2－1離散型隨機(jī)變量及其分布

1、12.1離散型隨機(jī)變量及其分布離散型隨機(jī)變量及其分布 1、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生、隨機(jī)變量概念的產(chǎn)生 在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)在實(shí)際問題中，隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)果可以用數(shù)量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念量來表示，由此就產(chǎn)生了隨機(jī)變量的概念. 一、隨機(jī)變量的概念一、隨機(jī)變量的概念 （1）有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本）有些試驗(yàn)結(jié)果本身與數(shù)值有關(guān)（本身就是一個(gè)數(shù)）身就是一個(gè)數(shù)）. 例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)；例如，擲一顆骰子面上出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)； 七月份鄭州的最高溫度；七月份鄭州的最高溫度；每天從鄭州下火車的人數(shù)；每天從鄭州下火車的人數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；昆蟲的產(chǎn)卵數(shù)；（2）在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看

2、來與數(shù)值）在有些試驗(yàn)中，試驗(yàn)結(jié)果看來與數(shù)值無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的無關(guān)，但我們可以引進(jìn)一個(gè)變量來表示它的各種結(jié)果各種結(jié)果.也就是說，也就是說，把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化把試驗(yàn)結(jié)果數(shù)值化. 正如裁判員在運(yùn)動(dòng)正如裁判員在運(yùn)動(dòng)場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)員的場(chǎng)上不叫運(yùn)動(dòng)員的名字而叫號(hào)碼一樣，名字而叫號(hào)碼一樣，二者建立了一種對(duì)二者建立了一種對(duì)應(yīng)關(guān)系應(yīng)關(guān)系. 這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種這種對(duì)應(yīng)關(guān)系在數(shù)學(xué)上理解為定義了一種實(shí)值函數(shù)實(shí)值函數(shù).e.X(e)sR（1）它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，）它隨試驗(yàn)結(jié)果的不同而取不同的值，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，因而在試驗(yàn)之前只知道它可能取值的范圍，而不能

3、預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值而不能預(yù)先肯定它將取哪個(gè)值.（2）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概）由于試驗(yàn)結(jié)果的出現(xiàn)具有一定的概率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確率，于是這種實(shí)值函數(shù)取每個(gè)值和每個(gè)確定范圍內(nèi)的值也有一定的概率定范圍內(nèi)的值也有一定的概率. 稱這種定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)為稱這種定義在樣本空間上的實(shí)值函數(shù)為隨隨量量機(jī)機(jī)變變簡(jiǎn)記為簡(jiǎn)記為 r.v. 而表示隨機(jī)變量所取的值而表示隨機(jī)變量所取的值時(shí)時(shí),一般采用小寫字母一般采用小寫字母x,y,z等等.隨機(jī)變量通常用大寫字母隨機(jī)變量通常用大寫字母X,Y,Z或希臘字母或希臘字母,等表示等表示 有了隨機(jī)變量有了隨機(jī)變量,隨機(jī)試驗(yàn)中的各種事件，隨機(jī)試驗(yàn)中的

4、各種事件，就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來就可以通過隨機(jī)變量的關(guān)系式表達(dá)出來. 2、引入隨機(jī)變量的意義、引入隨機(jī)變量的意義 如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼如：?jiǎn)挝粫r(shí)間內(nèi)某電話交換臺(tái)收到的呼叫次數(shù)用叫次數(shù)用X表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量表示，它是一個(gè)隨機(jī)變量. 事件事件收到不少于收到不少于1次呼叫次呼叫 X 1 沒有收到呼叫沒有收到呼叫 X= 0 3、隨機(jī)變量的分類、隨機(jī)變量的分類 通常分為兩類：通常分為兩類： 如如“取到次品的個(gè)數(shù)取到次品的個(gè)數(shù)”， “收到的呼叫數(shù)收到的呼叫數(shù)”等等.隨隨機(jī)機(jī)變變量量離散型隨機(jī)變量離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量所有取值可以逐個(gè)所有取值可以逐個(gè)一一列舉

5、一一列舉例如，例如，“電視機(jī)的壽命電視機(jī)的壽命”，實(shí)，實(shí)際中常遇到的際中常遇到的“測(cè)量誤差測(cè)量誤差”等等.全部可能取值不僅全部可能取值不僅無窮多，而且還不能無窮多，而且還不能一一列舉，而是充滿一一列舉，而是充滿一個(gè)區(qū)間一個(gè)區(qū)間. 解：分析解：分析例例1 一報(bào)童賣報(bào)，每份一報(bào)童賣報(bào)，每份0.15元，其成本為元，其成本為0.10元元. 報(bào)館每天給報(bào)童報(bào)館每天給報(bào)童1000份報(bào)，并規(guī)定份報(bào)，并規(guī)定他不得把賣不出的報(bào)紙退回他不得把賣不出的報(bào)紙退回. 設(shè)設(shè)X為報(bào)童每為報(bào)童每天賣出的報(bào)紙份數(shù)，試將報(bào)童賠錢這一事件天賣出的報(bào)紙份數(shù)，試將報(bào)童賠錢這一事件用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示用隨機(jī)變量的表達(dá)式表示.當(dāng)當(dāng) 0.

6、15 X1000 0.1時(shí)，報(bào)童賠錢時(shí)，報(bào)童賠錢 故故報(bào)童賠錢報(bào)童賠錢 X 666報(bào)童賠錢報(bào)童賠錢 賣出的報(bào)紙錢不夠成本賣出的報(bào)紙錢不夠成本 設(shè)設(shè)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它可能取的值是的值是 x1, x2 , . 為了描述隨機(jī)變量為了描述隨機(jī)變量 X ，我們不僅需，我們不僅需要知道隨機(jī)變量要知道隨機(jī)變量X的取值，而且還應(yīng)知道的取值，而且還應(yīng)知道X取每個(gè)值的概率取每個(gè)值的概率.這樣，我們就掌握了這樣，我們就掌握了X這個(gè)這個(gè)隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律隨機(jī)變量取值的概率規(guī)律.從中任取從中任取3 個(gè)球個(gè)球取到的白球數(shù)取到的白球數(shù)X是一個(gè)隨機(jī)變量是一個(gè)隨機(jī)變量X可能取的值是可能

7、取的值是0,1,2取每個(gè)值的概率為取每個(gè)值的概率為101) 0(3533CCXP106) 1(351223CCCXP103)2(352213CCCXP例例2且且311iiXP)(二、離散型隨機(jī)變量的分布律二、離散型隨機(jī)變量的分布律一般地，我們給出如下定義一般地，我們給出如下定義: 定義定義1 ：設(shè)：設(shè)xk(k=1,2, )是離散型隨機(jī)變量是離散型隨機(jī)變量X所取的一切可能值，稱所取的一切可能值，稱 k=1,2, ,)(kkpxXP為離散型隨機(jī)變量為離散型隨機(jī)變量X的概率函數(shù)或分布律，的概率函數(shù)或分布律，也稱概率分布也稱概率分布.其中其中 (k=1,2, ) 滿足：滿足：kp, 0kp k=1,2

8、, （1）kkp1（2）用這兩條性質(zhì)判斷用這兩條性質(zhì)判斷一個(gè)函數(shù)是否是一個(gè)函數(shù)是否是概率函數(shù)概率函數(shù)表示方法表示方法（1）列表法：）列表法：（2）圖示法）圖示法（3）公式法）公式法2 , 1 , 0,)(35233kCCCkXPkk再看例再看例2任取任取3 個(gè)球個(gè)球X為取到的白球數(shù)為取到的白球數(shù)X可能取的值可能取的值是是0,1,20.10.30.6kPK012X 163101010P 012舉例舉例例例3. 某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是某籃球運(yùn)動(dòng)員投中籃圈概率是0.9，求，求他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)他兩次獨(dú)立投籃投中次數(shù)X的概率分布的概率分布.解：解： X可取可取0、1、2為值為值 P(X =0)

9、=(0.1)(0.1)=0.01 P(X =1)= 2(0.9)(0.1) =0.18 P(X =2)=(0.9)(0.9)=0.81 且且 P(X =0)+ P(X =1)+ P(X =2)=1常常表示為：常常表示為： 這就是這就是X的概率分布的概率分布.0120.010.180.81XP例例4. 某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為某射手連續(xù)向一目標(biāo)射擊，直到命中為止，已知他每發(fā)命中的概率是止，已知他每發(fā)命中的概率是p，求，求所需射擊所需射擊發(fā)數(shù)發(fā)數(shù)X 的概率函數(shù)的概率函數(shù).解解: 顯然，顯然，X 可能取的值是可能取的值是1,2, ， P(X=1)=P(A1)=p, 為計(jì)算為計(jì)算 P(X =

10、k )， k = 1,2, ，Ak = 第第k發(fā)命中發(fā)命中，k =1, 2, ，設(shè)設(shè)于是于是pp )1 ()() 2(21AAPXP)() 3(321AAAPXPpp 2)1 (, 2 , 1kppkXPk1)1 ()(可見可見這就是求這就是求所需射擊發(fā)數(shù)所需射擊發(fā)數(shù)X的概率函數(shù)的概率函數(shù). P(X=1)=P(A1)=p, Ak = 第第k發(fā)命中發(fā)命中，k =1, 2, ，設(shè)設(shè)于是于是pp )1 ()() 2(21AAPXP)() 3(321AAAPXPpp 2)1 ( 若隨機(jī)變量若隨機(jī)變量X的概率函數(shù)如上式，則的概率函數(shù)如上式，則稱稱X具有具有幾何分布幾何分布. 不難驗(yàn)證不難驗(yàn)證:1)1 (

11、11kkpp, 2 , 1kppkXPk1)1 ()(三、常用的三種離散型隨機(jī)變量的分布律三、常用的三種離散型隨機(jī)變量的分布律 1、01分布（兩點(diǎn)分布）分布（兩點(diǎn)分布）設(shè)隨機(jī)變量設(shè)隨機(jī)變量X只取只取1，0兩個(gè)值，且對(duì)應(yīng)的概率分別兩個(gè)值，且對(duì)應(yīng)的概率分別為為p，q(0p1)且且12341AAAAX 因此因此設(shè)設(shè)Y表示同一時(shí)刻表示同一時(shí)刻80臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的設(shè)備的臺(tái)設(shè)備中發(fā)生故障的設(shè)備的臺(tái)數(shù)，則臺(tái)數(shù)，則(80,0.01)Yb80 0.010.8(0.8)X則設(shè)備發(fā)生故障不能得到及時(shí)維修的概率為則設(shè)備發(fā)生故障不能得到及時(shí)維修的概率為0.840.8(3)0.0091!kkP Yek可見用第二方案不但

12、可以少用一人，而且設(shè)備發(fā)生可見用第二方案不但可以少用一人，而且設(shè)備發(fā)生故障不能得到及時(shí)維修的概率又小，因此第二方案故障不能得到及時(shí)維修的概率又小，因此第二方案優(yōu)于第一方案優(yōu)于第一方案例例11. 某加油站替公共汽車站代營出租汽車某加油站替公共汽車站代營出租汽車業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，可從出租公司得到業(yè)務(wù)，每出租一輛汽車，可從出租公司得到3元元. 因代營業(yè)務(wù)，每天加油站要多付給職因代營業(yè)務(wù)，每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)工服務(wù)費(fèi)60元元. 設(shè)每天出租汽車數(shù)設(shè)每天出租汽車數(shù) X是一個(gè)是一個(gè)隨機(jī)變量，它的概率分布如下：隨機(jī)變量，它的概率分布如下： 求因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外求因代營業(yè)務(wù)得到的收入

13、大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率支出費(fèi)用的概率.102030400.150.250.450.15XP分析：加油站代營每出租一輛車，可得分析：加油站代營每出租一輛車，可得3元元.每天出租汽車數(shù)為每天出租汽車數(shù)為X，因代營業(yè)務(wù)得到的收入，因代營業(yè)務(wù)得到的收入為為3 X元元. 每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)每天加油站要多付給職工服務(wù)費(fèi)60元，即元，即當(dāng)天的額外支出費(fèi)用當(dāng)天的額外支出費(fèi)用. 因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為：支出費(fèi)用的概率為：P3X60即即 PX20注意到注意到 也就是說，加油站因代營業(yè)務(wù)得到的收也就是說，加油站因代營業(yè)務(wù)得到的收入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為入大于當(dāng)天的額外支出費(fèi)用的概率為0.6.PX20=PX=30+PX=40=0.6102030400.150.250.450.15XP 對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的對(duì)于離散型隨機(jī)變量，如果知道了它的概率函數(shù)概率