第三章 靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

1、1. 1. 彈性桿件的變形與變形能計(jì)算彈性桿件的變形與變形能計(jì)算2. 2. 變形體虛功原理變形體虛功原理3. 3. 單位荷載法單位荷載法4. 4. 圖乘法圖乘法5. 5. 其他外因引起的位移計(jì)算其他外因引起的位移計(jì)算6. 6. 互等定理互等定理7. 7. 結(jié)論與討論結(jié)論與討論Displacement of Statically Determinate Structures xyAAFPDC CDDCFP 鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定鐵路工程技術(shù)規(guī)范規(guī)定: (1) 剛度要求剛度要求如：如：在工程上，在工程上，吊車梁允許的撓度吊車梁允許的撓度 1/600 跨度；跨度；橋梁在豎向活載下，橋梁在豎向活載下，鋼

2、板橋梁和鋼桁梁最大撓度鋼板橋梁和鋼桁梁最大撓度 1/700 和和1/900跨度跨度高層建筑的最大位移高層建筑的最大位移 1/1000 高度。高度。最大層間位移最大層間位移 1/800 層高。層高。（3）理想聯(lián)結(jié)）理想聯(lián)結(jié) (Ideal Constraint)。 (2) 超靜定、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算超靜定、動(dòng)力和穩(wěn)定計(jì)算(3）施工要求）施工要求（principle of superposition)(1) 線彈性線彈性 (Linear Elastic),(2) 小變形小變形 (Small Deformation),返返首首 (Principle of Virtual Work)一、功一、功(Work)

3、、實(shí)功、實(shí)功(Real Work)和虛功和虛功(Virtual Work)位移狀態(tài)位移狀態(tài)FPFP /2FP /2（虛）力狀態(tài)力狀態(tài)（虛力狀態(tài)）（虛位移狀態(tài)）（虛）位移狀態(tài)位移狀態(tài)q（3）位移狀態(tài)與力狀態(tài)）位移狀態(tài)與力狀態(tài)完全無關(guān)完全無關(guān)；（2）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿足）均為可能狀態(tài)。即位移應(yīng)滿足變變形協(xié)調(diào)條件形協(xié)調(diào)條件；力狀態(tài)應(yīng)滿足；力狀態(tài)應(yīng)滿足平衡平衡條件條件。 （1）屬）屬同一同一體系；體系；廣義力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功廣義力在自身所產(chǎn)生的位移上所作的功力力力方向位移之總和力方向位移之總和功的表達(dá)式中，與廣義位移對應(yīng)的項(xiàng)功的表達(dá)式中，與廣義位移對應(yīng)的項(xiàng)廣義力廣義力廣義位移之總和廣

4、義位移之總和廣義力與廣義位移無關(guān)時(shí)所作的功廣義力與廣義位移無關(guān)時(shí)所作的功W=FP/2W=FP111 /2orW=FP222 /2W=FP112orW=FP221（1）質(zhì)點(diǎn)系的虛位移原理）質(zhì)點(diǎn)系的虛位移原理具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系，在某一位置處于平衡的必要和某一位置處于平衡的必要和充分條件是：充分條件是：1PF2NF1NF2PF1m2mfi ri=0對于任何對于任何可能可能的虛位移，的虛位移，作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所作用于質(zhì)點(diǎn)系的主動(dòng)力所做虛功之和為零。也即做虛功之和為零。也即（2）剛體系的虛功原理）剛體系的虛功原理 去掉約束而代以相應(yīng)的去掉約束而代以相應(yīng)的反力，該反力便可看成

5、外反力，該反力便可看成外力。則有：剛體系處于平力。則有：剛體系處于平衡的必要和充分條件是：衡的必要和充分條件是： 對于任何對于任何可能可能的的虛位移，作用于剛虛位移，作用于剛體系的所有外力所體系的所有外力所做虛功之和為零。做虛功之和為零。FPAxFBFAyFPB- -FP P +FB B=0原理的表述：原理的表述： 任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)任何一個(gè)處于平衡狀態(tài)的變形體，當(dāng)發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力發(fā)生任意一個(gè)虛位移時(shí)，變形體所受外力在虛位移時(shí)所作的總虛功在虛位移時(shí)所作的總虛功We，恒等于變，恒等于變形體所接受的總虛變形功形體所接受的總虛變形功Wi。也即恒有。也即恒有如下虛功方

6、程成立如下虛功方程成立We = =Wi（3）變形體的虛功原理）變形體的虛功原理變形體虛功原理的證明變形體虛功原理的證明 虛位移是光滑、連續(xù)的，相鄰分割面虛虛位移是光滑、連續(xù)的，相鄰分割面虛位移相同。位移相同。 將變形體分割成若干將變形體分割成若干(有限或無限有限或無限)部分，部分，計(jì)算各部分外力總虛功有兩種方案計(jì)算各部分外力總虛功有兩種方案方案一：方案一： 各部分上的外力區(qū)分為：外荷載和分割各部分上的外力區(qū)分為：外荷載和分割面內(nèi)力兩類，相鄰分割面內(nèi)力互為作用與面內(nèi)力兩類，相鄰分割面內(nèi)力互為作用與反作用關(guān)系。反作用關(guān)系。各部分外力總虛功各部分外力總虛功=外荷載總虛功外荷載總虛功W = =We變形

7、體虛功原理的證明變形體虛功原理的證明 變形體是平衡的，其各部分也必然平衡。變形體是平衡的，其各部分也必然平衡。因此，各部分上的外力是平衡力系。因此，各部分上的外力是平衡力系。方案二：方案二： 各部分的虛位移區(qū)分為：剛體虛位移和變各部分的虛位移區(qū)分為：剛體虛位移和變形虛位移兩類。但形虛位移兩類。但必須注意必須注意，虛位移是光滑，虛位移是光滑連續(xù)的，可剛體和變形虛位移在分割面處一連續(xù)的，可剛體和變形虛位移在分割面處一般是不光滑、連續(xù)的。般是不光滑、連續(xù)的。W = =Wi 根據(jù)剛體虛位移原理，外力在剛體虛位移根據(jù)剛體虛位移原理，外力在剛體虛位移上的總虛功等于零。因此上的總虛功等于零。因此各部分外力總

8、虛功各部分外力總虛功=外力在變形虛位移上的總虛功外力在變形虛位移上的總虛功兩方案計(jì)算同一內(nèi)容，因此兩方案計(jì)算同一內(nèi)容，因此We = =Wi需要強(qiáng)調(diào)的幾個(gè)問題需要強(qiáng)調(diào)的幾個(gè)問題 原理的證明表明，原理適用于原理的證明表明，原理適用于任何力學(xué)行任何力學(xué)行為為(線性和非線性線性和非線性)的變形體的變形體，適用于，適用于任何結(jié)任何結(jié)構(gòu)構(gòu)。虛功原理里存在兩個(gè)狀態(tài)：虛功原理里存在兩個(gè)狀態(tài)：力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿力狀態(tài)必須滿足平衡條件；位移狀態(tài)必須滿足協(xié)調(diào)條件。因此原理僅是足協(xié)調(diào)條件。因此原理僅是必要性命題必要性命題。 由于外力在變形虛位移上所作的功相對分由于外力在變形虛位移上所作的功相對分割

9、面內(nèi)力的虛變形功為高階小量，因此許多割面內(nèi)力的虛變形功為高階小量，因此許多文獻(xiàn)上文獻(xiàn)上稱稱Wi為內(nèi)力總虛功為內(nèi)力總虛功。 原理可有兩種應(yīng)用：原理可有兩種應(yīng)用： 實(shí)際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位實(shí)際待分析的平衡力狀態(tài)，虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，將移狀態(tài)，將平衡問題化為幾何問題來求解平衡問題化為幾何問題來求解。需要強(qiáng)調(diào)的幾個(gè)問題需要強(qiáng)調(diào)的幾個(gè)問題 實(shí)際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡實(shí)際待分析的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)，虛設(shè)的平衡力狀態(tài)，將力狀態(tài)，將位移分析化為平衡問題來求解位移分析化為平衡問題來求解。 第一種應(yīng)用一些文獻(xiàn)稱為第一種應(yīng)用一些文獻(xiàn)稱為“虛位移原理虛位移原理”，而將第二種應(yīng)用稱為而將第二種應(yīng)用稱為“

10、虛力原理虛力原理”。更確切。更確切的說法為，的說法為，兩種應(yīng)用的依據(jù)是上述兩原理的兩種應(yīng)用的依據(jù)是上述兩原理的必要性命題必要性命題。上述兩原理都是充分、必要性。上述兩原理都是充分、必要性命題，命題，它們和虛功原理是有區(qū)別的它們和虛功原理是有區(qū)別的。 質(zhì)點(diǎn)系是一個(gè)離散化體系，變形體是一個(gè)質(zhì)點(diǎn)系是一個(gè)離散化體系，變形體是一個(gè)連續(xù)體。我們認(rèn)為，所謂將質(zhì)點(diǎn)系虛位移原連續(xù)體。我們認(rèn)為，所謂將質(zhì)點(diǎn)系虛位移原理理( )“應(yīng)用于變形體應(yīng)用于變形體”是不妥當(dāng)是不妥當(dāng)?shù)?。的。fi ri=0當(dāng)變形體為桿件體系時(shí)，如：當(dāng)變形體為桿件體系時(shí)，如：ABCDq(s)ijp(s)m(s)*jM*QjF取任一單元取任一單元*N

11、jF*QiF*iM*NiFWe 的計(jì)算的計(jì)算:當(dāng)無結(jié)點(diǎn)荷載時(shí)當(dāng)無結(jié)點(diǎn)荷載時(shí),We =pu+qv+mds當(dāng)有結(jié)點(diǎn)荷載時(shí)當(dāng)有結(jié)點(diǎn)荷載時(shí)We =pu+qv+mds+ FPxu+FPyv+M i結(jié)點(diǎn)荷載結(jié)點(diǎn)荷載結(jié)點(diǎn)位移結(jié)點(diǎn)位移Wi 的計(jì)算的計(jì)算:微段拉伸微段拉伸微段剪切微段剪切微段扭轉(zhuǎn)微段扭轉(zhuǎn)微段彎曲微段彎曲Wi =FN+FQ+Mx+Mds取微段取微段,其受力如下其受力如下對于直桿體系，由于變形互不耦連，所以對于直桿體系，由于變形互不耦連，所以變形可看成有如下幾部分變形可看成有如下幾部分微段受力微段受力桿系結(jié)構(gòu)虛功方程桿系結(jié)構(gòu)虛功方程根據(jù)上述推證，可得桿系結(jié)構(gòu)虛功方程如下根據(jù)上述推證，可得桿系結(jié)構(gòu)虛功

12、方程如下We =pu+qv+mds+ FPxu+FPyv+M i=FN+FQ+Mx+Mds = Wi 希望能很好理解，盡可能達(dá)到掌握！希望能很好理解，盡可能達(dá)到掌握！ 1）虛功原理用于）虛功原理用于虛設(shè)的虛設(shè)的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)協(xié)調(diào)位移狀態(tài)與與實(shí)際的實(shí)際的平衡力狀態(tài)平衡力狀態(tài)之間。之間。例例. 求求 A 端的支座反力端的支座反力(Reaction at Support)。FPABaC(a)b解：去掉解：去掉A端約束并代以反力端約束并代以反力 X，構(gòu)造相，構(gòu)造相應(yīng)的虛位移狀態(tài)如圖應(yīng)的虛位移狀態(tài)如圖(b)、(c)0PCXFX 0XXabPX PabX待分析平衡的力狀態(tài)待分析平衡的力狀態(tài)X(b)FP由外力

13、虛功總和為零，即：由外力虛功總和為零，即：X C (c)直線直線虛設(shè)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)虛設(shè)協(xié)調(diào)的位移狀態(tài)通常取通常取xX 1單位位移法單位位移法(Unit-Displacement Method)(1)對靜定結(jié)構(gòu)，這里實(shí)際用的是剛體虛對靜定結(jié)構(gòu)，這里實(shí)際用的是剛體虛位移原理，實(shí)質(zhì)上是位移原理，實(shí)質(zhì)上是實(shí)際受力狀態(tài)的平衡實(shí)際受力狀態(tài)的平衡方程方程，即，即0BM幾點(diǎn)說明：幾點(diǎn)說明：(3)求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位求解時(shí)關(guān)鍵一步是找出虛位移狀態(tài)的位移關(guān)系。移關(guān)系。(2)虛位移與實(shí)際力狀態(tài)無關(guān)虛位移與實(shí)際力狀態(tài)無關(guān),故可設(shè)故可設(shè)1x 用幾何法來解靜力平衡問題用幾何法來解靜力平衡問題。例例. 求求

14、A 端支座發(fā)生豎向位移端支座發(fā)生豎向位移 c 時(shí)引起時(shí)引起C點(diǎn)點(diǎn)的豎向位移的豎向位移 .(a)ABaCbAC c 2）虛功原理用于）虛功原理用于虛設(shè)的虛設(shè)的平衡力狀態(tài)平衡力狀態(tài)與與實(shí)實(shí)際的際的協(xié)調(diào)位移狀態(tài)協(xié)調(diào)位移狀態(tài)之間。之間。解：首先構(gòu)造出相應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)。即，解：首先構(gòu)造出相應(yīng)的虛設(shè)力狀態(tài)。即，在擬求位移之點(diǎn)（在擬求位移之點(diǎn)（C點(diǎn)）沿?cái)M求位移方向點(diǎn)）沿?cái)M求位移方向（豎向）設(shè)置（豎向）設(shè)置單位荷載單位荷載。1ABC(b)AF由由 求得：求得： 0BMabFA虛功方程為：虛功方程為：01cFA cab 這便是這便是單位荷載法單位荷載法 (Dummy-Unit Load Method)它是它是 Maxwell, 1864和和Mohr, 1874提出，故提出，故也稱為也稱為Maxwell-Mohr Method幾點(diǎn)說明：幾點(diǎn)說明：(1)所建立的所建立的虛功方程虛功方程,實(shí)質(zhì)上是實(shí)質(zhì)上是幾何方程幾