2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試(四川卷)理數(shù)

1、2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）理數(shù)一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分在每小題給出的四個選項中，只有一個是符合題目要求的.1. （5分）設集合A=x|-2冷,Z為整數(shù)集，則AAZ中元素的個數(shù)是（）A.3B.4C.5D.6642. （5分）設i為虛數(shù)單位，則（x+i）的展開式中含x的項為（）4444A.-15xB.15xC.-20ixD.20ix（5分）（2016?自貢校級模擬）為了得到函數(shù)y=sin（2x-）的圖象，只需把函數(shù)y=sin2x的圖象上所有的點（）A.向左平行移動個單位長度B.向右平行移動個單位長度3 3C.向左平行移動二個單位長度D.向右平行移動個

2、單位長度66（5分）用數(shù)字1,2,3,4,5組成沒有重復數(shù)字的五位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為（）A.24B.48C.60D.72（5分）（2016?四川）某公司為激勵創(chuàng)新，計劃逐年加大研發(fā)資金投入.若該公司2015年全年投入研發(fā)資金130萬元，在此基礎(chǔ)上，每年投入的研發(fā)資金比上一年增長12%，則該公司全年投入的研發(fā)資金開始超過200萬元的年份是（）（參考數(shù)據(jù):Ig1.12=0.05,Ig1.3=0.11,Ig2=0.30）A.2018年B.2019年C.2020年D.2021年3. （5分）秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的數(shù)書九章中提出的多項式求值的秦九韶算法，至今

3、仍是比較先進的算法.如圖所示的程序框圖給出了利用秦九韶算法求某多項式值的一個實例，若輸入n,x的值分別為3,2,則輸出v的值為（）A.9B.18C.20D.35（y>x-1（5分）設p：實數(shù)x,y滿足（x-1）2+（y-1）2<2,q:實數(shù)x,y滿足'."Ih,yCi則p是q的（）A.必要不充分條件B.充分不必要條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件2&（5分）設0為坐標原點，P是以F為焦點的拋物線y=2px（p>0）上任意一點，M是線段PF上的點，且|PM|=2|MF|，則直線0M的斜率的最大值為（）A.'B.'C.'D.

4、13329.（5分）（2016?四川）設直線11,12分別是函數(shù)9.（5分）（2016?四川）設直線11,12分別是函數(shù)（x）=丄圖象上點P1,P2處的切線，11與12垂直相交于點P,且11,12分別與y軸相交于點A,B，則PAB的面積的取值范圍是（）A.（0,1）B.（0,2）C.（0,+1D.（1,+©10 .（5分）在平面內(nèi)，定點A,B,C,D滿足丄|=1:：|=匚二|,衛(wèi)？1=1?丨=1?（=b2-2，動點p,m滿足=1,-v=r.,則r【T2的最大值是（）二；B:，'14.4二、填空題：本大題共5小題，每小題5分，共25分.9717T11 .（5分）（2013秋？南

5、開區(qū)期末）'=.oo12 .（5分）同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，則在2次試驗中成功次數(shù)X的均值是.13 .（5分）已知三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，該三棱錐的正視圖如圖所示,則該三棱錐的體積是.正視團V14 .（5分）已知函數(shù)f（x）是定義在R上的周期為2的奇函數(shù)，當0VXV1時，f（x）=4,則f（-'）+f（1）=.215.（5分）在平面直角坐標系中,15.（5分）在平面直角坐標系中,當P（x,y）不是原點時，定義P的伴隨點”為P'（y當P是原點時，定義P的伴隨點為它自身，平面曲線C上所有點的伴隨點所構(gòu)成的曲線

6、C定義為曲線C的伴隨曲線”.現(xiàn)有下列命題： 若點A的伴隨點堤點A'，則點A'的伴隨點”是點A;單位圓的伴隨曲線”是它自身； 若曲線C關(guān)于x軸對稱，則其伴隨曲線”C關(guān)于y軸對稱;一條直線的伴隨曲線”是一條直線.其中的真命題是（寫出所有真命題的序列）.三、解答題：本大題共6小題，共75分解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.16. （12分）我國是世界上嚴重缺水的國家，某市政府為了鼓勵居民節(jié)約用水，計劃調(diào)整居民生活用水收費方案，擬確定一個合理的月用水量標準x（噸），一位居民的月用水量不超過x的部分按平價收費，超出x的部分按議價收費為了了解居民用水情況，通過抽樣，獲得了某年100位

7、居民每人的月均用水量（單位：噸），將數(shù)據(jù)按照0,0.5）,0.5,1）,4,4.5）分成9組，制成了如圖所示的頻率分布直方圖.SIS0.520.52*組距0.4062841Llxo.0.0.ci月均用水量（噸）（I）求直方圖中a的值；3噸的人數(shù)，并說明理由；x（噸），估計x的值，并說（n）設該市有30萬居民，估計全市居民中月均用水量不低于（川）若該市政府希望使85%的居民每月的用水量不超過標準明理由.17. (12分)(2016?四川)在ABC中，角A,B,C所對的邊分別是a,b,c,且cosAcosBsinC+=一abc(I)證明：sinAsinB=sinC;(n)若b2+c2a2=bc,求

8、tanB.5（12分）如圖，在四棱錐P-ABCD中，AD/BC,/ADC=/PAB=90°BC=CD=pAD.E為棱AD的中點，異面直線PA與CD所成的角為90°（I）在平面PAB內(nèi)找一點M,使得直線CM/平面PBE，并說明理由；（n）若二面角P-CD-A的大小為45°求直線PA與平面PCE所成角的正弦值.18. (12分)已知數(shù)列an的首項為1,Sn為數(shù)列an的前n項和，Sn+仁qSn+1，其中q>0,nN(I)若2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列，求an的通項公式；2氐A(chǔ)n-(n)設雙曲線x-r=1的離心率為環(huán)，且e2='，證明：ei+e2+?+e

9、n>小33曠】n"22(13分)已知橢圓E：+'=1(a>b>0)的兩個焦點與短軸的一個端點是直角三角a2b2形的3個頂點，直線I:y=-x+3與橢圓E有且只有一個公共點T.(I)求橢圓E的方程及點T的坐標；(H) 設0是坐標原點，直線I平行于0T,與橢圓E交于不同的兩點A、B,且與直線I交于點P.證明：存在常數(shù)人使得|PT|2=開PA?|PB|,并求入的值.2(14分)設函數(shù)f(x)=ax-a-Inx,其中aR.(I) 討論f(x)的單調(diào)性；(n)確定a的所有可能取值，使得f(x)>丄-e1x在區(qū)間(1,+呵內(nèi)恒成立(e=2.718X為自然對數(shù)的底數(shù)

10、).2016年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試（四川卷）理數(shù)參考答案與試題解析一、選擇題C【分析】由A與Z,求出兩集合的交集，即可作出判斷.【解答】解：A=x|-2纟,Z為整數(shù)集，Anz=-2,-1,0,1,2,則Anz中元素的個數(shù)是5,故選：C.1. A【分析】利用二項展開式的通項公式即可得到答案.【解答】解：（x+i）6的展開式中含x4的項為-x4?i2=-15X4,故選：A.2. D【分析】由條件根據(jù)函數(shù)y=Asin（3X+Q的圖象變換規(guī)律，可得結(jié)論.【解答】解：把函數(shù)y=sin2x的圖象向右平移個單位長度，可得函數(shù)y=sin2（x-一）=sin66（2x-=）的圖象，3故選：D.3. D【

11、分析】用1、2、3、4、5組成無重復數(shù)字的五位奇數(shù)，可以看作是填5個空，要求個位是奇數(shù)，其它位置無條件限制，因此先從3個奇數(shù)中任選1個填入，其它4個數(shù)在4個位置上全排列即可.【解答】解：要組成無重復數(shù)字的五位奇數(shù)，則個位只能排1,3,5中的一個數(shù)，共有3種排法，然后還剩4個數(shù)，剩余的4個數(shù)可以在十位到萬位4個位置上全排列，共有廠=24種排法.由分步乘法計數(shù)原理得，由1、2、3、4、5組成的無重復數(shù)字的五位數(shù)中奇數(shù)有3X24=72個.故選：D.4. B【分析】設第n年開始超過200萬元，可得130X（1+12%）n-2015>200,兩邊取對數(shù)即可得出.【解答】解：設第則130X（1+12

12、%）n年開始超過200萬元,n-2015>200,化為:n-2015>J30-0.110,05=3.8.(n-2015)Ig1.12>Ig2-Ig1.3,取n=2019.因此開始超過200萬元的年份是2019年.故選：B.5. B【分析】由題意，模擬程序的運行，依次寫出每次循環(huán)得到的i,v的值，當i=-1時，不滿足條件i為，跳出循環(huán)，輸出v的值為18.【解答】解：初始值n=3,x=2，程序運行過程如下表所示：v=1i=2v=1>2+2=4i=1v=4>2+1=9i=0v=9>2+0=18i=-1跳出循環(huán)，輸出v的值為18.故選：B.6. A【分析】畫出p,q

13、表示的平面區(qū)域，進而根據(jù)充要條件的定義，可得答案.【解答】解：（X-1）2+（y-1）%2表示以（1,1）為圓心，以為半徑的圓內(nèi)區(qū)域（包括邊界）；-1滿足>1-K的可行域如圖有陰影部分所示，故p是q的必要不充分條件,故選：A&C【分析】由題意可得F（衛(wèi)，0）,設P（孕，yo）,要求心皿的最大值，設yo>0，運用向22p2量的加減運算可得r=+二三=（丄+，'），再由直線的斜率公式，結(jié)合基本不等式，3333可得最大值.2【解答】解：由題意可得F（衛(wèi)，0）,設P（十一，y0）,22p顯然當y°v0,koMv0;當y0>0,koM>0.要求koM的最

14、大值，設y0>0,則卩U丨+.U丨+.卜=|+(H-I-)332+,竺可得koM=<=",：；/6p3pVpy0當且僅當yo2=2p2，取得等號.故選：C.9. A【分析】設出點Pl,P2的坐標，求出原分段函數(shù)的導函數(shù)，得到直線11與12的斜率，由兩直線垂直求得Pi,P2的橫坐標的乘積為1，再分別寫出兩直線的點斜式方程，求得A，B兩點的縱坐標，得到|AB|，聯(lián)立兩直線方程求得P的橫坐標，然后代入三角形面積公式，利用基本不等式求得PAB的面積的取值范圍.【解答】解：設Pi(xi,yi),P2(x2,y2)(0<xiv1vx2),當0<x<i時，f'

15、(x)=一，當x>i時，f'(x)=KXli的斜率,.,12的斜率.一1K12k2.|i與l2垂直，且X2>xi>0,T-1"1一I，即卩xix2=i.1'切七直線li:,12：T二I，:,.x!1i七££取x=0分別得到A(0,i-Inxi),B(0,-i+lnx2),|AB|=|i-lnxi-(-i+lnx2)|=|2(lnxi+lnx2)|=|2-lnXix2|=2.2xx聯(lián)立兩直線方程可得交點P的橫坐標為x=,112的葉：ii：-=：i|,._112的葉：ii：-=：i|,._函數(shù)y=x+-在(0,i)上為減函數(shù)，且0&l

16、t;xi<i,xI.：-：，則-1,PAB的面積的取值范圍是(0,i).故選：A.10. B【分析】由丘十丨二二丘|,可得DABC的外心，又乍？|.=|.?'='？,-,可得可得D為厶ABC的垂心，貝UD為厶ABC的中心，即ABC為正三角形.運用向量的數(shù)量積定義可得ABC的邊長，以A為坐標原點，AD所在直線為x軸建立直角坐標系xOy,求得B,C的坐標，再設P(cosB,sinB),(0W殳2n),由中點坐標公式可得M的坐標，運用兩點的距離公式可得BM的長，運用三角函數(shù)的恒等變換公式，結(jié)合正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值.【解答】解：由匚|=云|=丘|,可得DABC的外心,又

17、)？=I.?:,=:?J匚可得I?C<-：')=0'?(IV)=0,即?.=.1亠？'1=0,即有丨丄'丄丄，可得DABC的垂心，則DABC的中心，即ABC為正三角形.由東?55=-2,即有|環(huán)|?|正|cos120°-2,解得|丄；|=2,ABC的邊長為4cos30°27,以A為坐標原點，AD所在直線為x軸建立直角坐標系xOy,可得B(3,-祈)，C(3,V3)，D(2,0),由|.1：=1,可設P(cos0,sin0),(0wX2n),由；=T，可得M為PC的中點，即有M,),22則l|2=(3-一：)2+")2j2(3&

18、quot;cos3)2(33+sinQ37_6cosB+6/35111+=(3"cos3)2(33+sinQ37_6cosB+6/35111+=+44=437+12si.n(9-召)6，K97T當sin(0-)=1,即h時，取得最大值，且為634故選：B.2【分析】把所求的式子利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡，再利用特殊角的三角函數(shù)值，即可得到所求式子的值.【解答】解：cos'-sin28S=cos(2')=cos仝：.故答案為：蘭23._2-【分析】由對立事件概率計算公式求出這次試驗成功的概率，從而得到在2次試驗中成功次數(shù)XB(2,上)，由此能求出在2次試驗中成功次數(shù)X

19、的均值E(X).4【解答】解：同時拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣，當至少有一枚硬幣正面向上時，就說這次試驗成功，這次試驗成功的概率p=i-()2=二24在2次試驗中成功次數(shù)XB(2,'),4在2次試驗中成功次數(shù)X的均值E(X)=.=.42故答案為：:.13.2，高為1,棱【分析】由已知結(jié)合給定的三棱錐的正視圖，可得：三棱錐的底面是底為錐的高為1,進而得到答案.【解答】解：三棱錐的四個面都是腰長為2的等腰三角形，結(jié)合給定的三棱錐的正視圖，_可得：三棱錐的底面是底為2二，高為1,棱錐的高為1,故棱錐的體積V=1X(2疋譏X1),323故答案為：3-2.【分析】根據(jù)f(x)是周期為2的奇函數(shù)即可得到

20、f(-)=f(-2-_)=f(-二)=-f222(2),禾U用當ovxV1時，f(x)=4x,求出f(-5),再求出f(1),即可求得答案.22【解答】解：f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，-f(-")=f(-2-：)=f(-')=-f()2222x(0,1)時，f(x)=4x,-f(-")=-2,2/f(x)是定義在R上周期為2的奇函數(shù)，f(-1)=f(1),f(-1)=-f(1),二f(1)=0,5f(-)+f(1)=-2.2故答案為：-214. 【分析】利用新定義，對4個命題分別進行判斷，即可得出結(jié)論.)的伴隨點”是點(-【解答】解：若點A(x,y)的伴隨

21、點”是點A'(/J),則點A'(yx2+yx2+yx2+y-y),故不正確;由可知，單位圓的伴隨曲線”是它自身，故正確； 若曲線C關(guān)于x軸對稱，點A(x,y)關(guān)于x軸的對稱點為(x,-y),伴隨點”是點A'(-：),則其伴隨曲線”C關(guān)于y軸對稱，故正確；x+yx2+y設直線方程為y=kx+b(b和)，點A(x,y)的伴隨點”是點A'(m,n),則點A(x,y)的伴隨點”是點A'(,'.,),二-一,x=-',y='+v+vmykn+okn+mTm=z，代入整理可得-n-仁0表示圓，故不正確.x£+y2b故答案為：.三、解

22、答題【分析】(I)根據(jù)各組的累積頻率為1，構(gòu)造方程，可得a值；(H)由圖可得月均用水量不低于3噸的頻率，進而可估算出月均用水量不低于3噸的人數(shù)；(H)由圖可得月均用水量低于2.5噸的頻率及月均用水量低于3噸的頻率，進而可得x值.【解答】解：(I)v0.5X(0.08+0.16+0.4+0.52+0.12+0.08+0.04+2a)=1,a=0.3;(n)由圖可得月均用水量不低于3噸的頻率為：0.5X(0.12+0.08+0.04)=0.12,由30X0.12=3.6得：全市居民中月均用水量不低于3噸的人數(shù)約為3.6萬；(n)由圖可得月均用水量低于2.5噸的頻率為：0.5X(0.08+0.16+

23、0.3+0.4+0.52)=0.73V85%;月均用水量低于3噸的頻率為：0.5X(0.08+0.16+0.3+0.4+0.52+0.3)=0.88>85%;則x=2.5+0.5X-兒'=2.9噸0.3X0.517.【分析】(I)將已知等式通分后利用兩角和的正弦函數(shù)公式整理，利用正弦定理，即可證明.(n)由余弦定理求出A的余弦函數(shù)值，利用(I)的條件，求解B的正切函數(shù)值即可.a由正弦定理得：二"：，sinAsinBsinC.ni:'2_-':-|1,【解答】(I)證明：在ABC中，-2三+_旦亠bcsinAsinBsinAsinB/sin(A+B)=si

24、nC.整理可得：sinAsinB=sinC,cosA=.5(n)解：b2+c2-a2=bc,由余弦定理可得5.A4cosA3sinA=,=4 sinA4二+=1,=sinAsinBsinCsinB4tanB=4.18.【分析】(I)延長AB交直線CD于點M,由點E為AD的中點，可得AE=ED=AD，由2BC=CD=AD，可得ED=BC，已知ED/BC.可得四邊形BCDE為平行四邊形，即EB/CD.利用線面平行的判定定理證明得直線CM/平面PBE即可.(II)如圖所示，由/ADC=/PAB=90°異面直線PA與CD所成的角為90°ABACD=M,可得AP丄平面ABCD.由CD

25、丄PD,PA丄AD.因此/PDA是二面角P-CD-A的平面角，大小為45°PA=AD.不妨設AD=2,則BC=CD=AD=1.可得P(0,0,2),E(0,1,0),2C(-1,2,0),利用法向量的性質(zhì)、向量夾角公式、線面角計算公式即可得出.【解答】解：(I)延長AB交直線CD于點M,t點E為AD的中點，AE=ED=AD,匕BC=CD=AD,ED=BC,2AD/BC,即卩ED/BC.二四邊形BCDE為平行四邊形，即EB/CD./ABACD=M,MCD,CM/BE,/BE?平面PBE,CM/平面PBE,/MAB,AB?平面PAB,M平面PAB，故在平面PAB內(nèi)可以找到一點M(M=AB

26、PCD)，使得直線CM/平面PBE.(II)如圖所示，I/ADC=/PAB=90°°異面直線PA與CD所成的角為90°,ABPCD=M, AP丄平面ABCD. CD丄PD,PA丄AD.因此/PDA是二面角P-CD-A的平面角，大小為45°. PA=AD.不妨設AD=2，貝UBC=CD=AD=1.P(0,0,2),E(0,1,0),C(-1,2,0),22),X=(-1,1,0),W=(0,設平面PCE的法向量為-|=(x,設平面PCE的法向量為-|=(x,y,z),則卜邏F,可得:kn-EC=0y-2z=0令y=2,則x=2,z=1，產(chǎn)(2,2,1).設

27、直線PA與平面PCE所成角為0,IAP-n|_2_1IAP-n|_2_1則sinT=.:一；.19.【分析】(I)由條件利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)，求得數(shù)列an為首項等于1、公比為q的等比數(shù)列，再根據(jù)2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列求得公比q的值，可得an的通項公式.(H)利用雙曲線的定義和簡單性質(zhì)求得en=*.-,根據(jù)e2=.訂，求得q的值，&hT可得an的解析式，再利用放縮法可得,從而證得不等式成立.【解答】解:(I)TSn+1=qSn+1，當n呈時,Sn=qSn-1+1,兩式相加你可得an+1=q?an,即從第二項開始，數(shù)列an為等比數(shù)列，公比為q.當n=1時，數(shù)列an的首項為1,

28、.ai+a2=S2=q?ai+1，二a2=q=ai?q,二數(shù)列an為等比數(shù)列，公比為q2a2,a3,a2+2成等差數(shù)列，2q+q+2=2q2，求得q=2，或q=-_2根據(jù)q>0,故取q=2,an=2nT,nN.(n)證明：設雙曲線x2-二=1的離心率為en,由于數(shù)列an為首項等于1、公比為q的等比數(shù)列,-ei+e2+?+en>1+=，原不等式得證.3331-13n_13'20.【分析】(I)根據(jù)橢圓的短軸端點C與左右焦點F1、F2構(gòu)成等腰直角三角形，結(jié)合直線I與橢圓E只有一個交點，利用判別式=0,即可求出橢圓E的方程和點T的坐標；(n)設出點P的坐標，根據(jù)I'/OT

29、寫出I'的參數(shù)方程，代人橢圓E的方程中，整理得出方程，再根據(jù)參數(shù)的幾何意義求出|PT|2、|PA|和|PB|，由|PTf=”PA|?|PB|求出入的值.【解答】解：(I)設短軸一端點為C(0,b),左右焦點分別為F1(-c,0),F2(c,0),其中c>0,222則c+b=a;由題意，F(xiàn)1F2C為直角三角形，_=i.r+仁解得b=c=p2£橢圓E的方程為丄+.=1;22代人直線l:y=-x+3，可得3x2-12x+18-2b2=0,又直線I與橢圓E只有一個交點，則=122-4>3(18-2b2)=0，解得b2=3,22橢圓E的方程為'+=1;32由b=3，解得x=2，則y=-x+3=1，所以點T的坐標為(2,1);(n)設P(xo,3-xo)在I上，由k°T=,I平行OT,2st二x+21得I的參數(shù)方程為*0,尸3+t代人橢圓E中，得”古；"2i-=6,整理得2t2+4t