二次型及其標(biāo)準(zhǔn)形

1、5.5 二次型其次標(biāo)準(zhǔn)形二次型其次標(biāo)準(zhǔn)形引言引言判別下面方程的幾何圖形是什么？判別下面方程的幾何圖形是什么？)1(103222 yxyx6,)cos()sin()sin()cos( yxyyxx作旋轉(zhuǎn)變換作旋轉(zhuǎn)變換代入代入(1)左邊，化為：左邊，化為：12041021252222 yxyx見(jiàn)下圖見(jiàn)下圖xyxy稱為稱為n維維(或或n元元)的的二次型二次型.nxxx,21含有含有n個(gè)變量個(gè)變量 的二次齊次函數(shù)的二次齊次函數(shù))(ijjiaa njijiijnxxaxxxf1,21,關(guān)于二次型的討論永遠(yuǎn)關(guān)于二次型的討論永遠(yuǎn)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行！在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行！例如：例如：22( , )45f x yxx

2、yy22( , , )2f x y zxyxzyz1234122324(,)f xxxxx xx xx x 都是二次型。都是二次型。22( , )5f x yxy 22( , )22f x yxyx 不是二次型。不是二次型。只含有平方項(xiàng)只含有平方項(xiàng)的二次型的二次型2222211nnykykykf 稱為稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。 23222132144,xxxxxxf 為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形。2211111222121122211222212 nnnnnnnnnnnfaaxaxaxaxxaxxxxxaaaxxxxx ijjiaa 取取2ijijijijjiija x xa x

3、 xa x x 則則則（則（1）式可以表示為）式可以表示為11112211()nna xa xxxa21122222()nna xa xxxa 1122()nnnnnna xa xxa x ,1nijiji ja x x 二次型用和號(hào)表示二次型用和號(hào)表示11112212112222121122(,)nnnnnnnnnna xa xa xa xa xaxx xxa xaxa x 1111212122221212(,) nnnnnnnnxaaaaaaxx xxaaax 12 nxxXx 111212122212nnnnnnaaaaaaAaaa 令令 TfX AX 則則其中其中 為對(duì)稱為對(duì)稱矩陣。矩

4、陣。A二次型的矩陣表示（重點(diǎn)）二次型的矩陣表示（重點(diǎn)）注注1、對(duì)稱矩陣、對(duì)稱矩陣A的寫(xiě)法：的寫(xiě)法：A一定是一定是方陣方陣。2、其對(duì)角線上的元素、其對(duì)角線上的元素iia恰好是恰好是nixi, 2 , 12的系數(shù)。的系數(shù)。3、jixx的系數(shù)的一半分給的系數(shù)的一半分給.jia可保證可保證.jiijaa 1123231-20(,) -201/2 01/2-3xxxxxx 22123131223 (,)34f x xxxxx xx x 例如例如：二次型：二次型注：二次型注：二次型 對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣把對(duì)稱矩陣把對(duì)稱矩陣 稱為稱為二次型二次型 的矩陣的矩陣Af也把二次型也把二次型 稱為對(duì)稱矩陣稱為對(duì)稱矩陣

5、的二次型的二次型fA對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣 的秩稱為的秩稱為二次型二次型 的秩的秩Af TfX AX 二次型二次型定義定義2：例例1寫(xiě)出下面二次型寫(xiě)出下面二次型 f 的矩陣表示，并求的矩陣表示，并求 f 的秩的秩r(f)。解解3231213322211410695xxxxxxxxxf AxxxxxxxxT 321321975753531,BxxxxxxxxxxxfT 321321321987654321,),(2)r()r( Af： 在二次型在二次型 中中,如不限制如不限制 A對(duì)稱對(duì)稱, A唯一嗎唯一嗎?AxxfT 只含平方項(xiàng)的二次型只含平方項(xiàng)的二次型2222211nnxkxkxkf nnnxxkk

6、xx111,稱為二次型的稱為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形(或法式或法式)。平方項(xiàng)系數(shù)只在平方項(xiàng)系數(shù)只在 中取值的標(biāo)準(zhǔn)形中取值的標(biāo)準(zhǔn)形0 , 1, 1 221221rppxxxxf (：這里規(guī)范形要求系數(shù)為：這里規(guī)范形要求系數(shù)為1的項(xiàng)排的項(xiàng)排在前面，其次排系數(shù)為在前面，其次排系數(shù)為-1的項(xiàng)。與書(shū)上略有不同。的項(xiàng)。與書(shū)上略有不同。)稱為二次型的稱為二次型的規(guī)范形規(guī)范形。 )1(,1,21 njijiijnxxaxxxf對(duì)給定的二次型對(duì)給定的二次型找可逆的線性變換找可逆的線性變換(坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換)： nnnnnnnnnnycycycxycycycxycycycx22112222121212121111)(

7、可逆可逆其中其中ijcC 代入代入(1)式，使之成為標(biāo)準(zhǔn)形式，使之成為標(biāo)準(zhǔn)形2222211nnykykykf 稱上面過(guò)程為稱上面過(guò)程為化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形。簡(jiǎn)記簡(jiǎn)記nnycycycx12121111,)(,nnijcCCYX設(shè)設(shè),21TnxxxX.,21TnyyyY若若一、一、 非退化線性變換（可逆線性變換）非退化線性變換（可逆線性變換）nnycycycx22221212nnnnnnycycycx2211為為可逆線性變換。可逆線性變換。CYX 當(dāng)當(dāng)C 是可逆矩陣時(shí)是可逆矩陣時(shí), , 稱稱對(duì)于二次型，我們討論的對(duì)于二次型，我們討論的主要問(wèn)題主要問(wèn)題是：是：尋求尋求可逆的可逆的線性變換

8、，使二次型只含平方項(xiàng)。線性變換，使二次型只含平方項(xiàng)。,1nTijiji jfX AXa x x 即二次型即二次型經(jīng)過(guò)可逆線性變換經(jīng)過(guò)可逆線性變換CYX 2221122 nnfk yk yk y 使得使得為什么研究可逆為什么研究可逆的變換？的變換？即經(jīng)過(guò)可逆線性變換即經(jīng)過(guò)可逆線性變換CYX 可化為可化為AXXfTYACCYTT)()()(CYACYTACCBT令),(,21nkkkdiagB矩陣的合同：矩陣的合同： . , , , BAACCBCBAnT合同于合同于則稱則稱使得使得若存在可逆矩陣若存在可逆矩陣、階方陣階方陣兩個(gè)兩個(gè) 證明證明TTTACCB)( ) 1 (2) TBC ACC因?yàn)?

9、可逆)()( ArBr所所以以 )()( )2( )1(ArBrACCBT 仍仍是是對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣定理定理 設(shè)設(shè)A為對(duì)稱矩陣，且為對(duì)稱矩陣，且A與與B合同，則合同，則TTTTCAC)(BACCT注：合同仍然是一種等價(jià)關(guān)系注：合同仍然是一種等價(jià)關(guān)系矩陣合同的性質(zhì)：矩陣合同的性質(zhì)：(1) 反身性反身性(2) 對(duì)稱性對(duì)稱性(3) 傳遞性傳遞性記作記作AB二二. 化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形化二次型為標(biāo)準(zhǔn)形正交變換法正交變換法（重點(diǎn)）（重點(diǎn)） 配方法配方法目標(biāo)：目標(biāo)：AXXfT 二二次次型型 CYX 可可逆逆線線性性變變換換YACCYfTT)( 標(biāo)準(zhǔn)形標(biāo)準(zhǔn)形2222211nnykykyk YYT 問(wèn)題轉(zhuǎn)化為：?jiǎn)?/p>

10、題轉(zhuǎn)化為： 為為對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣，使使得得求求可可逆逆矩矩陣陣ACCCT回憶：回憶：, TA 總存在正交矩陣總存在正交矩陣對(duì)于任意實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)于任意實(shí)對(duì)稱矩陣 ATT1 使使得得，為正交矩陣，即為正交矩陣，即又又ETTTT TTT 1 所以所以, TA 總存在正交矩陣總存在正交矩陣對(duì)于任意實(shí)對(duì)稱矩陣對(duì)于任意實(shí)對(duì)稱矩陣ATTT 使得，使得，此結(jié)論用于二次型此結(jié)論用于二次型所以，所以，(P191 定理定理6.2.1) 總有總有任給二次型任給二次型,1,jiijnjijiijaaxxaf ,2222211nnyyyf .)(,21的的特特征征值值的的矩矩陣陣是是其其中中ijnaAf 化化為為標(biāo)標(biāo)準(zhǔn)準(zhǔn)

11、形形使使正正交交變變換換fPyx, 1. 正交變換法正交變換法對(duì)二次型對(duì)二次型,AXXfT2222211nnyyyf存在正交變換存在正交變換 ，使，使 PYX 其中其中n,21A為為 的特征值。的特征值。其中其中P 的列向量是的列向量是A的相應(yīng)于特征值的的相應(yīng)于特征值的n個(gè)兩兩正交個(gè)兩兩正交 的單位特征向量。的單位特征向量。定理：定理：例例1 1 用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所用的正交變換。用正交變換化二次型為標(biāo)準(zhǔn)型，并求出所用的正交變換。32212221321442,. 1xxxxxxxxxf解解（1 1）寫(xiě)出二次型）寫(xiě)出二次型 f 的矩陣的矩陣020212022A(2) (2) 求出

12、求出A的全部特征值及其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量的全部特征值及其對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量EA20212022412114223而它們所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量為而它們所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)正交的特征向量為212311P122312P221313P(3) (3) 寫(xiě)出正交變換寫(xiě)出正交變換取正交矩陣取正交矩陣321PPPP 21222112231則得所欲求的正交變換則得所欲求的正交變換PYX 即即21222112231321xxx321yyy（4 4） 寫(xiě)出寫(xiě)出321,xxxf的標(biāo)準(zhǔn)型。的標(biāo)準(zhǔn)型。易知經(jīng)上述正交變換易知經(jīng)上述正交變換PYX 后所得二次型的標(biāo)準(zhǔn)型后所得二次型的標(biāo)準(zhǔn)型23222124yyyf2.2

13、.3231212322213214844,xxxxxxxxxxxxf124242421A 4512424250512424242112AE4, 5:321的特征值為所以 A101,0121:, 05, 522121得基礎(chǔ)解系為解對(duì)XAE解解 二次型的矩陣為二次型的矩陣為TXAE1 ,21 , 1:, 04, 433得基礎(chǔ)解系為解對(duì)3）對(duì)每個(gè)基礎(chǔ)解系進(jìn)行Schmidt正交化、再單位化：1211;52451,012133111122211,21231,524451,02151,1321則令iii4, 5 , 5,32455031452523245451,41321diagAQQAQQQQT并且是正

14、交矩陣。則令f作正交變換作正交變換 X=QY，則，則232221455yyy注：正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形的優(yōu)點(diǎn)：注：正交變換化為標(biāo)準(zhǔn)形的優(yōu)點(diǎn)： 在幾何中，可以保持曲線在幾何中，可以保持曲線（曲面）的幾何形狀不變。（曲面）的幾何形狀不變。2. 配方法配方法 同時(shí)含有平方項(xiàng)同時(shí)含有平方項(xiàng)2ix與交叉項(xiàng)與交叉項(xiàng)jixx的情形。的情形。22220212323233(24)15()xxxxxx222123112132323( ,)(48)44f x x xxx xx xxxx x用配方法將下列二次型經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。用配方法將下列二次型經(jīng)可逆線性變換化為標(biāo)準(zhǔn)形。解：解：2222204212332322

15、333(24)15() )xxxxx xxx3231212322213214844),(xxxxxxxxxxxxf2221231233232(24)(24) 1520 xxx xxxxx x22123323(24)1520 xxxxx x321142xxxy22233yxx23xy 令令二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為二次型的標(biāo)準(zhǔn)形為22220123315fyyy1122331242013010yxyxyx112233214320132013xyxyxyYCX 112342/3xyyy223(2/3)xyy323(2/3)xyy即即為標(biāo)準(zhǔn)形為標(biāo)準(zhǔn)形, ,并求出所作的可逆線性變換并求出所作的可逆線性變換.312

16、132142),(xxxxxxxf例例3 3 用配方法化二次型用配方法化二次型211yyx解解 令令212yyx33xy323122213214422),(yyyyyyxxxf233222233121242)2(2yyyyyyyy232231)(2)(2yyyy 只含交叉項(xiàng)只含交叉項(xiàng)),(kjixxji的情形。的情形。311yyz223zyy33yz 211zzy322zzy33zy 即即令令.222221zzf100011011321xxx321yyy321yyy100110011321zzz321xxx100011011100110011321zzz100211011321zzz211zz

17、x32122zzzx33zx 所用的可逆線性變換為所用的可逆線性變換為ZCX 思考題：思考題：1、._,0000000000000004,1111111111111111BABA與則設(shè)(1) 合同且相似；合同且相似；(2) 合同但不相似；合同但不相似；(3) 不合同但相似；不合同但相似； (4) 不合同且不相似；不合同且不相似；化為標(biāo)準(zhǔn)形經(jīng)正交變換、設(shè)PYXAXXfT2,3232221yyyf求原二次型。），的一個(gè)特征向量為（對(duì)應(yīng)若,1223TA以上說(shuō)明：以上說(shuō)明：化為標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程化為標(biāo)準(zhǔn)形的過(guò)程，經(jīng)過(guò)可逆線性變換經(jīng)過(guò)可逆線性變換二次型二次型CYXAXXfT . , 的的秩秩不不變變且且二二次

18、次型型合合同同的的對(duì)對(duì)角角矩矩陣陣尋尋找找一一個(gè)個(gè)與與對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣fACCBAT注意：注意：. . 1必必為為對(duì)對(duì)稱稱矩矩陣陣的的矩矩陣陣二二次次型型Af2. 在變換二次型時(shí)，要求所作的線性變換是可逆的在變換二次型時(shí)，要求所作的線性變換是可逆的. 二次型必可化為規(guī)范形。二次型必可化為規(guī)范形。證證 設(shè)二次型設(shè)二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )經(jīng)正交變換化為經(jīng)正交變換化為:)0(22112211 irrppppkykykykykf(思考為什么一定可化為上面形式？思考為什么一定可化為上面形式？)再做一次可逆的線性變換再做一次可逆的線性變換 nrizyrizkyiiiii, 1

19、, 2 , 11則則 f 化為化為221221rppzzzzf 思考：在可互化的二次型思考：在可互化的二次型中最簡(jiǎn)單的是什么？在對(duì)中最簡(jiǎn)單的是什么？在對(duì)稱矩陣合同等價(jià)類中最簡(jiǎn)稱矩陣合同等價(jià)類中最簡(jiǎn)單的矩陣是什么？單的矩陣是什么？(1) 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形唯一嗎？二次型的標(biāo)準(zhǔn)形唯一嗎？ (2) 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)與二次型的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)的個(gè)數(shù)與二次型的秩有何關(guān)系？與二次型矩陣的非零特征值的個(gè)數(shù)有秩有何關(guān)系？與二次型矩陣的非零特征值的個(gè)數(shù)有何關(guān)系？何關(guān)系？ (3) 設(shè)設(shè)CTAC = D (C可逆，可逆，D是對(duì)角陣是對(duì)角陣)，D的對(duì)角的對(duì)角元是元是A的特征值嗎？如果的特征值嗎？如果C是

20、正交矩陣又如何？是正交矩陣又如何？ (4) 設(shè)設(shè)4階對(duì)稱矩陣階對(duì)稱矩陣A的特征值為的特征值為0, 2, 2, -3 , A的二的二次型的規(guī)范形是什么？次型的規(guī)范形是什么？例例4 ,把把二二次次型型求求一一個(gè)個(gè)正正交交變變換換Pyx ,0111101111011110 A433241312122222xxxxxxxxxxf 化為標(biāo)準(zhǔn)形?；癁闃?biāo)準(zhǔn)形。 111111111111 AE 1111111111111)1( icc 14 , 3 , 2 i1000212022101111)1( 120210111)1(2 1rri 4 , 3 , 2 i展展開(kāi)開(kāi)按按4r)3()1(1221)1(32 1,

21、 34321 得基礎(chǔ)解系得基礎(chǔ)解系解方程解方程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)0)3(,31 xAE 11111 單位化單位化 1111211p0)(,1432 xAE解解方方程程時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) 1111,1100,0011432 得正交的基礎(chǔ)解系得正交的基礎(chǔ)解系 111121,110021,001121432ppp單位化單位化 2202220220222022221,4321ppppP242322213yyyyf yPx 用正交變換用正交變換 ，二次型，二次型 f 化為標(biāo)準(zhǔn)形為化為標(biāo)準(zhǔn)形為例例532212221321442),(xxxxaxxxxxf 設(shè)二次型設(shè)二次型經(jīng)正交變換經(jīng)正交變換 化為標(biāo)準(zhǔn)形化為標(biāo)準(zhǔn)形yQx 23

22、22214ybyyf 求求 (1) a , b ; (2) 正交變換矩陣正交變換矩陣 Q .DbAQQAQQT 411 02022022aA二次型的矩陣為二次型的矩陣為由題意由題意由相似矩陣的性質(zhì)得由相似矩陣的性質(zhì)得 ，從而，從而)tr()tr(,DADA 410248bab2, 1 ba解得解得A與與D有相同的特征值，分別為有相同的特征值，分別為4, 2, 1321 T)2 , 1, 2(1 T)1 , 2, 2(3 T)2 , 2 , 1(2 求得它們對(duì)應(yīng)的特征向量求得它們對(duì)應(yīng)的特征向量(正交正交)為為再單位化并排成矩陣即得所求的正交變換矩陣再單位化并排成矩陣即得所求的正交變換矩陣 122

23、22121231Q6.3 正定正定二次型二次型本節(jié)討論二次型的分類問(wèn)題本節(jié)討論二次型的分類問(wèn)題. 重點(diǎn)是正定二次型重點(diǎn)是正定二次型. 在在n維的二次型中維的二次型中, 如果兩個(gè)二次型如果兩個(gè)二次型 xTAx 和和 yTBy可以互化，即可以互化，即ByyyACCyAxxTTTT )( 可可逆逆C yCx 則稱這兩個(gè)則稱這兩個(gè)二次型等價(jià)二次型等價(jià)。這相當(dāng)于。這相當(dāng)于ACCBT 即在即在n階對(duì)稱矩陣中階對(duì)稱矩陣中A與與B合同等價(jià)。合同等價(jià)。 我們把等價(jià)的二次型分為同一類。相當(dāng)于對(duì)稱矩我們把等價(jià)的二次型分為同一類。相當(dāng)于對(duì)稱矩陣的合同等價(jià)類。陣的合同等價(jià)類。什么條件決定兩個(gè)二次型等價(jià)？什么條件決定兩個(gè)

24、二次型等價(jià)？ 我們知道我們知道, 等價(jià)的二次型有相同的秩等價(jià)的二次型有相同的秩, 也就是標(biāo)準(zhǔn)形也就是標(biāo)準(zhǔn)形中平方項(xiàng)個(gè)數(shù)相等中平方項(xiàng)個(gè)數(shù)相等. 但秩相等的兩個(gè)二次型不一定等價(jià)但秩相等的兩個(gè)二次型不一定等價(jià).例如例如 與與 不可能等價(jià)不可能等價(jià). 2221xxf 2221yyg 因?yàn)椴淮嬖诳赡婢仃囈驗(yàn)椴淮嬖诳赡婢仃?C 滿足滿足 1001CCECCTT1)2 , 2(222212 ccCCT元元素素為為的的因?yàn)橐驗(yàn)? P196 定理定理6.3.1 ) 二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正項(xiàng)個(gè)數(shù)稱為二次型的二次型的標(biāo)準(zhǔn)形中正項(xiàng)個(gè)數(shù)稱為二次型的正慣性指數(shù)正慣性指數(shù), 負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)稱為二次型的負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)稱為二次型的負(fù)慣性指數(shù)負(fù)

25、慣性指數(shù). 設(shè)二次型設(shè)二次型 f 的秩為的秩為 r , 正慣性指數(shù)為正慣性指數(shù)為 p , 則則負(fù)慣性指為負(fù)慣性指為 r p . f 的規(guī)范形為的規(guī)范形為221221rppxxxxf ：兩個(gè)二次型是否等價(jià)，被其秩：兩個(gè)二次型是否等價(jià)，被其秩和正慣性指數(shù)唯一確定。和正慣性指數(shù)唯一確定。 如果如果 n 維的二次型維的二次型 f(x) = xTAx 其標(biāo)準(zhǔn)形系數(shù)全為正，其標(biāo)準(zhǔn)形系數(shù)全為正，則稱之為則稱之為正定二次型正定二次型，二次型的矩陣，二次型的矩陣 A 稱為稱為正定矩陣正定矩陣；如果標(biāo)；如果標(biāo)準(zhǔn)形中系數(shù)全為負(fù)，則稱之為準(zhǔn)形中系數(shù)全為負(fù)，則稱之為負(fù)定二次型負(fù)定二次型，二次型的矩陣稱為，二次型的矩陣稱

26、為負(fù)定矩陣負(fù)定矩陣。)0(2222211 innkykykyk化標(biāo)準(zhǔn)形化標(biāo)準(zhǔn)形化規(guī)范形化規(guī)范形22221nzzz AxxxfT )(正定二次型為正定二次型為 顯然，如果顯然，如果 f 負(fù)定，則負(fù)定，則 f 正定，以后只需討論正定二正定，以后只需討論正定二次型次型(正定矩陣正定矩陣)。)( 可可逆逆CCCECCATT . (注：書(shū)上以后者為定義注：書(shū)上以后者為定義)AxxxfT )(2222211nnykykyk 證證 設(shè)設(shè)yCx 可逆可逆C必要性：設(shè)必要性：設(shè) f 正定，即正定，即), 2 , 1(0niki 對(duì)任意對(duì)任意x0，則，則 ，故，故01 xCy0)(2222211 nnykykykxf充分性：反證。如果有某個(gè)充分性：反證。如果有某個(gè) ，取，取0 ik0 ieCxiiTTikeACCexf )()(, 與與 矛盾。矛盾。0 ik, 011 a, 022211211 aaaa,01111 nnnnaaaa( 霍爾維茨定理霍爾維茨定理 ) 對(duì)稱矩陣對(duì)稱矩陣A為正定的充要條件是：為正定的充要條件是：A的各階主子的各階主子式全為正，即式全為正，即判別二次型判別二次型 32312123222132148455,xxxxxxxxxxx