結(jié)構(gòu)動力學(xué)之多自由度體系的振動問題

1、COMPANY NAMEm)(xy 結(jié)構(gòu)在受迫振動時的動力響應(yīng)與結(jié)構(gòu)的動力特性密切相關(guān)；另外，當(dāng)用振型疊加法計算任意干擾力作用下結(jié)構(gòu)的動力響應(yīng)時，往往要用到自由振動的頻率(frequency)和振型(mode)。 為此，要需要首先分析自由振動。 用剛度法(stiffness method)建立運動方程。根據(jù)達(dá)朗貝爾原理，考慮質(zhì)體所產(chǎn)生的慣性力，就將原來的動力問題在形式上轉(zhuǎn)化為靜力問題。這樣，就可對圖示系統(tǒng)的每個自由度列出平衡方程，即系統(tǒng)的運動方程。 11111211222122221200000nnnnnnnnnmykkkymykkkymykkky系統(tǒng)運動方程為：0MyKy上式可簡寫為： 式中

2、，K，M分別為系統(tǒng)的剛度矩陣、質(zhì)量矩陣，它們通稱為系統(tǒng)的特性矩陣。 無阻尼系統(tǒng)的自由振動方程為：0MyKy設(shè)其齊次解為：sin()ytv12Tn 式中：這相當(dāng)于假定各個質(zhì)體作簡諧振動，且振動的頻率和初相角都相同，只是振幅不同。 將式對t微分兩次后可得2sin()ytv sin()tv2()0KM把兩式代入平衡方程，并消去各項的公因子得，從此條件可以看出： （1）條件中沒有v，這就是說初相角可以是任意值； （2）條件給出各質(zhì)體振幅的齊次代數(shù)方程組，說明各個質(zhì)體需要滿足這個關(guān)系式；（3）振動時，各質(zhì)體的振幅不應(yīng)全為零，要得到各個質(zhì)體振幅不全為零的解，這就要求振幅 的系數(shù)行列式等于零，即20KM頻率

3、方程頻率方程 解之可得2的n個正實根，從而求出n個頻率 12,n 如果把這些頻率按由小到大的次序12n排列，即構(gòu)成所謂頻率譜。 其中最小的頻率1稱為最低自振頻率，或稱基本頻率。 通常將上述每一個頻率所對應(yīng)的振動都稱為主振動，對應(yīng)于每一個主振動的形狀稱為主振型。 1）如果各質(zhì)體的初速度為零，而初位移和某一振型成比例，然后任其自然，則系統(tǒng)就按這個振型作簡諧自由振動，此解答就相應(yīng)于該振動的一組特解； 2022-3-249 2）如果初始條件是任意的，則任其自然 后，系統(tǒng)所發(fā)生的振動就不是按主振型的簡諧自由振動，而是復(fù)雜的周期振動，這時可以用各階主振動的線性組合來描述它，也就是說其通解表為各個特解之和，

4、即1sin()njjjjytv 所以系統(tǒng)的任意振動可以表示為各個主振動的疊加。 例1：質(zhì)量集中在樓層上， 層間側(cè)移剛度如圖。k11=4k/3解：1）求剛度系數(shù)：m2mmk3k5kk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5 剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M：100010002330385052015mMkK11215,03303850522015kmk其中展開得：234222252250解得：1=1.293， 2=6.680， 3=13.027mk0862. 021mk4453. 022mk8685. 023mk2936. 01m

5、k6673. 02mk9319. 032）求頻率：代入頻率方程： K2 M03）求主振型：振型方程：（K2 M）Y0的后兩式： （令Y3i=1）0)3(303)8(5221iiiiiYYY（a）013303850522021iiiiiYY0)3(303)8(5221iiiiiYYY0707. 130370. 65212111293. 11 YYY1569. 0163. 0) 1 (Y0680. 3303320. 62 YYY1227. 1924. 0)2(Y0027.10303027. 55212313027.133YYY1342. 3760. 2)1(Y10.569

6、0.16311.2270.92413.3422.76 Yij為正時表示質(zhì)量mi的運動方向與單位位移方向相同，為負(fù)時，表示與單位位移方向相反。由剛度法振幅方程： ( K2 M )Y=0前乘K1=后得： ( I 2 M )Y=0令=1/2 ( M I )Y=0得頻率方程： M I =0利用剛度法的方程間接導(dǎo)出柔度法方程：其展開式是關(guān)于的n次代數(shù)方程,先求出i再求出頻率i 可見剛度法、柔度法實質(zhì)上是相同的，可以互相導(dǎo)出。當(dāng)可見剛度法、柔度法實質(zhì)上是相同的，可以互相導(dǎo)出。當(dāng)計算體系的柔度系數(shù)方便時用柔度法（如梁）；當(dāng)計算體系的計算體系的柔度系數(shù)方便時用柔度法（如梁）；當(dāng)計算體系的剛度系數(shù)方便時用剛度法

7、（如橫梁剛度為無窮大的多層剛架）。剛度系數(shù)方便時用剛度法（如橫梁剛度為無窮大的多層剛架）。將i代入 ( M i I )Y(i)=0可求出n個主振型。0)(.)(.)(221122221211212111nnnnnnnnnmmmmmmmmm例2：質(zhì)量集中在樓層上，層間側(cè)移剛度如圖。=1/k11=解：1）求柔度系數(shù)：m2mmk3k5k 柔度矩陣和質(zhì)量矩陣M：100010002941441111mMP=12131P=132=422=4P=113=23=433=912=21,0942442112mmmIM030421523展開得:解之: 1=11.601，2=2.246，3=1.151三個頻率為：m1

8、2936. 01m16673. 02m19319. 033）求主振型： （令Y3i=1）將1代入振型方程： （ M 1I）Y0的前兩式： 0460. 720160. 921112111YYYY2）求頻率：1569. 0163. 0) 1 (Y解得：同理可得第二、第三振型例 3 求圖示結(jié)構(gòu)的自振頻率及相應(yīng)的振型。 m1m2EIl/2l/2l/2l/2(a)1112(b)1222(c)m(d)m(e)解: 這是兩個自由度的系統(tǒng)，用圖乘法求得柔度系數(shù)：226121122231536M dsM dslEIEIEI31212213512M MldsEIEI 代入頻率方程，并且令得;21331233122

9、33153651203235121536mlm lEIEImlm lEIEI展開行列式得 36212122223 ()44801536(1536)()lmmm m lEIEI; 32 6611212122222223 ()529()4482 15364 1536 ()1536 ()lmmmmlm m lEIEIEI解得從而得第一和第二階自振頻率111221為了確定第一階振型，可將1代入平衡方程。22111 11121212221121122210(1)01mmmm 從上式可求出質(zhì)體振幅間的關(guān)系為211 1122121112111222221222111mmmm 式中， 特別是當(dāng)12mmm時，將

10、此關(guān)系代入上述各式，131148EIml2321109.72EIml振型1：振型2：211111 222121 由上述振型圖可知，前者是反對稱的，后者是對稱的。 所以對于對稱系統(tǒng)求解頻率和振型，可以分別按對稱和反對稱兩種情況，沿對稱軸切開取其一半進(jìn)行計算即可。 m1m2Y11Y2121221Ym11121Ymm1m2Y12Y2222222Ym12122Ym主振型的位移幅值恰好為相應(yīng)慣性力幅值產(chǎn)生的靜力位移。對這兩種靜力平衡狀態(tài)應(yīng)用功的互等定理：2122222111212222212211211121)()()()(YYmYYmYYmYYm0)(22212121112221YYmYYm02221

11、212111YYmYYm因為12主振型之間的第一正交關(guān)系y 一般說來，設(shè)ij 相應(yīng)的振型分別為：y(i)， y(j)由振幅方程： ( K2 M )Y=0Y（j）TK Y（i）=2i Y（j）T M Y（i） （a）Y（i）TK Y（j）=2j Y（i）T M Y（j） （b） Y（j）TKTY（i） =2jY（j）TMTY（i） （c）=（b）轉(zhuǎn)置由（a）（c）得0)()()(22iTjjiYMY0)()(iTjYMY0)()()( iTjaYKY式由y 第一正交關(guān)系：相對于質(zhì)量矩陣M來說，不同頻率相應(yīng)的主振型彼此是正交的; 第二正交關(guān)系：相對于剛度矩陣K來說，不同頻率相應(yīng)的主振型彼此是正交的

12、;)()(2)()(jTjjjTjYMYYKY如同一主振型:定義：jjjMKMj廣義質(zhì)量Kj廣義剛度 所以：由廣義剛度和廣義質(zhì)量求頻率的公式。是單自由度體系頻率公式的推廣。y 注：主振型的正交性是體系本身的固有特 性，與外荷載無關(guān)。 利用正交性來檢查主振型是否正確、 來判斷主振型的形 狀特征。 ( )1niiyY用Y（j）TM前乘niTjiTjYMYyMY1)()()(jjjTjjMYMY)()(利用正交關(guān)系確定位移展開公式中的 系數(shù)。即，y 主振型正交性的物理意義：體系按某一主振型振動時，在振動過程中，其慣性力不會在其它振型上作功。因此它的能量便不會轉(zhuǎn)移到別的振型上去，從而激起其它振型的振動

13、。即各主振型可以單獨出現(xiàn)。jTjjMyMY)(位移按主振型分解位移按主振型分解, ,可可將將n n個耦聯(lián)運動方程化個耦聯(lián)運動方程化成成n n個獨立的一元方程個獨立的一元方程求解。求解。() jTjjYMyM由可知( )1niiyYy 例4：圖示體系的剛度矩陣K和質(zhì)量矩陣M為：解：（1）演算第一正交性。m2mmk3k5k三個主振型分別如下，演算正交性。100010002330385052015mMkK 1342. 3760. 2,1227. 1924. 0,1569. 0163. 0321YYY(1)( 2 )0.1632000.924 0.5690101.2270.0006010011TTYM

14、Ymm （2）演算第二正交性。00003. 01227. 1924. 03303850520151569. 0163. 0)2()1(kkYKYTT同理：000001. 00001. 0)3()2()3()1(kYKYkYKYTT同理：00002. 00002. 0)3()2()3()1(mYMYmYMYTT（1）柔度法 tPqsintPqsiny1y211ym.22ym.PP1P2tymymytymymyPPqqsin)()(sin)()(22222211121122211111 1）建立振動微分方程tyymymtyymymPPqqsinsin22222221111112221111 各簡諧

15、荷載頻率相同相位相各簡諧荷載頻率相同相位相同，否則用其他方法同，否則用其他方法2）動位移的解答及討論 通解包含兩部分：齊次解對應(yīng)按自振頻率振動的自由振動，由于阻尼而很快消失；特解對應(yīng)按荷載頻率振動的簡諧振動是平穩(wěn)階段的純強迫振動。 1122( )sin( )sinytYtytYtqq設(shè)純強迫振動解答為：代入：tyymymtyymymPPqqsinsin22222221111112221111 0) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYmqqqq) 1() 1(22222121122211210qqqqmmmmD) 1(22222122211qqmmDPP

16、PPmmD22121111212) 1(qq022011DDYDDY解得振幅：產(chǎn)生的位移。位移幅值相當(dāng)于靜荷載時，當(dāng),D,D, 1D022110PPq位移幅值很小。時，當(dāng), 0, 0,D,D,D21222140YYqqqq共振現(xiàn)象。不全為零時，時，或當(dāng),D, 0D2121021YYDqqn個自由度體系，存在n個可能的共振點3）動內(nèi)力幅值的計算tYtytYtyqqsin)(sin)(2211tPtPqsin)(tYmymtYmymqqqqsin,sin2222212111. 荷載、位移、慣性力同頻、同相、同時達(dá)到最大。位移達(dá)到最大時，內(nèi)力也達(dá)到最大。求內(nèi)力時可將動荷載和慣性力的幅值作為靜荷載作用

17、于結(jié)構(gòu)，用靜力法求出內(nèi)力，即為動內(nèi)力幅值?；蛴茂B加公式求：（由Y1 ，Y2值可求得位移和慣性力） PMIMIMtM2211max慣性力的幅值為：22221211,YmIYmIqq代入位移幅值方程：0) 1(0) 1(2222221212112122211121PPYmYmYmYmqqqq可得求慣性力幅值的方程（直接求慣性力幅值）0)1(0)1(222222121121212111PPImIIImqqtPqsinl/4l/4l/2mmP1=1163lP2=1163l例：圖示簡支梁EI=常數(shù),=0.751求動位移幅值和動彎矩幅值。解：1)求柔度系數(shù)EIlEIl7687,25633211232211

18、EImlEImlm4876816)(3312111EImlEImlm3847682)(331211231193. 61mlEI32260.151mlEI311975. 575. 0mlEIqPPM1M2M2)作MP圖，求1P 2PEIPlEIPlPp7687,2563323133P1=1P2=1163lEIlEIl7687,25633111232211311975. 575. 0mlEIq163l163Pl1M2MPPMEIPlEIPlPp7687,256332314065. 0) 1() 1(22222121122211210qqqqmmmmDEIPlmmDPP322222122211010

19、25. 0) 1(qqEIPlmmDPP32212111121200911. 0) 1(qqEIPlDDYEIPlDDY302230110224. 00252. 0解得振幅：EIPlYEIPlY32310224. 0,0252. 0:) 3解得振幅PYmIPYmI6052. 06808. 0)422221211qq求慣性力：5)計算動內(nèi)力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd 圖1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd 圖PlMIMIMMPd353. 012121111PlMIM

20、IMMPd218. 0222212126)比較動力系數(shù)488. 31162180. 0883. 13163530. 0458. 277680224. 0150. 232560252. 0221122112121stdMstdMstYstYMMMMyYyY 因此，多自由度體系沒有統(tǒng)一的動力系數(shù)。y1(t)y2(t)tPtPtPtPqqsin)(sin)(2211如在平穩(wěn)階段,各質(zhì)點也作簡諧振動:tYtytYtyqqsin)(sin)(2211222222121121211211)()(PYmkYkPYkYmkqqY1=D1/D0Y2=D2/D02222211212110mkkkmkDqq)(22

21、2221211qmkPkPD002221212221211111ykykymykykym.)()(21tPtPP1(t)P2(t)221112112PkPmkDq求得位移幅值Y1、Y2 ,計算慣性力幅值I1=m12Y1 I2=m22Y2 。將慣性力幅值連同荷載幅值加在體系上，按靜力計算方法求得動內(nèi)力幅值。 求圖示剛架樓面處的側(cè)移幅值，慣性力幅值和柱底截面彎矩幅值。hPsintm EI=m EI=EIEIEIEIh1k11k211k12k22解：1）求剛度系數(shù)khEIkkkkhEIk312212231124,24834mlEIq23232222211212110320)1624(2424)164

22、8(hEIhEImkkkmkDqq33222221211248240)(hEIPhEIPmkPkPDq332211121123224032hEIPhEIPPkPmkDqEIhDDYEIhDDY202220111 . 0075. 02)求位移幅值3)求慣性力幅值PEIPhmhEImYmIPEIPhmhEImYmI6 . 1) 1 . 0(162 . 1)075. 0(16232222231211qqEIhDDYEIhDDY202220111 . 0075. 00.10.075EIPh3位移幅值P1.6P1.2P0.9P0.9PA里邊受拉）(45. 05 . 09 . 0PhhPMA2222211

23、212110mkkkmkDqq212222211PkmkPDq121121122PkmkPDq例4：m2m1k2k1質(zhì)量集中在樓層上m1、m2 ， 層間側(cè)移剛度為k1、k2解：荷載幅值：P1=P，P2=0 ，求剛度系數(shù)：k11=k1+k2 , k21=k2 , k22=k2 , k12=k2當(dāng)m1=m2=m,k1=k2=kmkmk61803. 225322mkmk38197. 025321tPqsin021222221011DPkmkPDDYq0222)(DmkPq012112112022)(DPkmkPDDYq02DPk2222212210kmkmkkDqq021222221011DPkmk

24、PDDYq021222221DPkmkPq02DmkPq012112112022DPkmkPDDYq0DPk22202kmkmkDqq22222122213mkmk22423kkmmqq)3(22242mkmkmqq)(22212222142qqm)(2222122qqm)1)(1 (22221222212qqm)1)(1 (222212222qqmkm)1)(1 (122221221qqqkmkPY)1)(1 (12222122qqkPY121)1)(1 (1222212qqqkmkPY22)1)(1 (1222212qqkPY3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-

25、1.0kPY1mkq3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0kPY2mkq兩個質(zhì)點的位移動力系數(shù)不同。當(dāng)2121,618. 1618. 0YYmkmk和時和qq 趨于無窮大?？梢娫趦蓚€自由度體系中，在兩種情況下可能出現(xiàn)共振。也有例外情況。m2m1k2k1tPqsin02221DmkPYq022DPkY 2222212210)(kmkmkkDqq222201222,0,kPYkDYmkq當(dāng)m1k1tPqsinm2k2這說明在圖示結(jié)構(gòu)上， 適當(dāng)加以m2、k2系統(tǒng)可以消除m1的振動（動力吸振器原理）。.,2222222qkmYPkYm再確定選定的許可振幅先根據(jù)設(shè)計吸振器

26、時 吸振器不能盲目設(shè)置，必須在干擾力使體系產(chǎn)生較大振動時才有必要設(shè)置。l/3l/3l/3mmPsintPsint如圖示對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下。21122211,kkkk與2相應(yīng)的振型是12k2211mk2212YY=1211222112222kkmkmk當(dāng)=2 ，D0=0 ，也有：212222211PkmkPDq121121122PkmkPDq0122222PkmkP0212211PkmkP022011,DDYDDY不會趨于無窮大，不發(fā)生共振，共振區(qū)只有一個。kkPyst1yst2=P/k荷載幅值產(chǎn)生的靜位移和靜內(nèi)力yst1= yst2=P/k層間剪力: Qst1= P 動荷載產(chǎn)生的位移幅值

27、和內(nèi)力幅值2mY22mY1)(1 ()(2122121qqkmPYYmPQ121)1)(1 (1222212qqqkmkPY22)1)(1 (1222212qqkPY)(12121qkmQ由此可見，在多自由度體系中，沒有一個統(tǒng)一的動力系數(shù)。由此可見，在多自由度體系中，沒有一個統(tǒng)一的動力系數(shù)。層間動剪力: 例：如圖示梁中點放一點動機。重2500N，電動機使梁中點產(chǎn)生的靜位移為1cm，轉(zhuǎn)速為300r/min，產(chǎn)生的動荷載幅值P=1kN問：1）應(yīng)加動力吸振器嗎？2）設(shè)計吸振器。(許可位移為1cm)Psint解：1）sstg13 .3101. 081. 9sn14 .31603002602q頻率比在共振區(qū)之內(nèi)應(yīng)設(shè)置吸振器。2）kgsmNkmmNkkPY102)/(4 .3110/1001. 010002252225222q選彈簧系數(shù)由k2m2對于n個自由度體系強迫振動方程Pn(t)Pi(t)P1(t)y1yiyn如果荷載時簡諧荷載tPtPqsin)(則在平穩(wěn)階段,各質(zhì)點作簡諧振動.tYtyqsin)(振幅方程:)(2PYMKq如系數(shù)矩陣的行列式020MKDq可解得振幅Y如系數(shù)矩陣的行列式D0=0(=i)解得振幅Y=無窮大對于具有n個自由度的體系,在n種情況下都可能出現(xiàn)共振.)(.)(.)(.221122222121221121211111tPykykyky