǎng)梁，誤差更小。橫力彎曲時(shí)正應(yīng)力

12、計(jì)算公式：橫力彎曲時(shí)正應(yīng)力計(jì)算公式：zMyI 三、最大彎曲正應(yīng)力三、最大彎曲正應(yīng)力 同一橫截面上距離中性軸最遠(yuǎn)處正應(yīng)力最大。同一橫截面上距離中性軸最遠(yuǎn)處正應(yīng)力最大。maxzzIWy maxmaxzMyI maxzMW 矩形截面矩形截面 實(shí)心圓截實(shí)心圓截面面 空心圓截空心圓截面面 26zbhW 332zdW 34(1)32zDW 抗彎截面系數(shù)抗彎截面系數(shù) 例：例：圖所示懸臂梁，承受的集中力偶圖所示懸臂梁，承受的集中力偶M = 20kNm作用。梁作用。梁采用采用No.18工字鋼，鋼的彈性模量工字鋼，鋼的彈性模量E = 200GPa。計(jì)算梁內(nèi)的最。計(jì)算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力與梁軸的曲率半徑。大彎曲正應(yīng)

13、力與梁軸的曲率半徑。 解：解：截面的彎矩截面的彎矩 20kN mM 查型鋼表查型鋼表 541.660 10 mzI 431.85 10 mzW 梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力 3max420 10108.1MPa1.85 10zMW 梁軸的曲率半徑梁軸的曲率半徑 953200 101.660 10166m20 10zEIM 例：例：寬度寬度b = 6mm、厚度、厚度= 2mm的鋼帶環(huán)繞在直徑的鋼帶環(huán)繞在直徑D = 1400mm的帶輪上，已知鋼帶的彈性模量為的帶輪上，已知鋼帶的彈性模量為E = 200GPa。試求鋼帶。試求鋼帶內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力與鋼帶承受的彎矩。內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力與鋼帶

14、承受的彎矩。 解：解：鋼帶的變形狀態(tài)同彎曲，其軸線的曲率半徑鋼帶的變形狀態(tài)同彎曲，其軸線的曲率半徑 31.42 100.701m2222D 橫截面離中性軸最遠(yuǎn)距離橫截面離中性軸最遠(yuǎn)距離 33max2 101.0 10 m22y 39maxmax1 10200 10285MPa0.701yE 1zMEI 9312200 1062101.414N m12 0.701zEIM 11-4 11-4 對(duì)稱彎曲切應(yīng)力對(duì)稱彎曲切應(yīng)力 一、矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力一、矩形截面梁的彎曲切應(yīng)力 假設(shè)假設(shè) (1)(1)橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力方向平行于剪力橫截面上各點(diǎn)切應(yīng)力方向平行于剪力. . (2) (2)切應(yīng)力沿截面寬

15、度均勻分布。切應(yīng)力沿截面寬度均勻分布。 ( )y *N111AAAdddzzzzMSMMFAyAyAIII 左左*N211AAA*ddddd(d)zzzzMMMMFAyAyAIIMM SI 右右 左右兩個(gè)左右兩個(gè)面上由正應(yīng)力面上由正應(yīng)力引起的軸力：引起的軸力：頂面有切向力頂面有切向力 *SN2N1dddzzSMFFFb xI *SddzzzzSF SMx bIbI 由切應(yīng)力互等定理由切應(yīng)力互等定理 *SzzF SbI Sddb x FN2N1S0,d0 xFFFF 矩形截矩形截面面 22*24(1)8zbhySh切應(yīng)力沿截面高度拋物線分布切應(yīng)力沿截面高度拋物線分布 SSmax3322FFbhA

16、 最外緣處切應(yīng)力等于零最外緣處切應(yīng)力等于零 中性軸處切應(yīng)力最大中性軸處切應(yīng)力最大 2S2223()244(1)2SzFybhhhFyI *SzzF SbI 二、工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力二、工字形截面梁的彎曲切應(yīng)力 1.1.腹板的切應(yīng)力腹板的切應(yīng)力 *SzzF SI 2222S0 ()(4)8zFb hhhyI 最大切應(yīng)力在中性軸上最大切應(yīng)力在中性軸上 腹板內(nèi)切應(yīng)力沿高度拋腹板內(nèi)切應(yīng)力沿高度拋物線分布物線分布 最小切應(yīng)力在腹板與翼緣最小切應(yīng)力在腹板與翼緣的交界處的交界處 2.2.翼緣的切應(yīng)力翼緣的切應(yīng)力 翼緣部分切應(yīng)力分布復(fù)雜且數(shù)值很小，一般不作翼緣部分切應(yīng)力分布復(fù)雜且數(shù)值很小，一般不作計(jì)算，認(rèn)

17、為翼緣主要承受截面的彎矩。計(jì)算，認(rèn)為翼緣主要承受截面的彎矩。 *22SmaxSmax0()8zzzF SFbhbhII 22Smin08zFbhbhI SFA 腹板的面積腹板的面積 腹板厚度腹板厚度 遠(yuǎn)小于翼緣寬度遠(yuǎn)小于翼緣寬度 b 時(shí)，時(shí)， ， ，可認(rèn)為腹板上的切應(yīng)力均勻分布，可認(rèn)為腹板上的切應(yīng)力均勻分布 b b- - b bmaxminmaxmin三、圓形、環(huán)形截面梁的彎曲切應(yīng)力三、圓形、環(huán)形截面梁的彎曲切應(yīng)力 max43SFA max2SFA 圓形截面：圓形截面：環(huán)形截面：環(huán)形截面： 例：例：圖所示矩形截面懸臂梁承受均布載荷圖所示矩形截面懸臂梁承受均布載荷q作用，比作用，比較梁的最大正應(yīng)

18、力與最大切應(yīng)力。較梁的最大正應(yīng)力與最大切應(yīng)力。 解：解：梁的最大剪力、最大彎矩為梁的最大剪力、最大彎矩為 SmaxFql 2max2qlM 22maxmax22/23/6zMqlqlWbhbh Smaxmax3322FqlAbh maxmax2( )lh 11-5 11-5 梁的彎曲強(qiáng)度條件梁的彎曲強(qiáng)度條件 一、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件一、彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件 maxmax()zMW max 對(duì)于塑性材料的等直梁：對(duì)于塑性材料的等直梁： maxmaxzMW對(duì)于塑性材料的變截面梁：對(duì)于塑性材料的變截面梁：對(duì)于脆性材料的梁：對(duì)于脆性材料的梁：maxmax,tctc 確定危險(xiǎn)截面：充分考慮彎矩、截面尺寸確定

19、危險(xiǎn)截面：充分考慮彎矩、截面尺寸 、材料。、材料。 當(dāng)材料抗拉、抗壓強(qiáng)度不同（如當(dāng)材料抗拉、抗壓強(qiáng)度不同（如脆性材料脆性材料）時(shí)，應(yīng)分別進(jìn)）時(shí)，應(yīng)分別進(jìn)行抗拉、抗壓的強(qiáng)度計(jì)算。行抗拉、抗壓的強(qiáng)度計(jì)算。 對(duì)于等直梁，當(dāng)中性軸為截面對(duì)稱軸時(shí)，危險(xiǎn)截面在對(duì)于等直梁，當(dāng)中性軸為截面對(duì)稱軸時(shí)，危險(xiǎn)截面在maxM當(dāng)中性軸不為截面對(duì)稱軸時(shí)，當(dāng)中性軸不為截面對(duì)稱軸時(shí)， 危險(xiǎn)截面在危險(xiǎn)截面在 maxmax/MM 處；處；處（兩個(gè)截面）。處（兩個(gè)截面）。 根據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件可討論三類強(qiáng)度問(wèn)題根據(jù)梁的正應(yīng)力強(qiáng)度條件可討論三類強(qiáng)度問(wèn)題（強(qiáng)度校核、截面尺寸設(shè)計(jì)、許可載荷確定強(qiáng)度校核、截面尺寸設(shè)計(jì)、許可載荷確定）。具

20、體）。具體計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：計(jì)算時(shí)應(yīng)注意以下幾點(diǎn)： 例：例：圖示圓截面軸圖示圓截面軸AD，中段，中段BC承受均布載荷承受均布載荷q = 10kN/m作用，材料許用應(yīng)力作用，材料許用應(yīng)力=140MPa。試確定軸徑。試確定軸徑。 解：解： 確定支座約束力，作彎矩圖確定支座約束力，作彎矩圖 yyFFAD7kN 確定軸徑確定軸徑 AB、CD段最大彎矩段最大彎矩 M12.1kN m確定確定AB、CD段軸徑段軸徑 111max31132zMMdW Md3133163232 2.1 100.012m140 10 AyFDyF確定確定BC段軸徑段軸徑 222max32232zMMdW Md32332632

21、32 4.55 100.018m140 10 BC段最大彎矩段最大彎矩 M24.55kN m 例：例：T 形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖示。鑄鐵的抗形截面鑄鐵梁的載荷和截面尺寸如圖示。鑄鐵的抗拉許用應(yīng)力為拉許用應(yīng)力為 t = 30MPa，抗壓許用應(yīng)力為，抗壓許用應(yīng)力為 c = 160MPa，試校核梁的強(qiáng)度。試校核梁的強(qiáng)度。 解：解： 求支座約束力，作彎矩圖求支座約束力，作彎矩圖 A()0:MF B9 12430yF 0:yF AB940yyFF 解得：解得： A2.5kNyF B10.5kNyF 截面幾何性質(zhì)截面幾何性質(zhì) 形心位置形心位置 C80 20 1020 120 8052mm80 2

22、020 120iiiA yyA 152mmy288mmy 截面對(duì)中性軸的慣性矩截面對(duì)中性軸的慣性矩 3322802020 1204280202820 1201212czI 47630000mm zC()CyC 強(qiáng)度校核強(qiáng)度校核 最大拉應(yīng)力校核，最大拉應(yīng)力校核，B截面上邊緣和截面上邊緣和C截面下邊緣可能是最大拉應(yīng)截面下邊緣可能是最大拉應(yīng)力發(fā)生位置力發(fā)生位置 C截面截面 B截面截面 33B1tmaxt124 1052 1027.2MPa7630000 10czM yI 33C2tmaxt122.5 1088 1028.8MPa7630000 10czM yI C截面應(yīng)截面應(yīng)力分布圖力分布圖B截面應(yīng)

23、截面應(yīng)力分布圖力分布圖最大壓應(yīng)力校核，最大壓應(yīng)力發(fā)生在最大壓應(yīng)力校核，最大壓應(yīng)力發(fā)生在B截面下邊緣各點(diǎn)截面下邊緣各點(diǎn) 33B2cmaxc124 1088 1046.2MPa7630000 10czM yI B截面截面 所以此梁的強(qiáng)度滿足要求。所以此梁的強(qiáng)度滿足要求。 B截面應(yīng)截面應(yīng)力分布圖力分布圖 例：例：?jiǎn)瘟旱踯?chē)跨度單梁吊車(chē)跨度l = 10.5m，由，由No.45a工字鋼制成，材料的工字鋼制成，材料的=140MPa 。 試計(jì)算能否起吊試計(jì)算能否起吊F = 85kN的重物；的重物； 若不能，若不能，則在上下翼緣各焊接一塊則在上下翼緣各焊接一塊10010的鋼板，鋼板長(zhǎng)的鋼板，鋼板長(zhǎng)a = 7m，

24、再校核，再校核其強(qiáng)度；其強(qiáng)度； 求加固鋼板的經(jīng)濟(jì)安全長(zhǎng)度。求加固鋼板的經(jīng)濟(jì)安全長(zhǎng)度。 解：解： 校核未加固梁的強(qiáng)度校核未加固梁的強(qiáng)度 當(dāng)小車(chē)位于梁的中點(diǎn)時(shí)，在當(dāng)小車(chē)位于梁的中點(diǎn)時(shí)，在梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大 查型鋼表查型鋼表 631430 10 mzW 3maxmax6223 10155.9MPa1430 10zMW 所以此梁不能起吊所以此梁不能起吊F = 85kN的重物。的重物。 max85 10.5223kN m44FlM 校核加固梁的強(qiáng)度校核加固梁的強(qiáng)度 加固處截面強(qiáng)度校核加固處截面強(qiáng)度校核 34284100 1032240 102 (100 10230 )4.282

25、 10 mm12zI 863max4.282 101.822 10 mm22510zzIWy 當(dāng)小車(chē)位于梁的中點(diǎn)時(shí)，在梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大當(dāng)小車(chē)位于梁的中點(diǎn)時(shí)，在梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大 max85 10.5223kN m44FlM 3maxmax6223 10122.5MPa1822 10zMW 未加固處截面強(qiáng)度校核未加固處截面強(qiáng)度校核 設(shè)加固鋼板長(zhǎng)度為設(shè)加固鋼板長(zhǎng)度為a，當(dāng)小車(chē)作用在梁中點(diǎn)位置處，當(dāng)小車(chē)作用在梁中點(diǎn)位置處，未加固未加固截面截面的最大彎矩的最大彎矩 F laMmax()4當(dāng)小車(chē)作用在加固鋼板邊緣處，當(dāng)小車(chē)作用在加固鋼板邊緣處，未加固截面未加固截面的最大彎矩的最大彎矩 22ma

26、x()()()44F la laF laMll 所以未加固截面的最大彎矩所以未加固截面的最大彎矩 2222max()85 (10.57 )124kN m44 10.5F laMl MMmaxmax Mmax124kN m未加固截面未加固截面 631430 10 mzW zMW3maxmax6124 1086.7MPa1430 10 所以加固以后該梁是安全的。所以加固以后該梁是安全的。 計(jì)算加固鋼板的經(jīng)濟(jì)安全長(zhǎng)度，設(shè)加固鋼板為計(jì)算加固鋼板的經(jīng)濟(jì)安全長(zhǎng)度，設(shè)加固鋼板為x zzMF lxWlW22maxmax()4 24zlWxlF 66234 10.5 140 101430 1010.53.36m

27、85 10 二、彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件二、彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件 max 不同截面形式的不同截面形式的等直梁等直梁，其最大切應(yīng)力計(jì)算公式：，其最大切應(yīng)力計(jì)算公式：矩形截面：矩形截面：工字型截面：工字型截面：圓形截面：圓形截面：環(huán)形截面：環(huán)形截面：maxmax32sFAmaxmax43sFAmaxmax2sFA *SmaxSmaxmaxmax*maxzzzzFSFIIS 注意：注意：若為變截面梁，若為變截面梁，則還要考慮截面尺寸對(duì)最大則還要考慮截面尺寸對(duì)最大切應(yīng)力的影響切應(yīng)力的影響 一般情況下，梁的強(qiáng)度主要由正應(yīng)力控制，切應(yīng)一般情況下，梁的強(qiáng)度主要由正應(yīng)力控制，切應(yīng)力一般會(huì)滿足要求，但以下情況必須復(fù)核切

28、應(yīng)力強(qiáng)度：力一般會(huì)滿足要求，但以下情況必須復(fù)核切應(yīng)力強(qiáng)度： 1. 1.梁的最大彎矩較小，而最大剪力卻很大時(shí)（粗短梁、梁的最大彎矩較小，而最大剪力卻很大時(shí)（粗短梁、支座附近有很大集中力作用）。支座附近有很大集中力作用）。 3. 3.各向異性材料（木梁順紋、組合截面梁膠粘層抗剪各向異性材料（木梁順紋、組合截面梁膠粘層抗剪強(qiáng)度計(jì)算）。強(qiáng)度計(jì)算）。 2. 2.在焊接或鉚接的組合截面鋼梁中，橫截面腹板部分在焊接或鉚接的組合截面鋼梁中，橫截面腹板部分的寬度與梁高之比小于型鋼截面的相應(yīng)比值。的寬度與梁高之比小于型鋼截面的相應(yīng)比值。 例：例：圖示起重機(jī)梁用工字鋼制成，已知荷載圖示起重機(jī)梁用工字鋼制成，已知荷載

29、F = 20kN，并可沿，并可沿梁軸移動(dòng)，梁的跨度梁軸移動(dòng)，梁的跨度l = 6m，許用正應(yīng)力，許用正應(yīng)力 = 100MPa，許用切應(yīng)力，許用切應(yīng)力 = 60MPa。試選擇工字鋼型號(hào)。試選擇工字鋼型號(hào)。 解：解： 按梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件初步選擇工字鋼型號(hào)按梁彎曲正應(yīng)力強(qiáng)度條件初步選擇工字鋼型號(hào) 當(dāng)小車(chē)位于梁的中點(diǎn)時(shí)，在梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大當(dāng)小車(chē)位于梁的中點(diǎn)時(shí)，在梁的中點(diǎn)位置處彎矩最大 max20 630kN m44FlM maxmaxzMW zMW343max630 103.0 10 m100 10 查型鋼表選擇查型鋼表選擇No.22a工字鋼工字鋼 查型鋼表選擇查型鋼表選擇No.22a工字鋼工

30、字鋼 *max0.189mzzIS 7.5mm 按梁彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件復(fù)核初步選擇的工字鋼型號(hào)按梁彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件復(fù)核初步選擇的工字鋼型號(hào) 當(dāng)小車(chē)位于支座位置時(shí)，在此位置剪力最大當(dāng)小車(chē)位于支座位置時(shí)，在此位置剪力最大 Smax20kNFF *3Smaxmaxmax330 1014.11MPa7.5 100.189zzFSI 所以選擇工字鋼滿足彎曲正應(yīng)力和彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件。所以選擇工字鋼滿足彎曲正應(yīng)力和彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度條件。 例：例：圖示左端嵌固，右端用螺栓聯(lián)結(jié)的懸臂梁，在自由端作圖示左端嵌固，右端用螺栓聯(lián)結(jié)的懸臂梁，在自由端作用一集中力用一集中力F。不考慮上下層梁的摩擦，試分析螺栓的受力。不

31、考慮上下層梁的摩擦，試分析螺栓的受力。 解：解：螺栓聯(lián)結(jié)后，兩根梁看成一個(gè)整體（高螺栓聯(lián)結(jié)后，兩根梁看成一個(gè)整體（高2a，寬，寬b）在）在F作用下整體彎曲，兩根梁的接觸面相當(dāng)于整個(gè)梁的中性層作用下整體彎曲，兩根梁的接觸面相當(dāng)于整個(gè)梁的中性層 各橫截面中性軸處切應(yīng)力各橫截面中性軸處切應(yīng)力 S33322 24FFFAabab 中性層面上切應(yīng)力中性層面上切應(yīng)力 34Fab 中性層面上的剪力中性層面上的剪力 S3344FblFlFblaba 實(shí)際中性層間的剪力完全由螺栓承受，所以螺栓受剪力實(shí)際中性層間的剪力完全由螺栓承受，所以螺栓受剪力 S34FlFa 中性層面上切應(yīng)力中性層面上切應(yīng)力 34Fab 1

32、1-6 11-6 梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì)梁的合理強(qiáng)度設(shè)計(jì) 一、梁的合理截面形狀一、梁的合理截面形狀 1. 1. 合理的截面形狀應(yīng)該是截面面積較小，抗彎截合理的截面形狀應(yīng)該是截面面積較小，抗彎截面系數(shù)較大。面系數(shù)較大。 定量分析定量分析 矩形矩形216zbhW 326zaW 3332zdW 121zzWhWa矩形比方形合理矩形比方形合理 .231 181zzWW方形比圓形合理方形比圓形合理 方形方形圓形圓形假設(shè)矩形、方形和圓形的面積相同，即：假設(shè)矩形、方形和圓形的面積相同，即：224dbha maxmaxzMw 定性分定性分析析 Wz 與截面面積對(duì)于中性軸的分布有關(guān)。材料分與截面面積對(duì)于中性軸的分布有

33、關(guān)。材料分布越遠(yuǎn)離中性軸，截面的布越遠(yuǎn)離中性軸，截面的Wz 越大。越大。 梁橫截面上正應(yīng)力沿高度線性分布，中性軸附梁橫截面上正應(yīng)力沿高度線性分布，中性軸附近正應(yīng)力值很小，該處的材料未發(fā)揮作用，可以將近正應(yīng)力值很小，該處的材料未發(fā)揮作用，可以將材料移置距中性軸較遠(yuǎn)處，使之充分利用。材料移置距中性軸較遠(yuǎn)處，使之充分利用。 2.2.考慮材料的特性來(lái)選擇截面的合理形狀考慮材料的特性來(lái)選擇截面的合理形狀 抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料，宜采用中性軸為抗拉和抗壓強(qiáng)度相等的材料，宜采用中性軸為對(duì)稱軸的截面（如矩形、工字形、圓形等）。對(duì)稱軸的截面（如矩形、工字形、圓形等）。 抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料，宜采用中性軸

34、抗拉和抗壓強(qiáng)度不相等的材料，宜采用中性軸偏向一側(cè)（許用應(yīng)力較小的一側(cè)）的截面，使偏向一側(cè)（許用應(yīng)力較小的一側(cè)）的截面，使 y1 和和 y2 之比接近于下列關(guān)系之比接近于下列關(guān)系 ttmaxmax1max21cmax2c()/()zzMyMyyIIy 例：例：圖示梯形截面承受正彎矩作用。已知材料的許用拉應(yīng)圖示梯形截面承受正彎矩作用。已知材料的許用拉應(yīng)力力 t=45MPa，許用壓應(yīng)力許用壓應(yīng)力 c=80MPa ，為使梁重量最輕，為使梁重量最輕，試確定截面的頂邊寬度試確定截面的頂邊寬度a 與底邊寬度與底邊寬度b 的最佳比值。的最佳比值。 解：解：截面形心距底邊距離是截面形心距底邊距離是 C(2)3(

35、)habyab 為使截面合理，滿足下列條件為使截面合理，滿足下列條件 6cC6Ct80 1045 10hyy 解得：解得： C925hy 223ab二、變截面梁和等強(qiáng)度梁二、變截面梁和等強(qiáng)度梁 1.1.變截面梁變截面梁2.2.等強(qiáng)度梁等強(qiáng)度梁 ( )( )zM xWx 改變截面尺寸，使抗彎截面系數(shù)隨彎矩而變化。改變截面尺寸，使抗彎截面系數(shù)隨彎矩而變化。 變截面梁各橫截面的最大正應(yīng)力都等于許用應(yīng)力。變截面梁各橫截面的最大正應(yīng)力都等于許用應(yīng)力。 例：例：圖示集中力圖示集中力F 作用下的簡(jiǎn)支梁，截面為矩形，設(shè)寬作用下的簡(jiǎn)支梁，截面為矩形，設(shè)寬度度b 不變，設(shè)計(jì)等強(qiáng)度梁。不變，設(shè)計(jì)等強(qiáng)度梁。 解：解：

36、 2( )( )( )62zbhxM xFxWx 3( )Fxh xb 在支座附近，按切應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面最小高度在支座附近，按切應(yīng)力強(qiáng)度條件確定截面最小高度 Smax3324FFAbh 34Fhb 三、梁的合理受力三、梁的合理受力 1.1.合理布置梁的支座合理布置梁的支座 2.2.盡量將載荷分散作用盡量將載荷分散作用 11-7 11-7 平面彎曲組合平面彎曲組合 斜彎斜彎曲曲彎矩作用平面與慣性主軸平面不重合的彎曲。彎矩作用平面與慣性主軸平面不重合的彎曲。 外力都作用在通過(guò)梁軸外力都作用在通過(guò)梁軸線的兩個(gè)不同的主軸平面內(nèi)線的兩個(gè)不同的主軸平面內(nèi) 外力作用在通過(guò)軸線外力作用在通過(guò)軸線的非慣性主

37、軸平面內(nèi)的非慣性主軸平面內(nèi) 斜彎曲為若干平面彎曲的組合變形斜彎曲為若干平面彎曲的組合變形 一、內(nèi)力與應(yīng)力的計(jì)算一、內(nèi)力與應(yīng)力的計(jì)算 cosyFF sinzFF xy平面內(nèi)的彎曲，中性軸為平面內(nèi)的彎曲，中性軸為z xz平面內(nèi)的彎曲，中性軸為平面內(nèi)的彎曲，中性軸為y zyMFxyzMFx任意截面任意截面x上的內(nèi)力上的內(nèi)力( xy平面內(nèi)的彎曲平面內(nèi)的彎曲 ) ( xz平面內(nèi)的彎曲）平面內(nèi)的彎曲）zyMFxyzMFx任取截面任取截面x上任意點(diǎn)，坐標(biāo)為上任意點(diǎn)，坐標(biāo)為( y , ,z )yzyzM zM yII yyM zI zzM yI yzyzM zM yII 中性軸方程中性軸方程 0yzyzM z

38、M yII 二、最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件二、最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件 設(shè)危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)（正應(yīng)力最大點(diǎn)）的坐標(biāo)為設(shè)危險(xiǎn)截面上危險(xiǎn)點(diǎn)（正應(yīng)力最大點(diǎn)）的坐標(biāo)為( y0 , ,z0) 00maxmax()yzyzM zM yII 1.1.矩形截面矩形截面 00maxmax()yzyzM zM yII max()yzyzMMWW maxmax()yzyzMMWW 2.2.圓截面圓截面 22maxmaxmax()()yzMMMWW 22maxmaxmax()()yzMMMWW 正應(yīng)力分布規(guī)律同前，離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)應(yīng)力最正應(yīng)力分布規(guī)律同前，離中性軸最遠(yuǎn)的點(diǎn)應(yīng)力最大。對(duì)于圓形截面兩個(gè)最大正應(yīng)力值的位置不重合在大。對(duì)

39、于圓形截面兩個(gè)最大正應(yīng)力值的位置不重合在一點(diǎn)，但圓截面對(duì)于任意直徑軸的抗彎截面系數(shù)是一一點(diǎn)，但圓截面對(duì)于任意直徑軸的抗彎截面系數(shù)是一樣的，同時(shí)有一根直徑軸必為截面中性軸，所以截面樣的，同時(shí)有一根直徑軸必為截面中性軸，所以截面的最大正應(yīng)力可求出截面的合彎矩后采用上述公式計(jì)的最大正應(yīng)力可求出截面的合彎矩后采用上述公式計(jì)算。算。 例：例：圖所示一矩形截面懸臂梁，截面寬度圖所示一矩形截面懸臂梁，截面寬度b = 90mm ，高，高度度h = 180mm ，兩在兩個(gè)不同的截面處分別承受水平力，兩在兩個(gè)不同的截面處分別承受水平力F1和和鉛垂力鉛垂力F2。已知。已知F1 = 800N ，F(xiàn)2 = 1650N

40、，l = 1m ，求梁內(nèi)的，求梁內(nèi)的最大正應(yīng)力并指出其作用位置。最大正應(yīng)力并指出其作用位置。 maxmaxtmaxyzyzMMWW 9.98MPa maxmaxcmax()9.98MPayzyzMMWW 解：解：經(jīng)分析固定端處經(jīng)分析固定端處A 點(diǎn)拉點(diǎn)拉應(yīng)力最大，應(yīng)力最大，B 點(diǎn)壓應(yīng)力最大點(diǎn)壓應(yīng)力最大 21222/6/6F lF lbhhb 29291650 12 800 190 18010/6180 9010/6 例：例：圖示吊車(chē)梁，跨度圖示吊車(chē)梁，跨度l = 4m ，用，用No.20a 工字鋼制成。當(dāng)起工字鋼制成。當(dāng)起吊時(shí)，由于被吊物體位置偏斜，致使載荷偏離梁截面的鉛垂對(duì)稱吊時(shí)，由于被吊物體

41、位置偏斜，致使載荷偏離梁截面的鉛垂對(duì)稱軸。若載荷軸。若載荷F = 20kN ，偏斜角，偏斜角=5o，試計(jì)算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)，試計(jì)算梁內(nèi)的最大彎曲正應(yīng)力。力。 解：解：當(dāng)載荷位于梁中點(diǎn)時(shí)，梁截面的彎矩當(dāng)載荷位于梁中點(diǎn)時(shí)，梁截面的彎矩My 、Mz 在中點(diǎn)位在中點(diǎn)位置同時(shí)有最大值置同時(shí)有最大值3omax20 10sin541743N m44zyF lM 3omax20 10cos541992N m44yzF lM查型鋼表查型鋼表 433.15 10 mmyW 532.37 10 mmzW maxmaxmaxyzyzMMWW 4959174319923.15 10102.37 1010 139.4M

42、Pa 11-8 11-8 彎拉（壓）組合彎拉（壓）組合 軸向力與橫向力同時(shí)作用軸向力與橫向力同時(shí)作用 拉（壓）與彎曲的組合拉（壓）與彎曲的組合 不通過(guò)截面形心的縱向不通過(guò)截面形心的縱向力，即偏心拉伸與壓縮力，即偏心拉伸與壓縮一、軸向力與橫向力同時(shí)作用引起的彎拉（壓）組合一、軸向力與橫向力同時(shí)作用引起的彎拉（壓）組合 1.1.內(nèi)力與應(yīng)力的計(jì)算內(nèi)力與應(yīng)力的計(jì)算 軸向力軸向力 NF橫向力橫向力 SFM（對(duì)實(shí)心截面引起切應(yīng)力很小，忽略）（對(duì)實(shí)心截面引起切應(yīng)力很小，忽略） NNFA MzM yI NNMzFM yAI 2.2.最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件 軸力為拉力軸力為拉力 Nmaxtma

43、xzFMAW NmaxcmaxzFMAW 軸力為壓力軸力為壓力 NmaxcmaxzFMAW NmaxtmaxzFMAW 危險(xiǎn)點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)（忽略彎曲切應(yīng)力），強(qiáng)度危險(xiǎn)點(diǎn)為單向應(yīng)力狀態(tài)（忽略彎曲切應(yīng)力），強(qiáng)度條件：條件： tmaxt cmaxc 二、偏心載荷引起的彎拉（壓）組合二、偏心載荷引起的彎拉（壓）組合 1.1.內(nèi)力與應(yīng)力的計(jì)算內(nèi)力與應(yīng)力的計(jì)算 偏心力偏心力F 向截面形心平移向截面形心平移NFF yzMF e zyMF eFzF e yF e NyzzyMzMyFAII 2.2.最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件最大正應(yīng)力與強(qiáng)度條件 矩形截矩形截面面 軸力為拉力軸力為拉力 Ntmax66yyzzyzMFeMFeFFAWWAAhAb cmax66yyzzNyzMFeMFeFFAWWAAhAb 66(1)yzeeFAbh 66(1)yzeeFAbh 軸力為壓力軸力為壓力 Ncmax66yyzzyzMFeMFeFFAWWAAhAb 66(1)yzeeFAbh 66(1)yze