數(shù)分第一章總練習答案

1、1設a,b為實數(shù)，證明： maxa,b min a, b-(a b a b )；-(a b a b)2證因為1(a b2a b)所以 max a, b總練習a,當a b時， 1a,當a b時,b當a b時.許 b la b)b,當a b時.-(a b a b )； min a,b21-(a b a b)2、設f和g都是D上的初等函數(shù)定義 M (x) max f (x), g (x) , m(x) min f (x), g(x) , x D .試問M (x)和m(x)是否為初等函數(shù)？解:因為 M (x)1 f (x)2g(x) f (x)g(x)1f(x) g(x) V f (x) g(x)22

2、所以M(x)是由初等函數(shù)f和g經(jīng)四那么運算和有限次復合而成的函數(shù)故M(x)是初等函數(shù).1iI2又因為 m(x) 2f(x) g(x) lf(x) g(x)2f(x) g(x) Vf(x) g(x)所以m(x)也是由初等函數(shù)f和g經(jīng)四那么運算和有限次復合而成的函數(shù)，從而m(x)是初等函數(shù).3、設函數(shù)f (x)求：f (0),f(x) , f (x 1), f(x)1 1 2帀，f(x),f(f(x).解：f (0)1;f( x)1)dxf(x) 1f()x1f(x);f(x2) 12xx7 ; f(f (x)1 x21 x ;1 x1_x x1 x4、f)X1、1 X2X |x2加1丨1解：f(

3、x) 1XX5、利用函數(shù)y x求解:a)某系各班級推選學生代表，每5人推選一名代表，余額滿3人可增選1名,寫出 可推選代表人數(shù)y與班級學生數(shù)x之間的函數(shù)關(guān)系(假設每班學生數(shù)為30 50 人)；b)正數(shù)經(jīng)四舍五入后得正數(shù)y,寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系.解:(1)因余額滿3人可增選1名，也就是說可在原來根底上增加2人后取整，于是 由x定義知y x 0.5.6、函數(shù)y f (x)的圖形，試作出以下各函數(shù)的圖形(1) yf (x);(2) yf( x)；(3) yf ( X) ；(4)yf(x)； ysgn (f (x) ;(6)1y - f (x)f(x);(7) y1-f (X)f(x)解:yf (

4、x)和 yf (x)的圖形關(guān)于X軸對稱y f( x)和yf (x)的圖形關(guān)于y軸對稱 y f( x)和yf (x)的圖形關(guān)于原點對稱 y |f(x)|f(X)，X D1Xf(X) 0，f (X)，x D2 X f (x)0，1， X y sg n(f(x)= 0, X1, x1 y 一| f(x)| f(x)21 y -| f(x)|f(x)D1x|f (x)0D2X|f (X)0D3X|f(x)0f (X)， x D1 x| f(x) 00，x D2 x| f(x) 00，xD1x|f(x)0f(x)， xD2x|f(x)0它們的圖象如圖1-14一 圖1-167、函數(shù) f 和 g 的圖象 ,

5、 試作出以下函數(shù)的圖形 :(1) y max f (x), g(x);(2) y min f (x), g(x); 解 (1),(2) 的圖形如圖 1-17 和圖 1-188、設 f 、 g 和 h 為遞增函數(shù)， 證明：假設 f(x) g(x) h(x),x ( , )，那么 f(f(x) g(x) h(h(x) .證 由題設條件，有 f( f (x) f (g(x) g(g(x) h(g(x) h(h( x) ， 因而 f(f (x) g(x) h(h(x) .9. 設f、g為區(qū)間(a,b)上遞增函數(shù)，證明(x) max f (x), g(x)和(x)minf(x),g(x)都是(a, b)

6、上的遞增函數(shù).證 對任意的為出(a,b),XiX2 ,由f、g在(a,b)上遞增知f(X2)f(xj ,g(X2)g(xj，因之(X2)f(X2)f(xj， 區(qū))g(X2) g(xj.從而(X2)max f (Xi),g(Xi)(xj,即(x)在(a,b)上是遞增函數(shù).同理可證 (x)在(a, b)上是遞增函數(shù).f為a,a上的奇(偶)函數(shù),證明：假設f在0,a上遞增，那么f在a,0上遞增(減).證 : 當 f(x) 為 奇 函 數(shù) 時 , 對 任 意 的 x1,x2 a,0, x1 x2 , 有 x1 , x2 0, a 且為x2 .而 f ( xjf (x1) , f ( x2) f(x2)

7、,從而有 f ( xj f( x2),即f (x1) f (x2),所以f (x)在a,0上是遞增的.當 f (x) 為偶函數(shù)時 , 類似地可以證明結(jié)論成立 .：(1) 奇函數(shù)與奇函數(shù)之和仍為奇函數(shù)(2) 偶函數(shù)與偶函數(shù)之和仍為偶函數(shù);(3) 奇函數(shù)與偶函數(shù)的乘積是奇函數(shù);(4) 奇函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù);(5) 偶函數(shù)與偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù).證:只證(1) 、(3) ，其余可以類似地證明 .設 f1 , f2 為 D 上的奇函數(shù) , g1 , g2 為 D 上的偶函數(shù) . 令F(x)f,(x) f2(x),那么對任意的x D ,F( x) f1( x)f2( x)f1(x) ( f2(x

8、) f1(x) f2(x) F(x)所以F(x)f1 (x) f2(x)是D上的奇函數(shù). 令G(x) fx) g! (x),那么對任意的x D,G( x) f1( x) g1( x)f1(x) g1(x)G(x)所以G(x)fjx) gx)是D上的奇函數(shù).f , g為D上有界函數(shù)證明 : inf f(x) g(x) xDinf f (x) supg(x) x DxDsup f (x)xDixnfD g(x)sup f(x) supg(x) . xDx D證: 對任意 x D , 由于 inf f(x)xDf(x), ixnfD g(x) g(x)所以 inf f(x) inf g(x) f(x

9、)g(x),x DxD故 inf f(x) inf g(x) inf f (x) x Dx Dx Dg(x)(1)由不等式 (1) 又有 inf f (x)g(x)inf g(x) inf f(x) g(x) g(x)xDxDxD所以 inf f (x)g(x) inf f(x)x DxDinf( g(x) inf f (x) supg(x)x Dx Df (x)同理有 inf f (x)g(x)xDsup f (x)a inf g(x) x DxD對任意 x D , 由于 f (x)sup f (x), g(x) supg(x),x DxD所以 f (x) g(x) sup f (x) su

10、pg(x)xDx D故 supf(x) g(x) supf(x) supg(x) (2)x Dx Dx D由不等式 知 sup f (x) g(x) f (x) sup f(x) g(x) sup( f (x)x Dx Dx D所以 sup( f (x) supg(x) sup f (x)g(x)x Dx Dx D即 inf f (x) supg(x) sup f(x) g(x)sup f(x) g(x)x D同理有 sup f (x) inf g(x)x Dx D13.設f , g為D上有界函數(shù)，且f (x)0,g(x)0證明：inf f (x) inf g(x) inf f (x) g(x

11、) sup f (x) g(x) x Dx Dx DxDsup f (x) supg(x)x D證:(1)x D只證第一個和第三個不等式xD,由 in f g(x) g(x),且 f (x)0,g(x)0,所以 in f f(x) in f g(x) f (x) g(x),x Dx Dx D故infx Df(x) inf g(x) inf f(x) g(x),x Dx D同理可以證明 sup f (x) g(x) sup f (x) supg (x)x Dx Dx D(2)第二個不等式顯然成立0 ,)上的函數(shù)到整個實數(shù)軸上，使所得的函數(shù)為(I )奇函數(shù)(n )偶函數(shù).設1.1 x2 , 0 x

12、 1(1)f (x) sin x1(2) f(x)3x,1 xsin x1,0x解:(1)令 fo(x)0 ,x0sin x1,x 0sinx 1, 0 xsin x 1,x 0那么fo (x)是奇函數(shù)，fe (x)是偶函數(shù)，且都是f (x)延拓.(2)令 fo (x)11 x21 x21x3fe(x)13x那么fo (x)是奇函數(shù),fe (x)是偶函數(shù),且都是f (x)延拓.注：一般地令fo(x)f(x), 0 x0, x 0, fe(x)f(x), x 0f (x) , 0 xf ( x) , x 0那么fo(x)是R上的奇函數(shù)，fe(x)是R上的偶函數(shù)，且都是f (x)的延拓.f為定義在(，)上以h為周期的函數(shù).證明：假設f在a, ah上有界，那么f在(,)上有界證：因為f 在a , ah上有界，從而存在M0,對任意的x a , ah,有 f(x) M .對任意的y (,),一定存在整數(shù)k及xa , a h使 y khx.于是 f(y) f(kh x) f (x) M所以f在(，)上有界f在區(qū)間I上有界，記Msup f (x),x Im infx If(x)證明：sup f (x) f (x )x ,x If (x