二維形式的柯西不等式(一)

1、第一課時3.1二維形式的柯西不等式（一）教學(xué)要求：認(rèn)識二維柯西不等式的幾種形式，理解它們的幾何意義，并會證明二維柯西不等式及向量形式.教學(xué)重點：會證明二維柯西不等式及三角不等式.教學(xué)難點：理解幾何意義.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1 .提問：二元均值不等式有哪幾種形式？a，b答案：之J06（a>0,b>0）及幾種變式.22 .練習(xí)：已知a、b、c、d為實數(shù)，求證（a2+b2）（c2+d2）之（ac+bd）2證法：（比較法）（a2+b2）（c2+d2）（ac+bd）2=：=（adbc）220二、講授新課：1 .教學(xué)柯西不等式： 提出定理1：若a、b、c、d為實數(shù)，則（a2+b2）（c2+

2、d2）之（ac+bd）2.一即二維形式的柯西不等式一什么時候取等號？ 討論：二維形式的柯西不等式的其它證明方法？證法二：(綜合法)(a2+b2)(c2+d2)=a2c2+a2d2+b2c2+b2d2=(ac+bd)2+(ad-bc)2之(ac+bd)2.(要點：展開一配方).T,4證法三：，(向量法)設(shè)向量m=(a,b),n=(c,d),則|m|=Ja2+b2,|n|=Jc2+d2.mn=ac+bd,且m=|mJnUos<m,n>,則|mn國m|_|n|.22222.證法四：(函數(shù)法)設(shè)f(x)=(a+b)x2(ac+bd)x+c+d,則f(x)=(ax-c)2+(bx-d)2&g

3、t;0恒成立.22222一=2(ac+bd)24(a2+b2)(c2+d2)wo,即. 討論：二維形式的柯西不等式的一些變式？變式：Ja2+b2-Wc2+d24ac+bd|或Ja2+b2Wc2+d2ac|+1bd|或Ja2+b2Lk/c2jd至ac+bd. 提出定理2:設(shè):不是兩個向量,則|邢|城|周.即柯西不等式的向量形式（由向量法皆出）.一討論：上面時候等號成立？（石是零向量，或者a,衛(wèi)共線） 練習(xí)：已知a、b、c、d為實數(shù)，求證da2+b2+Jc2+d22J（ac）2十（bd）2.證法：（分析法）平方一應(yīng)用柯西不等式一討論：其幾何意義？（構(gòu)造三角形）2 .教學(xué)三角不等式：出示定理3：設(shè)x

4、1，yi,x2,y2WR,則Jx；+y；+Jx22+y22之J（x1一x2）2+（y1一y2）2.分析其幾何意義一如何利用柯西不等式證明一變式：若x1,y1,x2,y2,x3,y3=R,則結(jié)合以上幾何意義，可得到怎樣的三角不等式？3 .小結(jié)：二維柯西不等式的代數(shù)形式、向量形式；三角不等式的兩種形式（兩點、三點）三、鞏固練習(xí):第二課時3.1二維形式的柯西不等式（二）教學(xué)要求：會利用二維柯西不等式及三角不等式解決問題，體會運用經(jīng)典不等式的一般方法發(fā)現(xiàn)具體問題與經(jīng)典不等式之間的關(guān)系，經(jīng)過適當(dāng)變形，依據(jù)經(jīng)典不等式得到不等關(guān)系教學(xué)重點：利用二維柯西不等式解決問題教學(xué)難點：如何變形，套用已知不等式的形式.

5、教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1 .提問：二維形式的柯西不等式、三角不等式？幾何意義？答案：（a2+b2）（c2+d2）之（ac+bd）2；Jx；+y；+卮'y2-（Xi-X2）（yi-y2）2 .討論：如何將二維形式的柯西不等式、三角不等式，拓廣到三維、四維？3 .如何利用二維柯西不等式求函數(shù)y=1x-1+72-x的最大值？要點：利用變式|acbd|_.a2b2|_.c2d2.二、講授新課：1 .教學(xué)最大（?。┲担?出示例1:求函數(shù)y=3后7+J10-2x的最大值？分析：如何變形？一構(gòu)造柯西不等式的形式一板演一變式：y=«3x-1+J10-2x-推廣：y=aJbx+c+dJefx

6、,（a,b,c,d,e,f運RQ 練習(xí)：已知3x+2y=1,求x2+y2的最小值.解答要點：（湊配法）x2+y2=（x2+y2）（32+22）>（3x+2y）2=.131313討論：其它方法（數(shù)形結(jié)合法）2 .教學(xué)不等式的證明：11出本例2：右x,yWR+,x+y=2,求證：一十一之2.xy分析：如何變形后利用柯西不等式？（注意對比一構(gòu)造）要點：1+1=；（x+y）（l+1）=1（拘2+（丙）2（4）2+（）2之Xy2Xy2Xy討論：其它證法（利用基本不等式）11練習(xí)：已知a、bWR+,求證：（a+b）（一十）主4.ab3.練習(xí)：已知x,y,a,bwR+,且a+b=1,則x+y的最小值.

7、xy-ab要點：x+y=（+-）（x+y）=.一其匕證法xy若x,y,zWR十，且x+y+z=1,求x2+y2+z2的最小值.（要點：利用三維柯西不等式）變式：若x,y,zWR+,且x+y+z=1,求JX+Jy十五的最大值.3.小結(jié)：比較柯西不等式的形式，將目標(biāo)式進(jìn)行變形，注意湊配、構(gòu)造等技巧第三課時3.2一般形式的柯西不等式教學(xué)要求：認(rèn)識一般形式的柯西不等式，會用函數(shù)思想方法證明一般形式的柯西不等式，并應(yīng)用其解決一些不等式的問題.教學(xué)重點：會證明一般形式的柯西不等式，并能應(yīng)用.教學(xué)難點：理解證明中的函數(shù)思想.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1 .練習(xí)：2 .提問：二維形式的柯西不等式？如何將二維形式

8、的柯西不等式拓廣到三維？2222222222-2-2答案：(a2+b2)(c2+d2)之(ac+bd)2；(a2+b2+c2)(d2+e2+f2)>(ad+be+cf)2二、講授新課：1 .教學(xué)一般形式的柯西不等式：. 提問：由平面向量的柯西不等式也口國a|停|,如果得到空間向量的柯西不等式及代數(shù)形式？ 猜想：n維向量的坐標(biāo)？n維向量的柯西不等式及代數(shù)形式？結(jié)論：設(shè)為2，川，父,bib,HI,bnR,則.222.2.222(aia2川an)(bib2HIbn)(&ba2b2abn)a”aa討論：什么時候取等號？(當(dāng)且僅當(dāng)='=時取等號，假設(shè)b#0)bib2bn聯(lián)想：設(shè)B=

9、a1b1+ab于+anbn,A=a12+a22an2,C=b2+b22制I+bn2,則有B2-A80,可聯(lián)想到一些什么？討論：如何構(gòu)造二次函數(shù)證明n維形式的柯西不等式？(注意分類)要點：令f(x)=(a12+a；+a：)x2+2(a1bl+a2b+anbn)x+(b12+b2+b2),則一-一一一2一一2,一一2_f(x)=(a1xb1)(a2xb2)+(anxbn).0.一222又ai+a2+%>0,從而結(jié)合二次函數(shù)的圖像可知，=b(aibi+a2b2+anbn)f4(a；+a22+an2)_(bi2+b22+W+bn2)<0即有要證明的結(jié)論成立.(注意：分析什么時候等號成立.)

10、1C變式：a，+a2+|an上一(a+a?+an).(討論如何證明)n2.教學(xué)柯西不等式的應(yīng)用：出示例1：已知3x+2y+z=1,求x2+y2+z2的最小值.分析：如何變形后構(gòu)造柯西不等式？一板演一變式：“一八111yz練習(xí)：右x,y,zwR+,且一十一十=1,求x十一十一的最小值.xyz23114出木例2：右a>b>c,求證：+>.a-bb-ca-c1111c要點：(a-c)()=(a-b)(b-c)()-(11)=4a-bb-ca-bb-c3.小結(jié)：柯西不等式的一般形式及應(yīng)用；等號成立的條件；根據(jù)結(jié)構(gòu)特點構(gòu)造證明第四課時3.3排序不等式教學(xué)要求：了解排序不等式的基本形式，

11、會運用排序不等式分析解決一些簡單問題，體會運用經(jīng)典不等式的一般方法.教學(xué)重點：應(yīng)用排序不等式證明不等式.教學(xué)難點：排序不等式的證明思路.教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)準(zhǔn)備：1 .提問：前面所學(xué)習(xí)的一些經(jīng)典不等式？（柯西不等式、三角不等式）2 .舉例：說說兩類經(jīng)典不等式的應(yīng)用實例.二、講授新課：1.教學(xué)排序不等式：看書：P42P44.提出排序不等式（即排序原理）：設(shè)有兩個有序?qū)崝?shù)組：aMa2MMan；biMb2Mbn.GA,g是Db,h的任一排列，則有aibi+a2b2+anbn（同序和）之a(chǎn)gi+a2c2+anCn（亂序和）之a(chǎn)ibn+a2，+anbi（反序和）當(dāng)且僅當(dāng)Q=a2=二an或“=b2=一=bn時，反序和等于同序和.（要點：理解其思想，記住其形式）2 .教學(xué)排序不等式的應(yīng)用：出示例i：設(shè)a通2,an是n個互不相同的正整數(shù)，求證：i,一 _ ain.a2a3 . .an2232 n2分析：如何構(gòu)造有序排列?如何運用套用排序不等式?證明過程:設(shè)b1,b2,，；bn是aha2,an的一個排列，且“<b2<<bn,則n之2,/,bn之n.,iii一又1222,由排序不等式，得2232n2a+曳+曳+色>b+鋁+/+/+%.ai八2-22bl-2-2223n23n小結(jié)：分析目標(biāo)，構(gòu)造有序排列.練習(xí)：已知a,b,c為正數(shù)，