江蘇連云港田家炳中學(xué)高三數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件函數(shù)的單調(diào)性

1、第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性第四節(jié)函數(shù)的單調(diào)性基礎(chǔ)梳理定義單調(diào)增函數(shù)單調(diào)減函數(shù)一般地，設(shè)函數(shù)y=f(x)的定義域?yàn)锳，區(qū)間IA，如果對(duì)于區(qū)間I內(nèi)的任意兩個(gè)值x1，x2當(dāng)x1x2時(shí)，都有_，那么就說y=f(x)在區(qū)間I上是單調(diào)增函數(shù)，I稱為y=f(x)的_當(dāng)x1f(x2)f(x1)0，b0)的單調(diào)性：在_和_上單調(diào)遞增；在_和_上單調(diào)遞減1xbx(0,1 (-，-11，+)-1,0),ba ,ba0ba0ba基礎(chǔ)達(dá)標(biāo) (必修1P43練習(xí)2改編)函數(shù)f(x)=1-3x在(-，+)上是_函數(shù)；f(x)= +2在(-，0)上是_函數(shù)1x減減2. (必修1P34例題改編)函數(shù)f(x)=x2-2x+4的增區(qū)間為_；

2、減區(qū)間為_(-，1 1，+)3. f(x)=x2-2ax+3在(-，4上是減函數(shù)，則a的取值范圍為_解析：畫出圖形可知a4. 4，+)4. 下列函數(shù)中，在區(qū)間(0，+)上不是增函數(shù)的是_(填序號(hào))y=2x+1；y=3x2+1；y= ；y=|x|.2x解析：在R上遞增；在(0，+)上遞增；在(0，+)上遞增；只有在(0，+)上遞減 5. 若函數(shù)y=ax與y= 在(0，+)上都是減函數(shù)，則y=ax2+bx在(0，+)上是_(填“增函數(shù)”或“減函數(shù)”) bx解析：由題意知a0且b0，則y=ax2+bx圖象開口向下且對(duì)稱軸x=-0，故此函數(shù)在(0，+)上遞減 減函數(shù)【例1】判斷下列函數(shù)的單調(diào)性，并給予

3、證明(1)f(x)= ，x(-1，+)；(2)f(x)= ，x-1，+)經(jīng)典例題21x1x題型一函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明分析：先判斷單調(diào)性，再用單調(diào)性的定義證明(1)采用通分進(jìn)行變形，(2)采用分子有理化的方式進(jìn)行變形解：(1)函數(shù)f(x)= 在(-1，+)上為減函數(shù)利用定義證明如下：任取x1、x2(-1，+)，且-1x1x2，則f(x1)-f(x2)=-1x10，x2+10，x2-x10， 0，即f(x1)-f(x2)0，f(x1)f(x2)故f(x)= 在(-1，+)上為減函數(shù) 21x2112122221111xxxxxx 2112211xxxx 21x(2)函數(shù)f(x)= 在-1，+)上為

4、增函數(shù)證明如下：任取x1、x2-1，+)且-1x1x2，則有x1-x20，f(x1)-f(x2)=-1x1x2，x1-x20， 即f(x1)-f(x2)0，f(x1)f(x2)故函數(shù)f(x)=在-1，+)上為增函數(shù)1x1212121211111111xxxxxxxx 12121212111111xxxxxxxx 1210,10 xx 121211xxxx 變式1-1試討論函數(shù)f(x)= ，x(-1,1)的單調(diào)性(其中a0)21axx 解析：設(shè)-1x1x21，則f(x1)-f(x2)= .-1x1x21，|x1|1，|x2|0，|x1x2|1，即-1x1x20. .因此，當(dāng)a0時(shí)，f(x1)-f

5、(x2)0，即f(x1)f(x2)，此時(shí)函數(shù)為減函數(shù)；當(dāng)a0時(shí)，f(x1)-f(x2)0，即f(x1)0，且a1)；(2)y=log1/2(4x-x2)；(3)y= ；(4)y=|x-3|-|x+1|.題型二求函數(shù)單調(diào)區(qū)間223xx分析：研究函數(shù)單調(diào)性，必須先確定區(qū)間(即定義域)，注意復(fù)合函數(shù)的“同增異減”的運(yùn)用考查運(yùn)用函數(shù)圖象求單調(diào)區(qū)間 解：(1)定義域?yàn)镽，g(x)=1-x，在R上是減函數(shù)，當(dāng)a1時(shí)，y=a1-x在R上是減函數(shù)；當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)的減區(qū)間是R；當(dāng)0a0，在(0,2上遞增，在2,4)上遞減，故函數(shù)y=log 1/2(4x-x2)增區(qū)間是2,4)，減區(qū)間是(0,2 (3)由y=

6、，得-x2-2x+30，得-3x1，且對(duì)稱軸為x=-1，開口向下，故函數(shù)的增區(qū)間是-3，-1，減區(qū)間是-1,1223xx(4)y=|x-3|-|x+1|=故此函數(shù)的減區(qū)間為(-1,3)4,122, 134,3xxxx 變式2-1求下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(1)y=-x2+2|x|+3；(2)y=log0.7(x2-3x+2)解析：(1)y=-x2+2|x|+3=即y=如圖：單調(diào)遞增區(qū)間是(-，-1和0,1，遞減區(qū)間是(-1,0)和(1，+)2223,023,0 xxxxxx2214,014,0.xxxx (2)由x2-3x+20，得函數(shù)的定義域是(-，1)(2，+)，令t=x2-3x+2，則y=lo

7、g0.7t.t=x2-3x+2= ，t=x2-3x+2的單調(diào)減區(qū)間是(-，1)，增區(qū)間是(2，+)，又y=log0.7t在(0，+)上是減函數(shù)，函數(shù)y=log0.7(x2-3x+2)的單調(diào)減區(qū)間是(2，+)，單調(diào)增區(qū)間是(-，1) 23124x【例3】函數(shù)f(x)對(duì)任意的a、bR，都有f(a+b)=f(a)+f(b)-1，并且當(dāng)x0時(shí)，f(x)1.(1)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；(2)若f(4)=5，解不等式f(3m2-m-2)3.題型三抽象函數(shù)的單調(diào)性分析：根據(jù)題目中所給的關(guān)系式通過賦值、變形、構(gòu)造，尋找f(x2)與f(x1)的關(guān)系解：(1)證明：設(shè)x1，x2R，且x10，f(x2-x1

8、)1.f(x2)-f(x1)=f(x2-x1)+x1-f(x1)=f(x2-x1)+f(x1)-1-f(x1)=f(x2-x1)-10，f(x2)f(x1)，即f(x)是R上的增函數(shù)(2)f(4)=f(2+2)=f(2)+f(2)-1=5，f(2)=3，原不等式可化為f(3m2-m-2)f(2)f(x)是R上的增函數(shù)，3m2-m-22，解得-1m0時(shí)，f(x)x2，則x1-x20，f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2)又x0時(shí)，f(x)0，f(x1-x2)0，即f(x1)x2，則f(x1)-f(x2)=f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)

9、-f(x2)=f(x1-x2)又x0時(shí)，f(x)0，f(x1-x2)0，即f(x1)0時(shí)，恒有f(x)1，且對(duì)任意的a、bR，有f(a+b)=f(a)f(b)(1)求f(0)的值；(2)求證：對(duì)任意的xR，恒有f(x)0；(3)求證：f(x)是R上的增函數(shù)；(4)若f(x)f(2x-x2)1，求x的取值范圍題型四函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用(1)令a=b=0，得f(0)=1.(2)證明：令a=x，b=-x，則f(0)=f(x)f(-x)f(-x)= .由已知x0時(shí)，f(x)10；當(dāng)x0，f(-x)0，f(x)= 0.又x=0時(shí)，f(0)=10，對(duì)任意xR，f(x)0. 1f x 1fx (3)證明：任取x2x1，則f(x2)0，f(x1)0，x2-x10， =f(x2)f(-x1)=f(x2-x1)1，f(x2)f(x1)，f(x)在R上是增函數(shù)(4)f(x)f(2x-x2)=fx+(2x-x2)=f(-x2+3x)又f(0)=1，f(x)在R上遞增由f(3x-x2)f(0)，得3x-x20，0 x1時(shí)，為使函數(shù)y=f(x)=loga(ax2-x)在閉區(qū)間2,4上是增函數(shù)，只需g(x)=ax2-x在2,4上是增