自動控制原理課件自動化學院版本第五章

1、1第五章第五章頻率域方法頻率域方法2頻率法分析的仍然是控制系統(tǒng)的性能，即穩(wěn)定性、快速性、穩(wěn)態(tài)精度控制系統(tǒng)的性能用時域特性度量最直觀，但高階系統(tǒng)的時域特性很難用分析法確定，目前還沒有直接給出時域指標進行系統(tǒng)設(shè)計的通用方法頻率法是一種間接的研究控制系統(tǒng)性能的工程方法，是一種應(yīng)用頻率特性研究線性系統(tǒng)的經(jīng)典方法控制系統(tǒng)中的頻率特性反映了正弦信號作用下系統(tǒng)響應(yīng)的性能3頻域法的基本思想：把控制系統(tǒng)中的所有變量看成一些信號，而每個信號又是由許多不同頻率的正弦信號所合成；各個變量的運動就是系統(tǒng)對各個不同頻率信號的響應(yīng)的總和4設(shè)輸入ur是正弦波，由于電路是線性的，在過渡過程結(jié)束后，輸出uc也是同頻率的正弦波形，

2、利用復(fù)阻抗概念：11crjcUURjc設(shè)ur不是正弦波，則可用富立葉級數(shù)和富立葉變換將輸入分解成許多叫頻率互不相同的正弦函數(shù)之和。對不同頻率的輸入輸出，仍滿足與上式相同的關(guān)系52、控制系統(tǒng)及其元部件的數(shù)學模型（頻率特性）可通過分、控制系統(tǒng)及其元部件的數(shù)學模型（頻率特性）可通過分析法和實驗法獲得；析法和實驗法獲得；頻率法的優(yōu)點1、頻率特性物理意義明確；、頻率特性物理意義明確；按照頻率響應(yīng)的觀點，控制系統(tǒng)的運動是信號在一個個按照頻率響應(yīng)的觀點，控制系統(tǒng)的運動是信號在一個個環(huán)節(jié)之間依次傳遞的過程；環(huán)節(jié)之間依次傳遞的過程；每個信號又由一些不同頻率的正弦信號合成；每個信號又由一些不同頻率的正弦信號合成；

3、在傳遞過程中，這些正弦信號的振幅和相角以嚴格的函在傳遞過程中，這些正弦信號的振幅和相角以嚴格的函數(shù)關(guān)系變化，從而產(chǎn)生形式多樣的運動；數(shù)關(guān)系變化，從而產(chǎn)生形式多樣的運動；與微分方程表示相比，易理解，便于分清主次因素。與微分方程表示相比，易理解，便于分清主次因素。機理復(fù)雜或機理不明而難以列出微分方程的系統(tǒng)機理復(fù)雜或機理不明而難以列出微分方程的系統(tǒng)3、頻域法計算量小，與微分方程求解相比，其計算量可、頻域法計算量小，與微分方程求解相比，其計算量可忽略；忽略；4、頻率法的一部分工作可用作圖完成，因而比較直觀，、頻率法的一部分工作可用作圖完成，因而比較直觀，便于研究參數(shù)變化對系統(tǒng)性能的影響。便于研究參數(shù)變

4、化對系統(tǒng)性能的影響。651 頻率特性52 典型環(huán)節(jié)的頻率特性53 系統(tǒng)的開環(huán)頻率特性54 頻率穩(wěn)定判據(jù)55 系統(tǒng)閉環(huán)頻率特性與階躍響應(yīng)的關(guān)系56 開環(huán)頻率特性與系統(tǒng)階躍響應(yīng)的關(guān)系主要內(nèi)容50 富立葉變換7基本要求基本要求 1. 正確理解頻率特性的概念。2. 熟練掌握典型環(huán)節(jié)的頻率特性，熟記其幅相特性曲線及對數(shù)頻率特性曲線。3. 熟練掌握由系統(tǒng)開環(huán)傳遞函數(shù)繪制系統(tǒng)的開環(huán)對數(shù)幅頻漸近特性曲線及開環(huán)對數(shù)相頻曲線的方法。4. 熟練掌握由具有最小相位性質(zhì)的系統(tǒng)開環(huán)對數(shù)幅頻特性曲線求開環(huán)傳遞函數(shù)的方法。 85. 熟練掌握乃奎斯特穩(wěn)定判據(jù)和對數(shù)頻率穩(wěn)定判據(jù)及其它們的應(yīng)用。6. 熟練掌握穩(wěn)定裕度的概念及計算穩(wěn)

5、定裕度的方法。7. 理解閉環(huán)頻率特性的特征量與控制系統(tǒng)階躍響應(yīng)的定性關(guān)系。8. 理解開環(huán)對數(shù)頻率特性與系統(tǒng)性能的關(guān)系及三頻段的概念，會用三頻段的分析方法對兩個系統(tǒng)進行分析與比較。 95 50 0 富立葉變換富立葉變換法國的富立葉（J. Fourier）先復(fù)習周期函數(shù)的富立葉級數(shù)，再將其發(fā)展為非周期函數(shù)的富立葉變換富立葉的兩個最主要的貢獻：富立葉的兩個最主要的貢獻：n“周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信周期信號都可表示為諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和號的加權(quán)和”n“非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積非周期信號都可用正弦信號的加權(quán)積分表示分表示”105.0.1 周期函數(shù)的富立葉級數(shù)周期函數(shù)的富立葉級數(shù)1

6、2T0111( )(cossin)nnnf taan tbn t直流分量基波分量n =1 諧波分量n11n任何滿足狄利赫利條件的周期實函數(shù)都可以表示為一系列正弦函數(shù)和余弦函數(shù)之和，即富立葉級數(shù)：112021( ).TTaf t dtT2122( ).cos.TTnaf tnt dtT2122( ).sin.TTnbf tnt dtT直流系數(shù)余弦分量系數(shù)正弦分量系數(shù)12狄利赫利條件：狄利赫利條件： n在一個周期內(nèi)只有有限個第一類間斷點在一個周期內(nèi)只有有限個第一類間斷點（幅度有限的跳躍，左右極限存在但不（幅度有限的跳躍，左右極限存在但不相等）；相等）； dttfTtt.)(100n在一個周期內(nèi)有有

7、限個極值點；在一個周期內(nèi)有有限個極值點；n在一個周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即在一個周期內(nèi)函數(shù)絕對可積，即 一般周期信號都滿足這些條件一般周期信號都滿足這些條件13n滿足條件時，上式幾乎處處成立：滿足條件時，上式幾乎處處成立：0111( )(cossin)nnnf taan tbn t在連續(xù)點處，右端收斂于在連續(xù)點處，右端收斂于f(t)的真值；的真值；在間斷點處，收斂到左右極限的平均值；在間斷點處，收斂到左右極限的平均值； 14另一種富立葉級數(shù)表示011( )cos()nnnf tCCnt合并同頻率的兩項可合并同頻率的兩項可得得: :余弦形式余弦形式0111( )(cossin)nnnf taantb

8、nt nnnabarctan 00ac 22nnnbac nnnca cos nnncb sin 15)sin(.)(110nnntnddtf正弦形式正弦形式00ad nnnabarctan nnnda sin nnndb cos 22nnnbad 0111( )(cossin)nnnf taantbnt16周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)級數(shù)周期函數(shù)的復(fù)指數(shù)級數(shù)tjnnenFtf1)()(1將將周期信號周期信號f(t)在在指數(shù)函數(shù)集指數(shù)函數(shù)集ejn t，n=0, 1, 2， 3， 上展開就得到指數(shù)形式的上展開就得到指數(shù)形式的傅里葉級數(shù)傅里葉級數(shù)nFnF)(11001)(11TtttjnndtetfTF與三角

9、函數(shù)形式傅里葉級數(shù)的關(guān)系與三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)的關(guān)系 三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)通過歐拉公式展開：三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)通過歐拉公式展開：)(21)cos(111tjntjneetn)(21)sin(111tjntjneejtn)22()sin()cos()(11 101110tjnnntjnnnnnnnejbaejbaatnbtnaatf與指數(shù)形式對照與指數(shù)形式對照tjnnenFtf1)()(100aF可得可得)(21nnnjbaF)(21nnnjbaFnnnnnndcbaFF21212122njnneFFnjnneFFnnnab arctgtjnnenFtf1)()(11101( )()22

10、jntjntnnnnnajbajbf taee 為了能既方便又明白的表示一個信號中包含有哪些頻率分量，各分量所占的比重如何，就采用了稱為頻譜圖的表示方法。如圖1所示。這種圖就稱為頻譜圖。圖中每一條譜線代表一個基波或一個諧波分量，譜線的高度即譜線頂端的縱坐標位置代表這一正弦分量的振幅，譜線所在的橫坐標的位置代表這一正弦分量的頻率。周期信號的頻譜周期信號的頻譜11nn11nnc圖1011( )cos()nnnf tCCnt這種周期信號頻譜有以下幾個特點：1. 這種頻譜由不連續(xù)的線條組成，每一條線代表一個正弦分量，這樣的頻譜稱為不連續(xù)頻譜或離散頻譜。2. 這種頻譜的每條譜線，都只能出現(xiàn)在基波頻率的整

11、數(shù)倍的頻率上，頻譜中不可能存在任何具有頻率為基波頻率非整數(shù)倍的分量。3. 各條譜線的高度，即各次諧波的振幅，總的趨勢是隨著諧波次數(shù)的增高而逐漸減小的；當諧波次數(shù)無限增高時，諧波分量的振幅就無限趨小。頻譜的這三個特點分別稱為頻譜的離散性、諧波性、收斂性。并具有普遍的意義。 從頻譜圖中可以看出這個信號包含有頻率的正弦分量以及每個分量所占的比重。這種頻譜因為它只表示出了各分量的振幅，所以稱為振幅頻譜。 有時如果需要，也可以把分量的相位用一個個線段代表并且排列成譜狀，這樣的頻譜就稱為相位頻譜周期信號采用指數(shù)形式展開后的頻譜周期信號采用指數(shù)形式展開后的頻譜, , 因因FnFn一般一般為復(fù)數(shù)為復(fù)數(shù), ,稱

12、為復(fù)數(shù)頻譜稱為復(fù)數(shù)頻譜. . nnFnF1111n1n1n000圖2 周期信號的復(fù)數(shù)頻譜周期信號的復(fù)數(shù)頻譜tjnnenFtf1)()(1njnneFF周期信號復(fù)數(shù)頻譜圖的特點l引入了負頻率變量F-n ，沒有物理意義，只是數(shù)學推導(dǎo)；只有把正、負頻率項成對地合并起來,才是實際的頻譜函數(shù).l每個分量的幅度一分為二,在正、負頻率相對應(yīng)的位置上各為一半.l Cn 是實函數(shù)，F(xiàn)n 一般是復(fù)函數(shù)。 周期信號三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開后的頻譜周期信號三角函數(shù)形式傅里葉級數(shù)展開后的頻譜為單邊頻譜為單邊頻譜, ,而指數(shù)形式展開后的頻譜為雙邊頻譜而指數(shù)形式展開后的頻譜為雙邊頻譜. .23例 周期矩形脈沖信號的頻譜周

13、期矩形脈沖信號的頻譜22)2(0)2()(1ttEtf24ntjnneFtf1)(2)2sin()()(11112/2/11221111nnTEeejnTEdtEeTFjnjntjnn1()nSaT25n242422112T)(,1110TnSaTEFTEFn26當周期信號的周期T無限大時,就演變成了非周期信號的單脈沖信號T 120dT 1n頻率也變成連續(xù)變量5.0.2 非周期函數(shù)的富立葉變換27頻譜演變的定性觀察頻譜演變的定性觀察)(1nF11)(nF)(1nF2212T128)(tf：周期信號：周期信號非周期信號非周期信號1j2121()( )edTntTF nf ttT譜系數(shù)連續(xù)譜，幅度

14、無限??；連續(xù)譜，幅度無限??；離散譜離散譜012 T譜線間隔0再用再用 表示頻譜就不合適了，雖然各表示頻譜就不合適了，雖然各頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，頻譜幅度無限小，但相對大小仍有區(qū)別，引入頻譜密度函數(shù)。引入頻譜密度函數(shù)。1F n29從周期信號從周期信號FS推導(dǎo)推導(dǎo)非周期的的FT11( )()jn tnf tF ne21211()( ).TTjn tF nf t edtT1j2121()( )edTntTF nf ttTT T 1limTFTF n1j22( )edlimTntTTf tt頻譜密度函數(shù)頻譜密度函數(shù)簡稱頻譜函數(shù)簡稱頻譜函數(shù) T 1n j)(dtetf2T2T30()( )

15、( )j tFf t edtFf t頻譜密度函數(shù)的表示頻譜密度函數(shù)的表示)(je| )(|)( FF ( ) f tF由求稱為富立葉變換。 ,故可表示為故可表示為一般為復(fù)信號一般為復(fù)信號 F 幅幅度度頻頻譜譜: F 相位頻譜相位頻譜: 31富立葉反變換 ntnnFtf1j111e)()( 11()2limTF n 1()limTFTF n11()limTF n 2 F ,d1 1n,T 當時 de21jtFtf )(的反變換？的反變換？應(yīng)是應(yīng)是 Ftf由復(fù)指數(shù)形式的富立葉級數(shù)由復(fù)指數(shù)形式的富立葉級數(shù)11 ，再乘以，再乘以除以除以tnnnFtf1j1e )()( 32富立葉變換對富立葉變換對 )

16、(de )()(jtfFttfFt FFeFtft1jd21)( Ftf 簡寫簡寫33FT的物理意義的物理意義 (a) F()是一個是一個密度函數(shù)密度函數(shù)的概念的概念 (b) F()是一個是一個連續(xù)譜連續(xù)譜 (c) F()包含了包含了從零到無限高從零到無限高 頻的頻的所有頻率分量所有頻率分量 (d) 各頻率分量的頻率各頻率分量的頻率不成諧波不成諧波關(guān)系關(guān)系34富立葉變換存在的充分條件dttf)(所有能量信號均滿足此條件。所有能量信號均滿足此條件。 絕對可積絕對可積即即tf 當引入函數(shù)的概念后，允許作富立葉變換的函數(shù)類型大大擴展了。 )(de )()(jtfFttfFt 35傅立葉變換的基本性質(zhì)

17、傅立葉變換的基本性質(zhì)n對稱性和疊加性對稱性和疊加性n奇偶虛實性奇偶虛實性n尺度變換特性尺度變換特性n時移特性和頻移特性時移特性和頻移特性n微分和積分特性微分和積分特性n卷積定理卷積定理36例：單邊指數(shù)函數(shù)n信號表達式)0(0)0()(ttetft)0(1)()(jdtetfFtj221)(F)()(arctg幅頻相頻37 f(t)t0)(F1213)(0022jF1)(38富立葉變換與拉氏變換的關(guān)系富立葉變換與拉氏變換的關(guān)系j( )( )edtFf tt0( )( )eds tF sf tt若在區(qū)間若在區(qū)間t0恒有恒有f(t)=0,則富氏變換的下限可改為則富氏變換的下限可改為0；狄利赫利條件的

18、限制，狄利赫利條件的限制，f(t)不含沖擊函數(shù)型的部分，不含沖擊函數(shù)型的部分，所以積分下限取所以積分下限取0和和0-沒區(qū)別沒區(qū)別js,只需用取代 拉氏變換就轉(zhuǎn)換成富立葉變換395 51 1 頻率特性頻率特性在線性對象的傳遞函數(shù)G(s)中用jw代替s，就得到其頻率特性函數(shù)頻率特性函數(shù)：零初始值下單入單出的線性定常系統(tǒng)輸出量的富立葉變換象函數(shù)與輸出量的富立葉變換象函數(shù)之比輸入量和輸出量可用富立葉級數(shù)和富立葉變換將分解成許多頻率互不相同的正弦函數(shù)之和。對不同頻率的輸入輸出之比，滿足相同的關(guān)系研究系統(tǒng)的頻率特性只需考慮輸入為正弦函數(shù)的情況40一、控制系統(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)輸出 對于一般的線性定常系

19、統(tǒng)，系統(tǒng)的輸入和輸出分別為r(t)和c(t)，系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為12( )( )( )( )()().()nC sN ssR sssssss式中， 為閉環(huán)n個互異特征根（極點)。,1,2,.,jsjn41()sinrr tAt輸入信號：輸入信號：22( )rAR ss其拉氏變換式其拉氏變換式則：12121212( ) ( )( )( )()().()()().() ()().rnnnnAN s R sN sC ss s s ss ss s s ss ssjs jCCCBDs ss ss ssjs j 42輸出1( )niiiCBDC ssssjsj1( )()( )( )ins tj tj

20、titsic tC eBeDec tc t拉氏反變換得瞬態(tài)分量穩(wěn)態(tài)分量若系統(tǒng)穩(wěn)定，則極點都在s左半平面。當 ，即穩(wěn)態(tài)時：120,0,.,0ns ts ts teeet( )0rc t43()2()2jjrjA e22()( )()()| ()|22rsjjjrrADssjsAAjjejj其中( )j tj tsc tBeDe穩(wěn)態(tài)分量B()2()2jjrjA e同理：44將B、D代入則()()22()( )()2jtjjtjsrjc tA ee()cos()2rjAtj ()sin()rjAtj )sin(tAc( )j tj tsc tBeDe45n式中()crAjA()j 可以看出，線性定常

21、系統(tǒng)，在正弦信號作用下，輸出穩(wěn)態(tài)分量是和輸入同頻率的正弦信號。( )sin()scctAt|(j )|(j )輸出的相位和振幅與輸入不同，輸出振幅是輸入的倍，相位與輸入相差46圖 系統(tǒng)在正弦信號作用下的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)r00A1sin1ttA2sin2tr(t)系統(tǒng)c(t)cs(t) Ac1sin(1t1)t00cs(t) Ac2sin(2t2)ttc47n設(shè)線性系統(tǒng)G(s)的輸入為一正弦信號r(t)=Ar sint，在穩(wěn)態(tài)時，系統(tǒng)的輸出具有和輸入同頻率的正弦函數(shù)，但其振幅和相位一般均不同于輸入量，且隨著輸入信號 頻 率 的 變 化 而 變 化 ， 即cs(t) =Ac sin(t+) 。二、頻率特性

22、的定義48n用R(j)和C(j)分別表示輸入信號Ar sint和輸出信號cs(t)=Ac sin(t+)， 則輸出穩(wěn)態(tài)分量與輸入正弦信號的復(fù)數(shù)比即為該系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)， 簡稱頻率特性， 記作()sin()()()( )()sinjcrAtC jjAeR jAt 49n 輸出與輸入的振幅比隨的變化關(guān)系稱為幅頻特性A(), ( )()crAAjA 輸出與輸入的相位差隨的變化關(guān)系稱為相頻特性(), ()crAjA()sin()()( )sinjcrAtjAeAt ( )()j 50所以：線性定常系統(tǒng)，在正弦信號作用下，輸出的穩(wěn)態(tài)分量與輸入的復(fù)數(shù)比，稱為系統(tǒng)的頻率特性（即為幅相頻率特性，簡稱幅相特性

23、）。j0jrcA e ,A e ,將輸入輸出的正弦函數(shù)用電路理論中的符號法表示，輸入輸出則輸出輸入的復(fù)數(shù)之比為：()()0( )()jjjjjccjrrA eAeAejeA eA n頻率特性的定義既可以適用于穩(wěn)定系統(tǒng)，也可適用于不穩(wěn)定系統(tǒng)。穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性可以用實驗方法確定。51 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為零初始條件下，輸線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為零初始條件下，輸出和輸入的拉氏變換之比出和輸入的拉氏變換之比 )()()()(jRjCsGjGjs( )( )( )C sG sR s1( )( )2jstjg tG s e dsj ( )r tsjjs,頻率特性與傳遞函數(shù)間存在簡單的關(guān)系：只需用取代

24、傳遞函數(shù)中的 就能得到頻率特性表達式頻率特性的物理意義：頻率特性的物理意義：穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性穩(wěn)定系統(tǒng)的頻率特性等于輸出和等于輸出和輸入的富氏變化之比。輸入的富氏變化之比。所以所以如果如果 的傅氏變換存在，可令的傅氏變換存在，可令 上式的拉氏反變換為上式的拉氏反變換為52由于頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊形式，因而它和傳遞由于頻率特性是傳遞函數(shù)的一種特殊形式，因而它和傳遞函數(shù)、微分方程一樣，可以表征系統(tǒng)的運動規(guī)律，是描述系統(tǒng)函數(shù)、微分方程一樣，可以表征系統(tǒng)的運動規(guī)律，是描述系統(tǒng)的又一種數(shù)學模型。的又一種數(shù)學模型。 三種系統(tǒng)描述之間的關(guān)系三種系統(tǒng)描述之間的關(guān)系53以RC網(wǎng)絡(luò)為例而RC電路的傳遞函數(shù)

25、為 ( )1/()1( )1 ()1oiUsCsU sRCsTsT=RC)(tan211)(1TjeT11)()(TjsGjGjs頻率特性頻率特性542211( ) |()|11AG jj TT幅頻特性：相頻特性：1( )()arctan1G jTj T 幅頻和相頻特性都是輸入正弦頻率的函數(shù)5556對頻率特性的幾點說明（1） 頻率特性不僅僅針對系統(tǒng)而言， 其概念對控制元部件、 控制裝置也都適用；（3） 由于系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）動態(tài)過程中的穩(wěn)態(tài)分量總是可以分離出來， 而且其規(guī)律性并不依賴于系統(tǒng)的穩(wěn)定性， 因此可以將頻率特性的概念推廣到不穩(wěn)定系統(tǒng)（環(huán)節(jié)）。（2） 頻率特性只適用于線性定常模型，否則不存在這

26、種穩(wěn)態(tài)對應(yīng)關(guān)系；57（4） 由頻率特性G(j)的表達式可知，其包含了系統(tǒng)的全部動態(tài)結(jié)構(gòu)和參數(shù)，所以根據(jù)頻率法可運用穩(wěn)態(tài)的頻率特性間接研究系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，避免求解高階微分方程；（5） 根據(jù)頻率特性的定義可知， 即使在不知道系統(tǒng)內(nèi)部結(jié)構(gòu)和機理的情況下， 也可以按照頻率特性的物理意義通過實驗來確定， 這正是引入頻率特性這一數(shù)學模型的主要原因之一。58三、頻率特性的幾種表示方法頻率特性的圖形表示是描述系統(tǒng)的輸入頻率從0到變化時頻率響應(yīng)的幅值、 相位與頻率之間關(guān)系的一組曲線。雖然系統(tǒng)的頻率特性函數(shù)有嚴格的數(shù)學定義， 但它最大的優(yōu)點是可以用圖示方法簡明、 清晰地表示出來， 這正是該方法深受廣大工程技術(shù)人員

27、歡迎的原因所在。591、幅頻特性、相頻特性、幅相特性)()()(jGjGjG)()(jeA0:)(A)( =為系統(tǒng)的幅頻特性幅頻特性。為系統(tǒng)的相頻特性。相頻特性。60n幅相頻率特性圖又稱奈奎斯特圖（Nyquist）圖或極坐標頻率特性圖。n極坐標頻率特性圖是當從0到變化時，以為參變量，在極坐標圖上繪出G(j)的模|G(j)|和幅角G(j) 隨變化的曲線，即當從0到變化時，向量G(j)的矢端軌跡。n G(j)曲線上每一點所對應(yīng)的向量都表與某一輸入頻率相對應(yīng)的系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的頻率響應(yīng)， 其中向量的模反映系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的幅頻特性， 向量的相角反映系統(tǒng)（或環(huán)節(jié)）的相頻特性。 幅相特性61n繪制C電路的幅

28、頻特性、相頻特性、幅相特性。arctan22111()111jTG jeRCjTjT例解 該電路的頻率特性為在不同下求出的|G(j)|及G(j)如表5-所示。 62表5- 不同下的|G(j)|及G(j)的值 1/2T1/T2/T3/T4/T5/T0.45 0.320.240.2-63.5-71.5 -76-78.763RC網(wǎng)絡(luò)的幅頻特性和相頻特性1/2T1/T2/T3/T4/T5/T0.45 0.320.240.2-63.5-71.5 -76-78.764圖53 RC網(wǎng)絡(luò)的幅相特性曲線1/2T1/T2/T3/T4/T5/T0.45 0.320.240.2-63.5-71.5 -76-78.71

29、, 02j12RCRC網(wǎng)絡(luò)的幅相曲線是以網(wǎng)絡(luò)的幅相曲線是以 為圓心，半徑為為圓心，半徑為 的半圓的半圓65在工程實際中, 常常將頻率特性畫成對數(shù)坐標圖形式,對數(shù)頻率特性曲線又稱伯德（Bode)圖，包括對數(shù)幅頻和對數(shù)相頻兩條曲線2、對數(shù)頻率特性的變化范圍極廣（0），如果采用普通坐標分度的話，很難展示出其如此之寬的頻率范圍。因此，在伯德圖中橫軸采用對數(shù)分度。66( ) 20lg ( ) (lg )LA對數(shù)幅頻特性對數(shù)幅頻特性：1)對數(shù)幅頻特性(1) 橫軸： =lg 軸為對數(shù)分度， 即采用相等的距離代表相等的頻率倍增。67對數(shù)幅頻特性的坐標系|G()|L()/dB100401020100.1 200

30、.014010.101110lg/ s1對數(shù)幅頻特性的坐標系如圖所示68表 和lg的關(guān)系 對lg而言為線性均勻分度。69 =0在對數(shù)分度的坐標系中的負無窮遠處 從表中可以看出，的數(shù)值每變化10倍， 在對數(shù)坐標上lg相應(yīng)變化一個單位。 頻率變化10倍的一段對數(shù)刻度稱為“十倍頻程”， 即對而言： =lg10-lg=170|G()|L()/dB100401020100.1 200.014010.101110lg/ s1(2) 縱軸： L=20 lgA(), 單位為分貝, 記作dB。( ) 20lg ( ) (lg )LA71( ) (lg ) 對數(shù)相頻特性對數(shù)相頻特性:2)對數(shù)相頻特性n橫軸： 值，

31、對數(shù)分度， 即=lg ，與對數(shù)幅頻特性相同n縱軸： ()值，線性分度，單位：度72圖54 對數(shù)坐標刻度圖73注意n縱坐標是以幅值對數(shù)分貝數(shù)刻度的，是均勻的；橫坐標按頻率對數(shù)標尺刻度，但標出的是實際的值，是不均勻的。 這種坐標系稱為半對數(shù)坐標系。n在橫軸上，對應(yīng)于頻率每增大10倍的范圍，稱為十倍頻程(dec)，如1-10，5-50，而軸上所有十倍頻程的長度都是相等的。n為了說明對數(shù)幅頻特性的特點，引進斜率的概念，即橫坐標每變化十倍頻程（即變化）所對應(yīng)的縱坐標分貝數(shù)的變化量。74繪制RC電路的對數(shù)坐標頻率特性圖（T1s）。 TjRCjjG1111)(所以有 22221( )20lg()20lg12

32、0lg 1( )()arctan()LG jTTG jT 例解 RC電路的頻率特性為75表 不同下的L()及()值 76RC電路的對數(shù)坐標頻率特性 L()/dB20 dB/dec20011004590()7722221lg2011lg20)(lg20)(jGLdBLLL32lg20)(,1lg20lg20lg20)(,10)(,1L()/dB20 dB/dec20011004590()78 對數(shù)幅相曲線又稱尼科爾斯曲線或尼科爾斯圖。其特點對數(shù)幅相曲線又稱尼科爾斯曲線或尼科爾斯圖。其特點是縱坐標為是縱坐標為 ，單位為分貝（，單位為分貝（dBdB），橫坐標為），橫坐標為 ，單位，單位為度，均為線性

33、分度，頻率為度，均為線性分度，頻率 為參變量。下圖為為參變量。下圖為RCRC網(wǎng)絡(luò)網(wǎng)絡(luò)時的尼科爾斯曲線。時的尼科爾斯曲線。 利用尼科爾斯曲線，根據(jù)利用尼科爾斯曲線，根據(jù)系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)的關(guān)系，可以系統(tǒng)開環(huán)和閉環(huán)的關(guān)系，可以繪制關(guān)于閉環(huán)幅頻特性的等繪制關(guān)于閉環(huán)幅頻特性的等M M簇線和閉環(huán)相頻特性的等簇線和閉環(huán)相頻特性的等 簇簇線，根據(jù)頻域指標要求確定校線，根據(jù)頻域指標要求確定校正網(wǎng)絡(luò)，簡化系統(tǒng)的設(shè)計過程。正網(wǎng)絡(luò)，簡化系統(tǒng)的設(shè)計過程。 3 3、對數(shù)幅相對數(shù)幅相曲線曲線( ) L0.5T 790)(jeKKjG52 典型環(huán)節(jié)的頻率特性一、比例環(huán)節(jié)（放大環(huán)節(jié)）KA)(0)(幅頻特性相頻特性G(s)=K0)

34、(lg20)(KL對數(shù)幅頻特性和相頻特性80圖55 比例環(huán)節(jié)的頻率特性曲線KA)(0)(0)(lg20)(KL81二、積分環(huán)節(jié)21)(jejG幅相特性ssG1)(傳遞函數(shù)211)(jejjG幅頻特性和相頻特性 90)(/1)(A頻率特性82圖56 積分環(huán)節(jié)的幅頻、相頻、幅相特性曲線90)(/1)(A83對數(shù)幅頻特性和相頻特性 1( )20lg( )20lg20lg20( )90LA 90)(/1)(A幅頻特性和相頻特性 84對數(shù)頻率特性0.1, ( )201, ( )010, ( )20LdBLdBLdB ( )20lg( )20lg( )90LA 85三、慣性環(huán)節(jié)（一階系統(tǒng)）11)(TssG

35、傳遞函數(shù)TjeTTjjG1tan21)(111)(TjjG11)(幅頻特性和相頻特性 TTAarctan)(11)(22頻率特性86圖58 慣性環(huán)節(jié)的幅頻、相頻、幅相特性曲線 幅頻由1衰減到0，沒有諧振峰值，相頻由0至-90度慣性環(huán)節(jié)的奈氏圖是圓心在(0.5, 0), 半徑為0.5的半圓 1A( )0.707,( )4TT 特征點：時，幅頻相頻可試驗測出曲線趨勢，再用特征點求參數(shù)87對數(shù)頻率特性 22120lg20lg1LAT1lg2022TTG1tan給不同的值，可逐點求得對數(shù)幅頻的分貝值和相角值，并繪制曲線圖如下88圖59 慣性環(huán)節(jié)的對數(shù)頻率特性曲線89對數(shù)幅頻特性是一條曲線，這給作圖帶來

36、了不便1,( )01,( )20lg1,( )20lg23/LTLTTLdBT ，低頻漸近特性，高頻漸近特性，轉(zhuǎn)折頻率 交接頻率慣性環(huán)節(jié)對數(shù)幅頻特性曲線的繪制方法工程上為了方便常常用兩條直線代替，這兩條直線組成的對數(shù)幅頻特性稱為漸近特性22( )20lg1LT 9013TdB轉(zhuǎn)折頻率處誤差最大，為1,( )0LT ，低頻漸近特性是一條與橫坐標軸重合的直線1,( )20lg20LTT ，高頻漸近特性是一條斜率為的直線191 在低頻段, 很小, T1, () -9092451)(TTarctg在交接頻率處有931)tan(,1arctan)arctan()()tan(,arctan)arctan(

37、)(222111即即TT因此有 )45()45(,90)()(2121即這表明()是關(guān)于=1/T, ()= -45這一點中心對稱的。證明: 取兩個關(guān)于=1/T對稱的頻率1=/T和2=1/(T), 則有 慣性環(huán)節(jié)對數(shù)相頻特性曲線是一條以點(1T, (1T)為中心對稱點的曲線。()1tgtgtgtg tg1212lg()lg()lg,lg()lg,lg()lg10lg()lg()lg()TTTTTTT 橫坐標以標度又與關(guān)于對稱9495四、振蕩環(huán)節(jié)（二階系統(tǒng)）2222)(nnnsssG傳遞函數(shù)傳遞函數(shù)222222()()2()2nnnnnnGjjjj 頻率特性頻率特性n:01:振蕩環(huán)節(jié)的阻尼比（ 0

38、.707時， A()單調(diào)衰減，沒有峰值n在較小時， A()出現(xiàn)“諧振”峰值，對應(yīng)的頻率稱為諧振頻率 振蕩環(huán)節(jié)的幅頻從1衰減到零2221()12nnA98n令dA()/(d)=0，221 2(0)2mn21()21mmAA得諧振頻率諧振峰值諧振峰值只與阻尼比有關(guān)2221()12nnA99振蕩環(huán)節(jié)的幅頻特性 0.71.00.50.200A()210n0.707,1,00.707,1,00,mmmmmmnAAA n外加正弦信號的頻率與自然振蕩頻率相同將引起共振，環(huán)節(jié)臨界穩(wěn)定n阻尼比越小峰值越大，表明平穩(wěn)性越差、超調(diào)量越大，最佳阻尼比時，既快又平穩(wěn)。（與時域結(jié)果一致）1002112tan)(nn（2）

39、相頻特性222()()2nnnG jj 101圖511 0, (0)0, ()2, ( )nn 2112tan)(nnn給出不同的阻尼比可得出一組相頻特性曲線102圖511 22,1(), ()221 2,1()21nnnmnmAA 振蕩環(huán)節(jié)頻率特性的特征點：2112tan)(nn10322arctan12221()12nnnnG je將振蕩環(huán)節(jié)的頻率特性寫成模幅式：(3) 幅相頻率特性222()()2nnnG jj 104振蕩環(huán)節(jié)的幅相頻率特性 j1G0大小n1/ T1/200, ( 0)1 01, ()22, ()0nnG jG jG j n給出不同的阻尼比可得出一組幅相特性曲線22arc

40、tan12221()12nnnnG je1052221()12nnA2.對數(shù)頻率特性對數(shù)幅頻特性和相頻特性為2112tan)(nn22222221( )20lg1220lg122( )arctan1()nnnnnnL 106(1)對數(shù)幅頻特性畫二階振蕩環(huán)節(jié)的伯德圖時仿照慣性環(huán)節(jié),先求對數(shù)幅頻特性的漸近特性,再在漸近特性的基礎(chǔ)上進行修改2221( )20lg12nnL2,( )0,( )20lg()lg(),/nnnnnLL，低頻漸近特性=-40，高頻漸近特性轉(zhuǎn)折頻率 交接頻率107 圖 5-15 二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性圖108作漸近特性時,沒有考慮阻尼比的影響,所以在交接頻率附近, 對數(shù)幅

41、頻特性與漸近線存在一定的誤差誤差值取決于阻尼比的值。當0.4 0.707時,誤差不大; 0.4,誤差隨的減小而增大; =0時誤差為無窮大.對誤差進行修正:在轉(zhuǎn)折頻率附近計算幾點：2,()20lg2,()lg21nnmmLL=-202221( )20lg12nnL109對數(shù)相頻特性與 和有關(guān)，給出不同的阻尼比值,可繪制出一組()與的曲線(2)對數(shù)相頻特性2112tan)(nn110二階振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性圖振蕩環(huán)節(jié)的對數(shù)相頻特性曲線，在參數(shù)n變化時，其曲線左右平移，而曲線形狀不變；曲線對 點具有奇對稱性質(zhì)2111五、微分環(huán)節(jié)ssG)(2)(jejjG其幅頻特性和相頻特性為 90)()(A對數(shù)幅

42、頻特性和相頻特性為 90)(lg20)(L112微分環(huán)節(jié)的幅頻特性與頻率相等, 相頻特性恒為90微分環(huán)節(jié)的對數(shù)幅頻特性lg的一次線性函數(shù)，其直線斜率為20 dB/dec，直線在=1時與橫軸相交()是一條縱坐標為90的平行于橫軸的直線90)()(A90)(lg20)(L113六、一階微分環(huán)節(jié)1)( ssG12tan()1()1jG jje 幅頻特性和相頻特性為 22( )1( )arctanA 114一階微分環(huán)節(jié)的幅相特性 jY()X() 010當由0時，一階微分環(huán)節(jié)的幅頻特性A()從1, 相頻特性()由090。A()()一階微分環(huán)節(jié)的幅相特性曲線是一條平行于虛軸的射線，其頂點在（1， j0）22( )1( )arctanA 115對數(shù)幅頻特性和相頻特性為 22( )