311空間向量及其加減運(yùn)算312空間向量的數(shù)乘運(yùn)算

1、3.1.1空間向量及其加減運(yùn)算3.1.2空間向量的數(shù)乘運(yùn)算基礎(chǔ)鞏固IJI£HUGONGGLI=1.已知空間四邊形1.已知空間四邊形1.已知空間四邊形ABC師,G為CD的中點(diǎn)，則示Q(茹+瀛)等于1T(A)-(B)(A)-(B)(A)-(B)(C)-BC(D)解析：時(shí)+2(BD+網(wǎng))=仙+X(2BG)="NG=".故選A.2. 下列命題中正確的個(gè)數(shù)是(A)若a與b共線,b與c共線，則a與c共線;向量a,b,c共面，即它們所在的直線共面；若allb,則存在唯一的實(shí)數(shù)入,使a=入b.(A)0(B)1(C)2(D)3解析:當(dāng)b=0時(shí),a與c不一定共線，故錯(cuò)誤；中a,b,c

2、共面時(shí)，它們所在的直線平行于同一平面，不一定在同一平面內(nèi)，故錯(cuò)誤；當(dāng)b為零向量,a不為零向量時(shí)，入不存在.故選A.在平行六面體ABCDEFGH中，若G=x"-2y此+3”氣則x+y+z等于(C)L分-FDAL分-FDAL分-FDAr：(A)(B)(C)(D)1ii解析：Ag=/?+AD+dh,則x=1,y=-Mz=3,故選C.3. 已知空間向量a,b,且扁=a+2b,瀛=-5a+6b,擊=7a-2b，則一定共線的三點(diǎn)是(A)(A)A,B,D(B)A,B,C(C)B,C,D(D)A,C,D解析：因?yàn)楸?+擊=2a+4b=2云所以A,B,D三點(diǎn)共線.故選A.若空間中任意四點(diǎn)O,A,B,P

3、滿足部=希+而，其中m+n=1則(A)(A)PAB(B)P?AB(C)點(diǎn)P可能在直線AB上(D)以上都不對(duì)解析：因?yàn)閙+n=1所以m=1-n,所以=(1-n)+n,即茄-辦=n(ok辦),即用=再，所以4P與羸共線.又有公共起點(diǎn)a,所以P,A,B三點(diǎn)在同一直線上，即PAB.故選A.若a與b不共線，且m=a+b,n=a-b,p=a，則(D)(A)m,n,p共線(B)m與p共線(C)n與p共線(D)m,n,p共面1I解析:由于(a+b)+(a-b)=2a,即m+n=2p即p=m+n,又m與n不共線,所以m,n,p共面.4. 已知i,j,k是不共面向量，a=2i-j+3k,b=-i+4j-2k,c=

4、7i+5j+入k,若a,b,c三個(gè)向量共面，則實(shí)數(shù)入等于(D)626065(A)一(B)9(C)一(D)一解析：因?yàn)閍,b,c三向量共面，所以存在實(shí)數(shù)m,n，使得c=ma+nb,即7i+5j+入k=m(2i-j+3k)+n(-i+4j-2k).L7=65所以”=所以入=7.5. 給出下列命題:若A,B,C,D是空間任意四點(diǎn)，則有扁成減茶=0;|a|-|b|=|a+b|是a,b共線的充要條件；若曲,8共線，則AB/CD對(duì)空間任意一點(diǎn)。與不共線的三點(diǎn)A,B,C,若"/農(nóng)必+占+荻(其中x,y,zR),則P,A,B,C四點(diǎn)共面.其中不正確命題的個(gè)數(shù)是(C)(A)1(B)2(C)3(D)4解

5、析:顯然正確;若a,b共線，則|a|+|b|=|a+b|或|a+b|=|a|-|b|,故錯(cuò)誤；若仙/共線，則直線AB,CD可能重合，故錯(cuò)誤；只有當(dāng)x+y+z=1時(shí),P,A,B,C四點(diǎn)才共面，故錯(cuò)誤.故選C.6. 下列命題: 空間向量就是空間中的一條有向線段；不相等的兩個(gè)空間向量的模必不相等；兩個(gè)空間向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同；向量霖與向量時(shí)的長(zhǎng)度相等.其中真命題有.解析：假命題,有向線段只是空間向量的一種表示形式，但不能把二者完全等同起來. 假命題,不相等的兩個(gè)空間向量的模也可以相等，只要它們的方向不相同即可. 假命題,當(dāng)兩個(gè)向量的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)也相同時(shí)，這兩個(gè)向量必相等但兩個(gè)向量

6、相等卻不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn). 真命題，辦與筋僅是方向相反，它們的長(zhǎng)度是相等的.答案：在直三棱柱ABCAiBC中，若技=a,=b,g=c,則為B=.解析：如圖，TTT='''-TTTtT=-=-(-)=-c-(a-b)=-c-a+b.答案:-c-a+b已知點(diǎn)6是/ABC勺重心,O是空間任一點(diǎn)，若福赫成=入亦，則入的值為.解析：連接CG并延長(zhǎng)交AB于D,則。=矛。，所以-=2(-),TTTjiTT即3勿=2如+此.又2如=出氣所以3，='+；+因此，入的值為3.答案：3有下列命題： 若展II不，則A,B,C,D四點(diǎn)共線;若赤II止則A,B,C三點(diǎn)共線；2I若ei

7、,e2為不共線的非零向量，a=4e3e2,b=-ei+°e2，則a/b;若向量ei,e2,e3是三個(gè)不共面的向量，且滿足等式kiei+k2e2+k3e3=0,則ki=k2=k3=0.其中是真命題的序號(hào)是(把所有真命題的序號(hào)都填上).解析：根據(jù)共線向量的定義，若曲仲氣則AB/C誠(chéng)A,B,C,D四點(diǎn)共線,T-2故錯(cuò);"/"'且AB,AC有公共點(diǎn)A,所以正確；由于a=4e-，e2=|-4-(-ei+i°e2)=-4b,所以aIIb.故正確；易知也正確.答案:如圖所示，已知幾何體ABCDXiBiCD是平行六面體.1T2T-AA.-AB(1)化簡(jiǎn)2+5，并

8、在圖中標(biāo)出其結(jié)果；3設(shè)M是底面ABC囤勺中心,N是側(cè)面BCCB對(duì)角線BC上的彳分點(diǎn)，設(shè)ma=qAz?+6a+丫"】，求a,6,丫的值.2解:(1)取DD的中點(diǎn)G,過點(diǎn)G作DC的平行線GH使GH=DC,連接AH(如圖),-AH1T2f-AA.-AB則+3因?yàn)镸是底面ABCD勺中心,N是側(cè)面BCGB對(duì)角線BC上的分點(diǎn),It3TTTTDB所以*="+'=+'I如圖川為四棱錐PABCD勺棱PC的三等分點(diǎn)，且PH=HQ點(diǎn)G在AH上,AG=mAH0邊形ABC為平行四邊形，若G,B,P,D四點(diǎn)共面，求實(shí)數(shù)m的值.解：連接BD,BG.BTTTTT因?yàn)锳"=8-P仙

9、且占8M,所以.=.''.因?yàn)?="+',所以，=+-=-+'PHI因?yàn)?1T|T一匚TTT所以.=(_+)1 -1T1-PA-PB-PD=-：+：+4i1*1-PA-PB-PD所以'=-.+.+AG因?yàn)?=m,4mtmt根ttt一paPBPD所以=m=-+.+.TTTTTT因?yàn)橐?-+=,'-+,4mmm-TTTP)所以=(1-:)'+(-1)+:又因?yàn)锽,G,P,D四點(diǎn)共面,4m所以1-=0,3即m=.7. 求證:四面體中連接對(duì)棱中點(diǎn)的三條直線交于一點(diǎn)且互相平分.已知：如圖所示，在四面體ABC仲,E,F,G,H,P,Q分別是

10、所在棱的中點(diǎn)求證:EF,GH,PQ相交于一點(diǎn)。，且O為它們的中點(diǎn).證明：因?yàn)镋,G分別為AB,AC的中點(diǎn),1所以EG-BC.1同時(shí),HF'BC,所以EGHF.從而四邊形EGF的平行四邊形，故其對(duì)角線EF,G橋目交于一點(diǎn)O,且O為它們的中點(diǎn).只要能證明向量赤頊,就可以說明P,O,Q三點(diǎn)共線且。為PQ的中點(diǎn).事實(shí)上"=+',.=,+，.因?yàn)镺為GH的中點(diǎn)，所以+=0.11又因?yàn)镚PCD,QHCD,1T1TT-CDT-CD所以,=,=.所以.+.=+.,+:+=0.所以=-.故PQ經(jīng)過。點(diǎn),且O為PQ的中點(diǎn).所以EF,GH,P演目交于一點(diǎn)O,且O為它們的中點(diǎn). 能力提升；N

11、EFIGLITlSMEWG已知正方體ABCCABGD的中心為O,則在下列各結(jié)論中正確的結(jié)論共有（C）。A+OD與喝1+°?！渴且粚?duì)相反向量；OB-OG與彩】-皿是一對(duì)相反向量；赫+亦成+品與。+。珀+。饑+。0是一對(duì)相反向量；源】赫與是一對(duì)相反向量.（A）1個(gè)（B）2個(gè)（C）3個(gè)（D）4個(gè)解析：利用圖形及向量的運(yùn)算可知是相等向量，是相反向量故選C.若P,A,B,C為空間四點(diǎn)，且有房=以晶+6卮則a+6=1是A,B,C三點(diǎn)共線的（C）（A）充分不必要條件（B）必要不充分條件（C）充要條件（D）既不充分也不必要條件解析：若a+6=1,則扇-瀛=6海-商），即弟=6就顯然A,B,C三點(diǎn)共線

12、;若A,B,C三點(diǎn)共線，則存在實(shí)數(shù)入,使、品,故晶-渴=入（疽-品）,TTT整理得小=（1+入）叩-入“''，令a=1+入，3=-入，貝'a+6=1.故選C.已知A,B,C三點(diǎn)共線，則對(duì)空間任一點(diǎn)。，存在三個(gè)不為零的實(shí)數(shù)入,m,n,使入。力+的川+即?！?那么入+m+n的值為解析：因?yàn)锳,B,C三點(diǎn)共線，所以存在惟一實(shí)數(shù)k,使辦=k,即=k(-),所以(k-1)+-k=0,又入赫+面+血=0,令入=k-1,m=1,n=-k,貝U入+m+n=0.答案：0TTf如圖所示，在四面體OABC中,。q=a,E=b*c=c,D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn)，則；=如圖所示，在四面體O

13、ABC中,。q=a,E=b*c=c,D為BC的中點(diǎn),E為AD的中點(diǎn)，則；=為AD的中點(diǎn)，則；=為AD的中點(diǎn)，則；=(用a,b,c表示).01TTTT_AD解析:'='+'；=a+TT£)=a+(-)=a+iII=婦+云x習(xí)品+站iII=a+b+c.i答案:a+b+c探究創(chuàng)新探究創(chuàng)新:TAMJIUC：HUAMG)dN=如圖所示，已知四邊形ABCO平行四邊形，點(diǎn)P是ABCtDf在平面外的一點(diǎn)，連接PA,PB,PC,PD設(shè)點(diǎn)E,F,G,H分別為PAB,APBCAPCDAPDA勺重心.試用向量方法證明E,F,G,H四點(diǎn)共面;試判斷平面EFGK平面ABCD勺位置關(guān)系，并用向量方法證明你的判斷.(1)證明：分別連接PE,PF,PG,PH并延長(zhǎng),交對(duì)邊于點(diǎn)M,N,Q,R，連接MN,NQ,QR,RM,因?yàn)镋,F,G,H分別是所在三角形的重心，2 TT-PM所以M,N,Q,R是所在邊的中點(diǎn)，且PE=3,2T2TTT_PQpp=3PG=3Y2t-PRPH=3由題意知四邊形MNQ屜平行四邊形,所以.：.=+*=(.)+(&q