定積分的應(yīng)用

1、目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 習(xí)題課1. 定積分的應(yīng)用定積分的應(yīng)用幾何方面幾何方面 : 面積、 體積、弧長(zhǎng)、 表面積 .物理方面物理方面 : 質(zhì)量、作功、 側(cè)壓力、引力、2. 基本方法基本方法 : 元素法元素形狀 : 條、段、 帶、 片、扇、環(huán)、殼 等.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量 .定積分的應(yīng)用 第六六章 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例1. 求拋物線21xy在(0,1) 內(nèi)的一條切線, 與兩坐標(biāo)軸和拋物線所圍圖形的面積最小.解解: 設(shè)拋物線上切點(diǎn)為)1 ,(2xxM則該點(diǎn)處的切線方程為)(2)1 (2xXxxY它與 x , y 軸的交點(diǎn)分別為, )0,(212xxA) 1,0(2xB所指面積)(xSxx2)

2、 1(2122102d)1 (xx324) 1(22xx11MBAyxO使它目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 )(xS) 13() 1(22412xxx,33x0)( xS,33x0)( xS故為最小值點(diǎn), 因而所求切線為34332XY,0)( xS令得 0 , 1 上的唯一駐點(diǎn)33x, 1 , 0)(33上的唯一極小值點(diǎn)在是因此xSx 11MBAyxO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例2. 設(shè)非負(fù)函數(shù)上滿足在 1,0)(xf)()(xfxfx曲線)(xfy 與直線1x及坐標(biāo)軸所圍圖形(1) 求函數(shù); )(xf(2) a 為何值時(shí), 所圍圖形繞 x 軸一周所得旋轉(zhuǎn)體解解: (1)時(shí)，當(dāng)0 x由方程

3、得axxfxfx23)()(2axxf23)(,223xa面積為 2 ,體積最小 ? 即xCxaxf223)(故得目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xyO又10d)(2xxfxxCxad2321022CaaC 4xaxaxf)4(23)(2(2) 旋轉(zhuǎn)體體積Vxxfd)(1021610132aa,01513aV令5a得又V 5a,0155 a為唯一極小值點(diǎn), 因此5a時(shí) V 取最小值 .1)(xf目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 0 xe例例3. 過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)作曲線xyln軸圍成平面圖形D.(1) 求 D 的面積;(2) 求D 繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.解解: (1) 設(shè)切點(diǎn)的橫坐標(biāo)

4、為,0 x則所求切線方程為)(1ln000 xxxxyxxy及l(fā)n, 01ln0 x由切線過(guò)原點(diǎn)知的切線. 該切線與曲線因此0, ex 故切線方程為1eyxD 的面積為eyx 12eDxylnyOx1eyx110()deeyAyy(2003考研)目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 求D 繞直線 x = e 旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的體積.(2) 切線、x 軸及直線ex 2113eV ex 所圍三角形繞直線旋轉(zhuǎn)所得圓錐的體積為曲線、x 軸及直線ex 1220() deeyVyex 所圍圖形繞直線旋轉(zhuǎn)所2(41)2ee因此所求旋轉(zhuǎn)體體積為21251236eeVVV0 xeeyx DxylnyOx1ey

5、x1得旋轉(zhuǎn)體體積為目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例4. 證明曲邊扇形),(0,0rr 繞極軸.dsin)(323rVox)(rr drd證證: 先求d,上微曲邊扇形繞極軸旋轉(zhuǎn)而成的體積.doxV體積元素rrddrsin2 roxVddsin2rrrd)(02dsin)(323r故dsin)(323rVox旋轉(zhuǎn)而成的體積為rO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xy224xxyOyx)d5(dxu 故所求旋轉(zhuǎn)體體積為xxxd5)2(225157516xxxVd)2(552220uVdd2APxd2ud例例5. 求由xy2與24xxy所圍區(qū)域繞xy2旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體體積.解解: 曲線與直線的交點(diǎn)坐標(biāo)為)

6、,4,2(A曲線上任一點(diǎn))4,(2xxxP到直線xy2的距離為xx2251),(2如圖為數(shù)軸以u(píng)xy u則目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例6. 半徑為 R , 密度為的球沉入深為H ( H 2 R ) 的水池底, 水的密度多少功 ? 解解: 建立坐標(biāo)系如圖 .則對(duì)應(yīng)d,xxx上球的薄片提到水面上的功元素為1dWxy d2提出水面后的功元素為2dW)(d2xRxygxxRxRgd)(22,0 xxRHxRgd)()(220H),(yxxyxO現(xiàn)將其從水池中取出, 需做體積元素所受重力上升高度g)(0)(xRH目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 xxRHxRgWd)()(d2201xxRxRgWd)(

7、d222因此功元素為21dddWWWxxRgd)( 22 球從水中提出所做的功為WxxRxRHgRRd)()()( 2200“偶倍奇零偶倍奇零”xxRRd)(220gRHR)(34003)( 200RHgH)(0)(0 xR HxyxO目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 例例7. 設(shè)有半徑為 R 的半球形容器如圖.(1) 以每秒為a 的速度向空容器中注水, (0 h R ) 時(shí)水面上升的速度 .(2) 設(shè)容器中已注滿水 , 求將其全部抽出所做的功最少應(yīng)為多少 ? 解解: 過(guò)球心的縱截面建立坐標(biāo)系如圖.Oxy則半圓方程為2x22yyR hR設(shè)經(jīng)過(guò) t 秒容器內(nèi)水深為h ,. )(thh 則求水深為 h 目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 OxyhR(1) 求thdd由題設(shè), 經(jīng)過(guò) t 秒后容器內(nèi)的水量為而高為 h 的球缺的體積為半球可看作半圓繞 y 軸旋轉(zhuǎn)而成體積元素:yx d2222yyRx)(hVyyRyhd)2(20故有t ayyRyhd)2(20兩邊對(duì) t 求導(dǎo), 得)2(2hRhthddathdd)2(2hRhaa t ,目錄 上頁(yè) 下頁(yè) 返回 結(jié)束 (2) 將滿池水全部抽出所做的最少功 為將全部水提對(duì)應(yīng)于d,yyyyx d2體積元素:元素的重力