抽象函數的奇偶性周期性對稱性

1、抽象函數的周期性與對稱性知識點梳理抽象函數的對稱性定理1.假設函數yf(x)定義域為R，且滿足條件:f (a x)f(bx)，那么函數f(X)的圖象關于直線推論1.假設函數yf (x)定義域為R，且滿足條件:f (a x)f (ax)，那么函數f (x)的圖像關于直線x a對稱。推論2.假設函數yf (x)定義域為R，且滿足條件:f(x)f (2ax),那么函數f (x)的圖像關于直線x a對稱。定理3.假設函數y f (x)定義域為R，那么函數y f (a x)與yf(bb ax)兩函數的圖象關于直線 x 亠上2推論推論定理對稱由1.函數y2.函數y4.假設函數稱。b x可得。f(xf (a

2、a)與函數yx)與函數yy f (x)定義域為推論.函數y f (a x)與函數yf(a x)的圖象關于直線xf(a x)的圖象關于直線xR，那么函數y f(af (b x)圖象關于點x)與ya對稱。0對稱。c f (b x)的圖象關于點(,0)對稱。總結：x的系數一個為1，一個為-1，相加除以2,可得對稱軸方程推論3.假設函數y f(x)定義域為R，且滿足條件：f (ax)f (ax)，又假設方程f(x)0有n個根，那么此n個根的和為na。定理2.假設函數yf (x)定義域為 R，且滿足條件:f (ax)f(bx) c a,b,c為常數，那么函數y f (x)的圖象關于點(£,C)

3、對稱。:2推論1.假設函數y f(x)定義域為R,且滿足條件：f(ax)f(bx)0成立，那么y f(x)的圖象關于點(旦b,0)對稱。2推論2.假設函數y f (x)定義域為R，且滿足條件：f (ax)f (ax)0 a為常數，貝U函數y f(x)的圖象關于點(a,0)對稱?？偨Y：x的系數一個為1，一個為-1，f(x)整理成兩邊，其中一個的系數是為1，另一個為-1，存在對稱中心。、抽象函數的周期性定理5.假設函數y f(x)定義域為R，且滿足條件f(a x) f(x b)，那么y f(x)是以T a b為周期的周期函數。推論1.假設函數y f(x)定義域為R，且滿足條件f (a x) f (

4、x b)，那么 y f (x)是以 T 2(a b)為周期的周期函數。推論2.假設函數滿足條件f x,那么叮=2xa (x)是以T 2a為周期的周期函數。推論3.假設函數滿足條件f x,貝<=4 af (x)是以T 4a為周期的周期函數。 x定理7.假設函數yf (x)的圖象關于直線x a與x b(ab)對稱，那么y f (x)是以T 2(b a)為周期的周期函數。定理8.假設函數yf (x)的圖象關于點(a,0)與點(b,0)(a b)對稱，那么yf(x)是以T 2(b a)為周期的周期函數。定理9.假設函數yf (x)的圖象關于直線 x a與 點(b,0)(ab)，那么 yf(x)是

5、以T 4(b a)為周期的周期函數。總結：x的系數同為為1,具有周期性。R上的函數f(x)滿足:f(x) f(x + 2) = 13, f (1)=2,那么 f (99)=()A. 1313C.72D.132.奇函數f (x)在區(qū)間3,7上是增函數，且最小值為5,那么函數f (x)在區(qū)間乙一3上()A. 是增函數且最小值為-B. 是增函數且最大值為-C. 是減函數且最小值為-D. 是減函數且最大值為-3 .函數f (x + 1) 是 奇函數,f(x 1)是偶函數，且 f (0) = 2,那么 f(4)=4. 對于定義在 R上的函數f(x)，有下述四個命題，其中正確命題的序號為 假設f(x)是奇

6、函數，那么f(x 1)的圖象關于點A(1,0)對稱； 假設對x R,有f(x + 1) = f (x 1)，貝U y= f(x)的圖象關于直線 x = 1對稱; 假設函數f(x 1)的圖象關于直線 x= 1對稱，那么f(x)為偶函數； 函數y = f(1 + x)與函數y= f(1 x)的圖象關于直線 x= 1對稱.2x + b5. 定義域為 R的函數f(x)=奇函數.2 十a(1)求a、b的值； 假設對任意的t R,不等式f(t2 2t)十f(2t2 k)<0恒成立，求k的取值范圍.6 設函數f(x)的定義域關于原點對稱，且滿足f(Xl)f(X2)+ 1 f(X1-X2)= f(X2)

7、- f(X!)； 存在正常數a,使f (a) = 1.求證：(1) f(X)是奇函數；(2) f(X)是周期函數，并且有一個周期為4a.1、假設函數2X X bX c對一切實數都有 f (2 + X) = f (2 X)那么B.f (1)<f (2)< f(4)定義在實數集 R上，那么函數B.直線x=0A.f (2)<f (1)< f(4)2、設函數y= f (x)A.直線y=0定義為R的函數f x滿足f x f xX24，那么 f X1 f X2 的值恒小于0 B.恒大于0 函數y= f(x)是定義在實數集 關于直線x= 5對稱D.f (4)<f (2)<

8、 f(1)y= f (x 1)與y= f (1 x)的圖象關于對稱。C.直線y=1,且函數f x在區(qū)間2 ,C.f (2)<f (4)< f(1)D.直線x=1上單調遞增如果X12 X2，且X1A.4、A.C.可能為R上的函數，那么B.關于直線D.可正可負y = f(X + 4)與 y = f(6 x)的圖象之間D X = 1對稱C.關于點5, 0對稱D.關于點1, 0對稱5、設 f(x)是定義在 R上的函數，且滿足 f(10 + x) = f(10 x) , f(20 x) = f(20 + x)，貝U f(x)是A.偶函數，又是周期函數C.奇函數，又是周期函數B.偶函數，但不是

9、周期函數D.奇函數，但不是周期函數函數f(x)是定義在實數集f(f(5)的值是2R上的不恒為零的偶函數,且對任意實數X都有 xf (X 1)(1 x) f (x)，那么A.01B.-2C.1A.8、f x丨.7在數列1 x1 3xB.C.D.3定義域為X1x21,Xn 2XnXn(nN*)，那么 X100=R,且對任意xR都有-，假設 f 2 1 . 2那么 f(2022)=X10、f(x)是R上的偶函數，對 xR都有f(x + 6)=f(x)，貝V f20042+ f(3)成立，假設 f(1)=2，那么 f(2022)=11、函數f(X)在R上有定義，且滿足f(x)是偶函數，且f 02005

10、, g x f x 1是奇函數，那么f 2005的值為12、設f(x)是定義在 R上的偶函數，且f(1+x)= f(1 x),當一K x< 0時，f (x)=丄x,那么f (8.6 ) =213、設f(x)是定義在區(qū)間(，)上且以2為周期的函數，對k Z，用Ik表示區(qū)間(2k 1,2k 1),當2x I。時，f(x) x .求f (x)在Ik上的解析式.參考答案：1、假設函數f2 b對一切實數都有f (2 + x) = f (2 x)那么T x x bx CA.f (2)<f (1)< f(4)B.f (1)<f (2)< f(4)C.f (2)<f (4)

11、< f(1)D.f (4)<f (2)< f(1)答案：A。2、設函數y= f (x)A.直線y=0定義在實數集 R上，那么函數B.直線x=0y= f (x 1)與 y= f (1C.直線y=1x)的圖象關于對稱。D.直線x=13、定義為R的函數f x滿足f4 ,那么f X1 f X2的值B.恒大于04 ,且函數f x在區(qū)間2,上單調遞增.如果x12 x 2，且x1 x2A.恒小于0答案Ao分析：圖象關于點2,0對稱.f x在區(qū)間 把該函數想象成是奇函數向右平移了兩個單位C.可能為D.可正可負2,上單調遞增，2 x24 x1在區(qū)間fx2f4X1 ,又由fxf x 4 .，有

12、f(4x1) fx14f x14 4f x1f x2f X1f4x1f x1f x104、函數y= f(x)是定義在實數集R上的函數，那么y = f(x+ 4)與y = f(6 x)的圖象之間DA.關于直線x =5對稱B.關于直線X = 1對稱C.關于點5,0對稱D.關于點1, 0對稱,2上也單調遞增.我們可以，且函數在 2, 上單調遞增，所以y = f(x + 4)與 y = f(6 x)之間關于點6 4/2 , 0f x1答案：Db中心對稱，5、設 f(x)A.偶函數，C.奇函數，答案：Co6、定義在解：據復合函數的對稱性知函數 應選 Do是定義在R上的函數，且滿足 又是周期函數 又是周期

13、函數即1, 0R上的非常數函數滿足:B.D.f(10 + x) = f(10 x) , f(20 x) = f(20 + x)，那么 f(x)是 偶函數，但不是周期函數 奇函數，但不是周期函數f (10+x)為偶函數，且 f (5 x) = f (5+x),B.是偶函數，但不是周期函數D.是奇函數，但不是周期函數那么f (x) 一定是A.是偶函數，也是周期函數C.是奇函數，也是周期函數答案：A.解：T f (10+x)為偶函數， f (10+x) = f (10 x). f (x)有兩條對稱軸x 是以10為其一個周期的周期函數，7、函數f(X)是定義在實數集是奇=5 與 x =10 , x =

14、0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數。 R上的不恒為零的偶函數，且對任意實數x都有xf (x1)因此f (x)(1 x)f(x)，那么5f(f()的值是21A.0B.21答案：A。解析：令x 丄，那么2C.1由 xf(x 1)(1 x) f (x)得1 1 1 1 1 1J(1) 2f( 1) 2f(2)f(1)0 ;令0，那么 f(0)0構造函數F x5 f -028、f x1 x f x ff X , f2 Xf f1 x ，fn 1 XT fn Xf1 XT1 3x 丨.1B. 一C. 31 A.D.3775，貝V f200421 x答案：A。分析：由f X，知f

15、1 x1 3xf(x)為迭代周期函數，故f3n x f x ,X 1rr X 1f2 XfX , f3 X3x 13x 1f2004 Xf X ,f20042f 2-7所以9、 在數列 Xn中， Xi X2 1, Xn 2 Xn 1 X“( n N*)，那么 Xioo=答案：1。f X 1廠10、 y f X定義域為R,且對任意X R都有f X 1 廠代，假設f 2 1血那么f(2022) =_答案：-1-、,2。11、 f(X)是R上的偶函數，對 X R都有f(X + 6)=f(x) + f(3)成立，假設f(1)=2，貝U f(2022)= 答案：2.12、 函數f(X)在R上有定義，且滿足f(X)是偶函數，且f 02005, g x f x 1是奇函數，那么f 2005的值為答案：0.函數關于 1,0和X 0對稱，周期為4f 2005 f 1 f 10。113、設 f(X)是定義在 R上的偶函數，且 f(1+X)= f(1 X),當K X< 0 時，f (x) = x,那么 f (8.6 ) =2解：T f(x)是定義在R上的偶函數 x = 0是y = f(x)對稱軸；又/ f(1+x)= f(1 x) x = 1 也是 y = f (x)對稱軸。故y=f(x)是以2為