因式分解的常用方法

1、因式分解的常用方法第一部分：方法介紹多項(xiàng)式的因式分解是代數(shù)式恒等變形的基本形式之一，它被廣泛地應(yīng)用于初等數(shù)學(xué)之中，是我們解決許多數(shù)學(xué)問(wèn)題的有力工具因式分解方法靈活，技巧性強(qiáng)，學(xué)習(xí)這些方法與技巧，不僅是掌握因式分解內(nèi)容所必需的，而且對(duì)于培養(yǎng)學(xué)生的解題技能，發(fā)展學(xué)生的思維能力，都有著十分獨(dú)特的作用初中數(shù)學(xué)教材中主要介紹了提取公因式法、運(yùn)用公式法、分組分解法和十字相乘法本講及下一講在中學(xué)數(shù)學(xué)教材基礎(chǔ)上，對(duì)因式分解的方法、技巧和應(yīng)用作進(jìn)一步的介紹一、提公因式法.：ma+mb+mc=m(a+b+c)二、運(yùn)用公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過(guò)若干個(gè)乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：

2、(1 ) (a+b)(a-b) = a2-b2 -a2-b2=(a+b)(a-b)；(2 ) (ab)2 = a22ab+b2 a22ab+b2=(ab)2；(3 ) (a+b)(a2-ab+b2) =a3+b3- a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(4 ) (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 -a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2)下面再補(bǔ)充兩個(gè)常用的公式：(5)a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；(6)a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；例.已知 是 的三邊，且 ，則 的形狀是（ ）A.直角三角

3、形 B等腰三角形 C 等邊三角形 D等腰直角三角形解： 三、分組分解法.（一）分組后能直接提公因式例1、分解因式： 分析：從“整體”看，這個(gè)多項(xiàng)式的各項(xiàng)既沒(méi)有公因式可提，也不能運(yùn)用公式分解，但從“局部”看，這個(gè)多項(xiàng)式前兩項(xiàng)都含有a，后兩項(xiàng)都含有b，因此可以考慮將前兩項(xiàng)分為一組，后兩項(xiàng)分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式= = 每組之間還有公因式！ = 例2、分解因式： 解法一：第一、二項(xiàng)為一組； 解法二：第一、四項(xiàng)為一組；第三、四項(xiàng)為一組。 第二、三項(xiàng)為一組。解：原式= 原式= = = = = 練習(xí)：分解因式1、 2、 （二）分組后能直接運(yùn)用公式例3、分解因式： 分析：若將第一、

4、三項(xiàng)分為一組，第二、四項(xiàng)分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解，所以只能另外分組。 解：原式= = = 例4、分解因式： 解：原式= = = 練習(xí)：分解因式3、 4、 綜合練習(xí)：（1） （2） （3） （4） （5） （6） 四、十字相乘法.（一）二次項(xiàng)系數(shù)為1的二次三項(xiàng)式直接利用公式 進(jìn)行分解。特點(diǎn)：（1）二次項(xiàng)系數(shù)是1； （2）常數(shù)項(xiàng)是兩個(gè)數(shù)的乘積；（3）一次項(xiàng)系數(shù)是常數(shù)項(xiàng)的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例.已知0 5，且 為整數(shù)，若 能用十字相乘法分解因式，求符合條件的 .解析：凡是能十字相乘的二次三項(xiàng) 式ax2+bx+c，都要求 0而且是一個(gè)完全平方數(shù)。于是 為完

5、全平方數(shù)， 例5、分解因式： 分析：將6分成兩個(gè)數(shù)相乘，且這兩個(gè)數(shù)的和要等于5。 由于6=23=(-2)(-3)=16=(-1)(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有23的分解適合，即2+3=5。 1 2解： = 1 3 = 12+13=5用此方法進(jìn)行分解的關(guān)鍵：將常數(shù)項(xiàng)分解成兩個(gè)因數(shù)的積，且這兩個(gè)因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項(xiàng)的系數(shù)。例6、分解因式： 解：原式= 1 -1 = 1 -6 （-1）+（-6）= -7練習(xí)5、分解因式(1) (2) (3) 練習(xí)6、分解因式(1) (2) (3) （二）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的二次三項(xiàng)式 條件：（1） （2） （3） 分解結(jié)果： = 例7、分解因式： 分析： 1 -2 3

6、 -5 （-6）+（-5）= -11解： = 練習(xí)7、分解因式：（1） （2） （三）二次項(xiàng)系數(shù)為1的齊次多項(xiàng)式例8、分解因式： 分析：將 看成常數(shù)，把原多項(xiàng)式看成關(guān)于 的二次三項(xiàng)式，利用十字相乘法進(jìn)行分解。 1 8b 1 -16b 8b+(-16b)= -8b 解： = = 練習(xí)8、分解因式(1) (2) (3) （四）二次項(xiàng)系數(shù)不為1的齊次多項(xiàng)式例9、 例10、 1 -2y 把 看作一個(gè)整體 1 -1 2 -3y 1 -2 (-3y)+(-4y)= -7y (-1)+(-2)= -3 解：原式= 解：原式= 練習(xí)9、分解因式：（1） （2） 綜合練習(xí)10、（1） （2） （3） （4） 思

7、考：分解因式： 五、換元法。例13、分解因式（1） （2） 解：（1）設(shè)2005= ，則原式= = = （2）型如 的多項(xiàng)式，分解因式時(shí)可以把四個(gè)因式兩兩分組相乘。 原式= 設(shè) ，則 原式= = = = 練習(xí)13、分解因式（1） （2） （3） 例14、分解因式（1） 觀(guān)察：此多項(xiàng)式的特點(diǎn)是關(guān)于 的降冪排列，每一項(xiàng)的次數(shù)依次少1，并且系數(shù)成“軸對(duì)稱(chēng)”。這種多項(xiàng)式屬于“等距離多項(xiàng)式”。方法：提中間項(xiàng)的字母和它的次數(shù)，保留系數(shù)，然后再用換元法。解：原式= = 設(shè) ，則 原式= = = = = = = （2） 解：原式= = 設(shè) ，則 原式= = = = 練習(xí)14、（1） （2） 六、添項(xiàng)、拆項(xiàng)、配

8、方法。例15、分解因式（1） 解法1拆項(xiàng)。 解法2添項(xiàng)。原式= 原式= = = = = = = = = （2） 解：原式= = = = 練習(xí)15、分解因式（1） （2） （3） （4） （5） （6） 七、待定系數(shù)法。例16、分解因式 分析：原式的前3項(xiàng) 可以分為 ，則原多項(xiàng)式必定可分為 解：設(shè) = = = 對(duì)比左右兩邊相同項(xiàng)的系數(shù)可得 ，解得 原式= 例17、（1）當(dāng) 為何值時(shí)，多項(xiàng)式 能分解因式，并分解此多項(xiàng)式。（2）如果 有兩個(gè)因式為 和 ，求 的值。（1）分析：前兩項(xiàng)可以分解為 ，故此多項(xiàng)式分解的形式必為 解：設(shè) = 則 = 比較對(duì)應(yīng)的系數(shù)可得： ，解得： 或 當(dāng) 時(shí)，原多項(xiàng)式可以分解

9、；當(dāng) 時(shí)，原式= ；當(dāng) 時(shí)，原式= （2）分析： 是一個(gè)三次式，所以它應(yīng)該分成三個(gè)一次式相乘，因此第三個(gè)因式必為形如 的一次二項(xiàng)式。解：設(shè) = 則 = 解得 ， =21練習(xí)17、（1） （2） （3） 已知： 能分解成兩個(gè)一次因式之積，求常數(shù) 并且分解因式。（4） 為何值時(shí)， 能分解成兩個(gè)一次因式的乘積，并分解此多項(xiàng)式。第二部分：習(xí)題大全經(jīng)典一：一、填空題1. 把一個(gè)多項(xiàng)式化成幾個(gè)整式的_的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式分解因式。2分解因式： m3-4m= .3.分解因式： x2-4y2= _ _.4、分解因式： =_ _。5.將xn-yn分解因式的結(jié)果為(x2+y2)(x+y)(x-y)，則n的值為

10、 . 6、若 ，則 =_， =_。二、選擇題7、多項(xiàng)式 的公因式是( )A、 B、 C、 D、 8、下列各式從左到右的變形中，是因式分解的是( )A、 B、 C、 D、 10.下列多項(xiàng)式能分解因式的是（ ）(A)x2-y (B)x2+1 (C)x2+y+y2 (D)x2-4x+411把（xy）2（yx）分解因式為（ ）A（xy）（xy1） B（yx）（xy1）C（yx）（yx1） D（yx）（yx1）12下列各個(gè)分解因式中正確的是（ ）A10ab2c6ac22ac2ac（5b23c）B（ab）2（ba）2（ab）2（ab1）Cx（bca）y（abc）abc（bca）（xy1）D（a2b）（3a

11、b）5（2ba）2（a2b）（11b2a）13.若k-12xy+9x2是一個(gè)完全平方式，那么k應(yīng)為（ ）A.2 B.4 C.2y2 D.4y2三、把下列各式分解因式：14、 15、 16、 17、 18、 19、 ； 五、解答題20、如圖，在一塊邊長(zhǎng) =6.67cm的正方形紙片中，挖去一個(gè)邊長(zhǎng) =3.33cm的正方形。求紙片剩余部分的面積。22、觀(guān)察下列等式的規(guī)律，并根據(jù)這種規(guī)律寫(xiě)出第(5)個(gè)等式。經(jīng)典二：因式分解小結(jié)知識(shí)總結(jié)歸納 因式分解是把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，它和整式乘法互為逆運(yùn)算，在初中代數(shù)中占有重要的地位和作用，在其它學(xué)科中也有廣泛應(yīng)用，學(xué)習(xí)本章知識(shí)時(shí)，應(yīng)注意以下幾點(diǎn)。

12、1. 因式分解的對(duì)象是多項(xiàng)式； 2. 因式分解的結(jié)果一定是整式乘積的形式； 3. 分解因式，必須進(jìn)行到每一個(gè)因式都不能再分解為止； 4. 公式中的字母可以表示單項(xiàng)式，也可以表示多項(xiàng)式；5. 結(jié)果如有相同因式，應(yīng)寫(xiě)成冪的形式； 6. 題目中沒(méi)有指定數(shù)的范圍，一般指在有理數(shù)范圍內(nèi)分解； 7. 因式分解的一般步驟是： （1）通常采用一“提”、二“公”、三“分”、四“變”的步驟。即首先看有無(wú)公因式可提，其次看能否直接利用乘法公式；如前兩個(gè)步驟都不能實(shí)施，可用分組分解法，分組的目的是使得分組后有公因式可提或可利用公式法繼續(xù)分解； （2）若上述方法都行不通，可以嘗試用配方法、換元法、待定系數(shù)法、試除法、拆

13、項(xiàng)（添項(xiàng)）等方法； 下面我們一起來(lái)回顧本章所學(xué)的內(nèi)容。 1. 通過(guò)基本思路達(dá)到分解多項(xiàng)式的目的 例1. 分解因式 分析：這是一個(gè)六項(xiàng)式，很顯然要先進(jìn)行分組，此題可把 分別看成一組，此時(shí)六項(xiàng)式變成二項(xiàng)式，提取公因式后，再進(jìn)一步分解；也可把 ， ， 分別看成一組，此時(shí)的六項(xiàng)式變成三項(xiàng)式，提取公因式后再進(jìn)行分解。 解一：原式 解二：原式= 2. 通過(guò)變形達(dá)到分解的目的 例1. 分解因式 解一：將 拆成 ，則有 解二：將常數(shù) 拆成 ，則有 3. 在證明題中的應(yīng)用 例：求證：多項(xiàng)式 的值一定是非負(fù)數(shù) 分析：現(xiàn)階段我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)非負(fù)數(shù)，它們是完全平方數(shù)、絕對(duì)值。本題要證明這個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)數(shù)，需要變形成完全

14、平方數(shù)。 證明： 設(shè) ，則 4. 因式分解中的轉(zhuǎn)化思想 例：分解因式： 分析：本題若直接用公式法分解，過(guò)程很復(fù)雜，觀(guān)察a+b，b+c與a+2b+c的關(guān)系，努力尋找一種代換的方法。 解：設(shè)a+b=A，b+c=B，a+2b+c=A+B 說(shuō)明：在分解因式時(shí)，靈活運(yùn)用公式，對(duì)原式進(jìn)行“代換”是很重要的。中考點(diǎn)撥 例1.在 中，三邊a,b,c滿(mǎn)足 求證： 證明： 說(shuō)明：此題是代數(shù)、幾何的綜合題，難度不大，學(xué)生應(yīng)掌握這類(lèi)題不能丟分。 例2. 已知： _ 解： 說(shuō)明：利用 等式化繁為易。題型展示 1. 若x為任意整數(shù)，求證： 的值不大于100。 解： 說(shuō)明：代數(shù)證明問(wèn)題在初二是較為困難的問(wèn)題。一個(gè)多項(xiàng)式的值

15、不大于100，即要求它們的差小于零，把它們的差用因式分解等方法恒等變形成完全平方是一種常用的方法。 2. 將 解： 說(shuō)明：利用因式分解簡(jiǎn)化有理數(shù)的計(jì)算。實(shí)戰(zhàn)模擬1. 分解因式： 2. 已知： 的值。3. 矩形的周長(zhǎng)是28cm，兩邊x,y使 ，求矩形的面積。 4. 求證： 是6的倍數(shù)。（其中n為整數(shù)） 5. 已知：a、b、c是非零實(shí)數(shù)，且 ，求a+b+c的值。 6. 已知：a、b、c為三角形的三邊，比較 的大小。一、填空：（30分）1、若 是完全平方式，則 的值等于_。2、 則 =_ =_3、 與 的公因式是4、若 = ，則m=_，n=_。5、在多項(xiàng)式 中，可以用平方差公式分解因式的有_ ，其結(jié)果是 _。6、若 是完全平方式，則m=_。7、 8、已知 則 9、若 是完全平方式M=_。10、 ， 11、若 是完全平方式，則k=_。12、若 的值為0，則 的值是_。13、若 則 =_。14、若 則 _。 15、方程 ，的解是_。二、選擇題：