立體幾何中的向量方法(一)——證明平行與垂直

1、立體幾何中的向量方法立體幾何中的向量方法(一一)證明平行與垂直證明平行與垂直1直線的方向向量與平面的法向量的確定(1)直線的方向向量：在直線上任取一非零向量作為它的方向向量(2)平面的法向量可利用方程組求出：設(shè) a，b 是平面內(nèi)兩不共線向量，n 為平面的法向量，則求法向量的方程組為na0，nb0.2用向量證明空間中的平行關(guān)系(1)設(shè)直線 l1和 l2的方向向量分別為 v1和 v2，則 l1l2(或 l1與 l2重合)v1v2.(2)設(shè)直線 l 的方向向量為 v，與平面共面的兩個(gè)不共線向量 v1和 v2，則 l或 l存在兩個(gè)實(shí)數(shù) x，y，使 vxv1yv2.(3)設(shè)直線 l 的方向向量為 v，平

2、面的法向量為 u，則 l或 lvu.(4)設(shè)平面和的法向量分別為 u1，u2，則u1u2.3用向量證明空間中的垂直關(guān)系(1)設(shè)直線 l1和 l2的方向向量分別為 v1和 v2，則 l1l2v1v2v1v20.(2)設(shè)直線 l 的方向向量為 v，平面的法向量為 u，則 lvu.(3)設(shè)平面和的法向量分別為 u1和 u2，則u1u2u1u20.【思考辨析】判斷下面結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)直線的方向向量是唯一確定的()(2)平面的單位法向量是唯一確定的()(3)若兩平面的法向量平行，則兩平面平行()(4)若兩直線的方向向量不平行，則兩直線不平行()(5)若 ab，則 a 所在直線

3、與 b 所在直線平行()(6)若空間向量 a 平行于平面，則 a 所在直線與平面平行()1下列各組向量中不平行的是()Aa(1,2，2)，b(2，4,4)Bc(1,0,0)，d(3,0,0)Ce(2,3,0)，f(0,0,0)Dg(2,3,5)，h(16,24,40)2已知平面內(nèi)有一點(diǎn) M(1，1,2)，平面的一個(gè)法向量為 n(6，3,6)，則下列點(diǎn) P 中，在平面內(nèi)的是()AP(2,3,3)BP(2,0,1)CP(4,4,0)DP(3，3,4)3已知AB(1,5，2)，BC(3,1，z)，若ABBC，BP(x1，y，3)，且 BP平面 ABC，則實(shí)數(shù) x，y，z 分別為_4若 A(0,2，1

4、98)，B(1，1，58)，C(2,1，58)是平面內(nèi)的三點(diǎn)，設(shè)平面的法向量 n(x，y，z)，則 xyz_.題型一證明平行問題例1(2013浙江改編)如圖， 在四面體ABCD中， AD平面BCD， BCCDAD2， BD2 2， M 是 AD 的中點(diǎn)， P 是 BM 的中點(diǎn)， 點(diǎn) Q 在線段 AC 上，且 AQ3QC.證明：PQ平面 BCD.如圖，在棱長為 2 的正方體 ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)，M，N 分別是棱 AB，AD，A1B1，A1D1的中點(diǎn)，點(diǎn) P，Q 分別在棱 DD1，BB1上移動(dòng)，且 DPBQ(02)(1)當(dāng)1 時(shí)，證明：直線 BC1平面 EFPQ；(2)是否存在，使

5、平面 EFPQ 與平面 PQMN 所成的二面角為直二面角？若存在，求出的值；若不存在，說明理由題型二證明垂直問題例 2如 圖 所 示 ， 正 三 棱 柱 ( 底 面 為 正 三 角 形 的 直 三 棱柱)ABCA1B1C1的所有棱長都為 2， D 為 CC1的中點(diǎn) 求證： AB1平面 A1BD.如圖所示，在四棱錐 PABCD 中，PC平面 ABCD，PC2，在四邊形 ABCD 中，BC90，AB4，CD1，點(diǎn) M 在 PB 上，PB4PM，PB 與平面 ABCD 成 30角(1)求證：CM平面 PAD；(2)求證：平面 PAB平面 PAD.題型三解決探索性問題例 3如圖，棱柱 ABCDA1B1

6、C1D1的所有棱長都等于 2，ABC 和A1AC 均為 60，平面AA1C1C平面 ABCD.(1)求證：BDAA1；(2)求二面角 DA1AC 的余弦值；(3)在直線 CC1上是否存在點(diǎn) P，使 BP平面 DA1C1，若存在，求出點(diǎn) P 的位置，若不存在，請說明理由如圖所示，四棱錐 SABCD 的底面是正方形，每條側(cè)棱的長都是底面邊長的 2倍，P 為側(cè)棱 SD 上的點(diǎn)(1)求證：ACSD.(2)若 SD平面 PAC，則側(cè)棱 SC 上是否存在一點(diǎn) E，使得 BE平面 PAC.若存在，求 SEEC 的值；若不存在，試說明理由利用向量法解決立體幾何問題典例：如圖，四棱錐 PABCD 中，底面 AB

7、CD 為矩形，PA平面ABCD，E 為 PD 的中點(diǎn)(1)證明：PB平面 AEC；(2)設(shè)二面角 DAEC 為 60， AP1， AD 3， 求三棱錐 EACD的體積A 組專項(xiàng)基礎(chǔ)訓(xùn)練1若直線 l 的方向向量為 a(1,0,2)，平面的法向量為 n(2,0，4)，則()AlBlClDl 與相交2若ABCDCE，則直線 AB 與平面 CDE 的位置關(guān)系是()A相交B平行C在平面內(nèi)D平行或在平面內(nèi)3已知 A(4,1,3)，B(2，5,1)，C(3,7，5)，則平行四邊形 ABCD 的頂點(diǎn) D 的坐標(biāo)是()A(2,4，1)B(2,3,1)C(3,1,5)D(5,13，3)4已知 a(2，1,3)，b

8、(1,4，2)，c(7,5，)，若 a，b，c 三向量共面，則實(shí)數(shù)等于()A.627B.637C.607D.6575如圖，在長方體 ABCDA1B1C1D1中，AB2，AA1 3，AD2 2，P 為 C1D1的中點(diǎn)，M 為 BC 的中點(diǎn)則 AM 與 PM 所成的角為()A60B45C90D以上都不正確6已知平面內(nèi)的三點(diǎn) A(0,0,1)，B(0,1,0)，C(1,0,0)，平面的一個(gè)法向量 n(1，1，1)，則不重合的兩個(gè)平面與的位置關(guān)系是_7設(shè)點(diǎn) C(2a1，a1,2)在點(diǎn) P(2,0,0)、A(1，3,2)、B(8，1，4)確定的平面上，則 a_.8如圖，在正方體 ABCDA1B1C1D1

9、中，棱長為 a，M、N 分別為 A1B 和 AC上的點(diǎn)，A1MAN2a3，則 MN 與平面 BB1C1C 的位置關(guān)系是_9如圖，四邊形 ABCD 為正方形，PD平面 ABCD，PDQA，QAAB12PD.證明：平面 PQC平面 DCQ.10如圖，在底面是矩形的四棱錐 PABCD 中，PA底面 ABCD，E，F(xiàn) 分別是 PC，PD 的中點(diǎn)，PAAB1，BC2.(1)求證：EF平面 PAB；(2)求證：平面 PAD平面 PDC.B 組專項(xiàng)能力提升11如圖，正方形 ABCD 與矩形 ACEF 所在平面互相垂直，AB 2，AF1，M 在 EF 上，且 AM平面 BDE，則 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為()A(1,1,1)B(23，23，1)C(22，22，1)D(24，24，1)12設(shè) u(2,2，t)，v(6，4,4)分別是平面，的法向量，若，則 t 等于()A3B4C5D613在正方體 ABCDA1B1C1D1中，P 為正方形 A1B1C1D1四邊上的動(dòng)點(diǎn)，O 為底面正方形 ABCD 的中心，M，N 分別為 AB，BC 的中點(diǎn)，點(diǎn) Q 為平面 ABCD 內(nèi)一點(diǎn)，線段 D1Q 與 OP 互相平分，則滿足MQMN的實(shí)數(shù)有_個(gè)14如圖所示，已知直三棱柱 ABCA1B1C1中，ABC 為等腰直角三角形， BAC90， 且 ABAA1， D、 E、 F