計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察課件

1、2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察1The class is begin !2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察2第第6章章 二維變換及二維觀察二維變換及二維觀察提出問(wèn)題提出問(wèn)題 如何對(duì)二維圖形進(jìn)行方向、尺寸和形狀方面的變換如何對(duì)二維圖形進(jìn)行方向、尺寸和形狀方面的變換 如何方便地實(shí)現(xiàn)在顯示設(shè)備上對(duì)二維圖形進(jìn)行觀察如何方便地實(shí)現(xiàn)在顯示設(shè)備上對(duì)二維圖形進(jìn)行觀察圖形變換的作用圖形變換的作用 可由簡(jiǎn)單圖形得到復(fù)雜圖形，方便用戶觀察可由簡(jiǎn)單圖形得到復(fù)雜圖形，方便用戶觀察 可應(yīng)用戶需求隨時(shí)對(duì)圖形進(jìn)行連續(xù)幾何變換可應(yīng)用戶需求隨時(shí)對(duì)圖形進(jìn)行連續(xù)幾何變換2022-3-2

2、4計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察36.1.1 齊次坐標(biāo)齊次坐標(biāo)引入目的：引入目的： 將齊次坐標(biāo)技術(shù)引入到計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，圖將齊次坐標(biāo)技術(shù)引入到計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中，圖形的變換可以轉(zhuǎn)化為形的變換可以轉(zhuǎn)化為表示圖形的點(diǎn)集矩陣與某一變表示圖形的點(diǎn)集矩陣與某一變換矩陣進(jìn)行矩陣相乘換矩陣進(jìn)行矩陣相乘這一單一問(wèn)題，便于借助于計(jì)這一單一問(wèn)題，便于借助于計(jì)算機(jī)的高速計(jì)算功能得到變換后的圖形，從而為高算機(jī)的高速計(jì)算功能得到變換后的圖形，從而為高動(dòng)態(tài)的計(jì)算機(jī)圖形顯示提供了可能性。動(dòng)態(tài)的計(jì)算機(jī)圖形顯示提供了可能性。6.1 基本概念基本概念2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察4 齊次坐標(biāo)表示齊次

3、坐標(biāo)表示就是用n+1維向量表示一個(gè)n維向量。如：在二維平面中，點(diǎn)px,y的齊次坐標(biāo)表示為hx,hy,h，h為任一不為0的比例系數(shù)。 在三維、四維n維空間中依此類推。可見，某點(diǎn)的齊次坐標(biāo)是不唯一的?？梢?，某點(diǎn)的齊次坐標(biāo)是不唯一的。2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察5 保證齊次坐標(biāo)惟一性的辦法保證齊次坐標(biāo)惟一性的辦法就是定義規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示。 規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示就是h=1的齊次坐標(biāo)表示。 規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維規(guī)范化齊次坐標(biāo)表示提供了用矩陣運(yùn)算把二維、三維甚至更高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)坐標(biāo)系變換到另甚至更高維空間中的一個(gè)點(diǎn)集從一個(gè)

4、坐標(biāo)系變換到另一個(gè)坐標(biāo)系的有效辦法一個(gè)坐標(biāo)系的有效辦法。2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察6 在定義了規(guī)范化齊次坐標(biāo)后，圖形變換可以在定義了規(guī)范化齊次坐標(biāo)后，圖形變換可以表示為圖形點(diǎn)集的表示為圖形點(diǎn)集的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣與某一變規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣與某一變換矩陣進(jìn)行矩陣相乘的形式。換矩陣進(jìn)行矩陣相乘的形式。 如，二維齊次變換矩陣，簡(jiǎn)稱為二維變換矩陣為：如，二維齊次變換矩陣，簡(jiǎn)稱為二維變換矩陣為：smlqdcpbaTD22022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察7圖形的圖形的幾何變換幾何變換是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過(guò)平是指對(duì)圖形的幾何信息經(jīng)過(guò)平移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換

5、后產(chǎn)生新的圖形，是移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形，是圖形在方向、尺寸和形狀方面的變換。圖形在方向、尺寸和形狀方面的變換。6.1.2 幾何變換幾何變換2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察86.1.3 二維變換矩陣二維變換矩陣 smlqdcpbayxTyxyxD1112設(shè)設(shè)p(x,y)為為xOy平面上二維圖形變換前的一點(diǎn)，變換平面上二維圖形變換前的一點(diǎn)，變換后該點(diǎn)為后該點(diǎn)為p(x,y)，通過(guò)引入規(guī)范化齊次坐標(biāo)可進(jìn)通過(guò)引入規(guī)范化齊次坐標(biāo)可進(jìn)行如下變換：行如下變換：比例、旋轉(zhuǎn)、比例、旋轉(zhuǎn)、對(duì)稱、錯(cuò)切等對(duì)稱、錯(cuò)切等變換變換平移變換平移變換投影變換投影變換整體比例變換整體比例變換2

6、022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察96.2 基本幾何變換基本幾何變換基本幾何變換都是相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)坐標(biāo)原點(diǎn)和坐標(biāo)軸坐標(biāo)軸進(jìn)行的幾何變換【聲明聲明】在以下的講述中，均假定用在以下的講述中，均假定用p(x, y)表示平面表示平面xOy上一個(gè)未被變換點(diǎn)，該點(diǎn)經(jīng)某種變換后變?yōu)樾律弦粋€(gè)未被變換點(diǎn)，該點(diǎn)經(jīng)某種變換后變?yōu)樾曼c(diǎn)用點(diǎn)用p(x, y)表示。表示。2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察106.2.1 平移變換平移變換平移平移是指將p點(diǎn)沿直線路徑從一個(gè)坐標(biāo)位置移到另一個(gè)坐標(biāo)位置的重定位過(guò)程。YXTxTy圖6-1 平移變換PPTp點(diǎn)經(jīng)平移變換后有： x=x+Tx y

7、=y+TyTx、Ty分別為x方向、y方向的平移矢量平移是一種不產(chǎn)生變形而移動(dòng)物體的剛體變換（rigid-body transformation）2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察111010001yxTT引入齊次坐標(biāo)和二維變換矩陣后，平移變換的計(jì)算引入齊次坐標(biāo)和二維變換矩陣后，平移變換的計(jì)算形式可寫為形式可寫為：6.26.2.1.1 平移變換平移變換x y 1 =x y 1*=x+Tx y+Ty 1平移變換矩陣平移變換矩陣2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察126.2.2 比例變換比例變換比例變換比例變換是指對(duì)p點(diǎn)相對(duì)于坐標(biāo)原點(diǎn)沿x方向放縮Sx倍，沿y

8、方向放縮Sy倍。p點(diǎn)經(jīng)比例變換后有： x=x.Sx y=y.SySx和Sy稱為比例系數(shù)比例系數(shù)YX圖6-2 比例變換(Sx=2,Sy=3)P(4,3)P(2,1)2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察13引入齊次坐標(biāo)和二維變換矩陣后，比例變換的計(jì)算引入齊次坐標(biāo)和二維變換矩陣后，比例變換的計(jì)算形式如下形式如下：6.2.2 比例變換比例變換x y 1 =x y 1*=x.Sx y.Sy 1比例矩陣比例矩陣1000000yxSS2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察14(a) Sx=Sy比例原圖(b) SxSy比例原圖圖6-3 比例變換SxSySx=Sy1Sx=S

9、y1、0S1、S0：圖形沿+x方向作錯(cuò)切位移。ABCDA1B1C1D1n當(dāng)c0：圖形沿+y方向作錯(cuò)切位移。ABCD A1B1C1D1n當(dāng)b0：圖形沿-y方向作錯(cuò)切位移。ABCD A2B2C2D22022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察31兩個(gè)方向錯(cuò)切錯(cuò)切當(dāng)b0且c0時(shí)，n(x y 1)=(x+cy bx+y 1) ：圖形沿x,y兩個(gè)方向作錯(cuò)切位移。n錯(cuò)切變換引起圖形角度關(guān)系的改變，甚至導(dǎo)致圖形發(fā)生變形。2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察32過(guò)過(guò) 渡渡以上的分析均是以點(diǎn)的變換為基礎(chǔ)的，但得到的以上的分析均是以點(diǎn)的變換為基礎(chǔ)的，但得到的變換矩陣是完全可以推廣到

10、直線、多邊形等二變換矩陣是完全可以推廣到直線、多邊形等二維圖形的幾何變換的變換中維圖形的幾何變換的變換中即即二維圖形的幾何變換均可表示成齊次坐標(biāo)與二維圖形的幾何變換均可表示成齊次坐標(biāo)與3階階的二維變換矩陣的二維變換矩陣T的乘法形式。的乘法形式。2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察336.2.6 二維圖形幾何變換的計(jì)算二維圖形幾何變換的計(jì)算一般，幾何變換均可表示成一般，幾何變換均可表示成P=P*T的形式，的形式，其中，其中，P為變換前二維圖形的規(guī)范化齊次坐標(biāo)，為變換前二維圖形的規(guī)范化齊次坐標(biāo)，P為變換后二維圖形的規(guī)范化齊次坐標(biāo)，為變換后二維圖形的規(guī)范化齊次坐標(biāo)，T為變換矩陣。

11、為變換矩陣。2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察34點(diǎn)的變換點(diǎn)的變換將點(diǎn)表示為規(guī)范化齊次坐標(biāo)形式，可為行矩陣將點(diǎn)表示為規(guī)范化齊次坐標(biāo)形式，可為行矩陣（或列矩陣），則（或列矩陣），則P=P*T的形式可寫為：的形式可寫為：x y 1 =x y 1*T2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察35直線的變換直線的變換直線的變換可通過(guò)對(duì)直線兩端點(diǎn)進(jìn)行變換，從直線的變換可通過(guò)對(duì)直線兩端點(diǎn)進(jìn)行變換，從而改變直線的位置和方向。而改變直線的位置和方向。直線兩端點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣為：直線兩端點(diǎn)的規(guī)范化齊次坐標(biāo)矩陣為：與變換矩陣相乘，與變換矩陣相乘， P=P*T，即即x1 y

12、1 1x2 y2 1x1 y1 1x2 y2 1x1 y1 1x2 y2 1.T=2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察36多邊形的變換多邊形的變換多邊形的變換是將變換作用于每個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)多邊形的變換是將變換作用于每個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)位置，并按新的頂點(diǎn)坐標(biāo)和當(dāng)前屬性設(shè)置來(lái)生位置，并按新的頂點(diǎn)坐標(biāo)和當(dāng)前屬性設(shè)置來(lái)生成新的多邊形。成新的多邊形。具體操作為：首先將各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)寫成矩陣形具體操作為：首先將各個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)寫成矩陣形式，然后集中一起與變換矩陣相乘。式，然后集中一起與變換矩陣相乘。例如：有例如：有n個(gè)頂點(diǎn)的多邊形，頂點(diǎn)矩陣為：個(gè)頂點(diǎn)的多邊形，頂點(diǎn)矩陣為：2022-3-24計(jì)算機(jī)圖形學(xué)第11講二維變換及二維觀察37多邊形的變換多邊形的變換與變換矩陣相乘，與變換矩陣相乘， Pn=Pn*T，即即x1 y1 1x2 y2 1 xn yn 1.T=x1 y1 1x2 y2