分期純保費(fèi)與毛保費(fèi)

1、第四章第四章 分期純保費(fèi)與毛保費(fèi)分期純保費(fèi)與毛保費(fèi)一、保費(fèi)的構(gòu)成一、保費(fèi)的構(gòu)成純 保 費(fèi)（ 將 來(lái) 保 單 受 益 的 精 算 現(xiàn) 值 ）附 加 費(fèi) 用（ 與 保 單 相 關(guān) 的 費(fèi) 用 的 精 算 現(xiàn) 值 ）毛 保 費(fèi)（ 購(gòu) 買 費(fèi) 用 ）保費(fèi)的分類按保費(fèi)繳納的方式分：一次性繳納：躉繳（純/毛）保費(fèi)以年金的方式繳納：期繳（純/毛）保費(fèi)按保險(xiǎn)的種類分：只覆蓋死亡的保險(xiǎn)：純壽險(xiǎn)保費(fèi)只覆蓋生存的保險(xiǎn)：生存險(xiǎn)保費(fèi)既覆蓋死亡又覆蓋生存的保險(xiǎn)：兩全險(xiǎn)保費(fèi) 常見險(xiǎn)種的躉繳純保費(fèi)純壽險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)（死亡受益死亡即刻支付）生存險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)（一次性生存受益期末支付，生存年金受益期初支付）兩全保險(xiǎn)躉繳純保費(fèi)（死亡受

2、益死亡即刻支付，生存受益期末支付）1:,xxxmm nx nAAAA1:,xxxxmm nnx nAaaaa: x nA 第一節(jié)第一節(jié) 全連續(xù)型壽險(xiǎn)的純保費(fèi)全連續(xù)型壽險(xiǎn)的純保費(fèi) 一、精算等價(jià)原理一、精算等價(jià)原理例：某保險(xiǎn)公司計(jì)劃發(fā)行一種人壽保單，已知例：某保險(xiǎn)公司計(jì)劃發(fā)行一種人壽保單，已知0歲的人取整余命歲的人取整余命K的的概率函數(shù)為：概率函數(shù)為：3 , 2 , 1 , 0,410 KqK 該保險(xiǎn)公司在被保險(xiǎn)人死亡的年末支付該保險(xiǎn)公司在被保險(xiǎn)人死亡的年末支付1元保險(xiǎn)金，保費(fèi)在被保元保險(xiǎn)金，保費(fèi)在被保險(xiǎn)費(fèi)活著的每年初時(shí)支付，試根據(jù)以下原則分別決定保險(xiǎn)公司對(duì)險(xiǎn)費(fèi)活著的每年初時(shí)支付，試根據(jù)以下原則分

3、別決定保險(xiǎn)公司對(duì)0歲的人應(yīng)收的年保費(fèi)歲的人應(yīng)收的年保費(fèi)P： 原則原則1 ：P使得保單簽發(fā)時(shí)虧損現(xiàn)值的期望為使得保單簽發(fā)時(shí)虧損現(xiàn)值的期望為0； 原則原則2：P為使得虧損為正的概率不超過為使得虧損為正的概率不超過14的最低額。的最低額。以上兩種情形均假定年利率為以上兩種情形均假定年利率為5 解：解：在保單簽發(fā)時(shí)保險(xiǎn)人的虧損現(xiàn)值為：在保單簽發(fā)時(shí)保險(xiǎn)人的虧損現(xiàn)值為：1.1ka.1.v kP （1）根據(jù)原則）根據(jù)原則1，P應(yīng)滿足：應(yīng)滿足：0).a.(v0|1.1k30k qPkk0|301.0|301.qaqvPkkkkkk 3719.0 jP.ja.v dp j)vdp(1增增加加而而遞遞減減隨隨著著

4、 j時(shí)時(shí)成成立立滿滿足足當(dāng)當(dāng)原原則則0aP.vP22.2 所以只有當(dāng)所以只有當(dāng)k0時(shí)才使虧損為正時(shí)才使虧損為正4646.0 p 注：注：上例中的原則上例中的原則1即稱為精算等價(jià)原理。即稱為精算等價(jià)原理。純保費(fèi)厘定原則純保費(fèi)厘定原則平衡原則：平衡原則：保險(xiǎn)人的潛在虧損均值為零。保險(xiǎn)人的潛在虧損均值為零。L=保險(xiǎn)金給付現(xiàn)值保險(xiǎn)金給付現(xiàn)值-純保費(fèi)現(xiàn)值純保費(fèi)現(xiàn)值E（L）=0E（保險(xiǎn)金給付現(xiàn)值）（保險(xiǎn)金給付現(xiàn)值）=E（純保費(fèi)現(xiàn)值）（純保費(fèi)現(xiàn)值） 二、二、 各種壽險(xiǎn)的年繳純保費(fèi)各種壽險(xiǎn)的年繳純保費(fèi)1、完全連續(xù)年繳凈均衡保費(fèi)的厘定（以終身人壽保險(xiǎn)為例）、完全連續(xù)年繳凈均衡保費(fèi)的厘定（以終身人壽保險(xiǎn)為例）條件

5、：條件：（x）死亡即刻給付）死亡即刻給付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起按年連續(xù)交付保費(fèi)。（給付連續(xù)，繳費(fèi)也連續(xù)）保單生效起按年連續(xù)交付保費(fèi)。（給付連續(xù)，繳費(fèi)也連續(xù)）：則則保保險(xiǎn)險(xiǎn)人人的的虧虧損損現(xiàn)現(xiàn)值值為為，生生在在時(shí)時(shí)刻刻，若若被被保保險(xiǎn)險(xiǎn)人人的的死死亡亡發(fā)發(fā)對(duì)對(duì)任任何何連連續(xù)續(xù)支支付付的的保保費(fèi)費(fèi)tP tPtl a.vt ttv1a PvPt)1( 若若t0為使得為使得L(t0)=0的時(shí)刻，則被保險(xiǎn)人在的時(shí)刻，則被保險(xiǎn)人在t0前死亡會(huì)導(dǎo)致?lián)p失，在前死亡會(huì)導(dǎo)致?lián)p失，在t0后死亡會(huì)產(chǎn)生收益（負(fù)損失）后死亡會(huì)產(chǎn)生收益（負(fù)損失） 下考察虧損隨機(jī)變量：下考察

6、虧損隨機(jī)變量： TPTlL a.vT 由精算等價(jià)原理可知：由精算等價(jià)原理可知：0)( LE0. xxaPA 故純保費(fèi)為：故純保費(fèi)為：xxxaAAP )( L的方差：的方差： 22)(LELELVar )(2LE )a.v(TTPVar )1.v(T TvPVar)1.(vT pVar2T)1).(v( pVar222)1).( pAAxx222)()(xxxaAALVar 例：已知利息力為例：已知利息力為0.06，死亡力為，死亡力為0.04，求，求)()2()()1(LVarAPx 解：解：xxxaAAP )(dtpvAtxxttx .0dteetxdttttx .00dteetdtt 004

7、. 0006. 0.04. 0dteett04. 0006. 0.04. 0 dtebtb 01 . 0lim04. 0btbe01 . 0| )1 . 01(lim04. 0 4 . 0 dtpvaxttx.0 btbe01 . 0| )1 . 01(lim 10 04. 0104 . 0 222)()(xxxaAALVar xA 2dteetxdttttx .002dteett04. 0012. 0.04. 0 btbe016. 0| )16. 01(lim04. 0 25.0 22)1006. 0()4 . 0(25. 0)( LVar25.0 結(jié)論：結(jié)論：當(dāng)死力為常數(shù)時(shí)，有如下結(jié)果：當(dāng)

8、死力為常數(shù)時(shí)，有如下結(jié)果： )( 1xxxAPAa量量式式連連續(xù)續(xù)年年金金現(xiàn)現(xiàn)值值隨隨機(jī)機(jī)變變均均衡衡純純保保費(fèi)費(fèi)為為全全連連續(xù)續(xù)型型現(xiàn)現(xiàn)函函數(shù)數(shù)，分分別別表表示示給給付付函函數(shù)數(shù)和和折折、其其中中，時(shí)時(shí)虧虧損損的的隨隨機(jī)機(jī)變變量量為為：一一般般的的，保保險(xiǎn)險(xiǎn)人人在在簽簽單單YYPZYPvbTT,Pvb. TT 由精算等價(jià)原理由精算等價(jià)原理：0).( YPvbETT)().(YEvbEPTT 延期延期n年的終身生存年金的年繳均衡純保費(fèi)：年的終身生存年金的年繳均衡純保費(fèi)：Tb nTanTnT, 00, TvznTTTzb . nTvanTnnT,., 00, TaYT).(|TTxnzbEa n

9、xnxaA .1:nxaYE:)( )().(YEvbEPTT nxnxnxaaA:. 常見險(xiǎn)種的完全連續(xù)凈均衡保費(fèi)總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)n年生存保險(xiǎn)m年遞延終身生存保險(xiǎn)()xxxP AAa11()x nx nx nP AAa：()x nx nx nP AAa：()xxhx hP AAa：11:()x nx nx nP AAa：1:()xxx mmmx mPaAaa()hx nx nx hP AAa：例例3：完全連續(xù)：完全連續(xù) n年期兩全保險(xiǎn)的保險(xiǎn)人虧損隨機(jī)變量為年期兩全保險(xiǎn)的保險(xiǎn)人虧損隨機(jī)變量為L(zhǎng)，給出，給出L的方差表達(dá)式

10、。的方差表達(dá)式。 解：解：)(LVar)(YPvbVarTT )1( ZPZVar)1( PPZVar nTvnTvZnT,)1( PZVar2)1)( PZVar22:2)1()( PAAnxnx0.05.100,0.057.d0.064,A0.19,A25)(,100001 C25225損損額額為為正正的的概概率率等等于于總總虧虧份份這這種種相相互互獨(dú)獨(dú)立立保保單單的的使使得得態(tài)態(tài)分分布布近近似似決決定定保保費(fèi)費(fèi)用用正正歲歲。并并且且投投保保年年齡齡為為人人虧虧損損隨隨機(jī)機(jī)變變量量，其其中中表表示示保保單單簽簽發(fā)發(fā)時(shí)時(shí)的的保保險(xiǎn)險(xiǎn)年年繳繳保保費(fèi)費(fèi)表表示示保保單單的的用用元元的的全全離離散散

11、型型終終身身壽壽險(xiǎn)險(xiǎn)：保保額額為為例例 L 解解：1、每個(gè)保單的虧損為：、每個(gè)保單的虧損為：1.11000)( KcKcavL2、期望值與方差為：、期望值與方差為：dvdcKc 11000dAdLEccc 251000)()(1000)(12 KccvVardLVar)(1000)(12 KccvVardLVarddLEccc 100019.0)()(10002252522AAdc 210000279.0dc 3、總虧損為：、總虧損為： 1001)(jcjL4、總虧損的期望值與方差為：、總虧損的期望值與方差為： )(100cLESE )(100cLVarSVar 05.0)0( SPr所以由正

12、態(tài)近似可得：所以由正態(tài)近似可得： 645.10 SVarSE43.158 C 三、三、 半連續(xù)型壽險(xiǎn)的純保費(fèi)半連續(xù)型壽險(xiǎn)的純保費(fèi)條件條件（x）死亡即刻給付）死亡即刻給付1單位賠償金，而被保單位賠償金，而被保險(xiǎn)人從保單生效起按年期初繳費(fèi)。險(xiǎn)人從保單生效起按年期初繳費(fèi)。)()1 ()() 3()( 0)(0)()2()()(12221xxxxxxxxkxtAAdPLVaraAAPaAPALEaAPvTlL ）（常見險(xiǎn)種的半連續(xù)凈均衡保費(fèi)總結(jié)險(xiǎn)種保費(fèi)公式終身人壽保險(xiǎn)n年定期壽險(xiǎn)n年兩全保險(xiǎn)h年繳費(fèi)終身人壽保險(xiǎn)h年繳費(fèi)n年兩全保險(xiǎn)n年生存保險(xiǎn)m年遞延終身生存保險(xiǎn)()xxxP AAa11()x nx n

13、x nP AAa：()x nx nx nP AAa：()xxhx hP AAa：11:()x nx nx nP AAa：)()(:1:mxxmxmxmxmxmxxmNNNDaaAaP ()hx nx nx hP AAa： 四、四、 利用換算函數(shù)計(jì)算年繳純保費(fèi)利用換算函數(shù)計(jì)算年繳純保費(fèi)1、終身壽險(xiǎn)、終身壽險(xiǎn)條件：條件：（x）死亡在年末付）死亡在年末付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起按年在期初交付保費(fèi)。保單生效起按年在期初交付保費(fèi)。xxxaAP. xxxxNDDM. xxxNMP 條件：條件：（x）死亡在年末付）死亡在年末付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從單

14、位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起在保單生效起在h年內(nèi)按年在期初交付保費(fèi)。年內(nèi)按年在期初交付保費(fèi)。hxxxxhNNMP 條件：條件：（x）死亡即刻給付）死亡即刻給付1單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從單位的終身人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起按年連續(xù)交付保費(fèi)。（給付連續(xù)，繳費(fèi)也連續(xù)）保單生效起按年連續(xù)交付保費(fèi)。（給付連續(xù)，繳費(fèi)也連續(xù)）xxxaAAP )(xxxNMAP )( 例例1：李華在：李華在40歲時(shí)投保了保險(xiǎn)金額為歲時(shí)投保了保險(xiǎn)金額為20000元的終身壽險(xiǎn)，元的終身壽險(xiǎn)，假設(shè)假設(shè)i=6%,保險(xiǎn)金在死亡年末給付，根據(jù)附表計(jì)算：保險(xiǎn)金在死亡年末給付，根據(jù)附表計(jì)算：（1）保險(xiǎn)費(fèi)在整個(gè)生存期繳付的

15、年繳純保費(fèi)。）保險(xiǎn)費(fèi)在整個(gè)生存期繳付的年繳純保費(fèi)。（2）保險(xiǎn)費(fèi)在）保險(xiǎn)費(fèi)在10年內(nèi)繳清的年繳純保費(fèi)。年內(nèi)繳清的年繳純保費(fèi)。 解解：40.404020000aAP 404020000NM 881345120000 19.189 hxxxxhNNMP 504040401020000NNMP 27.695386881345120000 27.370 例例2：李華在：李華在40歲時(shí)投保了終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)契約規(guī)定，若歲時(shí)投保了終身壽險(xiǎn)，保險(xiǎn)契約規(guī)定，若他在投保后的第一年內(nèi)死亡，給付他在投保后的第一年內(nèi)死亡，給付5000元保險(xiǎn)金，以后每多活元保險(xiǎn)金，以后每

16、多活一年后死亡，保險(xiǎn)金增加一年后死亡，保險(xiǎn)金增加1000元，增加到元，增加到20000元時(shí)，保險(xiǎn)金元時(shí)，保險(xiǎn)金不再變動(dòng)。保險(xiǎn)費(fèi)在他有生之年繳付，并規(guī)定投保前不再變動(dòng)。保險(xiǎn)費(fèi)在他有生之年繳付，并規(guī)定投保前5年每年繳年每年繳費(fèi)的保險(xiǎn)費(fèi)是以后各年保險(xiǎn)費(fèi)的一半，試用換算函數(shù)表示前五費(fèi)的保險(xiǎn)費(fèi)是以后各年保險(xiǎn)費(fèi)的一半，試用換算函數(shù)表示前五年每年所交保險(xiǎn)費(fèi)。年每年所交保險(xiǎn)費(fèi)。 解解：1、求保險(xiǎn)金的現(xiàn)值、求保險(xiǎn)金的現(xiàn)值40|15115:404016000)(10004000AIAA 16000)15(100040001555555404040MMRRMD 2、設(shè)前五年每年純保費(fèi)為、設(shè)前五年每年純保費(fèi)為P，下求

17、保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值，下求保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值40.| 55:40.2aPaP )(454040NNDP 3、根據(jù)精算等價(jià)原理、根據(jù)精算等價(jià)原理16000)15(100040001555555404040MMRRMD )(454040NNDP 16000)15(10004000155555540404540MMRRMNNP 例例3：考慮：考慮(x)購(gòu)買的繳費(fèi)期為購(gòu)買的繳費(fèi)期為15年的保額為年的保額為1單位的終身壽單位的終身壽險(xiǎn)，設(shè)第二個(gè)險(xiǎn)，設(shè)第二個(gè)5年的年保費(fèi)為第一個(gè)五年的年保費(fèi)的年的年保費(fèi)為第一個(gè)五年的年保費(fèi)的2倍，最后倍，最后5年的年保費(fèi)較第二個(gè)年的年保費(fèi)較第二個(gè)5年的年保費(fèi)多年的年保費(fèi)多10個(gè)單位。用換

18、算函數(shù)表個(gè)單位。用換算函數(shù)表示初始年保費(fèi)。示初始年保費(fèi)。 解解：1、求保險(xiǎn)金的現(xiàn)值、求保險(xiǎn)金的現(xiàn)值hxxxxhNNMP 1515 xxxxNNMP2、設(shè)初始純保費(fèi)為、設(shè)初始純保費(fèi)為P，下求保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值，下求保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值xxxxxEaPEaPaP105:10.55:5.5:.)102().2( 3、根據(jù)精算等價(jià)原理、根據(jù)精算等價(jià)原理xxxxxEaPEaPaP105:10.55:5.5:.)102().2( 15 xxxNNMxnxxnxDNNa :.xnxxnxxnDMMAE 1:2、定期壽險(xiǎn)、定期壽險(xiǎn)條件：條件：（x）死亡在年末付）死亡在年末付1單位的單位的n年定期人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)年定期人壽保

19、險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起按年在期初交付保費(fèi)。人從保單生效起按年在期初交付保費(fèi)。nxxnxxnxNNMMP 1:條件：條件：（x）死亡在年末付）死亡在年末付1單位的單位的n年定期人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)年定期人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起在人從保單生效起在h年內(nèi)按年在期初交付保費(fèi)。年內(nèi)按年在期初交付保費(fèi)。hxxnxxnxhNNMMP 1:條件：條件：（x）死亡即刻給付）死亡即刻給付1單位的單位的n年定期人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)年定期人壽保險(xiǎn)，被保險(xiǎn)人從保單生效起按年連續(xù)交付保費(fèi)。人從保單生效起按年連續(xù)交付保費(fèi)。hxxnxxnxNNMMAP )(1: 例例4：設(shè)每一年齡內(nèi)的死亡服從均勻分布，利率：設(shè)每一年齡內(nèi)的死

20、亡服從均勻分布，利率i=0.06,試根試根 據(jù)附錄計(jì)算據(jù)附錄計(jì)算)(1000140:25 AP 解解：nxnxnxaAAP:1:1:)(1000 40:25140:2511000 AA140:25140:2511000AiA 140:25A256525DMM 27. 2 3、生存保險(xiǎn)的年繳純保費(fèi)、生存保險(xiǎn)的年繳純保費(fèi)條件：條件：（x）歲的人投保）歲的人投保n年定期生存保險(xiǎn)，契約規(guī)定以活到年定期生存保險(xiǎn)，契約規(guī)定以活到n年作為保險(xiǎn)金的給付條件，保險(xiǎn)金額為年作為保險(xiǎn)金的給付條件，保險(xiǎn)金額為1元元,保險(xiǎn)金在年末給付，保險(xiǎn)金在年末給付，保費(fèi)在保費(fèi)在n年內(nèi)繳清，并在年初支付。年內(nèi)繳清，并在年初支付。nx

21、xnxnxNNDP 1:nxnxnxaAP:.1:1: 條件：條件：（x）歲的人投保）歲的人投保n年生存保險(xiǎn)，契約規(guī)定以活到年生存保險(xiǎn)，契約規(guī)定以活到n年作年作為保險(xiǎn)金的給付條件，保險(xiǎn)金額為為保險(xiǎn)金的給付條件，保險(xiǎn)金額為1元元,在年末給付，保費(fèi)在在年末給付，保費(fèi)在h（n）年內(nèi)繳清，年初支付。）年內(nèi)繳清，年初支付。hxxnxnxhNNDP 1:條件：條件：（x）歲的人投保延期）歲的人投保延期m年的年的n年定期生存保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金年定期生存保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為額為1元元,在年初給付，而保險(xiǎn)費(fèi)限期在年初給付，而保險(xiǎn)費(fèi)限期h年繳清（年繳清（hm）。）。hxxnmxmxnmhNNNNaP )(.|條件：條件：（

22、x）歲的人投保延期）歲的人投保延期m年的年的n年定期生存保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金年定期生存保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為額為1元元,在年初給付，而保險(xiǎn)費(fèi)限期在年初給付，而保險(xiǎn)費(fèi)限期h年繳清（年繳清（hm）。）。mxxnmxmxnmhNNNNaP 11|)( 例例4：某：某45歲的人投保了定期歲的人投保了定期15年的生存保險(xiǎn)，如果在保期年的生存保險(xiǎn)，如果在保期內(nèi)每年年初交納費(fèi)用內(nèi)每年年初交納費(fèi)用3000元，求其保險(xiǎn)金額（元，求其保險(xiǎn)金額（i=0.06) 解解：設(shè)保險(xiǎn)金額為設(shè)保險(xiǎn)金額為X元元15:.115:453000.xaAX 6060453000DNNX 92.80118 例例5：某：某30歲的人投保了從他歲的人投保了

23、從他60歲開始每年末得到能得到的歲開始每年末得到能得到的5000元的生存保險(xiǎn)，若要求保費(fèi)在元的生存保險(xiǎn)，若要求保費(fèi)在60歲前交清，求其每年需交歲前交清，求其每年需交費(fèi)的純保費(fèi)（費(fèi)的純保費(fèi)（i=0.06) 解解：設(shè)保險(xiǎn)費(fèi)為設(shè)保險(xiǎn)費(fèi)為X元元303030:30.5000.aaP 6030615000NNN 37.30571050.274376735.2791045000 39.572 例例6：某人在：某人在20歲時(shí)投保了歲時(shí)投保了40年的定期壽險(xiǎn)；若投保后，在年的定期壽險(xiǎn)；若投保后，在20年內(nèi)死亡，給付保險(xiǎn)金為年內(nèi)死亡，給付保險(xiǎn)金為15000元。從元。從40歲開始起死亡給付歲開始起死亡給付逐年增加逐

24、年增加5000元，保險(xiǎn)金在死亡年末給付。求出限期元，保險(xiǎn)金在死亡年末給付。求出限期15年繳清年繳清的年交純保費(fèi)。（的年交純保費(fèi)。（i=0.06) 解解：1、求保險(xiǎn)金的現(xiàn)值、求保險(xiǎn)金的現(xiàn)值2020120:4040:20.)(500015000EIAA 2、設(shè)初始純保費(fèi)為、設(shè)初始純保費(fèi)為P，下求保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值，下求保險(xiǎn)費(fèi)的現(xiàn)值15:20.aP 3、根據(jù)精算等價(jià)原理、根據(jù)精算等價(jià)原理15:20.2020120:4040:20.)(500015000aPEIAA 35206060406020)20(5000)(15000NNMRRMMP 88.148 P條件：條件：（x）歲的人投保延期）歲的人投保延期m

25、年的終身生存保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為年的終身生存保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1元元,在年首給付。在年首給付。mxxmxxmNNNaP )(.|條件：條件：（x）歲的人投保延期）歲的人投保延期m年的終身生存保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為年的終身生存保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1元元,在年末給付。在年末給付。mxxmxxmNNNaP 1|)(條件：條件：（x）歲的人投保延期）歲的人投保延期m年的終身生存保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為年的終身生存保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1元元,在年初給付，保險(xiǎn)費(fèi)限期在年初給付，保險(xiǎn)費(fèi)限期h年繳清。年繳清。hxxmxxmhNNNaP )(.| 例例7：某人在：某人在30歲時(shí)投保了歲時(shí)投保了60歲開始的終身生存年金，年金歲開始的終身生存

26、年金，年金的支付額為每年初的支付額為每年初24000元，保費(fèi)的交付期限為元，保費(fèi)的交付期限為15年，求其每年，求其每年需交費(fèi)的純保費(fèi)（年需交費(fèi)的純保費(fèi)（i=0.06) 解解：)(2400030.|3015aP 153030303024000 NNN82.3943 4、兩全保險(xiǎn)的年繳純保費(fèi)、兩全保險(xiǎn)的年繳純保費(fèi)條件：條件：（x）歲的人投保）歲的人投保n年定期的兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為年定期的兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為1元元,在年末給付，保險(xiǎn)費(fèi)限期在年末給付，保險(xiǎn)費(fèi)限期h年繳清。年繳清。hxxnxnxxnxhNNDMMP : 例例8：某：某40歲的人投保歲的人投保30年定期兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為年定期兩全保險(xiǎn)

27、，保險(xiǎn)金額為30000元，保費(fèi)在投保后元，保費(fèi)在投保后10年內(nèi)繳清，求年繳純保費(fèi)（年內(nèi)繳清，求年繳純保費(fèi)（i=0.06) 解解：30:401030000P 104040304030404030000 NNDMM67.862 五、五、 每年交納數(shù)次的純保費(fèi)每年交納數(shù)次的純保費(fèi) 注注1：如果人壽保險(xiǎn)的各險(xiǎn)種的保險(xiǎn)金不變，僅年繳純保費(fèi)變：如果人壽保險(xiǎn)的各險(xiǎn)種的保險(xiǎn)金不變，僅年繳純保費(fèi)變成等額的成等額的m次分期繳款付清，則稱這樣的保費(fèi)繳付方式為次分期繳款付清，則稱這樣的保費(fèi)繳付方式為一年繳付一年繳付m次的純保費(fèi)。次的純保費(fèi)。 符號(hào)定義：符號(hào)定義： 1、死亡年末給付死亡年末給付1元的終身壽險(xiǎn)，每年元的終

28、身壽險(xiǎn)，每年m次分期繳付的年純保費(fèi)次分期繳付的年純保費(fèi) mxP 2、死亡立即給付的終身壽險(xiǎn)，每年死亡立即給付的終身壽險(xiǎn)，每年m次分期繳付的年純保費(fèi)次分期繳付的年純保費(fèi) )(xmxAP 的的公公式式：求求例例mn:x1P 解解： 1、求虧損現(xiàn)值、求虧損現(xiàn)值 mnxmnxKaPv:.:11 2、精算等價(jià)原理、精算等價(jià)原理 0)1(:.:1 mnxmnxKaPvE 0:.: mnxmnxnxaPA mnxnxmnxaAP:.: 例例2：對(duì)于（：對(duì)于（50）的人死亡年末給付）的人死亡年末給付1萬(wàn)元的萬(wàn)元的20年期兩全保險(xiǎn)。年期兩全保險(xiǎn)。計(jì)算按半年分期繳費(fèi)的凈均衡年保費(fèi)，年利率計(jì)算按半年分期繳費(fèi)的凈均衡

29、年保費(fèi)，年利率6%。 解解： mnxnxmnxaAP:.: 220:50.20:50220:501000010000aAP 20:50A502050205050DDMM )2(20:50.a 50212050)2(2/150DNN 50250215021DNN 70270217021DNN 505025022DNaN 707027022DNaN 222222 ,2diiidiida 19.32510000220:50 P 例例3：某人：某人40歲投保歲投保20年限期兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為年限期兩全保險(xiǎn)，保險(xiǎn)金額為25000元，契約規(guī)定保險(xiǎn)費(fèi)限投保元，契約規(guī)定保險(xiǎn)費(fèi)限投保10年內(nèi)繳清，同時(shí)預(yù)收年內(nèi)

30、繳清，同時(shí)預(yù)收如俠附加保險(xiǎn)費(fèi)。如俠附加保險(xiǎn)費(fèi)。 1）單獨(dú)附加的承保費(fèi)按第一年總保險(xiǎn)費(fèi)的）單獨(dú)附加的承保費(fèi)按第一年總保險(xiǎn)費(fèi)的30計(jì)算。計(jì)算。 2）契約成立后的保險(xiǎn)保險(xiǎn)維持費(fèi)也按年總保險(xiǎn)費(fèi)的）契約成立后的保險(xiǎn)保險(xiǎn)維持費(fèi)也按年總保險(xiǎn)費(fèi)的18計(jì)算。計(jì)算。 3）另外按保險(xiǎn)金的）另外按保險(xiǎn)金的2%的比例收取每年的安全風(fēng)險(xiǎn)費(fèi)。的比例收取每年的安全風(fēng)險(xiǎn)費(fèi)。 求出每年的總保險(xiǎn)費(fèi)是多少？求出每年的總保險(xiǎn)費(fèi)是多少？ 解解：1、毛保費(fèi)、毛保費(fèi)G的精算現(xiàn)值的精算現(xiàn)值10:40.aG2、保險(xiǎn)金的精算現(xiàn)值、保險(xiǎn)金的精算現(xiàn)值20:401025000 P3、附加保費(fèi)的精算現(xiàn)值、附加保費(fèi)的精算現(xiàn)值20:401010:40.10:

31、40.02. 01 . 018. 03 . 0PaGaGG 10:40.aG20:401025000 P 20:401010:40.10:40.02. 01 . 018. 03 . 0PaGaGG 69.1690 G例例3：對(duì)：對(duì)25歲購(gòu)買的保險(xiǎn)金額為歲購(gòu)買的保險(xiǎn)金額為10萬(wàn)元的萬(wàn)元的40年期兩全保險(xiǎn)年期兩全保險(xiǎn)保單，該保單的第一年費(fèi)用為保單，該保單的第一年費(fèi)用為100元加上毛保費(fèi)的元加上毛保費(fèi)的25，續(xù)年的費(fèi)用為續(xù)年的費(fèi)用為25元加上毛保費(fèi)的元加上毛保費(fèi)的10。發(fā)生死亡給付時(shí)。發(fā)生死亡給付時(shí)的理賠費(fèi)用為的理賠費(fèi)用為100元，生存給付時(shí)不發(fā)生理賠費(fèi)用。已知元，生存給付時(shí)不發(fā)生理賠費(fèi)用。已知 ，

32、求毛保費(fèi)。，求毛保費(fèi)。%6,0811675. 0,114592. 0140:2540:25 iAA 解解：1、毛保費(fèi)、毛保費(fèi)G的精算現(xiàn)值的精算現(xiàn)值40:25.aG2、保險(xiǎn)金的精算現(xiàn)值、保險(xiǎn)金的精算現(xiàn)值140:25140:25100000)100100000(AA 3、附加保費(fèi)的精算現(xiàn)值、附加保費(fèi)的精算現(xiàn)值39:25)1 . 025(25. 0100aGG 40:25.aG140:25140:25100000)100100000(AA 39:25)1 . 025(25. 0100aGG iAia40:2540:25.1)1( 140:2540:25140:25AAA 45.856 G 三、三、

33、保單費(fèi)用與保單費(fèi)保單費(fèi)用與保單費(fèi)毛保費(fèi)可分為三部分：毛保費(fèi)可分為三部分：第一部分：跟保險(xiǎn)金額有關(guān)的費(fèi)用，如承保第一部分：跟保險(xiǎn)金額有關(guān)的費(fèi)用，如承保費(fèi)用等費(fèi)用等第二部分：跟保費(fèi)數(shù)額有關(guān)的費(fèi)用。如代理第二部分：跟保費(fèi)數(shù)額有關(guān)的費(fèi)用。如代理人傭金、保險(xiǎn)費(fèi)稅金等人傭金、保險(xiǎn)費(fèi)稅金等第三部分：有一部分附加費(fèi)用只與保單數(shù)目第三部分：有一部分附加費(fèi)用只與保單數(shù)目有關(guān)，與保險(xiǎn)金額或保險(xiǎn)費(fèi)無(wú)關(guān)，這部分費(fèi)有關(guān)，與保險(xiǎn)金額或保險(xiǎn)費(fèi)無(wú)關(guān)，這部分費(fèi)用稱為用稱為保單費(fèi)用保單費(fèi)用，如準(zhǔn)備新保單、建立會(huì)計(jì)，如準(zhǔn)備新保單、建立會(huì)計(jì)記錄、郵寄保費(fèi)通知的費(fèi)用等。記錄、郵寄保費(fèi)通知的費(fèi)用等。 注：保險(xiǎn)實(shí)務(wù)一般規(guī)定：注：保險(xiǎn)實(shí)務(wù)一般

34、規(guī)定： 人壽保險(xiǎn)的費(fèi)率一般是指每千元保額的保費(fèi)；生存年金的費(fèi)率人壽保險(xiǎn)的費(fèi)率一般是指每千元保額的保費(fèi)；生存年金的費(fèi)率一般是以每月一般是以每月1元收入計(jì)算的。元收入計(jì)算的。毛保費(fèi)構(gòu)成公式毛保費(fèi)構(gòu)成公式G(b)：保險(xiǎn)金額為：保險(xiǎn)金額為b元的毛保費(fèi)元的毛保費(fèi)a：保險(xiǎn)成本中與保險(xiǎn)金額相關(guān)的部分，其中純保費(fèi)是：保險(xiǎn)成本中與保險(xiǎn)金額相關(guān)的部分，其中純保費(fèi)是它的主要部分它的主要部分c：每份保單分?jǐn)偟馁M(fèi)用，即單位保單費(fèi)用。：每份保單分?jǐn)偟馁M(fèi)用，即單位保單費(fèi)用。f：與毛保費(fèi)數(shù)額相關(guān)的費(fèi)用在毛保費(fèi)中所占比例。：與毛保費(fèi)數(shù)額相關(guān)的費(fèi)用在毛保費(fèi)中所占比例。( )(1)G bfabc費(fèi)率函數(shù)費(fèi)率函數(shù)費(fèi)率函數(shù)的定義 ：)

35、(bR( ) (1)/( )11/( ) 1( )( )G bfabcabcac bG bbffac bR bfG bb R bfccfaabcabR 1,1,)(其中其中確定單位保單費(fèi)用的方法確定單位保單費(fèi)用的方法 一、一、 精確費(fèi)率公式精確費(fèi)率公式fccfaa 1,1abc .fcfab 11fcab 1 bG 二、帶狀費(fèi)率公式根據(jù)保險(xiǎn)面額不同，分成若干“bands”(區(qū)間帶)如果 ，近似總保費(fèi)等于真實(shí)總保費(fèi)。如果 ，近似總保費(fèi)高于真實(shí)總保費(fèi)。如果 ，近似總保費(fèi)低于真實(shí)總保費(fèi)。 ( )( )11bandsiiacbGbbR bbff bibbibbibb三、近似費(fèi)率公式( )( )11appacbGbbR bbff b如果 ，近似總保費(fèi)等于真實(shí)總保費(fèi)。如果 ，近似總保費(fèi)高于真實(shí)總保費(fèi)。如果 ，近似總保費(fèi)低于真實(shí)總保費(fèi)。 bbb