函數(shù)的概念及基本特性

1、 1.1 函數(shù)的概念及基本特性函數(shù)的概念及基本特性一、概念1.1.區(qū)間區(qū)間(interval): :是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的是指介于某兩個(gè)實(shí)數(shù)之間的.,baRba 且且bxax 稱為開區(qū)間稱為開區(qū)間,),(ba記記作作bxax 稱為閉區(qū)間稱為閉區(qū)間,ba記作記作oxaboxab全體實(shí)數(shù)全體實(shí)數(shù).這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn)這兩個(gè)實(shí)數(shù)叫做區(qū)間的端點(diǎn).定義定義1.1),xaxa ),(bxxb oxaoxb有限區(qū)間有限區(qū)間無限區(qū)間無限區(qū)間區(qū)間長度的定義區(qū)間長度的定義: :兩端點(diǎn)間的距離兩端點(diǎn)間的距離(線段的長度線段的長度)稱為區(qū)間的長度稱為區(qū)間的長度.bxax bxax 稱為半閉半開區(qū)間稱為半閉半開區(qū)

2、間,稱為半開半閉區(qū)間稱為半開半閉區(qū)間,),ba記作記作,(ba記作記作定義定義1.2 1.2 鄰域鄰域(neighborhood): :且是兩個(gè)實(shí)數(shù)與設(shè), a).,(0 aU記記作作,叫做這鄰域的中心叫做這鄰域的中心點(diǎn)點(diǎn)a.叫叫做做這這鄰鄰域域的的半半徑徑 . ),( axaxaU記記作作xa a a . 0),(0 axxaU,. 0鄰域的稱為點(diǎn)數(shù)集 aaxx 點(diǎn)點(diǎn) 的去心的去心 鄰域鄰域a xa a a 把開區(qū)間把開區(qū)間),( aa稱為稱為a 的左的左鄰域，鄰域，把開區(qū)間把開區(qū)間),(aa 稱為稱為a 的右的右鄰域，鄰域，因變量因變量自變量自變量.),(ffDxxfyyZZ)(xfy 2、

3、函數(shù)的概念及其表示法D 稱為稱為定義域，定義域，記作記作Df ，即，即 Df = D .函數(shù)值的全體構(gòu)成的數(shù)集稱為函數(shù)值的全體構(gòu)成的數(shù)集稱為值域，值域，記為：記為：定義 3 . 1 設(shè)設(shè)D為一個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)規(guī)則為一個(gè)非空數(shù)集，如果按照某種對應(yīng)規(guī)則f，對于任意一個(gè)對于任意一個(gè) ，都存在唯一的實(shí)數(shù)，都存在唯一的實(shí)數(shù)y與之與之對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則對應(yīng)，則稱對應(yīng)規(guī)則f為定義在數(shù)集為定義在數(shù)集D上的一個(gè)函數(shù)上的一個(gè)函數(shù)，Dx常用函數(shù)的表示法有三種：圖示法，表格法和公常用函數(shù)的表示法有三種：圖示法，表格法和公式法式法3.分段函數(shù)分段函數(shù)在實(shí)際應(yīng)用中經(jīng)常遇到這樣的函數(shù)：在定義域的各個(gè)不相交的子集

4、（多為子區(qū)間）上，函數(shù)分別用不同的解析表達(dá)式表示，這類函數(shù)成為分段函數(shù)(1) 絕對值函數(shù)絕對值函數(shù)00 xxxxxy (2) 符號函數(shù)符號函數(shù) 010001sgnxxxxy當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng)當(dāng) 是無理數(shù)時(shí)是無理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)是有理數(shù)時(shí)是有理數(shù)時(shí)當(dāng)當(dāng)xxxDy01)(有理數(shù)點(diǎn)有理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)無理數(shù)點(diǎn)1xyo(3) 狄利克雷（狄利克雷（Direchlet）函數(shù)）函數(shù)(4) 取整函數(shù)取整函數(shù) y=xx表示不超過表示不超過 的最大整數(shù)的最大整數(shù) 1 2 3 4 5 -2-4-4 -3 -2 -1 4 3 2 1 -1-3xyo階梯曲線階梯曲線xxxx 1顯然顯然:4. 函數(shù)的定義域的求法函數(shù)的定義域的求法設(shè)設(shè) 的定

5、義域?yàn)榈亩x域?yàn)?，按照函數(shù)的定義，按照函數(shù)的定義， 中的點(diǎn)中的點(diǎn)x應(yīng)是使應(yīng)是使 有意義的實(shí)數(shù)集合，有意義的實(shí)數(shù)集合，而對于實(shí)際問題中的函數(shù)，其定義域應(yīng)結(jié)合問而對于實(shí)際問題中的函數(shù)，其定義域應(yīng)結(jié)合問題的實(shí)際意義確定。題的實(shí)際意義確定。)(xfy fD)(xfy fD1函數(shù)的單調(diào)性函數(shù)的單調(diào)性(monotonicity):,)(DIDxf 區(qū)區(qū)間間的的定定義義域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ;I上上是是單單調(diào)調(diào)增增加加的的),()()1(21xfxf 恒恒有有)(xfy )(1xf)(2xfxyoI()fx則則稱稱函函數(shù)數(shù)在在區(qū)區(qū)

6、間間四、函數(shù)的幾種特性)(xfy )(1xf)(2xfxyoI.)(上上是是單單調(diào)調(diào)減減少少的的在在區(qū)區(qū)間間則則稱稱函函數(shù)數(shù)Ixf,)(DIDxf 區(qū)區(qū)間間的的定定義義域域?yàn)闉樵O(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù),2121時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)及及上上任任意意兩兩點(diǎn)點(diǎn)如如果果對對于于區(qū)區(qū)間間xxxxI ),()()2(21xfxf 恒恒有有M-Myxoy=f(x)X有界有界無界無界M-MyxoX0 x,)(, 0,成成立立有有若若MxfXxMDX 2函數(shù)的有界性函數(shù)的有界性(bounded):.)(否否則則稱稱為為無無界界上上有有界界在在則則稱稱函函數(shù)數(shù)Xxf3函數(shù)的奇偶性函數(shù)的奇偶性(parity):偶函數(shù)偶函數(shù)有對于軸對稱關(guān)于設(shè),DxyD則則,)()(xfxf yx)( xf )(xfy ox-x)(xf;)(為偶函數(shù)為偶函數(shù)稱稱xf有有對對于于關(guān)關(guān)于于原原點(diǎn)點(diǎn)對對稱稱設(shè)設(shè),DxD 則則),()(xfxf .)(為奇函數(shù)為奇函數(shù)稱稱xf奇函數(shù)奇函數(shù))( xf yx)(xfox-x)(xfy 4函數(shù)的周期性函數(shù)的周期性(periodicity):2l 2l23l 23l（通常說周期函數(shù)的周期是指（通常說周期函數(shù)的周期是指最小正周期最小正周期）.,)(Dxf的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?/p>