數(shù)學(xué)建模作業(yè)(同名13689)

1、摘要本文通過建立優(yōu)化模型， 探討了在行走時每秒走幾步做功做小的問題。因為人在行走時做的功是抬高人體重心所需勢能與兩腿運動所需動能之和。而人在行走時重心升高可視作是一個定值，所以我們可以通過調(diào)節(jié)步速來控制兩腿運動所需動能。在我們?nèi)粘Ｉ钪校诵凶呤巧俨涣说?。建立這個模型的目的就是要解決人要以怎樣的步速才能使人在單位時間內(nèi)做 功最少。必須先分析重心的升高量和人在單位時間內(nèi)做的功。再以物理和數(shù)學(xué)知識求解。對于問題一，為證明人體重心在行走時升高的高度與人體腿長和步長的關(guān)系，通過應(yīng)用數(shù)學(xué)中的三角函數(shù)得到高度與腿長和步長的關(guān)系式，在此使用matlab軟件得到了上升高度與腿長與步長的關(guān)系式。另外為證明了重心

2、上升高度和腿長和步長的關(guān)系式與題目要求吻 合，我們用到了放縮的數(shù)學(xué)思想。對于問題二，首先要將實際問題轉(zhuǎn)化成物理問題，再利用角動量定理和微元法對單位時間內(nèi)所需動能進(jìn)行了計算。對于問題三，為證明在速度v一定的條件下，每秒行走步數(shù)n時做功最小，我們先通過 計算得出所需能量的表達(dá)式， 根據(jù)觀察表達(dá)式的形式，利用均值不等式證明了結(jié)果的正確性。對于問題四，是在假設(shè)質(zhì)量集中在腳部時所建立數(shù)學(xué)模型，同樣利用均值不等式證明了結(jié)果的正確性。另外，我們給出了不同身高范圍的人20秒內(nèi)做功最小時的行走歩數(shù)，例如身高在160-170 cm，每20秒行走64步最好。我們進(jìn)一步地運用了matlab對最優(yōu)步數(shù)與多走一步或少走一

3、步所消耗的能量進(jìn)行了分析與比擬，并通過能量因數(shù)的相關(guān)分析，對人在行走時歩數(shù)的調(diào)整給出了建議。關(guān)鍵詞優(yōu)化模型放縮微元法均值不等式最優(yōu)步數(shù)參考表一問題的重述人行走時作的功是抬高人體重心所需勢能與兩腿運動所需動能之和。請嘗試建立數(shù)學(xué)模型，在勻速行走的條件下，討論每秒走幾步作功最小，并且討論以下問題。1. 設(shè)人的腿長為I,步長為s,證明人體重心在行走時升高2. 將腿看作均勻直桿，行走看作退繞腰部的轉(zhuǎn)動。設(shè)腿的質(zhì)量m，行走速度V，證明單位時間所需動能為 mv2|6s。3. 設(shè)人體質(zhì)量為 M，證明在速度v 一定時每秒行走n J'Mg步作功最小。實際上，V 4mlM/m4， l1m，分析此結(jié)果是否合

4、理。假設(shè)腿的質(zhì)量集中在腳部，行走看作腳的直線運動。證明結(jié)果應(yīng)為4.此結(jié)果是否合理。二問題的背景和分析2.1背景分析人的身體在每時每刻都在消耗能量，人在靜止不動時，也會由于生命活動消耗一局部能量，而在非靜止?fàn)顟B(tài)消耗的能量就會更大。因此，人在步行時消耗的能量就分為生理的和物理的兩局部。為了使人做最小的功行走更長的路程，下面就簡單分析一下在不考慮生理耗能的情況下，人應(yīng)該以怎樣的步頻才能在單位時間內(nèi)消耗的能量最少。而人在單位時間內(nèi)消耗的能量也就是人行走時所作的功，即抬高人體重心所需勢能與兩腿運動所需動能之和。2.2問題一的分析對于問題一，觀察圖可得，可有三角形邊與角的關(guān)系利用三角函數(shù)可以計算出行走時重

5、的一元二次方程，通過使用心最高與最低的狀態(tài)，通過整理式子可得到重心高度變化值matlab軟件計算出的值，可發(fā)現(xiàn)值的平方比擬小，因此在計算值時可以利用放縮的 數(shù)學(xué)思想進(jìn)而得到重心升高值，證明了問題一的正確性。 2.3問題二的分析對于問題二，將腿看作均勻直桿，行走視為腿繞腰部的轉(zhuǎn)動，我們將得到腿的轉(zhuǎn)動慣量，另在行走速度一定的情況下，我們可以得到角速度，單位時間內(nèi)所需動能即為單位時間 內(nèi)腿的轉(zhuǎn)動動能。2.4問題三的分析對于問題三，人體質(zhì)量與腿的質(zhì)量之比接近一定值。利用物理學(xué)定理我們可以得到單位時間內(nèi)使身體重心升高所作的功，及其與單位時間內(nèi)所需動能之和，便是人在單位時間內(nèi)消耗的能量，利用均值不等式得到

6、n的表達(dá)式，證明問題三的正確性。然后2.5問題四的分析對于問題四，腿的質(zhì)量集中在腳部， 行走過程看作是腳的直線運動，利用動能定理可以得到單位時間內(nèi)走路所需動能，同樣利用勢能定理可以得到身體重心升高所做的功，兩者相加，便是人在單位時間內(nèi)消耗的能量，可以使用跟問題三同樣的處理方法均值不等式得到最小步數(shù)n的表達(dá)式三模型的假設(shè)1. 假設(shè)人體的重心在人體的位置保持不變，并且人在步行時是做勻速運動的。2. 假設(shè)在步行過程中保持步長是一定的，而且在步行過程中路面是相對平坦的。四符號說明I腿的轉(zhuǎn)動慣量co角速度s步長v人體行走速度M人體質(zhì)里g重力加速度重心升高的高度l腿的長度n每秒行走步數(shù)m腿的質(zhì)量Wc兩腿行

7、走所需動能W S重心抬高需要的勢能W總功五模型的建立與求解5.1模型一的建立與求解根據(jù)題目要求，可近似理解人腿關(guān)系如以下列圖一所示：腿長，步長，重心高度可構(gòu)成直角三角圖一 考慮到人體腿長和步長與身體重心升高的關(guān)系， 形，利用三角函數(shù)可列關(guān)系式如下：l COS21sin解上式方程可得:2 212通過matlab軟件解得的非常小，可忽略不計，那么由21可得由此可證明問題一是正確的。5.2模型二的建立與求解I 1mMgsvMg n&假設(shè)將腿看做均勻直桿，腿部的運動可看做繞腰部轉(zhuǎn)動。那么，腿的轉(zhuǎn)動慣量為:角速度為：j1 .2 ml3v步頻為：I那么單位時間內(nèi)腿的轉(zhuǎn)動動能為：nv 1 s1W1j

8、22n3 mv6s由此可證明問題二是正確的。5.3模型三的建立與求解一般情況下，人體質(zhì)量與腿的質(zhì)量之比接近一定值a,即aMm4并且即單位時間內(nèi)使身體重心升高所做的功：W2因為所以WMgsv3 mv8I6s由此可知各項都為正，利用均值不等式得當(dāng)且僅當(dāng)時成立，即WW1W22vMgsmv2 Mg mn8I v6s8In6W2 Mmg48IMgmn8In6n3Mgn :4mI所以當(dāng)v 一定時,3Mg4ml可使w最小。假設(shè)腿的質(zhì)量集中在腳步，行走看作腳的直線運動,Mg。要求我們證明nV 4ml在此假設(shè)下，走一步的動能為Ek1 2mv2重力勢能為Ep MgMgs281單位時間內(nèi)做功為WnEknEp1 2n mv2Mgs28l將s -帶入得W - mvn2Mgv28nl由數(shù)學(xué)根本不等式得，當(dāng)n mv2弊時做功最小，解得n鶉。此時做功為W，呼，當(dāng) M 4,1m1 m時，n 3.16，即每秒內(nèi)行走3.16步。由問題三的統(tǒng)計數(shù)據(jù)可知步長大約為50 cm ，那么此時步速為v 1.58 m s，與調(diào)查結(jié)果比擬后發(fā)現(xiàn)此結(jié)果相對合理。六、模型的評價本文所建立的模型，思路清晰明了、簡單易懂，但也存在一定的不足之處，模型稍顯理想化，這個模型建立在有一定局限性的假設(shè)基礎(chǔ)上，會與實際情況在一定程度上產(chǎn)生偏差。模型一較為接近于實際，但求解所得到的結(jié)果與實際情況不太符合