2019中考數(shù)學(xué)專題復(fù)習(xí)選擇填空圓中的最值問題

1、圓中最值類型、圓中將軍飲馬例1、如圖，MN是。的直徑，MN = 2,點A在。上，/AMN = 30°, B為弧AN的中點，P是直徑MN上一動點，則PA+ PB的最小值為【解答】作點B關(guān)于MN勺對稱點C,連接AC交MNT點P,則P點就是所求作的 點.止匕時PA+PB#小，且等于 AC的長.連接oa oc |一 / AMN=30 ,. / AON=60 ,.弧AN的度數(shù)是600 ,貝U弧BN的度數(shù)是30根據(jù)垂徑定理得弧CN的度數(shù)是30° ,貝U/ AOC=90 ,又 OA=OC=1 貝U AC= 21、已知圓。的面積為3n, AB為直徑，弧AC的度數(shù)為80度，弧BD的度數(shù)為 2

2、0度，點P為直徑AB上任一點，WJ PC+CD勺最小值為,即PC+PD勺最小 值為3.2、如圖，菱形 ABC中，/ A=60度，AB=3,OA、OB的半徑為2和1,P、E、F分是CD OA和。B上的動點，WJ PE+PF勺最小值為 APE+PF勺最小值是3.3.如圖，平面直角坐標(biāo)系中，分別以點A ( 2, 3) , B (3, 4)為圓心，以1、2為半徑作。A、OB, M、N分別是。A、0B上的動點,P為x軸上的動點，則 PM+PN的最小值等于.A/ B=y(3 + 2)2+(4 +3)2 = V74,.MN=A，B-BN-A7 M =訴21 = g43, .PM + PN的最小值為 V74-

3、3.故答案為7474-3.類型：圓的定義(一周同長)例2木本f AB斜靠在墻壁上，當(dāng)木桿的上端 A沿墻壁NO豎直下滑時,木桿的底端B也隨之沿著射線OMPT向滑動。下列圖中用虛線畫出木桿中點P隨之下落的路線，其中正確的是()解答：如右圖，連接OP0D.由于。幅 RtAOB斜邊上的中線，所以 OP=12AB不管木桿如何滑動，它的長度不變,也就是 OP是一個定值，點 P就在以。為圓心的圓弧上，那么中點 P卜落的路線是一段弧線。選D.1、如圖，已知 AB=AC=AD/ CBD=2 BDC,/ BAC=44 ,則/ CAD的度數(shù)為一為：88° .DcOQ則OC的最小值為DCB考點：圓周角定理解

4、答：, AB=AC=AD B, G D在以A為圓心，AB為半徑的圓上，二/CAD=2/ CBD / BAC=2/ BDC -/ CBD=Z BDC,Z BAC=44 ,/ CAD=2 BAC=88 .故答案2、在平面直角坐標(biāo)系中，A (4,0)、B (0, -3),以點B為圓心、2 2為半徑的圓B上有一動點P,連接AP,若點C為AP的中點，連接3 .如圖，AB是。的弦，AB=&點C是。上的一個動點，且/ ACB=45 ,若點 M N分別是AR AC的中點，則 MN£的最大值是 4 .如圖所示，四邊形 ABCD 中，DC /AB, BC= 1, AB=AC=AD=2.貝 U B

5、D 的 長為(A. V14B. V15C. 3 V2D. 2 V3【解答】解：以A為圓心，AB長為半徑作圓，延長BA交。A于F,連接 DF . DC / AB, hu(DF)= hu(BC),.DF=CB=1, BF = 2 + 2 = 4, .FB是。A的直徑，./FDB=90。,.BD= gh(BF2-DFA(2)=屏.故選：B.5在等腰 ABC中，AC=BC, /C=100°，點P在 ABC的外部，并且 PC = BC,求/ APB的度數(shù).【分析】根據(jù)已知條件得到 A、B、P三點在以C為圓心，AC為半徑的圓上，根 據(jù)圓周角定理即可得到結(jié)論.【解答】解：= AC=BC, PC=B

6、C,:A B、P三點在以C為圓心，AC為半徑的圓上，1，若P、C在AB的同側(cè)，則/ APB=22ACB,/ACB=100° ,- ./APB= 500若 P、C 在 AB 的異側(cè)，則 / APB=180° 50° =130° .【點評】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的 關(guān)鍵.6. (1)問題背景如圖，BC是。的直徑，點A在。上，AB= AC, P為Bmd一動點(不與B, C重合)，求證： 也PA= PB+ PC.小明同學(xué)觀察到圖中自點A出發(fā)有三條線段AB, AP, AC,且AB=AC,這就為旋轉(zhuǎn)作了鋪墊.于是，小明同學(xué)有如下

7、思考<,過程= 請你根據(jù)小明同學(xué)的思考過程完成證明過程.(2)類比遷移如圖，。的半徑為3,點A, B在。O上，C為。內(nèi)一點，AB= AC, AB!AC 垂足為A,求OC的最小值.(3)拓展延伸4如圖，。的半徑為3,點A, B在。O上，C為。內(nèi)一點，AB= -AC； AB! AC3垂足為A,則OC的最小值為【解答】（1）證明：將 PAC繞著點A順時針旋轉(zhuǎn)900至八QAB （如圖）；BC 是直徑，. ./BAC=90° , AB=AC,./ACB=/ABC = 45° ,由旋轉(zhuǎn)可得/ QBA= /PCA, /ACB=/APB = 45° , PC=QB,/PCA

8、+ /PBA=180° , /QBA+ / PBA= 180° ,Q, B, P 三點共線， ./QAB+ / BAP=/ BAP+/PAC = 90。， . QP2= AP2 + AQ2= 2AP；QP= V2AP = QB+ BP= PC+ PB,V2AP= PC+ PB .（2）解：如圖中，連接OA,將4OAC繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°至八QAB,連接 OB, OQ,v AB± AC ； / BAC=90°由旋轉(zhuǎn)可得 QB=OC, AQ=OA, /QAB=/OAC ./ QAB+ / BAO=/ BAO+/OAC = 90°在 Rt

9、zXOAQ 中，OQ = 3 小,AO = 3.在 OQB 中，BQ>OQ OB=3 址一3即OC最小值是3啦3(3)如圖中，作 AQXOA,使得AQ = 4OA,連接OQ, BQ, OB.3/QAO=/BAC = 90° , /QAB=/OAC, 一 八 4 一一4. ( QA)/( OA)= ( AB)/( AC) =3, QABA OAC, . BQ=3OC,當(dāng) BQ 最小時，OC 最小，易知 OA=3, AQ = 4, OQ = 5, BQ>OQ-OB, a BQ. . 33 3>2,，BQ的最小值為2,，OC的最小值為4X 2=2,故答案為萬.類型、折疊隱

10、圓預(yù)備定理如圖1、2,平面內(nèi)有一定點A和一定圓。O, P為。上一動點，連結(jié)AO并 延長，分別交。于B、C兩點（稱B、C分別為直線OA與。的近交點與遠 交點），則AB為AP的最小值，AC為AP的最大值.設(shè)。O的半徑為r;,那么AP的最小值為 AO-r , AP的最大值為AO+r.俄I 2點A交圓【基本原理】（一箭穿心）為圓外一點，P為圓。上動點，連接AO并延長 于R、B,則AP的最小值為AP,最大值為A Pi例、【問題情境】如圖1, P是。O外的一點，直線 PO分別交。O于點A、B小明認(rèn)為線段PA是點P到。O上各點的距離中最短的線段，他是這樣考慮的：在。 O上任意取一個不同于點 A的點C,連接O

11、C、CP,則有OPVOC+PC,即OP-OC<PC,由OA=OC得OPOAvPC,即PAvPC,從而得出線段 PA是點P到。上各點的距離中最短 的線段小紅認(rèn)為在圖1中，線段PB是點P到。上各點的距離中最長的線段，你認(rèn)為小紅的說法正確嗎？請說明理由圖1圖2圖13【直接運用】如圖3,在RtAABC中，/ ACB=90° , AC=BC=2,以BC為直徑的半圓交 AB于D, P 是hu(CD)上的一個動點，連接 AP,則AP的最小值是【構(gòu)造運用】如圖4,在邊長為4的菱形ABCD中，/A=60° , M是AD邊的中點，N是AB邊上一動點， 將4AMN沿MN所在的直線翻折得到

12、A' MN ,連接A' C,請求出A' C長度的最小值 解：由折疊知 A' M = AM,又 M是AD的中點，可得 MA = MA' = MD ,做點 A'在以 AD 為直徑的圓上，如圖 5,以點M為圓心，MA為半徑畫。M,過M作MHLCD,垂足為H (請繼續(xù)完成本題的后續(xù)解題過程)【深度運用】如圖6, AABC> AEFG均是邊長為4的等邊三角形，點 D是邊BC、EF的中點，直線AG、FC相交于點M,當(dāng)4EFG繞點D旋轉(zhuǎn)時，則線段BM長的最小值和最大值分別是 和【解答】解：【問題情境】如答圖 1,在圓。上任意取一個不同于點 B的點C,連接

13、OC、OP.則有 OP+ OOPC.由 OB=OC 得到：OP+OB>PC,即 PB>PC.從而得出線段PB是點P到圓。上各點的距離中最長的線段;落卻【直接運用】如答圖 2,找到BC的中點E,連接AE,交半圓于P2,在半圓上取 Pi,連接APi, EPi,可見，AP1+EP1>AE,即 AP2是 AP 的最小值A(chǔ)E=22+12 =。5, P2E=1,AP2=451.故答案為：鄧-1.【構(gòu)造運用】如答圖 3所示：: MA'是定值，A C長度取最小值時，即 上時，過點M作MH XDC于點F,.在邊長為4的菱形ABCD中，/ A= 60° , M為AD中點， .2

14、MD =AD= CD = 4, Z HDM =60° , . . / HMD =30° ,1 HD = 2MD = 1, . HM = DM X cos30 =<3, .MC= gh(HM2+CMA(2)=2 巾,.A' C=MC-MA，= 2 7-2;【深度運用】設(shè) AC的中點O,連接AD、DG、BO、OM,如答圖4. ABC, AEFG均是邊長為4的等邊三角形，點 D是邊BC、EF的中點, ADXBC, GDXEF, DA = DG , DC = DF, ./ADG = 90° /CDG = /FDC, (DA)/(DC)= (DG)/(DF),

15、 . DAGA DCF , ./ DAG = Z DCF . A、D、C、M四點共圓.根據(jù)兩點之間線段最短可得： BOWBM + OM,即BMBOOM,當(dāng)M在線 段BO與該圓的交點處時，線段 BM最小，此時，BO= gh(BC2OCA(2) =業(yè)2-22 =24 OM=1AC=2,則 BM= BO-OM = 2，3 2.根據(jù)兩點之間線段最短可得：BMWBO+OM,當(dāng)M在線段BO延長線與該圓的交點處時，線段 BM 最長，此時，BO= gh(BC2OCA(2)=P? =2 #,OM=；AC=2,貝U BM =BO + OM = 2 6+2.故答案是：2而2; 2 V3+2.1、已知一個矩形紙片OA

16、CB將該紙片放置在平面直角坐標(biāo)洗中， 點A (11, 0), 點B (0, 6)，點P為BC邊上的動點(點P不與點R C重合)，經(jīng)過點 O P 折疊該紙片，則CB的最小值為2、四邊形 ABCDfr, AD/ BC / A=90,AD=1, AB=2,BC=3,P是線段 AD上一動點, 將ABP& BP所在直線翻折得到 QBP則ACQ勺面積最小值為 3如圖3,在矩形ABCD中，AB = 4, AD =6, E是AB邊的中點，F(xiàn)是線段BC上的動點，將AEBF沿EF所在直線折疊得到AEB'F ,連結(jié)B'D ,則B'D的最 小值是() 由題意可知，點B'隨著點F

17、的運動.E是AB邊的中點，1. EB=AB=2.由折疊性質(zhì)可知EB' = EB = 2,所以動點B'到定點E的距離為定長2,即動點B'的軌跡是以E為圓心，2為半徑的圓，如圖4.由預(yù)備定理可知，連結(jié) DE交。E于點B',此時B'D最小，且有B'Dmin = DE -EB' 、AE2 AD2 - EB ' = . 22 62 -2 =2,10-2.4 如圖5,在AABC中，/ACB =90。，AB =5, BC = 3, P是AB邊上的動點(不 與點B重合)，將ABCP沿CP所在的直線翻折，得到AB'CP ,連2g B'

18、;A ,則B'A 長度的最小值是.圖5圖6解析 由題意可知，點B'隨著點P的運動而運動.由翻 折的性質(zhì)得B'C = BC = 3 ,即動點B'到定點C的距離等 于定長3,所以動點B'的軌跡是以定點C為圓心，3為半 徑的圓，如圖6.當(dāng)點B'落在AC邊上時，即A、B'、C三 點共線時，B'A長度最小，且有B ' Amin = AC - B'C.52 -32 -3 =1.5如圖7,在RtMBC中，/C=90，AC =6 , BC = 8,點F在邊AC上，并且 CF =2,點E為邊BC上的動點，將&CEF沿直線EF

19、翻折，點C落在點P處， 則點P到邊AB距離的最小值是 .圖S解析 由題意可知，點P隨著點E的運動而運動.由翻折的性質(zhì)得PF =FC =2 ,所以動點P到定點F的距離等于定長2,即動點P在以定點F為 圓心，2為半徑的圓上，如圖8.過點P作PG_LAB于點G ,連結(jié)FG ,則有 PG至FG-FP =FG -2.所以要使PG最小，只需使FG最小根據(jù)垂線段最短， 可知當(dāng)FG _L AB ,且F、P、G三點共線時，F(xiàn)G最小.在 R3ABC 中， /C=90 AC=6, BC =8.由勾股定理，得 AB = 10 , 冉 由面積法，得FG =4.8,所以點P到邊AB距離的最小值為PGmin =FGmin

20、-2 =FG'-2=4.8-2=286 如圖9,菱形ABCD的邊AB = 8, /B=60=, P是AB上一點，BP = 3, Q是CD邊上一動點，將梯形APQD沿直線PQ折疊，A的對應(yīng)點為A',當(dāng)CA的長度最小時，CQ的長為（）zr1圖10解析 如圖10,記梯形APQD沿直線PQ折疊后的梯形為A'PQD,由折疊 性質(zhì)可知A'P=AP=ABBP =8 3 = 5.即動點A'至U定點P的距離等于定長5, 所以動點A'在以定點P為圓心，5為半徑的圓上.由預(yù)備定理知，當(dāng)點A'落在CP邊上時，CA'長度最小，此時，由折疊性質(zhì)，知 /CPQ

21、=/APQ：CD / AB , . . /CQP =/APQ ,. NCQP =/CPQ ,CQ =CP .作 CF _L AB于 F ,由菱形的性質(zhì)和NB=60*,可得BF=AB=4, CF =4出.由勾股定理，得2CP = JcF2 +PF2 =而后 +12 = 7,所以當(dāng)CA'的長度最小時，CQ的長 為7.類型、隨動位似隱圓例、在 RtA ABC 中，/ ACB=90 , / BAC=30 , BC=6 .點 D是邊 AC上 點D且AD=2#,將線段AD繞點A旋轉(zhuǎn)得線段AD，點F始終為BD的中點, 則將線段CF最大值為 分析:易知D'軌跡為以A為圓心AD為半徑的圓，則在運

22、動過程中 AD'為定值2 73,故取AB中點G,則FG為中位線，F(xiàn)G=1AD'= *，故F點軌跡為以G2為圓心，Q為半徑的圓。問題實質(zhì)為已知圓外一點 C和圓G上一點F,求CF 的最大值。思路2:倍長BC到B',則CF為AB' D'的中位線，CF=- B' D當(dāng),B' DR大 2時，CF也取最大值，問題實質(zhì)為 D在圓A上運動至何處時，BD取最大。【方法歸納】（1）、如圖，點A和點O1為定點，圓Oi半徑為定值，P為圓Oi 上動點，M為AP中點？點M運動軌跡為圓。2,且O2為AOi中點。、構(gòu)造中位線1、如圖，在 RtABC中，zSACB = 9

23、0； D是AC的中點，M是BD的中點，將 線段AD繞A點任意旋轉(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過程中始終保持點 M是BD的中點），若AC = 4, BC = 3,那么在旋轉(zhuǎn)過程中，線段 CM長度的取值范圍是 2、如圖， AB佻邊長為2的等邊三角形，以AC為直徑作半圓，P為半圓上任 意一點，M為BP中點，則在點P由A至I C運動過程中，點M運動路徑長為B3.如圖.&<就中，Z/<Cff=90解答:作AB的中點E,連接EM、CE.在直角I ABC中,AB=5 , = E是直角AABC斜邊；*AB上的中點， .CE=1/2AB=5/2.M 是 BD 的中點，E 是 AB 的中點，ME=1/2AD=1./

24、CEM 中,5/2-1 ? CM? 5/2+1,IP 3/2? CM? 7/2.故答案是:3/2? CM? 7/2. t=點F在以斜動/月為直徑的半網(wǎng)上*點M為汽？的中懸 當(dāng)點P沿半圈以點才運動至點B時.點時運動的蹄役長為.4:如圖，已知P是。外一點，Q是。上的動點，線段 PQ的中點為M,連接OP OM若。的半徑為2, OP=4求線段OM的最小值.答案：15.如圖，在RtAABC中，/ ACB=90°, AC=4, BC=3,點D是平面內(nèi)的一個動點,且AD=2, M為BD的中點，在D點運動過程中，線段CM長度的取值范圍是6:如圖，在等邊 ABC中，AB=2點D是以A為圓心，半徑為1的

25、圓上一動點， 連接CD E為CD的中點，連接BE,取BE的中點M 連接AM CMBE的最大值 與最小值類型、捆綁旋轉(zhuǎn)例、已知A (2, 0) , B (5, 0)，點P為圓A上一動點，圓A半徑為2,以PB 為邊作等邊 PMB求線段AM的取值范圍。分析:思路1:要求AM的取值范圍，則先確定M點運動軌 跡。由等邊三角形聯(lián)想共頂點的雙等邊結(jié)構(gòu)， 可構(gòu)造和 PBM共頂點B的等邊4ABH則4AP型AHBIMI HM=PA=2 ,所以點M運動軌跡為以 H為圓心，半徑為2的圓H上的點。AM過圓心時取得相應(yīng)最大和最小值。思路2:線段BM可看作由線段PB繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度得到，當(dāng)點P在圓A 上運動時，作出其

26、繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度后的每一個對應(yīng)點，則其應(yīng)點的集合 就是點M運動軌跡。顯然其軌跡為圓。因為每個對應(yīng)點都是點P繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度得到，所以點M所在圓的圓心即為將P點所在圓圓心A繞點B順時 針旋轉(zhuǎn)60度得到。想象成鐘擺繞點B順時針旋轉(zhuǎn)60度fv1、如圖，已知A (2, 0),圓O半徑為1,點B為圓。上一動點，點C在第一象 限，且ABCJ等腰直角三角形，/BAC=90g,求線段OC的最大值2、如圖，AB為。的直徑，AB=4點C為半圓AB上動點，以BC為邊在。外 作正方形BCDE (點D在直線AB的上方)連接OD當(dāng)點C運動時，則線段OD 的最大值為3如圖，已知 ABC為等腰直角三角形，/ BA

27、C=90°, AC=2,以點C為圓心，1 為半徑作圓，點P為。C上一動點，連結(jié)AP,并繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90 °得到AP', 連結(jié)CP',則CP'的取值范圍是.2C2- wcp，20+14如圖，線段 AB=8, D為AB的中點，點 E是平面內(nèi)一動點，且滿足 DE = 2,連接BE, 將BE繞點E逆時針旋轉(zhuǎn)90°得到EC,連接AC、BC,則線段AC長度的最大值為 -CAO.則(BC)/(EB)= (BO)/(BD)= gh(2),又/ CBO=Z . EBDACBO. (CO)/(DE)= gh(2).E點運動軌跡是以 E為圓心，DE = 2為

28、半徑的圓,.C點運動的軌跡是以 O為圓心，OC= 2作為半彳 . ACWAO+OC, AO = 4，2, OC = 2 業(yè)，AC 最大值為 4。2+2 &=6。2.故答案為6 2.5.如圖，AB=4,。為AB的中點，O。的半徑為1E肛4VxADB一 口 ,D B，點P是。O上一動點，以BD為直角邊在BD上方作等腰直角三角形 BOD,如圖，連接PB為直角邊的等腰直角三角形PBC (點取值范圍為【解答】解：如圖，作 OKXAB,在OK 接 AK、BK、KC、OP. OK = OA=OB, OKXAB, . KA= KB, AKB是等腰直角三角形，./ OBK =P、B、C按逆時針方向排列)

29、，則線段AC的長的C&上截取OK=OA=OB,連/ AKB= 90° ,</八二,八/二二/PBC, ./ OBP = Z KBC ,/、 (OB)/(BK)= (PB)/(BC)=上，. OBPs kbc,(KC)/(OP)= (BC)/(PB)=#, OP= 1 ,，KC =艱，點C的運動軌跡是以點 K為圓心，KC為半徑的圓，AK = 2oA=2 啦，AC的最大值為3 巾,AC的最小值、/2,姆WACW3 在故答案為宓v ACV 3 類型、定性分析一一垂線段最短例、如圖，半圓O的半徑為1 , AC LAB , BD ± AB ,且AC=1 , BD=3 ,

30、 P是半圓上任意一點，則封閉圖形ABDPC面積的最大值是【分析】：思路1、連接CD梯形ABCEH積為定值，要使封閉 圖形ABDPC 面積取最大值，則使4CPD面積取最小即可， CPD中，底邊CD為定值， 則當(dāng)高取最小值時，面積有最小值，故問題變成當(dāng)點P在圓上運動至何處時，點 P到CD距離最小。G D。為定點，則點。到CD距離為定值，計算CD OC OD 長，由勾逆知OCX CD設(shè)點P到CD距離為h,則h+r>O(C a h>OC-r,即當(dāng)O P、M三點共線時，h有最小值，止匕時M與點C重合，故OCT圓O交點即為所求 點P。|思路2: P點的確定也可以這樣想，平移 CD設(shè)平移后的直線

31、為 m,則直線m與【解答】解：過點。作OELAB于E,如圖:1.如圖，P為。內(nèi)的一個定點，A為。上的一個動點，射線 AP、AO分別與 。交于B、C兩點.若。的半徑長為3,OP = V3,則弦BC的最大值為(:1 - 一一. O 為圓心，.AE=BE, . .OE=2BC, v OE<OP,BC<2OP, .當(dāng)E、P重合時，即OP垂直AB時，BC取最大值，最大值為2OP = 2小.故選：A.2如圖，AB為。的直徑，C為半圓的中點，O C的半徑為2, AB=8,點P是直徑AB上的一動點，PM與。C切于點M,則PM的取值范圍為【解答】解：連結(jié)PC、MC、OC、BC,如圖，直徑AB=8,

32、；OB=OC = 4,C為半圓的中點,.OCXAB, .OCB為等腰直角三角形, .BC=q20C = 4 42, . PM 與。C 切于點 M,11I I11.CMXPM, . . Z PMC = 90°，在 RtzXPMC 中，PM2= PC2MC2= PC2 4,當(dāng)PC最小時，PM最小，此時點P在。點處，所以PM的最小值=勺42 4 = 2 73；當(dāng)PC最大時，PM最大，此時點P在點A或B點時，所以PM的最大值=4啦）24:2亞 PM的取值范圍為2 430PMW2 中.故答案為2 V3<pm<2 V7.3.如圖，在 ABC 中，/ACB=90° , BC=

33、12, AC = 9,以點 C 為圓心，6 為半徑的圓上有一個動點 D .連接AD、BD、CD ,則2AD+ BD的最小值是3【解答】解：在CA上截取CM,使得CM = 4,連接DM, BM . CD=6, CM = 4, CA=9, . CD2= CM . CA, . ( CD)/( CM)= ( CA)/( CD) , ./ DCM = /ACD,八八八2.DCMAACD,.( DM)/( AD) = ( CD)/( AC)三，3 .DM = 2AD, . .2AD+BD=DM + BD, v DM+ BD>BM, 33在 RtzXCBM 中，vZ CMB = 90° ,

34、CM = 4, BC=12,. BM=、42+ 122 =4 V10, |aD + BD>4 Vl0, 32- <zAD+BD的最小值為4 5.故答案為4 JT0.34.在4ABC中，/ACB = 90° , BC=8, AC = 6,以點 C為圓心，4為半徑的圓上有一動點1D,連接 AD, BD, CD,貝U2BD + AD的最小值是 【解答】解：如圖，在 CB上取一點F,使得CF = 2,連接CD, AF.，cd = 4,c-，cbcd2=cf.cb,/(CD)/(CF)= (CB)/( CF), / FCD = /DCB, /.A FCDA DCB, (DF)/(B

35、D)= (CF)/(CD) = 2，. DF=qBD, -2bd + AD=DF+AF, DF + AD>AF, AF = 22+62 =2 00, -2BD + AD的最小值是2 班,I故答案為2和.5 .如圖，AB是。O的直徑，CE切。O于點C交AB的延長線于點 E.設(shè)點D是弦AC上任意一點(不含端點)，若/ CEA=30 , BE=4,貝U CD+2OD的最小值為()1、C【解答】解：如圖，作OF平分/ AOC，交。于F,連接AF、CF、DF , / CE切。O于點C, OCE=90 ,又./CEA=30 , ：/AOC=12 0，則/ AOF= / COF=-/AOC=工(180

36、° 60°) =60° . / BE=4 , -2OC=OB+BE,即 2OC=OC+4,貝U OC=4,即圓的半徑為 4, 丁 OA=OF=OC , .AOF、ACOF 是等邊三 角形，AF=AO=OC=FC，:四邊形AOCF是菱形，：根據(jù)對稱性可得 DF=DO .過點D作DHLOC于H,OA=OC , ： / OCA= / OAC=30 , ： DH=DC?sin / DCH=DC?sin30 = DC , ：LcD+OD=DH+FD .根據(jù)22垂線段最短可得：當(dāng) F、D、H三點共線時，DH+FD (即CD+OD)最小，止匕時 CD+2OD=2 (DH+FD)

37、,2. FH=OF?sin/FOH=OF=2 后 CD+2OD=2 (DH+FD) =2FH=4 近，故選：D .26 .如圖， ABC 中，/BAC = 60° , / ABC = 45° , AB =272 , D 是線段 BC上的一個動點，以AD為直徑畫。O分別交AB , AC于E, F,連結(jié)EF,則線段 EF長度的最小值為.AA解析 將EF置于AOEF中，由/ EOF = 2/EAF,得圓心角/ EOF=120° 為定值，等腰 OEF的腰長最小時，底邊EF也最小.由“垂線段最短”可知， 當(dāng)ADLBC時，直徑AD最短，則半徑（等腰OEF的腰長）最短，EF最小

38、值也 就迎刃而解.如圖4,連接OF、OE,過O點作OHLEF,垂足為H在RtAADB 中，AD=ABsin/B = 2,即此時圓的直徑為2.由圓周角定理，可知/ EOH = /EOF=/BAC = 60 ;在 RtAEOH 中，EH = OE sin 60 =.由垂徑定理， 2得 EF=2EH=點.評析 這道題屬于另一類幾何中常見的“一定一動型”最值問題，即在直線 外有一定點，直線上有一動點，求這兩點間的最小距離.我們可以將問題化歸到 “垂線段最短”的模型中加以解決.但這道題目并不是求垂線段AD的最小值，而是求圓中弦EF的最小值，這就需要我們利用圓的相關(guān)性質(zhì)建立所求事項和已 知事項之間的聯(lián)系，

39、將求EF的最小 值，最終轉(zhuǎn)化到求直徑 AD的最小值.7 .如圖，在RtAOB中，OA = OB = 3V2,。的半徑為1,點P是AB邊上的動點，過點P作。的一條切線PQ（點Q為切點），則切線PQ的最小值為解析P、Q是兩個動點，直接求PQ的最小值將無路可走，若我們注意到PQ 是。的切線，則PQXOQ,就可柳暗花明，如圖6,連結(jié)OQ、OP.由PQX OQ,得PQ2=OP2OQ2,這里求PQ的最小值，可求PQ2的最小值.設(shè)PQ2=y, OP=x,則 y= x21 （3<x<3V2 ）,由二次函數(shù)性質(zhì)知，當(dāng) x = 3 時，ymin = 8,故PQ的最小值為2 72 .評析 這道題的最值問

40、題與切線密切相關(guān)，也可通過合情推理思考：在 Rt OPQ中，OP為定值，要求PQ最小值，就是求OP的最小值，同例2,利用“垂 線段最短”求解.當(dāng)然，在構(gòu)造二次函數(shù)解題時，求自變量 x的取值范圍時，確 定x的最小值同樣指向“垂線段最短”.8 .在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以原點。為圓心的圓過點A(13, 0),直線y=kx 3k+4與。交于B、C兩點，則弦BC的長的最小值為 .解析 直線y= kx3k+4必過點D(3, 4),由圓的性質(zhì)知：最短的弦 BC是 過點D且垂直于OD的弦(如圖7) .由D(3, 4),得OD = 5;由以原點。為圓心的圓過點 A(13, 0),得半徑 OB=13. 在 R

41、tzXOBD 中，BD = JOB2 _OD2 = 12.由垂徑定理，得 BC = 2BD = 24.圖7圖8評析 要求過點D的弦BC的最小值，關(guān)鍵是如何確定BC的位置，由直覺 或已有經(jīng)驗我們知：“過圓內(nèi)一點的弦中，垂直于該點所在直徑的弦最短”.我 們可對其簡證如下：如圖8,連接OB、OC,由相交弦定理，得BD. CD為定值.由均值定理，得BD + CD>2 JBDCD ,當(dāng)且僅當(dāng)BD = CD時，BD + CD取最小值， 即弦BC長取得最小值.由OB = OC, BD = CD,根據(jù)等腰三角形三線合一，得 ODXBC,即最短弦長BC的位置為：過點D且與點D所在直徑垂直的弦.9 .如圖，

42、AB是。的一條弦，點C是。O上一動點，且/ ACB=30°，點E、F 分別是AC、BC的中點，直線EF與。O交于G、H兩點.若。O的半徑為7, 則GE+FH的最大值為:解析 連結(jié)OA, OB(如圖12).由/ AOB = 2/ACB = 60° ,我們可得 OAB 為等邊三角形，OA=OB=AB=7.又E、F為AC、BC的中點，故EF=1AB2=35 這里GE+ FH=GHEF,要使GE+FH最大，而EF為定值，M GH取 最大值時GE+FH有最大值.根據(jù)“直徑是圓中最長的弦”知，當(dāng)GH為直徑時， GE+F-H 的最大值為 143.5= 10.5.評析 此題構(gòu)思巧妙、題型新

43、穎，也是求兩條線段的和最值問題，但與例 1 卻完全不同，點C在優(yōu)弧AB上運動，隨之引起EF及GH的運動，在運動過程 中，我們要抓住變化的量和不變的量，在這里，EF是定量，GH是變量.從而將求GE+FH和的最大值，轉(zhuǎn)化為求弦 GH的最大值.類型、定弦定角【基本原理】如圖 。0中，A、B為定點，則AB為定弦，點C為優(yōu)弧上任一點，在C點運 動過程中則/ ACB的度數(shù)不變？逆運用？如圖2、點A、B為定點，點C為線段 AB外一點，且/ ACB= 9 （ 9為固定值）?點C在以AB為弦的圓上運動（不與 A、B重合）例、如圖，AB為定長，點C為線段AB外一點，且滿足/ ACB=6Qg,請在圖中畫 出點C的運

44、動軌跡，簡要說明作圖步驟步驟1、步驟2、練習(xí)、1、如圖，AB為定長，點C為線段AB外一點，且滿足/ ACB=12Qg,請在 圖中畫出點C的運動軌跡，并寫出圓心角/ AOB=2、如圖，AB為定長，點C為線段AB外一點，且滿足/ ACB=12（®,請在圖中畫 出點C的運動軌跡，【實戰(zhàn)應(yīng)用】例、如圖，O O的半徑為1,弦AB=1，點P為優(yōu)弧AB上一動點，AC ±AP交 直線PB于點C,則4ABC的最大面積是1、如圖， ABC是邊長為2的等邊三角形，D是邊BC上的動點，BELAD于 E,則CE的最小值為2、如圖，RtAABC 中，AB ±BC, AB=6 , BC=4 ,

45、 P 是4ABC 內(nèi)部的一個動點, 且滿足/ PAB=/PBC,則線段CP長的最小值為BC3【操作體驗】(1)如圖，已知線段 AB和直線1,用直尺和圓規(guī)在l上作出所有的點 P,使得/ APB = 30。，寫出作圖過程并說明理由.B Cr圖 圖【方法遷移】(2)如圖，已知矩形 ABCD, BC=2, AB= m, P為AD邊上的點，若滿足/ BPC=45 的點P恰好有兩個，則 m的取值范圍為 .【深入探究】(3)如圖，已知矩形 ABCD, AB=3, BC=2, P為矩形 ABCD內(nèi)一點，且/BPC=135° 若線段AP繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90。得到線段 AQ.請問PQ是否有最小值，如果有

46、最小值，【解答】解：(1)第一步：分別以點 A, B為圓心，AB長為半徑作弧，兩弧在AB上方交于點 O;第二步：連接 OA, OB;第三步：以。為圓心，OA長為半彳5作。O,交l于Pi, P2；所以圖中Pi, P2即為所求的點；如圖 1所示：理由如下：連接 AP1、BP1、AP2、BP2,如圖2所示： . OA=OB = AB, OAB 是等邊三角形，/ AOB = 60° , :I1， 一由圖得：/ APiB=2Z AOB=30 ;(2)在AB上截取BE=BC,連接CE,以CE為直徑。O,如圖3所示: . BE = BC= 2, CE=2 電.。的半徑為小，即 OE=OG = 2,

47、OGXEF, .EH = 1 , OH = 1, .GH =淄1, BEWABvBM, 2Wm<2+ 也1,即2Wmv 小+1,故答案為：2Wmv 42+1;圖3如圖4,構(gòu)建。O,使/ COB =90° ,在優(yōu)弧 hu(BC)上取一點 H,則/ CHB = 45°(3) PQ有最小值，理由如下： ./ CPB= 135° ,由旋轉(zhuǎn)得： APQ是等腰直角三角形, .PQ=欣AP, . PQ取最小值時，就是 AP取最小值,當(dāng)P與E重合時，即A、P、O在同一直線上時，AP最小，則PQ的值最小, 在 RtAFO 中，AF=1, OF = 3+1 = 4,-.AO=

48、12+42=/17, .AE =阪/2= AP, 即AP的最小值為 赤-42;.PQ= 2AP= /34-2;作£“，人8于"，.18/05,，/£人M =/人05,，$所/£人“=$所/人05_1( EM)/( AE) = -17H行Un1=2ABX EM + 2AE XAQ = 2X3X (1 一呼)+ 2 (后-V2)(192 /34)=11 37 y34, 34r I1 11 n233341=一 3t 十 一2342Ul_lu. EM = 377=2 =1 W34，四邊形 ABEQ的面積= ABE的面積+ AEQ的面積 1717即PQ取最小值時，

49、此時四邊形ABPQ的面積為11- 呼BDfc。于P點，交BC于E點，弧AE= CP則AD的C. ,2D. 、,41 一4 .2A. J32B. ,13 2C. 5D. 1696 如圖，在 ABC中，AO3, BO 4應(yīng)，/ AC氏45° , AM/ BC 點 P在射線 AM4 如圖，zABC中，AC= 3, BO 4m / AC氏45° , D為AABC內(nèi)一動點，O O為ACD勺外接圓，直線 最小值為（A. 1B. 25如圖，AC= 3, BO5,且/ BA諼90° , D為AC上一動點，以 AD為直徑作圓, 連接BD交圓于E點，連CE,則CE的最小值為（）C.

50、.2D, 42 -3A.上運動，連BP交4APC的外接圓于D,則AD的最小值為（A. 1 B. 27如圖，。的半徑為1,弦AB= 1,點P為優(yōu)弧AB上一動點，ACLAP交直線PB 于點C,則 ABC的最大面積是（B 2B 2C _3D.,3彳8如圖，邊長為3的等邊 ABC 口 E分別為邊BG AC上的點，且B況CE AD BE交于P點，則CP的最小值為9如圖，A(1, 0)、B(3, 0),以AB為直徑作。M射線OF交。M于E、F兩點，C 為弧AB的中點，D為EF的中點.當(dāng)射線繞。點旋轉(zhuǎn)時，CD的最小值為10如圖，AB是。的直徑，AB= 2, /AB諼60° , P是上一動點，D是A

51、P的中 點，連接CD則CD的最小值為針對練習(xí)：1.如圖，在動點C與定長線段AB組成的ABCt, A況6, ADL BC于點D, BE，AC于點E,連接DE當(dāng)點C在運動過程中，始終有 二=爽,則點C到AB的AB 2距離的最大值是2.如圖，已知以BC為直徑的。Q A為BC中點,P為AC上任意一點，ADL AP交BP于D,連CD若BO 8,則CD的最小值為類型六、定弦定角一一反客為主 例、如圖，/ XOY = 45 ； 一把直角三角尺ABC的兩個頂點A、B分別在OX、OY上移動，其中AB = 10,那么點O到頂點A的距離最大值為 點O到AB的距離的最大值為O B Y【分析】：題意中AB為定長線段在角

52、的兩邊滑動，。為定點，滑動中C為動點， AB兩點位置發(fā)生變化，點。到AB距離的最大值的確定有難度，若改變思路，借 助物理中運動的相對性可知，若將 ABC固定，將/ XOY的兩邊繞AB滑動，與 原題中運動效果等價，題目中數(shù)量關(guān)系不會發(fā)生改變。問題則變?yōu)楫?dāng)點。在圓上運動至何處時，點O到AB距離最大。D1、如圖，D,E分別為等腰直角三角形 ABC的邊AC、AB上的點，且DE=2后 以DE為邊向外作正方形DEFG,則AF的最大值為2、如圖，4ABC中，/ABG 45 °, AC=2,半徑為75的圓O始終過A、C兩點, 連接OB,則線段OB長的的最大值為 3.如圖，以G (0, 1)為圓心，半

53、徑為2的圓與x軸交于A、B兩點，與y軸 交于C, D兩點，點E為。上一動點，CFLAE于F,當(dāng)點E在。的運動過 程中，線段FG的長度的最小值為 號 1 .D【解答】解：作 GM，AC 于 M ,連接 AG . 丁 GOXAB , . OA=OB ,在 RtAAGO 中，V AG=2 , OG=1, a AG=2OG , OA=A/22_1 2=75, / GAO=30 , AB=2AO=2V3, /AGO=60, vGC=GA, / GCA= / GAC , / AGO= /GCA+/GAC, 二 /GCA=/GAC=30 , a AC=2OA=2 73 , MG=-CG=1, / AFC=9

54、0 , .點 F2在以AC為直徑的。M上，當(dāng)點F在MG的延長線上時，F(xiàn)G的長最小，最小值 =FM -GM=V3-1.故答案為2d5, V5-1.類型、定弦定角一一條件的確定例、如圖，扇形 AON, / AOD=90 , OA=6點P為弧AD上任意一點（不與 點A和D重合），PQLODT點Q點I為OPQ勺內(nèi)心，則當(dāng)點P在弧AD上運 動時，求I點運動路徑長。.分析:由內(nèi)心的基本結(jié)論知/ PIO=90o+1/PHO=13劭定角，但其所對的邊OP并非定弦，連ID,易證 AAIOOID,OID=/ PIO=13,且其所對 的邊為OD符合定弦定角條件，故I點軌跡為圓弧，問題易解。1、如圖，邊長為3的等邊

55、ABC 口 E分別為邊BC AC上的點，且BD= CE AD BE交于P點，則CP的最小值為J2、如圖，AO 3, BO 5,且/BAG= 90° , D為AC上一動點，以AD為直徑作圓, 連接BD交圓于E點，連CE,則CE的最小值為（）3.如圖，直徑AB, CD的夾角為60° , P為。上的一個動點（不與點 A, B, C, D重合）PM, PN分別垂直于CD, AB,垂足分別為M, N,若。的半徑 長度為2,則MN的長為【解答】解：MN的長沒有變化；理由如下，如圖所示，延長PN交圓于點E,延長PM交圓于點F,連接EF、OE、OF,作 OHLEF 于 H.根據(jù)垂徑定理，PN=NE, PM = MF, .MN1_。/EF 且 MN = 2EF, vZ MON = 120 , /PNO=/PMO = 90./P = 60° , .弦EF的長為定值，MN的長也為定值， 在 RtzXEOH 中，易知/ EOH = 60° , OE = 2, . EH=OE . sin60。=y3, . EF = 2 品1 - .MN=2EF=Q,故答案為也.4如圖，O。的半徑為2,弦AB的長為2 V3,以AB為直徑作。M,點C是優(yōu)弧hu（AB）上的一個動點，連結(jié)AC、BC分別交。M于點D、E,則線段CD的最 大值為（A.出B. 2C. 2