線性代數(shù)總復(fù)習(xí)(有試題_有講解)

1、上頁下頁結(jié)束返回首頁線線 性性 代代 數(shù)數(shù) 復(fù)復(fù) 習(xí)習(xí) 課課 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 二、典二、典 型型 例例 題題 上頁下頁結(jié)束返回首頁一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 v行列式的性質(zhì)行列式的性質(zhì)性質(zhì)性質(zhì)2 行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列行列式中某一行的所有元素的公因子可以提到行列式記號的外面式記號的外面.性質(zhì)性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等.性質(zhì)性質(zhì)4 對換兩行對換兩行, 行列式值反號行列式值反號. 性質(zhì)性質(zhì)3 若行列式某一行的元素都是兩數(shù)之和若行列式某一行的元素都是兩數(shù)之和, 則該行拆開則該行拆開, 原行列式可以表為相應(yīng)的兩個行列式之和原行

2、列式可以表為相應(yīng)的兩個行列式之和.性質(zhì)性質(zhì)6 把行列式某一行的各元素乘以同一數(shù)加到另一行對把行列式某一行的各元素乘以同一數(shù)加到另一行對應(yīng)的元素上去應(yīng)的元素上去, 行列式的值不變行列式的值不變.性質(zhì)性質(zhì)5 若有兩行元素對應(yīng)成比例若有兩行元素對應(yīng)成比例, 則行列式值為零則行列式值為零. 設(shè)設(shè) A, B 為為 n 階矩陣階矩陣, 則有則有 | AB | = = | A | | B | . 上頁下頁結(jié)束返回首頁一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 vLaplace 按行列展開按行列展開定理定理 行列式等于某一行行列式等于某一行(列列)的元素與其對應(yīng)的代數(shù)余的元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積之和子式乘積之和. 即

3、即 1122|, (1,2, )iiiiininAa Aa Aa Ain=1122|, (1,2, )jjjjnjnjAa AaAa Ajn= = = = 設(shè)設(shè) A = = (aij)為為 n 階方陣階方陣, 則有則有111,11,111,1,11jjnnn jn jnnnaaaaaaabba1212jjjnnAbAAbb=上頁下頁結(jié)束返回首頁一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 v伴隨陣伴隨陣 設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣階方陣, Aij 為為(i, j)元的代數(shù)余子式元的代數(shù)余子式, 記記112111222212nnnnnnAAAAAAAAAA = =稱稱 A 為方陣為方陣 A 的的轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置伴隨陣

4、伴隨陣.v伴隨陣的性質(zhì)伴隨陣的性質(zhì)(1)|;nAAA AA E=1(2)|.nAA= = 設(shè)設(shè) A 為為 n 階方陣階方陣 A 的伴隨陣的伴隨陣, 則有則有上頁下頁結(jié)束返回首頁 如果如果 | A | 0, 那么那么, 稱方陣稱方陣 A 為為非奇異矩陣非奇異矩陣.v逆陣計算公式逆陣計算公式 非奇異矩陣非奇異矩陣 A 的逆陣為的逆陣為11|AAA= =v逆矩陣逆矩陣 如果存在矩陣如果存在矩陣 B, 使使 AB = = BA = = E那么那么, 稱方陣稱方陣 A 為為可逆的可逆的, 并稱并稱 B 為為 A 的逆矩陣的逆矩陣.v定理定理 設(shè)設(shè) A, B 為為 n 階方陣階方陣, 若若 AB = =

5、E, 則則 A, B 可逆可逆, 且有且有11,.ABBA=一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 上頁下頁結(jié)束返回首頁v逆矩陣的性質(zhì)逆矩陣的性質(zhì) 設(shè)設(shè) A, B 為為 n 階可逆矩陣階可逆矩陣, 則有則有11(1)|;|AA = =11(2)();AA = =111(3)()(0);kAkAk = = 111(4)();ABBA= =T11 T(5)()() ;AA = =111(6)()().|AAAA =一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 上頁下頁結(jié)束返回首頁v分塊對角陣的性質(zhì)分塊對角陣的性質(zhì)1diag(,).sAAA= =1(1)|;sAAA= =(3) A 可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件

6、是 Ai(i=1,s)都可逆都可逆, 且有且有1111diag(,)sAAA = =一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 1(2)diag(,);nsAAA= = 設(shè)設(shè) Ai(i= =1,s)都是方陣都是方陣, 設(shè)設(shè) A, B 都是方陣都是方陣, 則有則有| |AAOABOBB = 上頁下頁結(jié)束返回首頁 矩陣矩陣 A 與與 B 行等價的充要條件是行等價的充要條件是: 存在可逆矩陣存在可逆矩陣 P, 使使 B = = PA. 矩陣矩陣 A 與與 B 列等價的充要條件是列等價的充要條件是: 存在可逆矩陣存在可逆矩陣 Q, 使使 B = = AQ. 具體地有具體地有( ,)(,),rPEPAAcQQAAE

7、一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 v等價矩陣等價矩陣 如果矩陣如果矩陣 A 經(jīng)過有限次初等經(jīng)過有限次初等(行行, 列列)變換變換, 化為矩化為矩陣陣 B, 就稱矩陣就稱矩陣 A 與與 B (行行, 列列)等價等價, 記為記為 AB.上頁下頁結(jié)束返回首頁v行最簡形矩陣行最簡形矩陣 1 2(0)ra aa v行階梯形矩陣行階梯形矩陣 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 12000000000000raaa000000000000012000000000000raaa00000000000001110000上頁下頁結(jié)束返回首頁v矩陣的秩矩陣的秩 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 如果矩陣如果矩陣 A 的等價

8、標(biāo)準(zhǔn)形為的等價標(biāo)準(zhǔn)形為 rEOFOO= =那么稱那么稱 F 中單位陣的階數(shù)中單位陣的階數(shù) r 為矩陣為矩陣 A 的秩的秩, 記為記為 R(A). 性質(zhì)性質(zhì)1 等價矩陣有相等的秩等價矩陣有相等的秩.性質(zhì)性質(zhì)2 性質(zhì)性質(zhì)4 ()min, .m nR Am n 性質(zhì)性質(zhì)3 n 階方陣階方陣 A 可逆的充分必要條件是可逆的充分必要條件是 R(A) = = n. 行階梯形矩陣的秩為非零行的行數(shù)行階梯形矩陣的秩為非零行的行數(shù).性質(zhì)性質(zhì)5 T()( ).R AR A= =上頁下頁結(jié)束返回首頁v矩陣的秩矩陣的秩 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 如果矩陣如果矩陣 A 的等價標(biāo)準(zhǔn)形為的等價標(biāo)準(zhǔn)形為 rEOFOO=

9、 =那么稱那么稱 F 中單位陣的階數(shù)中單位陣的階數(shù) r 為矩陣為矩陣 A 的秩的秩, 記為記為 R(A). 性質(zhì)性質(zhì)7 性質(zhì)性質(zhì)8 性質(zhì)性質(zhì)9 ()( )( ).R ABR AR B ()min (),().R ABR A R B 若若 ,nnmlABO = =則則 ( )( ).R AR Bn性質(zhì)性質(zhì)6 1234().iAAR ARAA 上頁下頁結(jié)束返回首頁 逆矩陣的初等變換求法逆矩陣的初等變換求法1()()rA EE A v矩陣初等變換的應(yīng)用矩陣初等變換的應(yīng)用 線性方程組的最簡形解法線性方程組的最簡形解法 將線性方程組的增廣矩陣化為行最簡形將線性方程組的增廣矩陣化為行最簡形, 寫出同解寫出

10、同解方程組方程組, 解便一目了然解便一目了然. 矩陣方程矩陣方程 AX = = B, XA = = B 的初等變換解法的初等變換解法1()()rA BA BE 1cEABBA 一、內(nèi)一、內(nèi) 容容 提提 要要 上頁下頁結(jié)束返回首頁(1) 當(dāng)當(dāng) R(A, b) R(A) 時時, 方程組無解方程組無解;(2) 當(dāng)當(dāng) R(A, b)= =R(A) = = n 時時, 方程組有唯一解方程組有唯一解; (3) 當(dāng)當(dāng) R(A, b)= =R(A) n 時時, 方程組有無窮多解方程組有無窮多解. 設(shè)設(shè) n 元線性方程組元線性方程組 Ax = = b. n 元方程組元方程組 Ax = = 0 有非零解的充要條件

11、是有非零解的充要條件是 R(A) r, 則向量組則向量組 b1, bs 線性相關(guān)線性相關(guān). 設(shè)向量設(shè)向量 b1, , bs 可由向量組可由向量組 a1, ar 線性表示線性表示, 定理定理 設(shè)向量組設(shè)向量組 線性無關(guān)線性無關(guān), 1,raa若若 線性相關(guān)線性相關(guān),1,raa b則向量則向量 b 可由可由 線性表示線性表示.1,raa而而 x x1 1, , , , x xn r 線性無關(guān)線性無關(guān),所以所以 h h, , h h x x1 1, , , , h h x xn r 線性無關(guān)線性無關(guān). 因因 x x1 1, , , , x xn r 的線性組合也是的線性組合也是 Ax = = 0 的解

12、的解, h h 不可由不可由 x x1 1, , , , x xn r 線性表示線性表示, 證證2 由定理知由定理知h h, x x1, x xn r 線性無關(guān)線性無關(guān),從而從而1( ,)1n rRnrh h x xx x = = 易知易知 h h, h h x x1, , h h x xn r 與與 h h, x x1, x xn r 等價等價, 因此因此1( ,)1n rRnrh h x xx x = = = 1( ,)n rRh h h hx xh hx x 所以所以例例11 設(shè)設(shè)x x1, , x xn r 是是 Ax = = 0 的一個基礎(chǔ)解系的一個基礎(chǔ)解系, 而而h h不不是是 A

13、x = = 0 的解的解, 證明證明 h h, h h x x1, , h h x xn r 線性無關(guān)線性無關(guān). 知識點上頁下頁結(jié)束返回首頁()()R ABR B= =證證1 例例12 設(shè)設(shè) m n 矩陣矩陣 A 的秩的秩 R(A) = = n, 證明證明 于是存在于是存在 m 階可逆矩陣階可逆矩陣 P, 使使 A = = PF. 因此因此()()R ABR PFB= =因因 R(A) = = n, 可知可知 A 的等價標(biāo)準(zhǔn)形為的等價標(biāo)準(zhǔn)形為BRO= =( )R B= =nEFO= =()R FB= =(也是行最簡形也是行最簡形)知識點上頁下頁結(jié)束返回首頁()()R ABR B= =證證2 若

14、若 x 滿足滿足 Bx = = 0, 則有則有 A(Bx) = = 0, 即即 (AB)x = = 0;若若 x 滿足滿足 (AB)x = = 0, 則有則有 A(Bx) = = 0, 因為因為 R(A) = = n, 綜上可知綜上可知 (AB)x = = 0 與與 Bx = = 0 同解同解, 所以所以 Bx = = 0.()()dim( )R ABR BnS= = = 設(shè)解空間為設(shè)解空間為 S, 則有則有 n 元方程組元方程組 Ax = = 0 有非零解的充要條件是有非零解的充要條件是 R(A) n. n 元齊次線性方程組元齊次線性方程組 Ax = = 0 的基礎(chǔ)解系為解空間的基礎(chǔ)解系為解

15、空間S 的的一個基一個基, dim S = = n R(A).例例12 設(shè)設(shè) m n 矩陣矩陣 A 的秩的秩 R(A) = = n, 證明證明 上頁下頁結(jié)束返回首頁解解 1234(,)a a a a1013 01220000 例例13 設(shè)設(shè)12341237(,)12372108a aaa= = (1) 求求(2) 說明說明 a1, a2 和和 a3, a4 為為V 的兩個基的兩個基, 并求從基并求從基 a1, a2 到基到基 a3, a4 的過渡矩陣的過渡矩陣.1234dim,:(,);V VL a a a a= =dim(,)VR=12342a a a a(,)(,),RR=12342a a

16、a a易知易知故故a1,a2 和和a3,a4都是都是V 的基的基.從基從基 a1, a2 到基到基 a3, a4 的過渡矩陣為的過渡矩陣為13.22= = P1237 00000366 知識點上頁下頁結(jié)束返回首頁2222|2(| )ababab = = 證明證明 例例14 設(shè)設(shè) a, b 為為 n 維維(列列)向量向量, 證明證明 并說明其幾何意義并說明其幾何意義. 2T|() ()ababab = = TT()()abab= = TTTTa aa bb ab b= = 22|2 , |aa bb=以以 b 代換代換 b, 得得 2|ab=22|2 , |aa bb 因此因此 2222|2(|

17、 )ababab = = 其幾何意義是其幾何意義是: 平行四邊形兩對角線的平方和等于四邊的平方和平行四邊形兩對角線的平方和等于四邊的平方和.baBACOOCab= = BAab=上頁下頁結(jié)束返回首頁0111101111011110A = = 解解 方陣方陣 A 的特征多項式為的特征多項式為111111|111111EA = = l ll ll ll ll l例例15 求方陣求方陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量.2011101010011111= =lllllllllllllll l3111(1) 101011 = = l ll l3111(1) 012003 = = l llllll l

18、3(1) (3)= = l ll l方陣方陣 A 的特征值為的特征值為12343,1.= = = = = =l ll ll ll l上頁下頁結(jié)束返回首頁解解0111101111011110A = = 例例15 求方陣求方陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量.當(dāng)當(dāng) l l1 = = 3 時時, 解方程組解方程組 ( 3). 0EA x = =由由 31111311311311113EA=1113131111313111111304040044044810120101004400441001010100110000 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系T1(1, 1, 1,1) ,p =方陣方陣 A 對應(yīng)于對應(yīng)

19、于 l l1 = = 3 的全部特征向量為的全部特征向量為111(0).k pk 上頁下頁結(jié)束返回首頁解解0111101111011110A = = 例例15 求方陣求方陣的特征值和特征向量的特征值和特征向量.當(dāng)當(dāng) l l2 = = l l3 3 = = l l4 4 = = 1 時時, 解方程組解方程組 ()0.EA x=由由 1111111111111111EA = = 1111000000000000得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系211,00p = = 310,10p = = 410,01p = =方陣方陣 A 對應(yīng)于對應(yīng)于 l l2 = = l l3 3 = = l l4 4 = = 1 的全部

20、特征向量為的全部特征向量為223344k pk pk p ( k2, k3, k4 不同時為零不同時為零)上頁下頁結(jié)束返回首頁20002000Bb= =111242 ,33Aa = = 解解例例16 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 與與 B 相似相似, 其中其中(1) 因因 A 與對角陣與對角陣 B 相似相似, 知知 A 的特征值為的特征值為 2, 2, b.由特征值的性質(zhì)得由特征值的性質(zhì)得111|24233Aa =6(1)a= = 4b= =tr( )5Aa= = 4b=求得求得5,a = =6.b = =知識點(1) 求常數(shù)求常數(shù) a, b; (2) 求可逆矩陣求可逆矩陣 P, 使使 P 1AP = =

21、 B. (3) 求求 An.上頁下頁結(jié)束返回首頁111242 ,33Aa = = 20002000Bb= =解解例例16 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 與與 B 相似相似, 其中其中(1) 求常數(shù)求常數(shù) a, b; (2) 求可逆矩陣求可逆矩陣 P, 使使 P 1AP = = B. (3) 求求 An.T1( 1,1,0) ,p = = (2) 當(dāng)當(dāng) l l = = 2 時時, 解方程組解方程組 (2E A)x = = 0, 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系當(dāng)當(dāng) l l = = 6 時時, 解方程組解方程組 (6E A)x = = 0, 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系T2(1,0,1)p = =T3(1, 2,3)p = =

22、取可逆矩陣取可逆矩陣123111(,)102013Pppp = = = 則有則有 P 1AP = = B.知識點上頁下頁結(jié)束返回首頁111242 ,33Aa = = 20002000Bb= =解解例例16 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 與與 B 相似相似, 其中其中(1) 求常數(shù)求常數(shù) a, b; (2) 求可逆矩陣求可逆矩陣 P, 使使 P 1AP = = B. (3) 求求 An.222331111P = = (3) A = = PBP 1, An = = PBnP 1. |1 2( 1) ( 3)1 14P = = = = 122211331|4111PPP = = = 上頁下頁結(jié)束返回首頁1112

23、42 ,33Aa = = 20002000Bb= =解解例例16 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 A 與與 B 相似相似, 其中其中(1) 求常數(shù)求常數(shù) a, b; (2) 求可逆矩陣求可逆矩陣 P, 使使 P 1AP = = B. (3) 求求 An.(3) A = = PBP 1, An = = PBnP 1. 20011122211020203314013111006nnnnA = = 211135311322(13 )2(31)2(31)333331nnnnnnnnnn = = 上頁下頁結(jié)束返回首頁證明證明例例17 設(shè)設(shè) A, B為為n階矩陣階矩陣, l l 為為AB的非零特征值的非零特征值, 證明證明

24、l l 也也為為 BA 的特征值的特征值.存在非零向量存在非零向量 p, 使使 ABp = = l l p. 于是于是()()()()= = = =BA BpB ABpBpBpl ll l由由 l l 0, , p 0, 可知可知 Bp 0.(而而 Bp 為對應(yīng)的特征向量為對應(yīng)的特征向量)因此因此 l l 為為 BA 的特征值的特征值.上頁下頁結(jié)束返回首頁例例18 設(shè)矩陣設(shè)矩陣求求 a 的值的值, 并討論并討論 A 可否相似對角化可否相似對角化.有一個二重特征值有一個二重特征值, 12314315Aa = = 解解 方陣方陣 A 的特征多項式為的特征多項式為|EAl l 22014315al ll ll ll l = = 200133115al ll ll l = = 2(2)(8183 )al ll ll l= = 12314