如何處理棘手的非線性問題

1、.如何處理棘手的非線性問題最近，我的工程師團隊遭遇到了一個真正棘手的的問題。這是那種正在變得越來越典型的問題，它真真切切地反映出現(xiàn)今來自于實際問題的挑戰(zhàn)和復雜性。為了設計出了一種可膨脹的防泄漏系統(tǒng)，我們需要采用某種非紡織聚合材料作為氣囊結(jié)構，這種氣囊材料像紙一樣具有高度的柔韌性，但在特殊的應用中，它會更堅韌，并且具有更多的功能。我們的任務在于：對于某個給定的氣囊尺寸，挑選出最優(yōu)秀地非紡織聚合材料，保證防泄漏系統(tǒng)可以承受14 psi的內(nèi)壓而不破裂。盡管我們解決過一些其他的高度非線性問題，例如，減少復印機中紙張阻塞的問題，改進手機在嚴重沖擊情況下（如跌落）的堅固性問題，以及分析可以承受100 mp

2、h風暴襲擊的房屋狀況，氣囊是個棘手的非線性問題。第一步：搞明白我們到底知道什么 首先，我們從已知的事情開始。我們知道氣囊結(jié)構在未膨脹之前的尺寸，我們有若干種候選材料的數(shù)據(jù)，包括薄片厚度，以及標準失效實驗的單向應力應變曲線。通過一些測試，我們觀察到，這些氣囊結(jié)構會顯著地伸長，當壓力接近破裂值時，氣囊結(jié)構大約伸長了20。這個結(jié)果是令人迷惑的，因為根據(jù)單方向測試獲得的極限失效數(shù)據(jù)顯示，我們本應該觀察到相對較低的破裂應力。此外，我們發(fā)現(xiàn)對于這種材料，得到的Mullen破裂壓力（片狀結(jié)構失效行為TAPPI工業(yè)標準）顯示出大約100的可變性，然而，當實際氣囊充氣達到破裂的時候，我們觀察到的可變性要低很多。

3、結(jié)論是，經(jīng)典壓力容器計算方程對于這種氣囊結(jié)構的分析是過于簡單了它低估了應力和應變的作用，誤差甚至達到300的程度！第二步：判斷建模是否會起作用使用吸管向一個樣本氣囊結(jié)構內(nèi)吹氣，這就可以實際觀察到我們所要面對的挑戰(zhàn)，包括褶皺在內(nèi)的膨脹后復雜的形狀表明。我們成功分析的最佳方法是采用顯式動態(tài)方法（Explicit Dynamics）。這是一種特殊的非線性有限元分析方法，汽車設計工程師們常用這種方法對汽車碰撞過程中安全氣囊的展開過程進行模擬分析。首先：判斷我們是否可以作出一個有限元模型，這個模型可以模擬類似吸管實驗中的氣囊結(jié)構的膨脹過程。根據(jù)單向材料數(shù)據(jù)，我們建立了一個未充氣的氣囊結(jié)構的ABAQUS/

4、Explicit FEA模型，然后分析當其內(nèi)壓達到1 psi的情況（1 psi是我們估計我們可以加于測試氣囊內(nèi)的壓強）。FEA模型的膨脹與真實氣囊的膨脹非常相像，甚至模擬了包括所有的復雜褶皺和凸出部位在內(nèi)的情況。這個初步的努力花費了好幾天時間，“是的，這的確可以建模?！蹦軌蚪幔吭诠ぷ鏖g內(nèi)，我們用吸管向一個樣本氣囊結(jié)構內(nèi)充氣，令其膨脹，與最初有限元分析預計相比，這些模型清楚的表明，動態(tài)有限元分析可以預計氣囊結(jié)構的膨脹過程，甚至包括復雜的起皺現(xiàn)象。第三步： 描述材料特征我們需要說明與材料行為有關的兩個令人迷惑的矛盾：1. 軸向拉伸測試中的失效應力遠遠低于在氣囊破裂測試中的失效應力。 2. 對比

5、在實際氣囊破裂測試中觀察到的情況，Mullen破裂數(shù)據(jù)顯示，在氣囊破裂測試方面，材料表現(xiàn)出更大的可變性。 非紡織材料的表面的是無規(guī)律的，導致材料具有薄弱點和堅固點。在單向測試中，就像眾所周知的鏈條上的脆弱環(huán)節(jié)一樣，一個長而細的測試棒總在其薄弱點發(fā)生破壞。然而，在膨脹時，片狀結(jié)構加載的二維特性允許在片狀結(jié)構表面存在多種加載路徑，這使片狀結(jié)構不像“最脆弱環(huán)節(jié)問題”那樣易于破壞。在氣囊形式中，材料的薄弱區(qū)域會獲得來自臨近堅固區(qū)域的支持。這可以解釋為什么在氣囊膨脹時，單向失效應變數(shù)據(jù)往往低于材料的實際失效應變極限。我們根據(jù)Mullen測試數(shù)據(jù)設計了一個直徑一英寸的測試樣本，對于我們的材料而言，這大致相

6、當于表面情況變化（薄弱點或堅固點）的尺寸。所以，在Mullen破裂實驗中，我們能夠很容易地獲得完全是薄弱區(qū)或完全是堅固區(qū)的樣本，這樣可以得到觀察時劇烈變化時的Mullen破裂值。然而，當我們采用典型的氣囊時，例如1010英寸，氣囊已經(jīng)足夠大，使它上邊地堅固區(qū)域能夠分擔薄弱區(qū)域的載荷，從而顯著的降低了所觀測到的破裂情況的變化過程。這些觀察導致我們采用我們自己的“起泡檢測器” 一個大尺寸版本的Mullen監(jiān)測器來獲取破裂數(shù)據(jù)。起泡檢測器的直徑設置為六英寸，可在氣囊材料中產(chǎn)生足夠的“周邊支持”，并使材料的尺寸處于有實用性的氣囊尺寸范圍以內(nèi)。不幸的是，無論是對于起泡檢測還是Mullen檢測，直接得到材

7、料的極限應力都是不可能的。這些檢測僅僅能記錄測試樣本的應變，以及所加的壓力。改進材料的失效特性起泡檢測數(shù)據(jù)與非線性FEA模型相結(jié)合，用于對材料最終應力極限和統(tǒng)計偏差進行評估。在起泡檢測中，針對某一材料要進行無數(shù)次的樣本測試試驗，記錄每一個樣本的實際破裂壓力。通過計算起泡檢測的非線性FEA模型，獲得實際起泡檢測壓力與材料應力的關系。這種離散的FEA數(shù)據(jù)輸入到Mathcad軟件中，采用樣條插值和曲線擬合的計算方法，擬合出膨脹壓力對材料應力的非線性傳遞函數(shù)。最后，通過非線性傳遞函數(shù)，將實物起泡檢測中所有的破裂壓力值都轉(zhuǎn)換為極限材料應力值（每個樣本有一個極限應力值）。在文中所述的例子中，為了評估極限應

8、力的偏差，我們測試了12個樣本，并算出了12個極限應力值。在Mullen破裂測試和我們的起泡檢測中，我們夾緊扁平的圓片的圓周，并加壓充氣至鼓泡的形狀。這種變形的特點在于，對于任何一個給定的氣壓，應變以及應力在鼓泡的表面不同區(qū)域是不同的，這與理想的單向拉伸測試或理想的球面膨脹測試不同，因為這兩種理想測試在給定負載下具有均布的應力狀態(tài)。對于均勻材料，鼓泡的最大應變出現(xiàn)在鼓泡上表面的中心點。對于非紡織品這樣的表面不均勻材料，最大應變點出現(xiàn)在鼓泡上表面中心點的附近。通過將單向拉伸數(shù)據(jù)以及起泡檢測數(shù)據(jù)一起分析，并結(jié)合針對起泡檢測的非線性FEA模型，我們能夠得出一個實用的方法，模擬材料行為的統(tǒng)計偏差。我們

9、使用單向拉伸數(shù)據(jù)得到非線性應力/應變曲線的形狀，采用起泡檢測的破裂測試結(jié)果獲得材料的失效應變以及應力的極限值。由于在起泡檢測中觀察到的失效極限高于單向拉伸數(shù)據(jù)，我們簡單的利用二階曲線擬合，外推了單向拉伸數(shù)據(jù)。之后用實際起泡測試的非線性FEA模型驗證這一擬合。我們通過以下方法描述某個給定材料的特性：采用經(jīng)過外推的單向材料數(shù)據(jù)，運用起泡膨脹測試單一的非線性FEA模型，設置模型使其不至于失效。這樣可以得到起泡膨脹壓力和預計的在鼓泡中心的材料應變/應力之間的一般關系。來自于模型的離散數(shù)據(jù)，即鼓泡中心的應力/應變數(shù)據(jù)，被輸入到Mathcad工程計算程序中。在Mathcad中，采用三次樣條插值以及曲線擬合

10、，可以很容易獲得這個非線性傳遞函數(shù)的虛擬解析形式。之后，可以通過起泡檢測獲得一系列實驗樣本的破裂壓力值，然后輸入到Mathcad的工作表中，使用非線性傳遞函數(shù)，繪制破裂壓力相對極限應力估計值變化的曲線。使用這一方法，材料失效行為以及它們的變差的實測觀察值被轉(zhuǎn)換為在近似于真實氣囊材料的加載狀態(tài)下的單獨樣本的極限應力值。方法的主要特點在于，所有的材料變化特性都被匯總到失效行為之中，基本的應力應變曲線形狀代表了通常的情況，無論對材料特性的分析還是氣囊特性的分析，這種方法都顯著簡化了分析過程，提高了分析的效率。相對于下面這種方法即生成眾多FEA模型，每一個模型都是由隨機分布的薄弱材料或堅固材料塊組成，

11、之后采用蒙特卡羅方法進行分析我們的非線性傳遞函數(shù)方法，對每種材料僅采用了一個單獨的FEA模型，是一種更加可行、更有效的方法。不停地充氣，直到破裂我們對氣囊不停地充氣，直到它們漲破為止，將氣囊的形狀以及應變的情況與FEA模型相對比。在低壓及適度的壓力下，邊緣附近的褶皺是可見的。在高壓下，這些褶皺消失。非接觸式激光變形測量計會記錄整個膨脹測試過程中多個樣本的應變，幫助進行數(shù)值上的模型驗證。FEA模型對數(shù)值的預計是非常出色的。需要注意的是，這種預計是來自于FEA模型，而不是根據(jù)氣囊應變測量數(shù)據(jù)而擬合得到的曲線。第四步：驗證模型為了進一步驗證我們的氣囊膨脹模型，我們將氣囊膨脹實驗與我們的FEA模型進行了對比，不過這個FEA模型是基于我們改進后的材料性能設計的。在膨脹過程中，我們的對比著眼于氣囊的形狀、氣囊中心的局部應變以及破裂壓力這幾個方面。Gotcha! 當使用三次樣條插值和曲線擬合方法從離散數(shù)據(jù)中產(chǎn)生虛擬分析函數(shù)時，我們需要格外小心。上圖顯示了三次樣條插值如何在外推的過程中溢出原始數(shù)據(jù)的情景。以及僅使用最后的幾個數(shù)據(jù)點計算曲線擬合系數(shù)的二階擬合曲線。在Mathcad中，可以采用“if”邏輯將這兩種曲線結(jié)合起來。FEA模型采用了和起泡分析方法中