多元微分法與運用

1、主要內(nèi)容主要內(nèi)容平面點集平面點集和區(qū)域和區(qū)域多元函數(shù)多元函數(shù)的極限的極限多元函數(shù)多元函數(shù)連續(xù)的概念連續(xù)的概念極限運算極限運算多元連續(xù)函多元連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)數(shù)的性質(zhì)多元函數(shù)概念多元函數(shù)概念全微分全微分的應用的應用高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)隱函數(shù)隱函數(shù)求導法則求導法則復合函數(shù)復合函數(shù)求導法則求導法則全微分形式全微分形式的不變性的不變性方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)全微分全微分概念概念偏導數(shù)偏導數(shù)概念概念微分法在微分法在幾何上的應用幾何上的應用多元函數(shù)多元函數(shù)的極值的極值二元函數(shù)的極限二元函數(shù)的極限定義定義 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(yxfz = =的定義域為的定義域為),(,000yxPD是其是其 聚點，如果對于任意給定的正數(shù)

2、聚點，如果對于任意給定的正數(shù)e e，總存在正數(shù)，總存在正數(shù) d d，使得對于適合不等式，使得對于適合不等式 d d - -+ +- -= = 20200)()(|0yyxxPP 的一切點，都有的一切點，都有e e 0， P0 的去心的去心d d 鄰域鄰域 U(P0, d d )。 在在U(P0, d d )內(nèi)，函數(shù)內(nèi)，函數(shù)),(yxfz = =的圖形總在平面的圖形總在平面e e+ += = Az及及e e- -= = Az之間。之間。0lim( )PPf xA= =. )() ( 0PPAxf以以某某種種方方式式趨趨于于Axfyyxx= =)(lim00Ayxfyyxx= = =),(lim0

3、0) (0Px軸軸沿平行沿平行Ayxfyyxx= = =),(lim00) (0Py軸軸沿平行沿平行) )( (000Pxxkyy- -+ += =沿沿Ayxfxx= =),(lim0000)(yxxky- -+ +確定極限不存在的方法：確定極限不存在的方法：二元函數(shù)的連續(xù)性二元函數(shù)的連續(xù)性定義定義定義定義注意注意：二元函數(shù)可能在某些孤立點處間斷，也可能：二元函數(shù)可能在某些孤立點處間斷，也可能 在曲線上的所有點處均間斷。在曲線上的所有點處均間斷。在在定義區(qū)域內(nèi)的定義區(qū)域內(nèi)的連續(xù)點求極限可用連續(xù)點求極限可用“代入法代入法”：)()()(lim000定義區(qū)域定義區(qū)域 = =PPfPfPP閉區(qū)域上連

4、續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上上至少取得它的最大值和最小值各一次至少取得它的最大值和最小值各一次在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在上取得兩個不同的函數(shù)值，則它在D上取上取得介于這兩值之間的任何值至少一次得介于這兩值之間的任何值至少一次（1 1）最大值和最小值定理）最大值和最小值定理（2 2）介值定理）介值定理偏導數(shù)的定義偏導數(shù)的定義),(yxfz = =xyxfyxxfxfxyyxx - - + += = = = =),(),(lim0000000)

5、,(00yxfx= =yyxfyyxfyfxyyxx - - + += = = = =),(),(lim0000000),(00yxfy= =xyxfyxxfxfx - - + += = ),(),(lim0),(yxfx= =yyxfyyxfyfx - - + += = ),(),(lim0),(yxfy= =時，時，求求 xf 只要把只要把 x 之外的其他自變量暫時看成之外的其他自變量暫時看成常量，對常量，對 x 求導數(shù)即可。求導數(shù)即可。時，時，求求 yf 只要把只要把 y 之外的其他自變量暫時看成之外的其他自變量暫時看成常量，對常量，對 y 求導數(shù)即可。求導數(shù)即可。注意：注意：有關(guān)偏導數(shù)

6、的幾點有關(guān)偏導數(shù)的幾點說明說明：、 求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求；求分界點、不連續(xù)點處的偏導數(shù)要用定義求； 22( , ),xxzzfx yxxx = ),(22yxfyzyzyyy= = = = 2( , ),xyzzfx yyxx y = ).,(2yxfxyzyzxyx= = = = 混合偏導混合偏導高階偏導數(shù)高階偏導數(shù)二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為二階及二階以上的偏導數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導數(shù)高階偏導數(shù). .( 注意注意：混合偏導數(shù)相等的條件：混合偏導數(shù)相等的條件)全微分的定義全微分的定義. yBxAdz + + = =如果函數(shù)如果函數(shù)),(yxfz = =在點在點),(yx的全增量的

7、全增量 ),(),(yxfyyxxfz- - + + + += = 可以表示為可以表示為 ： )(r royBxA z+ + + + = = ， 其中其中BA,不依賴于不依賴于yx 、而僅與而僅與yx、 有關(guān)，有關(guān)， 22)()(yx + + = =r r，則稱函數(shù)，則稱函數(shù) ),(yxfz = = 在點在點 ),(yx 可微分，可微分，yBxA + + 稱為函數(shù)稱為函數(shù) ),(yxfz = = 在點在點),(yx的的全微分全微分，記為，記為dz ，即，即 .dyyzdxxzdz + + = = 全微分形式不變性全微分形式不變性多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導、可微的關(guān)系函數(shù)可

8、微分函數(shù)可微分函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù) 偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)連續(xù)偏導數(shù)存在偏導數(shù)存在)(,()(,(0000000yyyxfxxyxfzzyx- -+ +- -= =- -切平面上點的切平面上點的豎坐標的增量豎坐標的增量的全微分的全微分在點在點函數(shù)函數(shù)),(),(00yxyxfz = =因為曲面在因為曲面在M處的切平面方程為處的切平面方程為:),(yxfz = =在在),(00yx的全微分，表示的全微分，表示曲面曲面),(yxfz = =在點在點),(000zyx處的處的切平面上的點的豎坐標的增量切平面上的點的豎坐標的增量.uv1、z x 型型復合函數(shù)求導法則復合函數(shù)求導法則.dxdvvzdxduuzdx

9、dz + + = =).( ),( ),(xvxuvufz = = = =.dxdwwzdxdvvzdxduuzdxdz + + + + = =以上公式中的導數(shù)以上公式中的導數(shù) 稱為稱為dtdzuvw型型 xz特殊地特殊地),(yxufz = =),(yxu = =,xfxuufxz + + = = .yfyuufyz + + = = 其中其中ywwzyvvzyuuzyz + + + + = = xwwzxvvzxuuzxz + + + + = = zwvuyx2、z uvxy型型,xvvzxuuzxz + + = = .yvvzyuuzyz + + = = ).,( ),(),(yxvyxu

10、vufz = = = =0),(. 1= =yxF.yxFFdxdy- -= =隱函數(shù)的求導法則隱函數(shù)的求導法則0),(. 2= =zyxF.zyFFyz- -= = ,zyFFyz- -= = = = =0),(0),(vuyxGvuyxF3.,),(),(1vxGFJxu - -= = ,),(),(1xuGFJxv - -= = ,),(),(1vyGFJyu - -= = .),(),(1yuGFJyv - -= = vGuGvFuFvuGFJ = = = =),(),(常用方程兩邊常用方程兩邊求導法求導法微分法在幾何上的應用微分法在幾何上的應用一、空間曲線的切線與法平面一、空間曲線的

11、切線與法平面1.1.設(shè)空間曲線的方程設(shè)空間曲線的方程 = = = =).(),(),(tztytx ; ),(00000ttzyxM= =對應于對應于設(shè)設(shè)曲線在曲線在M0 點的點的切向量切向量： )( ),( ),( 000tttT = =過過 M0 點處的點處的法平面方程法平面方程：0)()()(000000= =- - + +- - + +- - zztyytxxt 過過M0 點的點的切線方程切線方程：.)()()(000000tzztyytxx - -= = - -= = - -,)()(100000 xzzxyyxx - -= = - -= =- -. 0)()()(00000= =-

12、 - + +- - + +- -zzxyyxxx 法平面方程為：法平面方程為：2.2.空間曲線方程為空間曲線方程為, )()( = = =xzxy .)( ),( , 1 00 xxT = =曲線在曲線在 M0(x0, y0, z0) 點處的切向量：點處的切向量：切線方程：切線方程：,)()(100000 xzzxyyxx - -= = - -= =- -. 0)()()(00000= =- - + +- - + +- -zzxyyxxx 法平面方程為：法平面方程為：切線方程：切線方程：曲線在曲線在 M0(x0, y0, z0) 點處的切向量：點處的切向量：3.3.空間曲線方程為空間曲線方程為

13、, 0),(0),( = = =zyxGzyxF).( ),( , 1 00 xzxyTxx = =( 方程兩邊求導法求：方程兩邊求導法求：)(0 xzx ),(0 xyx 二、曲面的切平面與法線二、曲面的切平面與法線1. 1. 若曲面方程為若曲面方程為0),(= =zyxF曲面在點曲面在點M(x0, y0, z0) 的的切平面方程：切平面方程：0)()()(000= =- -+ +- -+ +- -zzMFyyMFxxMFzyx法線方程：法線方程：.),(),(),(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx- -= =- -= =- -),(),(),( 00000

14、0000zyxFzyxFzyxFnzyx= =曲面在曲面在 M (x0, y0, z0) 處的處的法向量法向量2. 2. 若曲面方程為若曲面方程為).,(yxfz = =曲面在曲面在M處的處的切平面方程：切平面方程：,)(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx- -= =- -+ +- -曲面在曲面在M處的處的法線方程：法線方程：.1),(),(0000000- - -= =- -= =- -zzyxfyyyxfxxyx.1 ),( ),( 0000- -= =yxfyxfnyx曲面在曲面在 M (x0, y0, z0) 處的處的法向量法向量方向?qū)?shù)方向?qū)?shù).),(),(lim

15、0r rr ryxfyyxxflf- - + + + += = 定義定義的方向?qū)?shù)的方向?qū)?shù)沿方向沿方向限為函數(shù)在點限為函數(shù)在點的極限存在，則稱這極的極限存在，則稱這極時，如果此比時，如果此比趨于趨于沿著沿著比值，當比值，當之之兩點間的距離兩點間的距離與與函數(shù)的增量函數(shù)的增量lPPlPyxPPyxfyyxxf + + = = - - + + + +22)()(),(),(r r記為記為方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)方向?qū)?shù)梯梯 度度. ),( jyfixfyxfgrad + + = =三元函數(shù)的梯度三元函數(shù)的梯度. ),(kzfjyfixfzyxfgrad + + + + = =多元函數(shù)的極值多元函

16、數(shù)的極值多元函數(shù)的極值多元函數(shù)的極值駐點駐點極值點極值點注意：注意：, 0),(= =yxfx0),(= =yxfy條件極值拉格朗日乘數(shù)法條件極值拉格朗日乘數(shù)法 = = = = = = =. 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(, 0),(tzyxtzyxtzyxFtzyxFtzyxFtzyxFtzyx 求解方程組求解方程組練練 習習 題題1.1.3.3. , , ), ,(22222yxzyzxzyxyfz = =求求設(shè)設(shè)2.2. )( ),(222222xzfyxyxfz + + += =，求求具具有有二二階階導導數(shù)數(shù)設(shè)設(shè))(二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)f.lim)2(

17、 ,)(lim)1( 2200 xyyxyxxxyyxyx+ + +- - 求極限求極限4.4.)( . , ), ,(2223二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)求求設(shè)設(shè)fyxzyzxyxyfxz = =5.5. , 2yxzezyxz = =+ + +求求設(shè)設(shè)練練 習習 題題6.求極值。求極值。yxyxyxyxfln10ln4),( 22- - -+ + += =設(shè)設(shè)的最短距離的最短距離之間之間與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222= =- -+ + += =zyxyxz7.1.1.解：解：201 (1) lim(1), (2) lim.yxyxxxyy yxyxexy+ + + +求極限求

18、極限2201lim(1)yxyexxyxee+ + += =xyyxyx+ + lim )2( + += = xyyx11lim. 0= =2.2. )( ),(222222xzfyxyxfz + + += =，求求具具有有二二階階導導數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)解：解：令令,2222yxyxu+ + += =).( ufz = =則則z uxyz型型xududfxz = = ).22(2xxyf+ + = = fxxyxxz + + = = )22(222uxyz型型f xfxxyxxyxf + + + + = =)22()22(22 fxxyxxz + + = = )22(222uxyz型型f xfxxyxx

19、yxf + + + + = =)22()22(22 + + + + = =xudufdxxyyf)22()22(22)22()22()22(222xyxfxxyyf+ + + + + + = =.)1(4)1(2222fyxfy + + + + += =2.2. )( ),(222222xzfyxyxfz + + += =，求求具具有有二二階階導導數(shù)數(shù)設(shè)設(shè)解：解：3.3. , , ), ,(22222yxzyzxzyxyfz = =求求設(shè)設(shè))(二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)f解解: :令令,xyu = =; yv = =).,( vufz = =則則記記,1uff = = ,12211ufuff

20、 = = = = ,2vff = = vfvuff = = = = 1212,12222vfvff = = = = .2221ufuvff = = = = 二階偏二階偏導連續(xù)導連續(xù)z uvxy型型1f uvxy型型2f uvxy型型解解: :令令,xyu = =; yv = =).,( vufz = =則則xuufxz = = ,1fy = =z uvxy型型vfyuufyz + + = = ,21ffx + + = =3.3. , , ), ,(22222yxzyzxzyxyfz = =求求設(shè)設(shè))(二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)f)(122f yxxz = = xfy = =1xuufy =

21、=1.112fy = =)(2122ffxyyz + + = = yffxy + + = =21)(yfyfx + + = =21 + + + + + + = =vfyuufvfyuufx2211 22211211ffxffxx + + + + + + = =.22212112ffxfx + + + + = =)(12f yyyxz = = yfyf + + = =11 + + + + = =vfyuufyf111).(12111ffxyf + + + + = =1f uvxy型型2f uvxy型型4.4.)( . , ), ,(2223二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)求求設(shè)設(shè)fyxzyzxyxy

22、fxz = =解解: :令令,xyu = =;xyv = =).,( 3vufxz = =則則記記,1uff = = ,12211ufuff = = = = ,2vff = = vfvuff = = = = 1212,12222vfvff = = = = .2221ufuvff = = = = 二階偏二階偏導連續(xù)導連續(xù)fuvxy型型 yvufxyz 3),(= = yfx = =3)(3yvvfyuufx + + = =)1(213xfxfx + + = =.2214fxfx + + = =4.4.)( . , ), ,(2223二二階階偏偏導導數(shù)數(shù)連連續(xù)續(xù)求求設(shè)設(shè)fyxzyzxyxyfxz

23、= =解解: :令令,xyu = =;xyv = =).,( 3vufxz = =則則 yfxfxyz 221422 + + = = yyfxfx2214 + + = = yfxyfx + + = =2214)()(222114yvvfyuufxyvvfyuufx + + + + + + = =)1()1(2221212114xfxfxxfxfx + + + + + + = =,222123115fxfxfx + + + + = =2112ff = = yvufxyz 3),(= = yfx = =3)(3yvvfyuufx + + = =)1(213xfxfx + + = =.2214fxf

24、x + + = = + + + + + + = =xfxfxxfxfx22221414)()(+ + + + + + = = 411413xvvfxuufxfx + + + + + + 22222xvvfxuufxfx+ + - - + + = = 421211413xyfyfxfx - - + + + + 22222122xyfyfxfxxyzyxz = = 22)(2214fxfxx + + = =.2422114213 fyfyxfxfx - - + + + + = =+ + - - + + = = 421211413xyfyfxfx - - + + + + 22222122xyfyfx

25、fx+ + - - + + = =122114134fyxfyxfx2221222fyfyxfx - - + + + + + + + + + = = 411413xvvfxuufxfx + + + + + + 22222xvvfxuufxfx5.5. , 2yxzezyxz = =+ + +求求設(shè)設(shè)解解: :設(shè)設(shè),),(zezyxzyxF- -+ + += =則則:, 1= =xF, 1= =yF,1zzeF- -= =zxFFxz- -= = ze- - -= =11,11- -+ + += =zyxzyFFyz- -= = ze- - -= =11,11- -+ + += =zyx5.5.

26、 , 2yxzezyxz = =+ + +求求設(shè)設(shè)解解: : - -+ + + = = 112zyxyyxz),(yxzz = =2)1()1(- -+ + + + +- -= =zyxyz3)1(- -+ + + + +- -= =zyxzyxzxFFxz- -= = ze- - -= =11,11- -+ + += =zyx的最短距離的最短距離之間之間與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222= =- -+ + += =zyxyxz6.求極值。求極值。yxyxyxyxfln10ln4),( 22- - -+ + += =設(shè)設(shè)7.6.求極值。求極值。yxyxyxyxfln10ln4),(

27、22- - -+ + += =設(shè)設(shè)解解:函數(shù)的定義域：函數(shù)的定義域：00| ),( yxyxDxyxfx42- -+ += =yyxfy102- -+ += =令令, 0= =, 0= =解得解得),35 ,34( ),35 ,34( ),2 , 1( ),2 , 1(- - - - -其中只有其中只有D )2 , 1(是駐點。是駐點。,422xfxx+ += =, 1= =xyf.1022yfyy+ += =點處，點處，在在 )2 , 1( , 06 = =A, 1= =B,29= =C, 0262 = =- - ACB因此，在因此，在(1, 2)處取得極小值處取得極小值. 2ln107)2

28、 , 1(- -= =f6.求極值。求極值。yxyxyxyxfln10ln4),( 22- - -+ + += =設(shè)設(shè)解解:函數(shù)的定義域：函數(shù)的定義域：00| ),( yxyxD的最短距離的最短距離之間之間與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222= =- -+ + += =zyxyxz7.解：解：,),(22上任一點上任一點為拋物面為拋物面設(shè)設(shè)yxzzyxP+ += =,022dzyxP的距離為的距離為到平面到平面= =- - -+ +則則:.2261- - -+ += =zyxd設(shè)設(shè).)22(61),(2- - -+ += =zyxzyxu則問題就是在條件則問題就是在條件022= =-

29、- -yxz下，下，求求2)22(61),(- - -+ += =zyxzyxu的最小值。的最小值。解：解：設(shè)設(shè).)22(61),(2- - -+ += =zyxzyxu則問題就是在條件則問題就是在條件022= =- - -yxz下，下，求求2)22(61),(- - -+ += =zyxzyxu的最小值。的最小值。構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)),()22(61),(222yxzzyxzyxF- - -+ +- - -+ += = 的最短距離的最短距離之間之間與平面與平面求旋轉(zhuǎn)拋物面求旋轉(zhuǎn)拋物面2222= =- -+ + += =zyxyxz7. = =- - -= =+ +- - - -+ += = =

30、 =- - - -+ += = = =- - - -+ += = )4( , 0)3( , 0)2)(22(31)2( , 02)22(31)1(, 02)22(31 22yxzzyxFyzyxFxzyxFzyx 令令.81= =z構(gòu)造函數(shù)構(gòu)造函數(shù)),()22(61),(222yxzzyxzyxF- - -+ +- - -+ += = 由由 (1), (3) 得得,41= =x由由 (2), (3) 得得,41= =y代入代入 (4) 得得),81 ,41 ,41(即得唯一可能的極值點即得唯一可能的極值點.647241414161min= =- - -+ += =d值一定存在，值一定存在，根據(jù)

31、題意，距離的最小根據(jù)題意，距離的最小處取得最小值處取得最小值故必在故必在)81 ,41 ,41(.81= =z由由 (1), (3) 得得,41= =x由由 (2), (3) 得得,41= =y代入代入 (4) 得得),81 ,41 ,41(即得唯一可能的極值點即得唯一可能的極值點例：例：解：解：., 0),(,sin, 0),(),(2dxduzfxyzexzyxfuy求求且且，具有一階連續(xù)偏導數(shù)具有一階連續(xù)偏導數(shù)設(shè)設(shè) = = = = ,ffdyfdzdudxxy dxz dx=+=+,cosxdxdy= =顯然顯然,dxdz求求得得的的導導數(shù)數(shù)兩兩邊邊求求對對,0),(2xzexy= =

32、,02321= = + + + + dxdzdxdyexy 例例 已知曲面的方程為已知曲面的方程為,sinxyxz = =證明：曲面上任一證明：曲面上任一點處的切平面通過某一定點。點處的切平面通過某一定點。解解:設(shè)曲面上任一點為設(shè)曲面上任一點為 M ( x0, y0, z0 ) .sinsincos,xyyyyzxxxxxx =-=- sincos,yyyzxyxx = 解解:曲面在點曲面在點 M ( x0, y0, z0 ) 處的法向量為處的法向量為 1 ,cos ,cossin 00000000- - -= =xyxyxyxyn切平面方程切平面方程:0)()(cos)(cos(sin000

33、00000000= =- - - -+ +- - -zzyyxyxxxyxyxy曲面在點曲面在點 M ( x0, y0, z0 ) 處的法向量為處的法向量為: 1 ,cos ,cossin 00000000- - -= =xyxyxyxyn切平面方程切平面方程:0)()(cos)(cos(sin00000000000= =- - - -+ +- - -zzyyxyxxxyxyxy0)sin(cos)cos(sin000000000000= =- -+ +- -+ +- -xyxzzxyyxxyxyxyM ( x0, y0, z0 ) 是曲面上的點，是曲面上的點，因此，因此，0000sin0 .

34、yzxx- -= =切平面方程切平面方程:. 0cos)cos(sin00000000= =- -+ +- -zxyyxxyxyxy因此，曲面上任一點處的切平面均通過原點因此，曲面上任一點處的切平面均通過原點 (0, 0, 0)。設(shè)常數(shù)設(shè)常數(shù) ，平面，平面 通過點通過點 ，且在三坐標軸上的截距相等，在平面且在三坐標軸上的截距相等，在平面 位于第一位于第一卦限部分求一點卦限部分求一點 ，使函數(shù)，使函數(shù): : 在點在點 取得取得最小值。最小值。 （1010分）分）0a (4 , 2 ,3 )aaa- -000(,)P xyz31(, )u xy zxyz= =000(,)P xyz考考 題題 選選 編編 1xyzDDD+ + += =由題設(shè)條件得：由題設(shè)條件得：Da= =解：設(shè)平面解：設(shè)平面的方程為：的方程為： 平面平面 的方程為：的方程為：xyza+ + += =因為：因為：所以：所以： 31(, )u xy