數學建模課后答案

1、第一章4.“椅子能在不平的地面上放穩(wěn)嗎的假設條件中，將四腳的連線呈正方形改為長方形，其余不變。試構造模型并求解。答：相鄰兩椅腳與地面距離之和分別定義為 f (a)和g (a)。f和g都是連續(xù)函 數。椅子在任何位置至少有三只腳著地，所以對于任意的 a，f (a)和g(a)中至少 有一個不為零。不妨設g(0)0, f(0) 0。當椅子旋轉90。后，對角線互換，f ( n /2 0,g( n /2) 0。這樣，改變椅子的位置使四只腳同時著地。就歸結為證明如下的數學命題：f(a)和g(a)是a的連續(xù)函數，對任意 a, f (a) g(a) 0,且g(0) f ( n /? 0，f (0) 0,g( n

2、 /2 0。證明存在 a。，使 f(a。) g(a。)0證：令 h(a) f (a)g(a),那么 h(0)0和 h( n /2)0，由f和g的連續(xù)性知h也是連續(xù)函數。根據連續(xù)函數的根本性質，必存在 a° 0v a vn /2 丨使 h(a°) 0，即 f() g(a°) 0因為 f(ao)?g(a°)0，所以壯玄)g(a°)05.人、番、雞、米分別記為2 1,乙4仁當在此岸時記r嚴1.否卯記二山那么此岸的伏態(tài)可審*蘭(工“心巧心)表示"記s的反狀態(tài)為= (1-斗，1" Xj _, 1 Xj) 1 允許狀態(tài)集合為 S =l)

3、t(LOTLl)t(l,OJrO)及它 f的 5 個反狀態(tài) I.決策為乘船方案*記作叭皿“旳，如人當；在船上時記叫=1*否那么記 %=0,允許決策集合為 D = |( ltbOfO>(l ,03,0,0,0,0, Dt(bOtO,O)l 記第k次渡河前此岸的狀態(tài)為第k次渡河的決策為d, Ml狀態(tài)轉移律 為 m 珥一 1)4 設計平安過河方案歸結為求決策序列乩dad D,使狀東J*S按狀態(tài)轉滾律由初始狀態(tài)5! - )經料步到達匚“= (UXhUW) 個可存方案如下：k1345e j78d><J JJ4)(】E,0)(OJ.OJ)(L0,0,0)(LhOJ) (】oo(OJOO)

4、(LOJ.O)(ij,ho)(leLO.O)(0,04,0) (LO.OW(i.oj.o)(kOJ4)(0,0,0,0)(1) 設想有兩個人一人上山，一人下山同一 7天同時出發(fā)，沿同一路輕，必定相遇*0上(2) 36場比鑒因為除冠軍隊外毎隊都負一場祈輪比賽，因為2隊賽1輪3隊賽5輪，決需賽1場，假設2C川£2蔦 那么羞賽克輪.(3) 不奶設從甲到乙經過丙站的吋刻表是油：00禱；10：20,那么從乙 到甲徑過丙站的時刻表應該£:8：09,B：19,8-29,.(4) 步行了 25分柳設想他的妻了瞬車遇到他厲先帶他去車站，再回家, 汽車參仃駛了 io分鐘于是帶地去車站這段路程汽

5、車跑r 5分鐘而到車站的 附同是600,所以孌子罵車遇到他的時刻是5:55.(5) 放學時小購跑3 km.孩子上學到達學校時小狗的位置不定，因為設 想放學時小狗從任何位賣起跑,都會與孩子同時到家之所以出現位就不定的結 果是由于上學時小那么引始跑動的方向無法確定第二章7.1生產成在主要與重負如成正比包裝本錢主要與外表積第成正比，其 它本錢也包含與M和$成正比的局部*上述三種本錢中都含有與WU均無關的成分.3因為形狀一定時一股有,00儀嚴.故窗品的 和嚴+ ZB/為大于0的常數. 單位車量價格盤+加一耐+ g' ,xc wf簡圖如右顯然G是3的減函數，說明大包裝比小包 裝旳商品廉價；曲線是

6、下乃的，說明單價的減少值隨 著也裝的變大逕逐慚降低的級不要追求太大包裝的商 品亠價格可表為c十V10.用尺寸的矩形板材加工半徑一定的圓盤，給出幾種簡便有效的排列方 法，使加工出盡可能多的圓盤。40.設圓盤半輕為單位-矩形板材長"寬旅町女精確加工卩圓盤之間及圓盤與板林之間均町相切*方案一：圓盤中心按正方形拮列，如圖3*圓盤總數為N嚴切山方案二：圓盤中心按六角形排歹山如圖氛行數w淸足2 + 協-于是心詈U3000 0334列數按圖4第1行計數“滿足:假設門為奇數，那么各行圓盤數相同為“ -1/2;假設切為偶數，那么奇數行圓盤數為刃/2,偶數行圓盤數為M/2-1.圓盤總數為“2 =加6 -

7、 1/2,協為偶數m6-l/2 + l/2,枷為奇數，6為偶數.NJN)035810142042124/4«/710/914/1320/1973/36/612/1115/1421/2030/29105/510/1020/1825/2335/3350/48157/M14/1628/2835/3649/5270/762010/1120/2240/3950/5070/72100/105當aJ校大時方案二優(yōu)于方案一.其它方案:方案一、二混合假設“" = 20,3行正方形加8行六角形，圓盤總教為106.2.貯存蜃gQ的圖形如右單位時間總費 用使心到達最小 值的最優(yōu)周期T.岳罠;經相當

8、于不考慮生產的情況當kr時，r f 8,第三章5. 根據最優(yōu)定價模型考慮本錢隨著銷售量的增加而減少，那么設q(x) q。kx (1)k是產量增加一個單位時本錢的降低，銷售量X與價格p呈線性關系x a bp,a,b 0(2)收入等于銷售量乘以價格p : f(x) px(3)利潤 r(x) f (x) q(x)(4)將123代入4求出2r(x) bp pa kbp q0 ka當a,b,q0,k給定后容易求出使利潤到達最大的定價p*為* qo ka ap 一2 2kb 2b6. 根據最優(yōu)定價模型f(x) px x是銷售量p是價格，本錢q隨著時 間增長，q qo t,為增長率，qo為邊際本錢單位本錢。

9、銷售量 與價格二者呈線性關系x a bp,a,b 0.利潤u(x) f (x) q(x) 假設前一半銷售量的銷售價格為pi，后一半銷售 量的銷售價格為P2。前期利潤u(pi)T/20 Piq(t)(abp1)dt后期利潤U(P2)TP2T/2 2q( t)(abp2)dt總利潤Uu(pOU(P2)由-U 0,丄0可得到最優(yōu)價格：PiP21Ti3 TPia b(q。)P2a b(q。)2b42b4前期銷售量° (a bpjdt后期銷售量T/2(a P2)dt總銷售量 Q。二aT bT(Pi P2)2在銷售量約束條件下U的最大值點為aQoT aQoTPi, P2bbT8bbT87.(1)

10、雨水淋遍全身，s 2(ab bc ac) 2*(1.5*0.5 0.5*0.2 1.5*0.2) 2.2m2以最大速度跑步，所需時間tmin d/vm 1000/5 200s(2)頂部淋雨量Q1bcdwcos /v雨速水平分量usin ,水平方向合速度usin v迎面淋雨量 Q2 abdw(usinv)/uv總淋雨量 Q Q1 Q2當V Vm時,Q最小，0,Q 1.15L;30。，Q 1.55L合速|u s inv |bdw cu cosu(usi nQ uvbdw cucos a(v usin )vv)bdw u(ccosa sin ) av,v uvbdw u(ccosa sin) av,

11、v uvu sinusin假設 ccos a sin 0 ，即 ta nc/a ,那么v usin 時Q最小,否那么 v vm 時 Q 最小，當30, , tan 2/15,v 2m/ s,Q 0.24L 最小廠eitan 4 %諭11I一CFmin a卩Gviw av(4) 雨從反面吹來，滿足 tan c/a(a 1.5m,c 0.2m,7.6。，v us in ,Q最小，人體反面不淋雨，頂部淋雨。(5) 側面淋雨，本質沒有變化第四章1. 1設證券A B C D E的金額分別為 Xi, X2,X3, X4, X5MaxO.0430.027x20.025x30.022x40.045x5st.X

12、2X3X44XiX2X3X4X5102x12 x2X3X45X51.4，即 6X16x2 4x3 4x436x59x115x2 4x3 3x4 2x5X1X2X3X4X55,即 4x1 10x2 X3 2x4 3x50X1X2X3X4X5X1,X2,X3, X4,X5即證券A. C+ E分別投資2J82百萬元,7.364百萬元,0.454百萬無隔 尢稅后收益為0298百萬元. 由1)可知，假設資金增加100萬元，收益增加0.0298百萬元，大于以2.75% 的利潤借到100萬元資金的利息，所以應該借貸。投資方案需要將上面模型第二 個約束右端改為11，求解得：證券A，C, E分別投資2.40百萬

13、元，8.10百萬元， 0.50百萬元，最大稅后收益為0.3007百萬元。 由1可知，證券A的稅前收益可增加0.35%，假設證券A的稅前收益增加 為4.5%，投資不應改變。證券 C的稅前收益可減少0.112%,故假設證券C的稅 前收益減少為4.8%，投資應該改變。y1,z1分別是產品A是來自混合池和原料丙的噸數，y2,Z2分別是產品B中是來自混合池和原料丙的噸數；混合池中原料甲乙丁所占的比例分別為 X1,X2,X4,優(yōu)化目 標是總利潤最大，Max 9 一 0才-16點 2 一加出15 6心16工廠 15乞加 * 9_ 10冷+ 15 - 10約束杲件為：1原料最大供給盾舉制±斗 +曲&

14、#167;502產品最大需求最限制綁+引宀+鳳M2003產品量大含硫量限制：對產甜仏口迢勺亠即3知十比*4-25 -J1 * 窒 L0.5乂 W0對產品B，類似可得九 F- 1.5yz+0.504其他fit制*心十心=丨心"“川*引泗用LINGO求解得到結果為：x:=x4 = 0.5,j: = zi = 100其余為典目標函 數值為450-7.記b=290,315,350,455為4種產品的長度，n=15,28,21,30為4種產品的產品的需求量，設第i種切割模式下每根原料鋼管生產 4種產品的數量分別為1,23山,該模式使用Xj次，即使用該模式切割Xi根原料鋼管:i=1,2,3,4且

15、切 割模式次序是按照使用頻率從高到低排列的。1產品數懾*另弒片3%= 1*2*3呂i “2切割模式:引人0-！變量x = i表示使用第i種模式弟二。表示冷使用(1 = 143-4),1 750y 乂 阮0 850u(/=h2J.4)j «dvW 工(! = L2,3,4)j iy. j-r3Dy(i = 1,2,3,4)y*(Cy(i = 1,2,3)g 崔兀(i - 1»2»3)3為了減少搜索空間引人的約東；便用的恿料鋼管不町能少于 '£曲 850_ ；一根原料鋼管最多住產5根產品，便用的原料鋼管不可能少 廠I于丿5 所以優(yōu)化目標為Min(工：+ 0.1 京乂 y)j-i用LINGO求解Z和q均為整數)得到：只便用3種切割模式，分別便用9,7.3 (次)：毎根原料鈉管用第1種模式生產4種產品各1,2刀,2(根人用第2種模式 生產4種產品各0,131(根)，用第3種模式生產4種產品a2fU0,2(M)；fl 標函數值為19+6.第五章di-si i,i(0) io1、 1SIR模型dt,s(t)曲線單調遞減。竺 si, s(0) so dt