二重積分的計算方法(一)

1、1利用直角坐標系計算1.1 積分區(qū)域為X型或Y型區(qū)域時二重積分的計算(x, y)1(x) x 2(x), a x b ,對于一些簡單區(qū)域上的二重積分，可以直接化成二次積分來解決.在直角坐標系下，被積分函數(shù)f（x,y）在積分區(qū)域D上連續(xù)時，若D為x型區(qū)域（如圖1）,即D其中1（x）,2（x）在a,b上連續(xù),則有f(x,y)dbdxa2(x)(X、f(x,y)dy;1(x)(1)若D為y型區(qū)域（如圖2）,即D(x,y)i(y)y2(y),cyd1（y）,2（y）在c,d上連續(xù),則有x)圖i甲if0af(x,y)dDd2(y)cdy1(y)f(x,y)dxi(2)計算gxdy,其中D是由x2,Dxx

2、,與xy1所圍成.分析積分區(qū)域如圖3所示，為x型區(qū)域D=1x,y1x2-yx.確定了積分區(qū)域然后可以利用公式（1）進行求解.解 積分區(qū)域為x型區(qū)域D=圖3dc1x,y1x2,-x2y,dxdyDx2:L1 3x23x5dx12x42764是簡單的x型或y 是可以將復雜的積f(x, y)d(3)D3y 3所圍成的區(qū)域.1.2 積分區(qū)域非X型或Y型區(qū)域二重積分的計算當被積函數(shù)的原函數(shù)比較容易求出，但積分區(qū)域并不型區(qū)域，不能直接使用公式（1）或者（2）進行計算，這分區(qū)域劃分為若干x型或y型區(qū)域，然后利用公式f(x,y)df(x,y)df(x,y)dDD1D2進行計算，例2計算二重積分d,其中D為直線

3、y2x,x2y與xD分析：積分區(qū)域D如圖5所示，區(qū)域D既不y型區(qū)域，但是將可D劃分為D1cxxcx,y0x1-y2x27均為x型區(qū)D2x,y1x3,2yy3x（3）和（1）可進行計算.解D劃分為D1_x_x,y0x1-y2x,域，進而通過公式是x型區(qū)域也不是D2x,y1x3,2yy3xd d dDD1D21 2x23 xdx x dydx x dy1-22112x dx02xx dx23x1.3 被積函數(shù)較為復雜時二重積分的計算重積分化為二次定積分后的計算可以按定積分的求解進行，但是當被積函數(shù)較為復雜，雖然能定出積分限，但被積函數(shù)的原函數(shù)不易求出或根本求不出，這時可根據(jù)被積函數(shù)劃分積分區(qū)域，然

4、后進行計算.例3計算二重積分yyx2|dxdy,其中D為區(qū)D分析由于被積函數(shù)含有絕對值，其原函數(shù)不能直直接化為二次積分進行計算，觀察函數(shù)本身，不難發(fā)22xy20yx一劃分為Diy,D2兩部分后，1x11x1分區(qū)域都可以化為基本函數(shù)，其原函數(shù)很容易求得.解區(qū)域D如圖6可分為D1uD2,其中域x1,0y2.接求得，以至于不能現(xiàn)當我們把積分區(qū)域被積函數(shù)在每一個積由公式（3）則2利用變量變換法計算x2y2D1,D21x10yx21x1yyx2dxdyx2dxdyx7ydxdyDD1D2121x2-51dxx2,yXdy1dx0Xydy-3定理1設f（x,y）在有界區(qū)域D上可積，變換T:xxu,v,yy

5、u,v,將u,v平面按段光滑封閉曲線所圍成的區(qū)域一對一地映成x,y平面上的區(qū)域D,函數(shù)xu,v,yu,v在內(nèi)分別具有一階連續(xù)偏導數(shù)且它們的雅克比行列式Ju,v匕0,u,v.則u,vf(x,y)dfxu,v,yu,vJu,vdudv(4)D(4)式叫做二重積分的變量變換公式，2.1根據(jù)被積函數(shù)選取新變量使被積函數(shù)簡化當被積函數(shù)較為復雜，這時可以考慮利用變量變換化被積函數(shù)為簡單函數(shù)，原積分區(qū)域相應的轉化為新的積分區(qū)域，進而利用公式進行計算.xy例4求exydxdy,其中D是由x0,y0,xy1所圍曲線（圖7）D分析由于被積函數(shù)含有e的指數(shù)，且較為復雜，這時可以考慮替換變量，簡化被積函數(shù)，如果做替換

6、T:uxy,vxy.在變換T作用下區(qū)域D的原像如圖8所示，根據(jù)二重積分的變量變換公式,積分計算就簡單了.所以解做變換T:1212u,vexydxdyD-1evdudv2u1vduevdu0v1vee1dv02.2根據(jù)積分區(qū)域選擇新變量計算二重積分當被積函數(shù)比較簡單，積分區(qū)域卻比較復雜時，可考慮積分區(qū)域，若有ufx,y,vgx,y且mun,v，則把xy平面上的積分區(qū)域D對應到uv平面上簡單的矩形區(qū)域，然后根據(jù)二重積分的變量變換公式（4）進行計算.例5求拋物線y2mx,y2nx和直線yx,yx所圍區(qū)域D的面積D.分析D的面積Ddxdy.實際是計算二重積分Ddxdy,其被積函數(shù)很簡單,但是積分區(qū)域2

7、卻比較復雜，觀察積分區(qū)域不難發(fā)現(xiàn)m,nx解D的面積DdxdyD作變換所以ux-T:v,m,nvyuDdxdy=dudvdvnudu=m3X22例6求3-dxdy.D:xy1,xy3,yx,y3x所圍區(qū)域.dyxy2T: u xy, v ,它把xy平面上的區(qū)域D對 x分析積分區(qū)域的處理與上題類似，可以做變量替換應到uv平面上的矩形區(qū)域解令xy2yx在變換T作用下，區(qū)域D的原像13vu,v1u3,1v3,Ju,v所以3x23dyxydxdy1133du21Ldudvdv一2一2ln2.vuv3v11vvuv32.3利用極坐標變換計算二重積分當被積函數(shù)含有f x2 y2y形式或積分區(qū)域的邊界曲線用極

8、坐標方程來表示比較x方便，如圓形與圓形區(qū)域的一部分,可考慮用極坐標變換,02xrcos-T:,0yrsin這個變換除原點和正實軸外是一一對應的（嚴格來說極坐標變換在原點和正實軸上不是一對一的,但可以證明公式(1)仍然成立)，其雅可比行列式為r.(1)如果原點0D,且xy平面上射線常數(shù)與積分區(qū)域D的邊界至多交于兩點，則必可表示為r1則有fx,ydxdyDrifrcos,rsinrdr(5)那么則有那么類似地，若xy平面上的圓r常數(shù)與積分區(qū)域D的邊界至多交于兩點，則必可表小為(2)(3)分析如果原點如果原點計算Ifx,ydxdyD2rdrr1rfrcos,rsindr(6)O為積分區(qū)域D的內(nèi)點,D

9、的邊界的極坐標方程為rrfx,ydxdy0Dfrcos,rsinrdrO在積分區(qū)域D的邊界上，則fx,ydxdydDfrcos,rsinrdr(8)J,其中D為圓域:xy觀察到積分區(qū)域為圓域，被積函數(shù)的形式為f(x2y2),且原點為D的內(nèi)點，故可采用極坐xrcos0r1標變換T:x，0,可以達到簡化被積函數(shù)的目的.yrsin,02解作變換則有例8計算二重積分xT:yrcosrsin,0,011rdr0,1r2丁r2：d:d2ydxdy,其中D是由直線x2,y0,y2,以與曲線D的平面區(qū)域.而22,2yy2所圍成積分區(qū)域D與D1據(jù)極坐標變換簡化區(qū)域，口為半圓區(qū)故原式DiydxdyDDidxdy0

10、4,Di:0ydxdy2sin2sinrsinrdr08sin4d3212cos221cos222.4利用廣義極坐標變換計算一些二重積分與極坐標類似，作如下廣義極坐標變換:arcos,0brsin,0并且雅可比行列式Ju,vabr同樣有fx,ydxdyfarcos,brsinabrdrdD(9)22例9計算Icjl1T看dxdy,其中Dx,y0ybj1,0分析根據(jù)給出被積函數(shù)和積分區(qū)域的形式，我們可以確定采用廣義極坐標變換arcos,0r1,可以達到簡化積分區(qū)域和被積函數(shù)的目的.brsin,0一2作廣義極坐標變換xarcos,0T:ybrsin,0Ju,vabr由（9）22Dc13y2dxdy

11、02doc-1r2abrdrabco2dr.1r2drabc063某些特殊函數(shù)的計算3.1 利用積分區(qū)域的對稱性簡化二重積分的計算如果D可以分為具有某種對稱性（例如關于某直線對稱，關于某點對稱）的兩部分Di和D2,那么有如果fx,y在Di上各點處的值與其在D2上各對稱點處的值互為相反數(shù)，那么fx,yd0D如果fx,y在D1上各點處的值與其在D2上各對稱點處的值恒相等，那么fx,yd2fx,yd2fx,ydD2D1例10計算 x2ydxdy,其中D為雙曲線x2 y2 D分析 首先根據(jù)題意，在坐標系中劃出積分區(qū)f x,y x2y為x的偶函數(shù)，另一方面D關于y軸 D1在D2上各點處的值與其在D2上各

12、對稱點處的 為累次積分計算.解 積分區(qū)域如圖11所示：D1為D在第一象1與 y 0, y1所圍成區(qū)域.O域，觀察到對稱，且f x, y在 值恒相等，然后再化限內(nèi)的部分，D關于y軸對稱，又fx,yx2y為x的偶函數(shù)，由對稱性有2211xydxdy2xydxdyDDi宜選擇先對x后對y的積分次序i2dyx2ydx故原式2211xydxdy2xydxdyDDi3y2 2dyZi 153.2 分段函數(shù)和帶絕對值函數(shù)的二重積分計算分段函數(shù)：首先畫出被被積函數(shù)和積分區(qū)域的圖形，然后根據(jù)分段函數(shù)表達式將積分區(qū)域劃分成若干個子區(qū)域，是在每個子區(qū)域上的被積函數(shù)的表達式是唯一的，最后再由性質(zhì)加以討論.被積函數(shù)帶絕

13、對值時，首先去掉絕對信號，同樣也將積分區(qū)域劃分成若干個子區(qū)域，使每個子區(qū)域上被積函數(shù)的取值不變號.例ii求x2y24dxdy,其中D為x2y29圍成的區(qū)域.D分析被積函數(shù)表達式含有絕對值，為了去掉絕對值符號，應將積分區(qū)域分成使得x2y240及x2y240的兩部分，在兩部分上分別積分后，再相加.解為去絕對信號，將D分成若干個子區(qū)域，即22Di:x2y24D2：4xy9在Di內(nèi)x2y244x2y2在D2內(nèi)x2y24x2y24故原式224.xy4dxdyD/22,22,4xydxdyxy4dxdy,DiD2利用極坐標計算有,222,2,24xydxdy0d04rrdr84 rdr252Di22xy4dxdyD2故原式825也例12求 f x, y