初等矩陣(簡)

1、2.5初初 等等 矩矩 陣陣.陣陣稱稱為為初初等等矩矩陣陣的的矩矩經(jīng)經(jīng)過過一一次次初初等等變變換換得得到到由由單單位位陣陣 E1. 1. 對調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列對調(diào)兩行或?qū)φ{(diào)兩列定義定義1 1.種種初初等等矩矩陣陣三三種種初初等等變變換換對對應(yīng)應(yīng)著著三三得得初初等等矩矩陣陣兩兩列列對對調(diào)調(diào)或或第第兩兩行行對對調(diào)調(diào)把把單單位位陣陣中中第第),(,jiji 1101111011),(jiE行行第第i行行第第 j得得左左乘乘矩矩陣陣階階初初等等矩矩陣陣用用,)(),(nmijmaAjiEm mnmminiijnjjnmaaaaaaaaaaaaAjiE21212111211),(行行第第i行行第第 j:施

2、行第一種初等行變換其結(jié)果相當(dāng)對矩陣 A. )(jirrjiA行對調(diào)行與第的第把,),(,AjiEnn右乘矩陣階初等矩陣以類似地. )(jiccjiA列對調(diào)列與第的第把:施行第一種初等列變換其結(jié)果相當(dāng)于對矩陣 A,)(),(nmijmaAjiEm左乘矩陣階初等矩陣用乘某行或某列乘某行或某列以數(shù)以數(shù)0.2 k矩矩陣陣得得初初等等列列或或第第行行乘乘單單位位陣陣的的第第以以數(shù)數(shù),)(0iik ,1111)( kkiE行行第第i:可以驗證可以驗證,)(AkiEm左左乘乘矩矩陣陣以以,)(AkiEn右乘矩陣以;)(kriAi 行行乘的第乘的第其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù). )(kciAki 列列的第

3、的第乘乘其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)其結(jié)果相當(dāng)于以數(shù)行行（列列）上上去去乘乘某某行行（列列）加加到到另另一一以以數(shù)數(shù) k. 3得初等矩陣得初等矩陣列上列上列加到第列加到第第第的的乘乘行上或以行上或以行加到第行加到第的第的第乘乘以以,jiEkijEk1111)(,(kkjiE行行第第i行行第第 j., 可得下述定理可得下述定理綜上所述綜上所述:可以驗知可以驗知,)(,(AkjiEm左乘矩陣以,)(,(AkjiEn右乘矩陣以, )(jikrrikjA 行上行上加到第加到第行乘行乘的第的第其結(jié)果相當(dāng)于把其結(jié)果相當(dāng)于把. )(ijkccjkiA 列上列上加到第加到第列乘列乘的第的第其結(jié)果相當(dāng)于把其結(jié)果相當(dāng)于把定理

4、定理1 1.,;,階初等矩陣階初等矩陣右邊乘以相應(yīng)的右邊乘以相應(yīng)的的的相當(dāng)于在相當(dāng)于在施行一次初等列變換施行一次初等列變換對對矩陣矩陣階初等階初等的左邊乘以相應(yīng)的的左邊乘以相應(yīng)的相當(dāng)于在相當(dāng)于在行變換行變換施行一次初等施行一次初等對對矩陣矩陣是一個是一個設(shè)設(shè)nAAmAAnmA :,初等矩陣的逆矩陣初等矩陣的逆矩陣也就對應(yīng)此也就對應(yīng)此且此初等變換的逆變換且此初等變換的逆變換初等矩陣可逆初等矩陣可逆可知可知由初等變換可逆由初等變換可逆初等變換對應(yīng)初等矩陣初等變換對應(yīng)初等矩陣,的的逆逆變變換換就就是是其其本本身身由由變變換換jirr ,1krkrii 的的逆逆變變換換為為由由變變換換,)(jijir

5、krkrr 的的逆逆變變換換為為由由變變換換;),(),(1jiEjiE 知知;1)(1 kiEkiE知知.)(,()(,(1kjiEkjiE知.,2121llPPPAPPPA 使使矩矩陣陣存存在在有有限限個個初初等等可可逆逆的的充充分分必必要要條條件件是是方方陣陣證證定理定理 2 2.先證充分性先證充分性,21lPPPA設(shè),E,的標(biāo)準(zhǔn)形矩陣為則可逆階方陣設(shè)AAn.再證必要性再證必要性.11lssPEPPPA,因初等矩陣可逆因初等矩陣可逆.可逆可逆仍可逆故仍可逆故有限個可逆矩陣的乘積有限個可逆矩陣的乘積A,EA由于,EA為經(jīng)有限次初等變換可化知使即有初等矩陣,21lPPP.21lPPPA從而證

6、畢證畢.,BPAQQnPmBAnm使階可逆矩陣及階可逆矩陣存在等價的充分必要條件是與矩陣定理定理3 3定理定理4 4），使得階可逆方陣和階可逆方陣則存在矩陣，是設(shè)000E(PAQQnPm, r)A( rnmAr, ),(),(,:51AEEAAAr可逆，則若對于方陣提出上節(jié)例,下面來證明.11AEQQl,1EAQQl .A,1求矩陣可逆階矩陣設(shè)有An,可逆時當(dāng) A,22121llPPPAPPP使有初等矩陣據(jù)定理.1111PPAl從而.,1也是初等矩陣則記kkkQQP于是.,1AEEA換化為經(jīng)一系列相同初等行變明式表為經(jīng)一系列初等行變換化式表明兩式可合并為, ),(),(11AEEAQQl),(

7、),(1AEEA初等行變換或.,),(1AEEAEA就化成時化成當(dāng)把作初等行變換即對矩陣.1A可用這種方法求, ),(),(1BAEBAA初等行變換可逆時，有類似有：思考：如何利用初等思考：如何利用初等列列變換求矩陣的逆？變換求矩陣的逆？注意注意:用用初等行變換初等行變換求逆矩陣時，必須求逆矩陣時，必須始終用行變換始終用行變換，其間不能作任何列變換其間不能作任何列變換同樣地，用同樣地，用初等列變換初等列變換求逆矩陣時，必須求逆矩陣時，必須始終用始終用列變換列變換，其間不能作任何行變換，其間不能作任何行變換例例1求下述矩陣的逆矩陣求下述矩陣的逆矩陣111211120A解解.),(施行初等行變換作

8、分塊矩陣EA100111010211001120)|(EA 10011100112001021121rr110100001120010211113rr110100111020010211132rr11010021212101025232100121) 1(rr.1102121212523211A11010011102021001131)2(rr110100212121010210011212r110100111020010211.010312022 A解解 把所給方程的變形為把所給方程的變形為.)(AXEA 010110312302022021),(AEA例例2 2 其中其中求解矩陣方程式求解矩陣方程式,XAAX 33234001011002202131210001011002202131210030201062200132rr 122rr )1(3 r234rr 212rr 321 rr.3123026