《二維形式的柯西不等式》課件（新人教選修）

1、第三講第三講柯西不等式與柯西不等式與排序不等式排序不等式 二維形式的柯西不等式二維形式的柯西不等式若若a,b,c,d都是實數(shù)都是實數(shù),則則 (a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)2當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)ad=bc時時,等號成立等號成立.定理定理1（二維形式的柯西不等式）二維形式的柯西不等式）:你能證明嗎？你能證明嗎？推論推論22222222|abcdacbdabcdacbd為非負(fù)實數(shù)）。dcbabdacdcba,()()()(2 向量形式：向量形式：( , ),( , )| |cosma b nc dm nmnm nacbd | | | |cos| | | | |m nmnmnm nmn | |

2、設(shè)設(shè),是兩個向量是兩個向量,則則 當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)是零向量是零向量,或存在實數(shù)或存在實數(shù)k,使使=k時時,等號成立等號成立.定理定理2: （柯西不等式的向量形式）柯西不等式的向量形式）xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)0 xyP1(x1,y1)P2(x2,y2)022122122222121)()(yyxxyxyx根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及三角形的根據(jù)兩點(diǎn)間距離公式以及三角形的邊長關(guān)系邊長關(guān)系:觀察觀察定理定理（二維形式的三角不等式）（二維形式的三角不等式）設(shè)，那么設(shè)，那么1212,Ryyxx22122122222121)()(yyxxyxyx 例題例例1.已知已知a,b為實數(shù)為實數(shù),證明：

3、證明： (a4+b4) (a2+b2) (a3+b3)2.51102.yxx 例2求函數(shù)的最大值例例3.設(shè)設(shè)a,bR+,a+b=1,求證求證411ba4)11)(baba注意應(yīng)用公式：練習(xí)：22221.2x36, 2112.1, | cossin| 1yxyabab已知求證已知求證作業(yè)第第37頁頁,第第1,5,6題題 一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式22222212312321 1223 3()()()aaabbbaba ba b(a2+b2)(c2+d2)(ac+bd)222222212n12n21 122(.)(.)(.)nnaaabbba ba ba b二維形式的柯西不等式）二維

4、形式的柯西不等式）:三維形式的柯西不等式）三維形式的柯西不等式）:n維形式的柯西不等式）維形式的柯西不等式）:222112n22212n2221).().().(nnbabababbbaaa定理定理 設(shè)設(shè)nnbbbbaaaa,.,.,321321是實數(shù)，則是實數(shù)，則當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng) (i=1,2,n) 或或 在一個在一個 數(shù)數(shù)k使得使得 (i=1,2,n) 時等號成立。時等號成立。 以上不等式稱為以上不等式稱為一般形式的柯西不等式一般形式的柯西不等式。0ibiikba ).,.,2, 1,()(.)()(.)()()(22222112222122221221221221222222212121niRyxyxyxyxyyyxxxzzyyxxzyxzyxiinnnn一般形式的三角不等式一般形式的三角不等式例例1 已知已知123,.,na aaa都是實數(shù)，求證：都是實數(shù)，求證：22221212n1(.).naaaaaan22212n.aaa例例2 已知已知a,b,c,d是不全相等的正數(shù)，證明：是不全相等的正數(shù)，證明：ab+bc+cd+da.例例3 已知已知x+2y+3z=1,求求 的最小值。的最小值。222xyz 排序不等式排序不等式1212121212111 1221 1221212.,.,.nnnnnnnnnnnnaaabbc ccb bbaba