求三角函數(shù)值域及最值的常用方法+練習(xí)題

1、精選優(yōu)質(zhì)文檔-傾情為你奉上求三角函數(shù)值域及最值的常用方法（1） 一次函數(shù)型或利用：化為一個(gè)角的同名三角函數(shù)形式，利用三角函數(shù)的有界性或單調(diào)性求解； （2）， （3）函數(shù)在區(qū)間上的最小值為 1 （4）函數(shù)且的值域是 （2） 二次函數(shù)型利用二倍角公式，化為一個(gè)角的同名三角函數(shù)形式的一元二次式，利用配方法、 換元及圖像法求解。 （2）函數(shù)的最大值等于 （3）.當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值為 4 （4）.已知k4，則函數(shù)ycos2xk(cosx1)的最小值是 1 （5）.若，則的最大值與最小值之和為_(kāi)2_（3） 借助直線的斜率的關(guān)系，用數(shù)形結(jié)合求解型如型。此類(lèi)型最值問(wèn)題可考慮如下幾種解法：轉(zhuǎn)化為再利用輔助角公式

2、求其最值；利用萬(wàn)能公式求解；采用數(shù)形結(jié)合法（轉(zhuǎn)化為斜率問(wèn)題）求最值。例1：求函數(shù)的值域。解法1：數(shù)形結(jié)合法：求原函數(shù)的值域等價(jià)于求單位圓上的點(diǎn)P(cosx, sinx)與定點(diǎn)Q(2, 0)所確定的直線的斜率的范圍。作出如圖得圖象，當(dāng)過(guò)Q點(diǎn)的直線與單位圓相切時(shí)得斜率便是函數(shù)得最值，由幾何知識(shí)，易求得過(guò)Q的兩切線得斜率分別為、。結(jié)合圖形可知，此函數(shù)的值域是。解法2：將函數(shù)變形為，由，解得：，故值域是解法3：利用萬(wàn)能公式求解：由萬(wàn)能公式，代入得到則有知：當(dāng)，則，滿(mǎn)足條件；當(dāng)，由，故所求函數(shù)的值域是。解法4：利用重要不等式求解：由萬(wàn)能公式，代入得到當(dāng)時(shí)，則，滿(mǎn)足條件；當(dāng)時(shí)，如果t 0，則，此時(shí)即有；如

3、果t 0，則，此時(shí)有。綜上：此函數(shù)的值域是。例2.求函數(shù)的最小值解法1：（利用三角函數(shù)的有界性求解）原式可化為，得，即，故，解得或（舍），所以的最小值為解法2：(從結(jié)構(gòu)出發(fā)利用斜率公式，結(jié)合圖像求解)表示的是點(diǎn)與連線的斜率，其中點(diǎn)B在左半圓上，由圖像知，當(dāng)AB與半圓相切時(shí)，最小，此時(shí)，所以的最小值為（4） 換元法代數(shù)換元法代換：令：再用配方. 例題：求函數(shù)的最大值 解：設(shè)，則，則，當(dāng)時(shí)，有最大值為（5） 降冪法型如型。此類(lèi)型可利用倍角公式、降冪公式進(jìn)行降次、整理為再利用輔助角公式求出最值。例1：求函數(shù)的最值，并求取得最值時(shí)x的值。分析：先化簡(jiǎn)函數(shù)，化成一個(gè)角的一種函數(shù)再由正弦，余弦函數(shù)的有界性

4、，同時(shí)應(yīng)注意角度的限定范圍。解：由降冪公式和倍角公式，得， ，的最小值為，此時(shí)，無(wú)最大值。例2. 已知函數(shù)， （I）求的最大值和最小值； （II）若不等式在上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍分析：觀察角，單角二次型，降次整理為形式 解：（） 又，即， （）， 且， ，即的取值范圍是典型應(yīng)用題ABORSPQ例題：扇形的半徑為1，中心角為，是扇形的內(nèi)接矩形，問(wèn)在怎樣的位置時(shí)，矩形的面積最大，并求出最大值分析：引入變量，建立目標(biāo)函數(shù)解：連接，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，在圓弧中心位置，點(diǎn)評(píng)：合理引進(jìn)參數(shù)，利用已知條件，結(jié)合圖形建立面積與參數(shù)之間的函數(shù)關(guān)系式，這是解題的關(guān)鍵（6） 條件最值問(wèn)題（不要忘了條件自身的約束）

5、 例1. 已知，求的最大值與最小值 分析：可化為二次函數(shù)求最值問(wèn)題解：（1）由已知得：，則，當(dāng)時(shí)，有最小值；當(dāng)時(shí)，有最小值例2：已知，求的取值范圍。分析：用函數(shù)的思想分析問(wèn)題，這是已知關(guān)于sin，sin的二元條件等式求二元二次函數(shù)的值域問(wèn)題，應(yīng)消元，把二元變一元，注意自變量的范圍。解：， 。sin =0時(shí)，； 時(shí)， 。例3 ：求函數(shù)的最大值和最小值，并指出當(dāng)x分別為何值時(shí)取到最大值和最小值。解：定義域?yàn)?x1，可設(shè)且，即當(dāng)或，即 =0或（此時(shí)x=1或x=0），y=1；當(dāng)，即時(shí)，（此時(shí)），當(dāng)x=0或x=1時(shí)，y有最小值1；當(dāng)時(shí)，y有最大值。評(píng)析：利用三角換元法求解此類(lèi)問(wèn)題時(shí)，要注意所設(shè)角的取值范

6、圍，要同原函數(shù)定義域相一致，盡量恰到好處?！痉答佈菥殹? 函數(shù)的最小值等于_1_2已知函數(shù)，直線和它們分別交于M，N，則_3當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最小值是_4 _4函數(shù)的最大值為_(kāi)，最小值為_(kāi).5函數(shù)的值域?yàn)?. 6已知函數(shù)，則的值域是 .7已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值是，則的最小值等 于_8（1）已知，函數(shù)的最大值是_.（2）已知，函數(shù)的最小值是_3_.9在OAB中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則當(dāng)OAB的面積達(dá)最大值時(shí)，_10已知函數(shù)（）求函數(shù)的最小正周期；（）求函數(shù)在區(qū)間上的最小值和最大值解：（）因此，函數(shù)的最小正周期為（）因?yàn)樵趨^(qū)間上為增函數(shù)，在區(qū)間上為減函數(shù)，又，故函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為解法二：作函數(shù)

7、在長(zhǎng)度為一個(gè)周期的區(qū)間上的圖象如下：yxO由圖象得函數(shù)在區(qū)間上的最大值為，最小值為11若函數(shù)的最大值為，試確定常數(shù)a的值.解：因?yàn)榈淖畲笾禐榈淖畲笾禐?，則所以12已知函數(shù)（1）若求使為正值的的集合；（2）若關(guān)于的方程在內(nèi)有實(shí)根，求實(shí)數(shù)的取值范圍.解：（1） 又 （2）當(dāng)時(shí)，則， 方程有實(shí)根，得 【高考賞析】（1）（本小題滿(mǎn)分13分） 設(shè)函數(shù)（其中），且的圖象在軸右側(cè)的第一個(gè)最高點(diǎn)的橫坐標(biāo)為。 （I）求的值。 （II）如果在區(qū)間上的最小值為，求的值。（本小題13分） 2.(本小題滿(mǎn)分12分)已知函數(shù)f(x)=sin(2x)+2sin2(x) (xR)()求函數(shù)f(x)的最小正周期 ; (2)求使函數(shù)f(x)取得最大值的x的集合.解:() f(x)=sin(2x)+1cos2(x) = 2sin2(x) c