概率論課件概率

1、二、隨機(jī)變量的概念二、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的引入一、隨機(jī)變量的引入隨機(jī)變量的概念 概率論是從數(shù)量上來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律概率論是從數(shù)量上來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象內(nèi)在規(guī)律性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要用數(shù)性的，為了更方便有力的研究隨機(jī)現(xiàn)象，就要用數(shù)學(xué)分析的方法來(lái)研究，學(xué)分析的方法來(lái)研究， 因此為了便于數(shù)學(xué)上的推因此為了便于數(shù)學(xué)上的推導(dǎo)和計(jì)算，就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化當(dāng)把一導(dǎo)和計(jì)算，就需將任意的隨機(jī)事件數(shù)量化當(dāng)把一些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來(lái)表示時(shí)，些非數(shù)量表示的隨機(jī)事件用數(shù)字來(lái)表示時(shí)， 就建就建立起了隨機(jī)變量的概念立起了隨機(jī)變量的概念1. 為什么引入隨機(jī)變量為什么引入隨機(jī)變量?一、隨機(jī)

2、變量的引入2. 隨機(jī)變量的引入隨機(jī)變量的引入實(shí)例實(shí)例1 在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個(gè)球在一裝有紅球、白球的袋中任摸一個(gè)球, ,觀察摸出球的顏色觀察摸出球的顏色. .S=紅色、白色紅色、白色 非數(shù)量非數(shù)量將將 S 數(shù)量化數(shù)量化 ?可采用下列方法可采用下列方法 S紅色紅色 白色白色)(eXR10即有即有 X ( (紅色紅色)=)=1 , ., 0, 1)(白色白色紅色紅色eeeXX (白色白色)=0.這樣便將非數(shù)量的這樣便將非數(shù)量的 S=紅色，白色紅色，白色 數(shù)量化了數(shù)量化了. .實(shí)例實(shí)例2 拋擲骰子拋擲骰子, ,觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). ., 3) 3(, 2) 2(, 1) 1 (

3、XXX, 6)6(, 5)5(, 4)4( XXX1(1, 2, 3, 4, 5, 6).6P XiiS=1，2，3，4，5，6樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量樣本點(diǎn)本身就是數(shù)量恒等變換恒等變換且有且有eeX )(則有則有.)(, )(,)(,. , 為隨機(jī)變量為隨機(jī)變量稱稱上的單值實(shí)值函數(shù)上的單值實(shí)值函數(shù)這樣就得到一個(gè)定義在這樣就得到一個(gè)定義在與之對(duì)應(yīng)與之對(duì)應(yīng)有一個(gè)實(shí)數(shù)有一個(gè)實(shí)數(shù)果對(duì)于每一個(gè)果對(duì)于每一個(gè)如如它的樣本空間是它的樣本空間是是隨機(jī)試驗(yàn)是隨機(jī)試驗(yàn)設(shè)設(shè)eXeXSeXSeeSE 二、隨機(jī)變量的概念1.定義定義隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值隨機(jī)變量隨著試驗(yàn)的結(jié)果不同而取不同的值, , 由于試驗(yàn)的

4、各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率由于試驗(yàn)的各個(gè)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率, , 因此因此隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律隨機(jī)變量的取值也有一定的概率規(guī)律. .(2) 隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機(jī)變量的取值具有一定的概率規(guī)律隨機(jī)變量是一個(gè)函數(shù)隨機(jī)變量是一個(gè)函數(shù) , , 但它與普通的函數(shù)有但它與普通的函數(shù)有著本質(zhì)的差別著本質(zhì)的差別 , ,普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的普通函數(shù)是定義在實(shí)數(shù)軸上的, ,而而隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的隨機(jī)變量是定義在樣本空間上的 ( (樣本空間的元素樣本空間的元素不一定是實(shí)數(shù)不一定是實(shí)數(shù)).).2.說明說明(1) 隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同隨機(jī)變量與普通的函數(shù)不同隨機(jī)事件

5、包容在隨機(jī)變量這個(gè)范圍更廣的概念隨機(jī)事件包容在隨機(jī)變量這個(gè)范圍更廣的概念之內(nèi)之內(nèi). .或者說或者說 : : 隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨隨機(jī)事件是從靜態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象機(jī)現(xiàn)象, ,而隨機(jī)變量則是從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)而隨機(jī)變量則是從動(dòng)態(tài)的觀點(diǎn)來(lái)研究隨機(jī)現(xiàn)象現(xiàn)象. .(3)隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系隨機(jī)變量與隨機(jī)事件的關(guān)系實(shí)例實(shí)例3 擲一個(gè)硬幣擲一個(gè)硬幣, , 觀察出現(xiàn)的面觀察出現(xiàn)的面 , , 共有兩個(gè)共有兩個(gè)結(jié)果結(jié)果: :),(1反面朝上反面朝上 e),(2正面朝上正面朝上 e若用若用 X 表示擲一個(gè)硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù)表示擲一個(gè)硬幣出現(xiàn)正面的次數(shù), , 則有則有)(eX)(1反面朝上反面朝

6、上 e)(2正面朝上正面朝上 e100)(1 eX1)(2 eX即即 X (e) 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量. .實(shí)例實(shí)例4 在有兩個(gè)孩子的家庭中在有兩個(gè)孩子的家庭中, ,考慮其性別，考慮其性別， 共共有有 4 4 個(gè)樣本點(diǎn)個(gè)樣本點(diǎn): :. )(),(, )(),(4321女女女,女,男男女,女,女女男,男,男男男,男, eeee若用若用 X 表示該家女孩子的個(gè)數(shù)時(shí)表示該家女孩子的個(gè)數(shù)時(shí) , , 則有則有, 0)(1 eX, 1)(2 eX, 1)(3 eX, 2)(4 eX可得隨機(jī)變量可得隨機(jī)變量 X(e), , ., 2, 1, 0)(4321eeeeeeeeeX實(shí)例實(shí)例5 設(shè)盒中有設(shè)盒

7、中有5個(gè)球個(gè)球 (2白白3黑黑), , 從中任抽從中任抽3個(gè)個(gè), ,則則,)(抽得的白球數(shù)抽得的白球數(shù) eX是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量. .實(shí)例實(shí)例6 設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8, 現(xiàn)現(xiàn)該射手射了該射手射了30次次, , 則則,)(射中目標(biāo)的次數(shù)射中目標(biāo)的次數(shù) eX是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量. .且且 X(e) 的所有可能取為的所有可能取為: :, 0, 1. 2且且 X(e) 的所有可能取值為的所有可能取值為: :.30, , 3, 2, 1, 0實(shí)例實(shí)例7 設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8, ,現(xiàn)該射手不

8、斷向目標(biāo)射擊現(xiàn)該射手不斷向目標(biāo)射擊, , 直到擊中目標(biāo)為止直到擊中目標(biāo)為止, ,則則,)(所需射擊次數(shù)所需射擊次數(shù) eX是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量. .且且 X(e) 的所有可能取值為的所有可能取值為: :., 3, 2, 1實(shí)例實(shí)例8 某公共汽車站每隔某公共汽車站每隔 5 分鐘有一輛汽車通過分鐘有一輛汽車通過, , 如果某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的如果某人到達(dá)該車站的時(shí)刻是隨機(jī)的, , 則則,)(此人的等車時(shí)間此人的等車時(shí)間 eX是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量. .且且 X(e) 的所有可能取值為的所有可能取值為: :.5,03.隨機(jī)變量的分類隨機(jī)變量的分類離散型離散型(1)離散型離散型 隨

9、機(jī)變量所取的可能值是有限多個(gè)或隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個(gè)或無(wú)限可列個(gè)無(wú)限可列個(gè), , 叫做離散型隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量. . 觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). .隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的可能值是的可能值是 : :隨機(jī)變量隨機(jī)變量連續(xù)型連續(xù)型實(shí)例實(shí)例91, 2, 3, 4, 5, 6.非離散型非離散型其他其他實(shí)例實(shí)例10 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 記為記為 “連續(xù)射擊連續(xù)射擊, , 直至命直至命中時(shí)的射擊次數(shù)中時(shí)的射擊次數(shù)”, , 則則 X 的可能值是的可能值是: : ., 3, 2, 1實(shí)例實(shí)例11 設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.

10、8,現(xiàn)該射手射了現(xiàn)該射手射了30次次, ,則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 X 記為記為“擊中目標(biāo)擊中目標(biāo)的次數(shù)的次數(shù)”, , 則則 X 的所有可能取值為的所有可能取值為: :.30, 3, 2, 1, 0實(shí)例實(shí)例13 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 為為“測(cè)量某零件尺寸時(shí)的測(cè)量測(cè)量某零件尺寸時(shí)的測(cè)量誤差誤差”. .則則 X 的取值范圍為的取值范圍為 (a, b) .實(shí)例實(shí)例12 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 為為“燈泡的壽命燈泡的壽命”. .)., 0 (2)連續(xù)型連續(xù)型 隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充隨機(jī)變量所取的可能值可以連續(xù)地充滿某個(gè)區(qū)間滿某個(gè)區(qū)間, ,叫做連續(xù)型隨機(jī)變量叫做連續(xù)型隨機(jī)變量. .則則 X 的取值范

11、圍為的取值范圍為一一、離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量二二、常見離散型的分布律常見離散型的分布律離散型隨機(jī)變量及其分布律一、離散型隨機(jī)變量 觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)觀察擲一個(gè)骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù). .隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 的可能值是的可能值是 : :實(shí)例實(shí)例11, 2, 3, 4, 5, 6.定義定義 隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個(gè)或無(wú)限可隨機(jī)變量所取的可能值是有限多個(gè)或無(wú)限可列個(gè)列個(gè), , 叫做離散型隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量. .實(shí)例實(shí)例2 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 記為記為 “連續(xù)射擊連續(xù)射擊, , 直至命直至命中時(shí)的射擊次數(shù)中時(shí)的射擊次數(shù)”, , 則則 X 的可能值是的可能值是: : ., 3,

12、 2, 1實(shí)例實(shí)例3 設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是設(shè)某射手每次射擊打中目標(biāo)的概率是0.8,現(xiàn)該射手射了現(xiàn)該射手射了30次次, ,則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 X 記為記為“擊中目標(biāo)擊中目標(biāo)的次數(shù)的次數(shù)”, ,則則 X 的所有可能取值為的所有可能取值為: :.30, 3, 2, 1, 0說明說明 ;,2,1, 0)1( kpk.1)2(1 kkp., 2, 1, ),2,1(的分布律的分布律稱此為離散型隨機(jī)變量稱此為離散型隨機(jī)變量為為的概率的概率即事件即事件取各個(gè)可能值的概率取各個(gè)可能值的概率所有可能取的值為所有可能取的值為設(shè)離散型隨機(jī)變量設(shè)離散型隨機(jī)變量XkpxXPxXXkxXkkkk 二、離散型

13、隨機(jī)變量的分布律定義定義離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為離散型隨機(jī)變量的分布律也可表示為 nnpppxxxX2121XkPnxxx21nppp21., )(,.21,分布律分布律的的求求相互獨(dú)立的相互獨(dú)立的設(shè)各組信號(hào)燈的工作是設(shè)各組信號(hào)燈的工作是組數(shù)組數(shù)它已通過的信號(hào)燈的它已通過的信號(hào)燈的表示汽車首次停下時(shí)表示汽車首次停下時(shí)以以過過通通的概率允許或禁止汽車的概率允許或禁止汽車每組信號(hào)燈以每組信號(hào)燈以信號(hào)燈信號(hào)燈的道路上需經(jīng)過四組的道路上需經(jīng)過四組設(shè)一汽車在開往目的地設(shè)一汽車在開往目的地XX解解,通過的概率通過的概率為每組信號(hào)燈禁止汽車為每組信號(hào)燈禁止汽車設(shè)設(shè) p則有則有kPX43210ppp)

14、1( pp2)1 ( pp3)1 ( 4)1(p 例例1代入得代入得將將21 p5 . 025. 0 125. 0 0625. 0 0625. 0XkP43210常見離散型隨機(jī)變量的概率分布設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X 只可能取只可能取0與與1兩個(gè)值兩個(gè)值, 它的分布它的分布律為律為XkP0p 11p則稱則稱X 服從服從(0-1)分布分布或或兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布. .1. 兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布 實(shí)例實(shí)例1 “拋硬幣拋硬幣”試驗(yàn)試驗(yàn), ,觀察正、反兩面情觀察正、反兩面情況況. 隨機(jī)變量隨機(jī)變量 X 服從服從 (0-1) 分布分布. ., 1)(eXX , 0,正面正面當(dāng)當(dāng) e.反面反面當(dāng)當(dāng) eXkP01212

15、1其分布律為其分布律為實(shí)例實(shí)例2 200件產(chǎn)品中件產(chǎn)品中, 有有190 件合格品件合格品, 10 件不合格件不合格品品, 現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件現(xiàn)從中隨機(jī)抽取一件, 那么那么, 若規(guī)定若規(guī)定 , 0, 1X取得不合格品取得不合格品, ,取得合格品取得合格品.則隨機(jī)變量則隨機(jī)變量 X 服從服從(0-1)分布分布. .XkP0120019020010 兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布兩點(diǎn)分布是最簡(jiǎn)單的一種分布, ,任何一個(gè)只有任何一個(gè)只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象兩種可能結(jié)果的隨機(jī)現(xiàn)象, 比如新生嬰兒是男還是比如新生嬰兒是男還是女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等女、明天是否下雨、種籽是否發(fā)芽等, 都屬于兩點(diǎn)都屬于

16、兩點(diǎn)分布分布. .說明說明2. 等可能分布等可能分布如果隨機(jī)變量如果隨機(jī)變量X 的分布律為的分布律為例如例如 拋擲骰子并記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量拋擲骰子并記出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為隨機(jī)變量X,XkP161234566161616161則有則有 .,)(),(服從等可能分布服從等可能分布則稱則稱其中其中Xjiaaji XkPnaaa21nnn111將試驗(yàn)將試驗(yàn)E 重復(fù)進(jìn)行重復(fù)進(jìn)行n 次次, 若各次試驗(yàn)的結(jié)果互若各次試驗(yàn)的結(jié)果互不影響不影響 , 即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其即每次試驗(yàn)結(jié)果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗(yàn)的結(jié)果它各次試驗(yàn)的結(jié)果, 則稱這則稱這n 次試驗(yàn)是次試驗(yàn)是相互獨(dú)立相互獨(dú)立的的, 或稱

17、為或稱為n 次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn). .(1) 重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)3. 二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布(2) n 重重伯努利試驗(yàn)伯努利試驗(yàn).1)(),10()( .,:pAPppAPEAAE 此時(shí)此時(shí)設(shè)設(shè)為伯努利試驗(yàn)為伯努利試驗(yàn)則稱則稱及及只有兩個(gè)可能結(jié)果只有兩個(gè)可能結(jié)果設(shè)試驗(yàn)設(shè)試驗(yàn). , 重重伯伯努努利利試試驗(yàn)驗(yàn) nnE復(fù)復(fù)的的獨(dú)獨(dú)立立試試驗(yàn)驗(yàn)為為則則稱稱這這一一串串重重次次獨(dú)獨(dú)立立地地重重復(fù)復(fù)地地進(jìn)進(jìn)行行將將實(shí)例實(shí)例3 拋一枚硬幣觀察得到正面或反面拋一枚硬幣觀察得到正面或反面. . 若將硬幣若將硬幣拋拋 n 次次, ,就是就是n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn).實(shí)例實(shí)例4 拋一顆骰子拋一顆骰子n次次

18、, ,觀察是否觀察是否 “出現(xiàn)出現(xiàn) 1 點(diǎn)點(diǎn)”, 就是就是 n重伯努利試驗(yàn)重伯努利試驗(yàn). .(3) 二項(xiàng)概率公式二項(xiàng)概率公式,發(fā)生的次數(shù)發(fā)生的次數(shù)重伯努利試驗(yàn)中事件重伯努利試驗(yàn)中事件表示表示若若AnX所有可能取的值為所有可能取的值為則則 X., 2, 1, 0n,)0(時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)nkkX .次次次試驗(yàn)中發(fā)生了次試驗(yàn)中發(fā)生了在在即即knA 次次kAAA, 次次knAAA 次次1 kAAAA A 次次1 knAAA次的方式共有次的方式共有次試驗(yàn)中發(fā)生次試驗(yàn)中發(fā)生在在得得knA,種種 kn且兩兩互不相容且兩兩互不相容. .nknknnkpqpknpqnqpnkX 1110稱這樣的分布為稱這樣的分布為二

19、項(xiàng)分布二項(xiàng)分布. .記為記為).,(pnBX次的概率為次的概率為次試驗(yàn)中發(fā)生次試驗(yàn)中發(fā)生在在因此因此knAknkppkn )1(pq 1記記knkqpkn 的分布律為的分布律為得得 X二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布1 n兩點(diǎn)分布兩點(diǎn)分布二項(xiàng)分布的圖形二項(xiàng)分布的圖形例如例如 在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行在相同條件下相互獨(dú)立地進(jìn)行 5 次射擊次射擊, ,每次每次射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為射擊時(shí)擊中目標(biāo)的概率為 0.6 ,則擊中目標(biāo)的次數(shù)則擊中目標(biāo)的次數(shù) X 服從服從 B (5,0.6) 的二項(xiàng)分布的二項(xiàng)分布. .5) 4 . 0(44 . 06 . 015 324 . 06 . 025 234 . 06 . 035

20、4 . 06 . 0454 56 . 0XkP012345?)20,1,0(20.20,2 . 0.1500一級(jí)品的概率是多少一級(jí)品的概率是多少只只只元件中恰有只元件中恰有問問只只現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽查現(xiàn)在從中隨機(jī)地抽查級(jí)品率為級(jí)品率為已知某一大批產(chǎn)品的一已知某一大批產(chǎn)品的一小時(shí)的為一級(jí)品小時(shí)的為一級(jí)品的使用壽命超過的使用壽命超過規(guī)定某種型號(hào)電子元件規(guī)定某種型號(hào)電子元件 kk分析分析 這是不放回抽樣這是不放回抽樣. .但由于這批元件的總數(shù)很但由于這批元件的總數(shù)很大大, , 且抽查元件的數(shù)量相對(duì)于元件的總數(shù)來(lái)說又且抽查元件的數(shù)量相對(duì)于元件的總數(shù)來(lái)說又很小很小, ,因而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來(lái)處理因

21、而此抽樣可近似當(dāng)作放回抽樣來(lái)處理. .,一一級(jí)級(jí)品品看看成成是是一一次次試試驗(yàn)驗(yàn)把把檢檢查查一一只只元元件件是是否否為為例例2.2020重重伯伯努努利利試試驗(yàn)驗(yàn)只只元元件件相相當(dāng)當(dāng)于于做做檢檢查查解解,20 只只元元件件中中一一級(jí)級(jí)品品的的只只數(shù)數(shù)記記以以 X),2 . 0,20( BX則則因此所求概率為因此所求概率為.20, 1 , 0,)8 . 0()2 . 0(2020 kkkXPkk012. 00 XP058. 01 XP137. 02 XP205. 03 XP218. 04 XP175. 05 XP109. 06 XP055. 07 XP022. 08 XP007. 09 XP002

22、. 010 XP時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)11,001. 0 kkXP圖示概率分布圖示概率分布.,400,02. 0,率率試試求求至至少少擊擊中中兩兩次次的的概概次次獨(dú)獨(dú)立立射射擊擊設(shè)設(shè)每每次次射射擊擊的的命命中中率率為為某某人人進(jìn)進(jìn)行行射射擊擊解解,X設(shè)擊中的次數(shù)為設(shè)擊中的次數(shù)為. )02. 0,400( BX則則的分布律為的分布律為X,)98. 0()02. 0(400400 kkkkXP .400, 1, 0 k因此因此1012 XPXPXP399400)98. 0)(02. 0(400)98. 0(1 .9972. 0 例例3 有一繁忙的汽車站有一繁忙的汽車站, ,每天有大量汽車通過每天有大量汽車通過,

23、 ,設(shè)每設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi)輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi), ,出事故的概率為出事故的概率為0.0001, 在每天的該段時(shí)間內(nèi)有在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000 輛汽車通過輛汽車通過, , 問出事故問出事故的次數(shù)不小于的次數(shù)不小于2 2的概率是多少的概率是多少? ?, )0001.0,1000( BX99910009999. 00001. 0110009999. 01 設(shè)設(shè) 1000 輛車通過輛車通過, ,出事故的次數(shù)為出事故的次數(shù)為 X , , 則則解解例例4故所求概率為故所求概率為1012 XPXPXP二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布)(nnp 4. 泊松分布泊松分布 ).(,.0,2,1

24、,0,!e, 2, 1, 0 XXkkkXPk記為記為的泊松分布的泊松分布服從參數(shù)為服從參數(shù)為則稱則稱是常數(shù)是常數(shù)其中其中值的概率為值的概率為而取各個(gè)而取各個(gè)的值為的值為設(shè)隨機(jī)變量所有可能取設(shè)隨機(jī)變量所有可能取 泊松分布的圖形泊松分布的圖形泊松分布的背景及應(yīng)用泊松分布的背景及應(yīng)用二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與二十世紀(jì)初盧瑟福和蓋克兩位科學(xué)家在觀察與分析放射性物質(zhì)放出的分析放射性物質(zhì)放出的 粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí)粒子個(gè)數(shù)的情況時(shí), ,他們他們做了做了26082608次觀察次觀察( (每次時(shí)間為每次時(shí)間為7.57.5秒秒) )發(fā)現(xiàn)放射性物發(fā)現(xiàn)放射性物質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi)質(zhì)在規(guī)定的一段時(shí)間內(nèi),

25、, 其放射的粒子數(shù)其放射的粒子數(shù)X 服從泊服從泊松分布松分布. . 在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公在生物學(xué)、醫(yī)學(xué)、工業(yè)統(tǒng)計(jì)、保險(xiǎn)科學(xué)及公用事業(yè)的排隊(duì)等問題中用事業(yè)的排隊(duì)等問題中 , , 泊松分布是常見的泊松分布是常見的. .例例如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼如地震、火山爆發(fā)、特大洪水、交換臺(tái)的電話呼喚次數(shù)等喚次數(shù)等, , 都服從泊松分布都服從泊松分布. .電話呼喚次數(shù)電話呼喚次數(shù)交通事故次數(shù)交通事故次數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)商場(chǎng)接待的顧客數(shù)地震地震火山爆發(fā)火山爆發(fā)特大洪水特大洪水上面我們提到上面我們提到二項(xiàng)分布二項(xiàng)分布 泊松分布泊松分布)(nnp 有一繁忙的汽車站有一繁忙的汽車站

26、, ,每天有大量汽車通過每天有大量汽車通過, ,設(shè)每設(shè)每輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi)輛汽車在一天的某段時(shí)間內(nèi), ,出事故的概率為出事故的概率為0.0001, 在每天的該段時(shí)間內(nèi)有在每天的該段時(shí)間內(nèi)有1000 輛汽車通過輛汽車通過, , 問出事故問出事故的次數(shù)不小于的次數(shù)不小于2的概率是多少的概率是多少? ?),0001.0,1000( BX設(shè)設(shè) 1000 輛車通過輛車通過, ,出事故的次數(shù)為出事故的次數(shù)為 X , , 則則解解例例4可利用泊松定理計(jì)算可利用泊松定理計(jì)算, 1 . 00001. 01000 所求概率為所求概率為99910009999.00001.0110009999.01 .0047

27、. 0! 1e1 . 0!0e11 . 01 . 0 2 XP1012 XPXPXP 為了保證設(shè)備正常工作為了保證設(shè)備正常工作, 需配備適量的維修工需配備適量的維修工人人 ( (工人配備多了就浪費(fèi)工人配備多了就浪費(fèi), 配備少了又要影響生配備少了又要影響生產(chǎn)產(chǎn)) ),現(xiàn)有同類型設(shè)備現(xiàn)有同類型設(shè)備300臺(tái)臺(tái), ,各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的, ,發(fā)生故障的概率都是發(fā)生故障的概率都是0.01.在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的在通常情況下一臺(tái)設(shè)備的故障可由一個(gè)人來(lái)處理故障可由一個(gè)人來(lái)處理( (我們也只考慮這種情況我們也只考慮這種情況) ) ,問至少需配備多少工人問至少需配備多少工人 ,才能保證設(shè)備發(fā)

28、生故障但才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于不能及時(shí)維修的概率小于0.01?解解.人人設(shè)需配備設(shè)需配備 N設(shè)備設(shè)備記同一時(shí)刻發(fā)生故障的記同一時(shí)刻發(fā)生故障的,X臺(tái)數(shù)為臺(tái)數(shù)為. )01. 0,300(,BX那么那么所需解決的問題所需解決的問題,N是確定最小的是確定最小的使得使得合理配備維修工人問題合理配備維修工人問題例例5由泊松定理由泊松定理得得,!e303 NkkkNXP故有故有,99. 0!e303 Nkkk即即 Nkkk03!e31 13!e3Nkkk,01. 0 . 8是是小的小的查表可求得滿足此式最查表可求得滿足此式最N個(gè)工人個(gè)工人, ,才能保證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的才能保

29、證設(shè)備發(fā)生故障但不能及時(shí)維修的概率小于概率小于0.01.故至少需配備故至少需配備8.99. 0 NXP 設(shè)有設(shè)有80臺(tái)同類型設(shè)備臺(tái)同類型設(shè)備, ,各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的各臺(tái)工作是相互獨(dú)立的發(fā)生故障的概率都是發(fā)生故障的概率都是 0.01, 且一臺(tái)設(shè)備的故障能由且一臺(tái)設(shè)備的故障能由一個(gè)人處理一個(gè)人處理. . 考慮兩種配備維修工人的方法考慮兩種配備維修工人的方法 , 其一其一是由四人維護(hù)是由四人維護(hù), 每人負(fù)責(zé)每人負(fù)責(zé)20臺(tái)臺(tái); 其二是由其二是由3人共同維人共同維護(hù)臺(tái)護(hù)臺(tái)80. 試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能試比較這兩種方法在設(shè)備發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)維修的概率的大小及時(shí)維修的概率的大小. .解解

30、按第一種方法按第一種方法, ,障的臺(tái)數(shù)”障的臺(tái)數(shù)”臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故人維護(hù)的人維護(hù)的記“第記“第以以201X維修”，維修”，中發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)中發(fā)生故障時(shí)不能及時(shí)臺(tái)臺(tái)人維護(hù)的人維護(hù)的表示事件“第表示事件“第以以20)4, 3, 2, 1(iiAi 例例6)()(14321APAAAAP .2 XP, )01. 0,20( BX而而np 又又, 2 . 0 故有故有 22 . 0!)2 . 0(2kkkkXP.0175. 0 即有即有.0175. 0)(4321 AAAAP則知?jiǎng)t知80臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為 按第二種方法按第二種方

31、法.80障的臺(tái)數(shù)障的臺(tái)數(shù)臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故臺(tái)中同一時(shí)刻發(fā)生故記記以以Y, )01. 0,80( BY則有則有np 又又, 8 . 0 故故 80 臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為臺(tái)中發(fā)生故障而不能及時(shí)維修的概率為 48 . 0!)8 . 0(4kkkkYP.0091. 0 5. 幾何分布幾何分布 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量 X 的分布律為的分布律為則稱則稱 X 服從服從幾何分布幾何分布. .實(shí)例實(shí)例6 設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為設(shè)某批產(chǎn)品的次品率為p, 對(duì)該批產(chǎn)品做有對(duì)該批產(chǎn)品做有放回的抽樣檢查放回的抽樣檢查, 直到第一次抽到一只次品為止直到第一次抽到一只次品為止 ( ( 在此之前抽到的全是正品在此之前

32、抽到的全是正品 ), ), 那么所抽到的產(chǎn)品那么所抽到的產(chǎn)品數(shù)數(shù) X 是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量 , , 求求X 的分布律的分布律. ., 1, qpXkpk21pqppqk 1 )(121kkAAAAPkXP )()()()(121kkAPAPAPAP ppppk )1()1()1)(1(.1pqk ),2,1( k所以所以 X 服從幾何分布服從幾何分布. .說明說明 幾何分布可作為描述某個(gè)試驗(yàn)幾何分布可作為描述某個(gè)試驗(yàn) “首次成功首次成功”的概率模型的概率模型. .解解., 3,2,1所取的可能值是所取的可能值是X,個(gè)產(chǎn)品是正品”個(gè)產(chǎn)品是正品”表示“抽到的第表示“抽到的第設(shè)設(shè)iAi一、分

33、布函數(shù)的概念一、分布函數(shù)的概念二、分布函數(shù)的性質(zhì)二、分布函數(shù)的性質(zhì)三、例題講解三、例題講解分布函數(shù)及其性質(zhì)對(duì)于隨機(jī)變量對(duì)于隨機(jī)變量X, 我們不僅要知道我們不僅要知道X 取哪些值取哪些值, , 要知道要知道 X 取這些值的概率取這些值的概率 ; 而且更重要的是想知而且更重要的是想知道道 X 在任意有限區(qū)間在任意有限區(qū)間(a, b)內(nèi)取值的概率內(nèi)取值的概率. .21xXxP 12xXPxXP )(2xF)(1xF21xXxP 分布分布函數(shù)函數(shù) ).()(12xFxF ?一、分布函數(shù)的概念例如例如.,(21內(nèi)的概率內(nèi)的概率落在區(qū)間落在區(qū)間求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量xxX1.概念的概念的引入引入2.分布函數(shù)

34、的定義分布函數(shù)的定義說明說明(1) (1) 分布函數(shù)主要研究變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概分布函數(shù)主要研究變量在某一區(qū)間內(nèi)取值的概率情況率情況. .)(,的分布函數(shù)的分布函數(shù)稱為稱為函數(shù)函數(shù)是任意實(shí)數(shù)是任意實(shí)數(shù)是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量設(shè)設(shè)定義定義XxXPxFxX .)()2(的的一一個(gè)個(gè)普普通通實(shí)實(shí)函函數(shù)數(shù)是是分分布布函函數(shù)數(shù)xxF拋擲均勻硬幣拋擲均勻硬幣, , 令令 ., 0, 1出反面出反面出正面出正面X求隨機(jī)變量求隨機(jī)變量 X 的分布函數(shù)的分布函數(shù). .解解1 XP0 XP,21 0 1x,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;0 0)( xXPxF實(shí)例實(shí)例 0 1x,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 XP;

35、21 ,1時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF 0 XP1 XP2121 . 1 . 1, 1, 10,21, 0, 0)(xxxxF得得);,(, 1)(0)1( xxF);(),()()2(2121xxxFxF 證明證明21xx 由由,21xXPxXP 得得).()(21xFxF 故故1xX ,2xX ,)(11xXPxF 又又,)(22xXPxF 二、分布函數(shù)的性質(zhì), 0)(lim)()3( xFFx,)(xXPxF 0lim)(lim xXPxFxxxoxo; 1)(lim)( xFFx證明證明,越越來(lái)來(lái)越越小小時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,的的值值也也越越來(lái)來(lái)越越小小xXP 有有時(shí)時(shí)因因而而當(dāng)當(dāng), x.),(

36、, ),(,內(nèi)內(nèi)必然落在必然落在時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)而而的值也不會(huì)減小的值也不會(huì)減小增大時(shí)增大時(shí)當(dāng)當(dāng)同樣同樣 XxxXxXPx).(),()(lim)4(000 xxFxFxx即任一分布函數(shù)處處即任一分布函數(shù)處處右連續(xù)右連續(xù). . ., 1,0, 0, 0)(221211xxxxxpxxpxxF. 1lim)(lim xXPxFxx所以所以xo)(xF 1x 2x 1p 2p 1重要公式重要公式),()() 1 (aFbFbXaP ).(1) 2(aFaXP 證明證明,bXaaXbX 因?yàn)橐驗(yàn)? bXaaX,bXaPaXPbXP 所以所以).()(aFbFbXaP 故故 ,TTTTTHTHTHTTTHHH

37、THHHTHHHS 因此分布律為因此分布律為818383813210PX解解則則三、例題講解.31, 5 . 5,31, XPXPXPXX列概率值列概率值并求下并求下的分布律及分布函數(shù)的分布律及分布函數(shù)求求”出現(xiàn)的次數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)表示“三次中正面表示“三次中正面將一枚硬幣連擲三次將一枚硬幣連擲三次例例1,反面反面正面正面設(shè)設(shè) TH;218381 ,0時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,10時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x求分布函數(shù)求分布函數(shù))(xXPxF xO 1 2 3)(xXPxF 0 XP;810 ixip)(xXPxF 1ixip0 XP1 XP; 0 ,21時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x,32時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x;87838381 ,3時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) x)(xXPxF )(xXPxF 2ixip0 XP1 XP2 XPxO 1 2 3. 1 3ixip0 XP1 XP2 XP3 XP31 XP3 13 XPXPXP)