三年級(jí)奧數(shù)三大原理重疊問題教師版

1、知識(shí)要點(diǎn)重疊問題重疊問題要用到數(shù)學(xué)的一個(gè)重要原理：包含和排除原理，即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了 不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從他們的和中排除重復(fù)部分。解決重疊問題的應(yīng)用題，必須從條件入手（綜合法）進(jìn)行認(rèn)真的分析，有時(shí)還要畫圖，借助圖形 進(jìn)行思考，找出哪些是重疊的和重疊的次數(shù)，明確求的是哪一部分，從而找出解答方法?！菊n前引入】腦筋急轉(zhuǎn)彎：兩位媽媽和兩位女兒一起去參加動(dòng)漫節(jié)，可是她們只買了兩張票，便順利地通過(guò)了檢票處，這是怎么回事？答案：外婆、媽媽、女兒排隊(duì)：小明在超市排隊(duì)付款， 從前數(shù)小明排在第三，從后數(shù)小明排在第四，你能算出排隊(duì)的一共有多少人?（請(qǐng)學(xué)生用自己喜歡的方式解釋一下，排隊(duì)的一共有8人）排隊(duì)【

2、例1】學(xué)校組織看文藝演出，冬冬的座位從左數(shù)起是第12個(gè)，從右數(shù)起是第 21個(gè)。這一行座位有多少個(gè)？【分析】12 21 1 32個(gè)【例2】 同學(xué)們排隊(duì)去參觀展覽，無(wú)論從前數(shù)還是從后起起， 李華都排在第8個(gè)。這一排共有多少個(gè)同學(xué)？ 【分析】8 8 1 15個(gè)【例3】同學(xué)們排隊(duì)跳舞，每行、每列人數(shù)同樣多。小紅的位置無(wú)論從前數(shù)從后數(shù)，從左數(shù)還是從右數(shù)起都是第4個(gè)。跳舞的共有多少人？【分析】每行每列都為：4 4 1 7個(gè)，7 7 49人【例4】 為慶?！傲弧?同學(xué)們排成每行人數(shù)相同的鮮花隊(duì)，小華的位置從左數(shù)第2個(gè)，從右數(shù)第4個(gè);從前數(shù)第3個(gè)，從后數(shù)第5個(gè)。鮮花隊(duì)共多少人？【分析】每行：2 4 1 5人

3、，每列：3 5 1 7人，共有學(xué)生：5 7 35人簡(jiǎn)單計(jì)算1個(gè)夾子夾住相【例5】洗好的8塊手帕用夾子夾在繩子上晾干，每一塊手帕的兩邊必須用夾子夾住，同 鄰的兩塊手帕的兩邊，這樣一共要多少個(gè)夾子？【分析】1塊手帕要用2個(gè)夾子；2塊手帕有1個(gè)重疊，用3個(gè)夾子；3塊手帕有2個(gè)重疊，用4個(gè)夾子8塊手帕有7個(gè)重疊，每個(gè)重疊的邊需要 1個(gè)夾子，兩頭不重疊的邊各要 1個(gè)夾子。因此需要的夾子數(shù)為 7+2=9個(gè)?？偨Y(jié)本題規(guī)律：把手帕掛在繩子上晾干，需要的夾子數(shù)比手帕數(shù)多一個(gè)?！緶剀疤崾尽看祟}也可以用到植樹原理的知識(shí)。把夾子看作“樹”，把手帕看作是“間隔”，則轉(zhuǎn)化為植樹問題的第一種類型：棵數(shù) 間隔數(shù)1,即夾子數(shù)比

4、手帕數(shù)多1,所以?shī)A子數(shù)為：8+1=9個(gè)?！纠?】把10塊木塊用鐵釘釘成一條長(zhǎng)木條，每?jī)蓧K之間加釘4個(gè)，如下圖，共需釘上多少個(gè)釘？【分析】10塊木塊用鐵釘釘成一條長(zhǎng)木條，中間重疊部分有 9段，一個(gè)重疊處需要 4個(gè)鐵釘,那么一共需要9 4 36個(gè)鐵釘【例7】 把10張圖片用圖釘像下圖那樣釘在櫥窗里，一共要用多少個(gè)圖釘重疊部分一共需要 9 2 18個(gè)圖釘。再加上兩頭各需要 2個(gè)圖釘，這樣一共就需要18+4=22個(gè)圖車丁。【例8】把兩根長(zhǎng)為20厘米的筷子用繩子捆成一根長(zhǎng)筷子，中間捆在一起的重疊部分是 3厘米。捆成的長(zhǎng)筷子長(zhǎng)多少厘米?【分析】?jī)筛曜涌傞L(zhǎng)度為 20 2 40厘米。捆在一起后，中間重疊部分

5、的長(zhǎng)度為3厘米。在這40厘米中，3厘米多算了一次。所以捆成的筷子長(zhǎng)度應(yīng)從這 40厘米中減去多算的一個(gè) 3厘米, 捆成的筷子長(zhǎng)為40 3 37厘米。【例9】 有四塊各長(zhǎng)80厘米的木板，釘成一塊木板 （如圖），中間釘在一起重疊的部分是 10厘米，釘成的木板長(zhǎng)多少厘米？觸理黑【分析】 四根木板的長(zhǎng)度是 80 4 320厘米。釘在一起后，中間重疊部分長(zhǎng)度均是10厘米，共有3個(gè)10厘米的重疊，那么，釘成的木板長(zhǎng)320 30 290厘米。【例10】?jī)蓧K木板各長(zhǎng)90厘米，像下圖這樣釘成一塊木板， 中間重合部分是15 厘米，這塊釘在一起的木板總長(zhǎng)多少厘米？【分析】90 90 15 165厘米【例11】十塊木板

6、各長(zhǎng)90厘米，像下圖這樣釘成一塊木板，每?jī)蓚€(gè)木板中間重合部分是15厘米，這塊釘在一起的木板總長(zhǎng)多少厘米？【分析】十塊木板的總長(zhǎng)：90 10 900厘米，重疊了 10 1 9部分，共長(zhǎng)：9 15 135厘米釘在一起的木板總長(zhǎng) 900 135 765厘米【例12】有兩根鐵絲，一根長(zhǎng)為 30厘米，另一根長(zhǎng)為50厘米，將這兩根鐵絲焊接成一根長(zhǎng)為75厘米的長(zhǎng)鐵絲。那么，中間的焊接重疊部分長(zhǎng)為多少厘米？【分析】先求兩塊木板的長(zhǎng)度；焊接的木板比兩塊木板總長(zhǎng)度短多少厘米，這就是焊接部分的長(zhǎng)度，即重疊部分的長(zhǎng)度。兩根鐵絲總長(zhǎng)為30+50=80厘米；焊接在一起后，長(zhǎng)為 75厘米，中間重疊部分即為總長(zhǎng)度與焊接后長(zhǎng)度

7、的差，為 80 75 5厘米?！纠?3】把五段一樣長(zhǎng)的紙條粘合在一起，形成一段更長(zhǎng)的紙條。這段更長(zhǎng)的紙條長(zhǎng)100厘米，每?jī)啥酥虚g重疊部分是5厘米，原來(lái)五段紙條各長(zhǎng)多少厘米？【分析】五段張的總長(zhǎng)：100 5 （5 1） 120厘米，原來(lái)五段紙各長(zhǎng)：120 5 24厘米【例14】小玲用膠水將兩張同樣長(zhǎng)的紙粘成了一張長(zhǎng)為80厘米的長(zhǎng)條，其中粘在一起的部分長(zhǎng)10厘米，這兩張紙條各長(zhǎng)多少厘米？【分析】 粘在一起的部分是相互重疊粘貼的部分，在算兩張紙條總長(zhǎng)度時(shí)，這部分多算了一次。所以，兩張紙條總長(zhǎng)度是粘成的長(zhǎng)紙條的長(zhǎng)度加上重疊部分的長(zhǎng)度為80+10=90厘米。所以，這兩張紙條各自長(zhǎng)為 90 2 45厘米。

8、【例15四根長(zhǎng)都是8厘米的繩子，把它們打結(jié)連在一起，成為一根長(zhǎng)繩，打結(jié)處每根繩用 去1厘米，繩結(jié)長(zhǎng)度不計(jì)，現(xiàn)在這根長(zhǎng)繩長(zhǎng) 厘米.【分析】因?yàn)榈谝桓偷谒母挥幸活^打結(jié)，第二根和第三根有兩頭打結(jié)，所以一共要用去 6個(gè)1厘米。4 8 6 26 （厘米），現(xiàn)在這根長(zhǎng)繩長(zhǎng) 26厘米【例16四根長(zhǎng)都是8厘米的繩子，把它們打結(jié)連在一起，成為一根長(zhǎng)繩，打結(jié)處每根繩用去1厘米，連在一起的繩子的頭和尾還要打結(jié)一次，繩結(jié)長(zhǎng)度不計(jì).現(xiàn)在這根長(zhǎng)繩長(zhǎng)多少厘米？【分析】 如果把四根長(zhǎng)8厘米的繩子打結(jié)連在一起，中間有3個(gè)結(jié)，打結(jié)處每根繩用去 1厘米，四根繩子就用去了 6厘米，連在一起的繩子的頭和尾還要打結(jié)，又用去2厘米，這

9、根繩子長(zhǎng)就是8 4 2 3 2 24 厘米。兩者容斥【例17】二（1）班同學(xué)人人參加課外活動(dòng)，有 20人參加英語(yǔ)班，有26人參加電腦班。其中4人兩個(gè)班都 參加。二（1 ）班一共有多少人？20人【分析】（方法一）已知20人參加英語(yǔ)班，26人參加電腦班，一共有 20+26=46人。這46人中，有4人兩班都參加。也就是說(shuō)這4人在英語(yǔ)班算了名額，在電腦班也算了名額，多算了一次。所以，全班的人數(shù)應(yīng)是 46 4 42人。（方法二）20 4 26 42 人。（方法三）26 4 20 42人?！纠?8】三（1）班有學(xué)生55人，每人至少參加賽跑和跳繩比賽中的一種。已知參加賽跑的有36人，參加跳繩的有38人。兩項(xiàng)

10、比賽都參加的有幾人？【分析】36 38 55 19人【例19】學(xué)校樂器隊(duì)招收了 42名新學(xué)員，其中會(huì)拉小提琴的有 25人，會(huì)彈鋼琴的有22人，兩項(xiàng)都不會(huì)的 有3人，兩項(xiàng)都會(huì)的有幾人？【分析】25 22 3 42 8人【例20】二年級(jí)有40名同學(xué)參加跳繩和拍球兩項(xiàng)比賽，有12人沒有獲獎(jiǎng)，其中拍球獲獎(jiǎng)的有 18人，拍球和跳繩兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)的有 10人，跳繩比賽獲獎(jiǎng)的有多少人 ？【分析】跳繩比賽沒獲獎(jiǎng)的有 40 12 28;跳繩比賽獲獎(jiǎng)的有 28 18 10 20人?！纠?1】三（5）班有42名同學(xué)，會(huì)下象棋的有21名同學(xué)，會(huì)下圍棋的有17名，兩種棋都不會(huì)的有10名。 兩種棋都會(huì)下的有多少名？【分析

11、】至少會(huì)下一種棋的人數(shù)：42 10 32名21 17 32 6 名【例22】新一期的貓咪訓(xùn)練營(yíng)開始了，總共有60只小貓咪報(bào)名參加。經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的訓(xùn)練后，有33只貓咪學(xué)會(huì)了爬樹，有 25只貓咪學(xué)會(huì)了抓老鼠，其中既會(huì)爬樹又會(huì)抓老鼠的有10只。那么既不會(huì)爬樹又不會(huì)抓老鼠的貓咪有多少只？【分析】爬樹和抓老鼠至少會(huì)一項(xiàng)的貓咪有33 25 10 48只，所以，兩項(xiàng)都不會(huì)的貓咪有 60 48 12只。【例23】老師出了兩道測(cè)試題，全班每個(gè)同學(xué)都至少答對(duì)了一道，答對(duì)第一道題的有30人，答對(duì)第二道題的有28人，兩道都答對(duì)的有16人，那么全班同學(xué)總共有多少人？【分析】根據(jù)上題的分析可以知道，答對(duì)第一題的和答對(duì)第二

12、題的人數(shù)之和為30+28=58人，在計(jì)算這一總?cè)藬?shù)時(shí)，兩道都答對(duì)的人數(shù)被多算了一次， 所以全班同學(xué)的總?cè)藬?shù)應(yīng)為58 16 42人。【例24】三年級(jí)同學(xué)參加科技和美術(shù)兩個(gè)課外興趣小組，參加科技組的有36人，參加美術(shù)組的有 28人，兩個(gè)小組都參加的有 8人，三年級(jí)一共有多少人參加課外興趣小組？【分析】三年級(jí)一共有36 28 8 56人參加課外興趣小組?！纠?5】小明統(tǒng)計(jì)了一下學(xué)校食堂里的午餐菜式，一個(gè)月 30天里，有11天沒有西紅柿雞蛋，有18天沒有 糖醋排骨，兩樣都有的有 7天，兩樣都沒有的有多少天 ？【分析】30天里，有西紅柿雞蛋的有 30 11 19天，有糖醋排骨的有 30 18 12天，至

13、少有一樣的天數(shù)為19 12 7 24天，兩樣都沒有的天數(shù)為 30 24 6天?！纠?6】有50個(gè)女孩，她們的皮膚是白的或淺黑色的，眼睛則是藍(lán)色的或褐色的，如果有14個(gè)藍(lán)眼睛白膚色，31個(gè)是淺黑膚色，18個(gè)是褐色眼睛，那么褐色眼睛淺黑膚色的女孩有多少個(gè)？【分析】只看膚色，白皮膚應(yīng)該有：50 31 19個(gè)那么，褐色眼睛白皮膚有：19 14 5個(gè)那么，褐色眼睛淺黑色的女孩有：18 5 13個(gè)【例27】某班有46人，其中40人會(huì)騎自行車，38人打乒乓，35人會(huì)打羽毛球，27人會(huì)游泳，這個(gè)班上以上 四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)至少有多少人？【分析】考慮會(huì)騎自行車的人、會(huì)打乒乓的人，使騎自行車、打乒乓兩者都會(huì)的人最少；騎

14、自行車、打乒乓兩者都會(huì)的人的人數(shù)為40 38 46 32人；只會(huì)騎自行車的人的人數(shù)為 40 32 18人；只會(huì)打乒乓的人的人數(shù)為 38 32 6人。考慮會(huì)騎自行車的人、會(huì)打乒乓的人、會(huì)打羽毛球的人，使騎自行車、打乒乓、打羽毛球三者都會(huì)的人最少；會(huì)騎自行車、會(huì)打羽毛球的人的人數(shù)為8人；會(huì)打乒乓、會(huì)打羽毛球的人的人數(shù)為6人；騎自行車、打乒乓、打羽毛球三者都會(huì)的人的人數(shù)35 8 6 21人；會(huì)騎自行車、會(huì)乒乓的人的人數(shù)為32 21 11人?？紤]會(huì)騎自行車的人、會(huì)打乒乓的人、會(huì)打羽毛球、會(huì)游泳的人，使騎自行車、打乒乓、打羽毛球、游泳四者都會(huì)的人最少；會(huì)騎自行車、會(huì)打羽毛球、會(huì)游泳的人的人數(shù)為8人；會(huì)打

15、乒乓、會(huì)打羽毛球、會(huì)游泳的人的人數(shù)為6人；會(huì)騎自行車、會(huì)乒乓、會(huì)游泳的人的人數(shù)為11人；騎自行車、打乒乓、打羽毛球、游泳四者都會(huì)的人的人數(shù)27 8 6 11 2人。綜上所述，騎自行車、打乒乓、打羽毛球、游泳四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)都會(huì)至少有2人。【練習(xí)1】小朋友排隊(duì)做操，小明從前數(shù)起排在第4個(gè)，從后數(shù)起排在第 7個(gè)。這隊(duì)小朋友共有多少人？【分析】4 7 1 10人【練習(xí)2】三（4）班排成每行人數(shù)相同的隊(duì)伍入場(chǎng)參加校運(yùn)動(dòng)會(huì)，梅梅的位置從前數(shù)是第6個(gè)，從后數(shù)是第5個(gè)；從左數(shù)、從右數(shù)都是第 3個(gè)。三（4）班共有學(xué)生多少人？每列：6 5 1 10人，每行：3 3 1 5人,共有學(xué)生：10 5 50人三（4）班做完語(yǔ)文

16、作業(yè)的有 37人，做完數(shù)學(xué)作業(yè)的有 42人，兩種作業(yè)都完成的有 31人，每人 至少完成一種作業(yè)。三（4）班共有學(xué)生多少人？37 42 31 48 人三年級(jí)有107個(gè)小朋友去春游，帶礦泉水的有78人，帶水果的有77人，每人至少帶一種。三年級(jí)既帶礦泉水又帶水果的小朋友有多少人？78 77 107 48 人小攀想用一根65厘米長(zhǎng)的鐵絲彎成一個(gè)邊長(zhǎng)為15厘米的正方形，鐵絲如果太長(zhǎng)的話可以重疊.請(qǐng)你幫他算一算重疊的部分要多長(zhǎng)才能剛好完成這個(gè)任務(wù)？邊長(zhǎng)為15厘米的正方形四邊總長(zhǎng)為 15 4 60 （厘米），若用65厘米的鐵絲彎成這樣的正方形，多余的部分為65 60 5厘米。這5厘米就是要重疊的部分。有兩塊

17、木板，一塊長(zhǎng) 72厘米，另一塊長(zhǎng)56厘米，如果把兩塊木板重疊后釘成一塊木板，重疊部分是20厘米.求釘成后的木板長(zhǎng)多少厘米？釘成后的木板長(zhǎng) 72 56 20 108厘米。兩根木棍放在一起，從頭到尾共長(zhǎng)66厘米，其中一根木棍長(zhǎng) 48厘米，中間重疊部分長(zhǎng) 12厘米。另一根木棍長(zhǎng)多少厘米？66 12 48 30 厘米把兩段一樣長(zhǎng)的紙條粘合在一起，形成一段更長(zhǎng)的紙條。這段更長(zhǎng)的紙條長(zhǎng)30厘米，中間重疊部分是6厘米，原來(lái)兩段紙條各長(zhǎng)多少厘米？（30 6） 2 18 厘米三年一班學(xué)生參加田徑運(yùn)動(dòng)會(huì)，每人限報(bào)兩項(xiàng)，其中有 25人參加徑賽，有20人參加田賽，兩項(xiàng)都報(bào)名有10人，兩項(xiàng)都沒參加的有 11人，三年一班

18、共有學(xué)生多少人？25 20 10 11 46 人某班有學(xué)生46人，其中訂閱小數(shù)報(bào)的有 18人，訂閱語(yǔ)文報(bào)的有13人，兩樣都訂閱的 有5人，沒有訂閱雜志的有多少人？【分析】【練習(xí)3】【分析】【練習(xí)4】【分析】【練習(xí)5】【分析】【練習(xí)6】【分析】【練習(xí)7】【分析】【練習(xí)8】【分析】【練習(xí)9】【分析】【練習(xí)10 【分析】46 (18 13 5) 20 人【練習(xí)11】學(xué)校樂器隊(duì)按計(jì)劃招收了 42名新學(xué)員，會(huì)拉小提琴的有27人，會(huì)彈電子琴又會(huì)拉小提琴的有16人，兩項(xiàng)都不會(huì)的有1人。會(huì)彈電子琴的有多少人？【分析】學(xué)校樂器隊(duì)按計(jì)劃招收了 42名新學(xué)員，兩項(xiàng)都不會(huì)的有 1人，所以，有42 1 41名同學(xué)會(huì)一項(xiàng)

19、或者兩項(xiàng)都會(huì)。如圖，會(huì)拉小提琴的有 27人，這27人里面包含了會(huì)彈電子琴又會(huì)拉小提琴的16人,所以只會(huì)拉小提琴的有 27 16 11人。那么會(huì)拉電子琴的有 41 11 30人，這其中包括只會(huì)拉電子琴的和兩項(xiàng)都會(huì)的?！揪毩?xí)12】 小白兔去采蘑菇，看見下面這個(gè)長(zhǎng)方形地上共長(zhǎng)120個(gè)蘑菇，其中在園地 A中長(zhǎng)了 28個(gè)，另一塊園地B長(zhǎng)了 26個(gè)，園地A和園地B的公共部分長(zhǎng)了 10個(gè)蘑菇。(1)只在園地 A不在園地B中有多少個(gè)蘑菇？(2)只在園地B不在園地A中有多少個(gè)蘑菇？(3)園地A和園地B共有多少個(gè)蘑菇？(4)園地A和園地B以外的長(zhǎng)方形內(nèi)有多少個(gè)蘑菇?【分析】(1) 28 10 18個(gè)(2) 26 10 16個(gè)(3) 28 26 10 44 個(gè)(4) 120 44 7