第八章第六節(jié)雙曲線

1、1.了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程，了解雙曲線的定義、幾何圖形和標準方程， 知道它的簡單幾何性質知道它的簡單幾何性質2了解圓錐曲線的簡單應用了解圓錐曲線的簡單應用1.雙曲線的定義雙曲線的定義 平面內與兩個定點平面內與兩個定點F1，F2的距離的的距離的 等于常數等于常數 （小于（小于|F1F2|且不等于零）的點的軌跡叫做雙曲線且不等于零）的點的軌跡叫做雙曲線.這兩個這兩個 定點叫做雙曲線的定點叫做雙曲線的 ，兩焦點的距離叫做雙曲線的，兩焦點的距離叫做雙曲線的 .差的絕對值差的絕對值焦點焦點焦距焦距2雙曲線定義的理解雙曲線定義的理解2雙曲線的幾何性質雙曲線的幾何性質標準標準方程方程 1(a0

2、，b0) 1(a0，b0)圖形圖形標準方程標準方程 1(a0，b0) 1(a0，b0)性性質質范圍范圍對稱對稱性性對稱軸：對稱軸：對稱中心：對稱中心：對稱軸：對稱軸：對稱中心：對稱中心：頂點頂點頂點坐標：頂點坐標：A1 ，A2頂點坐標：頂點坐標：A1 ，A2xa或或xaya或或yax軸、軸、y軸軸x軸、軸、y軸軸(0,0)(0,0)(a,0)(0，a)(a,0)(0,a)標準方程標準方程 1(a0，b0) 1(a0，b0)性性質質漸近線漸近線離心率離心率 e ，e ，其中，其中cy xy x(1，)標準方程標準方程 1(a0，b0) 1(a0，b0)性性質質實實虛虛軸軸線段線段A1A2叫做雙曲

3、線的實軸，它的長叫做雙曲線的實軸，它的長|A1A2| ；線段；線段B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長叫做雙曲線的虛軸，它的長|B1B2| ；a叫做雙曲線的實半軸長，叫做雙曲線的實半軸長，b叫做叫做雙曲線的虛半軸長雙曲線的虛半軸長.a、b、c的關系的關系c2a2b2(ca0，cb0)2a2b思考探究思考探究 雙曲線的離心率的大小與雙曲線雙曲線的離心率的大小與雙曲線“開口開口”大小有怎樣大小有怎樣的關系？的關系？提示：提示：離心率越大，雙曲線的離心率越大，雙曲線的“開口開口”越大越大 1雙曲線雙曲線 1的焦距為的焦距為() A3B4 C3 D4解析：解析：由已知得由已知得c2a2b212，c2 ，故

4、焦距為故焦距為4 . 答案：答案：D2已知雙曲線的離心率為已知雙曲線的離心率為2，焦點是，焦點是(4,0)、(4,0)，則，則 雙曲線方程為雙曲線方程為() A. 1 B. 1 C. 1 D. 1解析：解析：由已知有由已知有c4，e 2，a2，b212.雙曲線方程為雙曲線方程為 1.答案：答案：A3過雙曲線過雙曲線x2y28的左焦點的左焦點F1有一條弦有一條弦PQ在左支上，在左支上， 若若|PQ|7，F2是雙曲線的右焦點，則是雙曲線的右焦點，則PF2Q的周長的周長 是是() A28 B148 C148 D8解析：解析：由雙曲線定義知，由雙曲線定義知，|PF2|PF1|4 ，|QF2|QF1|4

5、 ，|PF2|QF2|(|PF1|QF1|)8 ，又又|PF1|QF1|PQ|7，|PF2|QF2|78 ，PF2Q的周長為的周長為148 .答案：答案：C4已知雙曲線已知雙曲線 y21，則其漸近線方程是，則其漸近線方程是_， 離心率離心率e_.解析：解析：由由 y20，得，得y x即為漸近線方程即為漸近線方程又又a2，b1，c ，e .答案：答案：y x 5若雙曲線的漸近線方程為若雙曲線的漸近線方程為y3x，它的一個焦點是，它的一個焦點是 ( ， 0)，則雙曲線方程是，則雙曲線方程是_解析：解析：由條件知，雙曲線焦點在由條件知，雙曲線焦點在x軸上，且軸上，且c ，又又 3，c2a2b210a

6、210，a21，b29，雙曲線方程為雙曲線方程為x2 1.答案：答案：x2 11.在運用雙曲線的定義時，應特別注意定義中的條件在運用雙曲線的定義時，應特別注意定義中的條件“差差 的絕對值的絕對值”，弄清是指整條雙曲線，還是雙曲線的哪一，弄清是指整條雙曲線，還是雙曲線的哪一 支支2求雙曲線標準方程的方法求雙曲線標準方程的方法(1)定義法，根據題目的條件，若滿足定義，求出相應定義法，根據題目的條件，若滿足定義，求出相應a、 b、c即可求得方程即可求得方程(2)待定系數法待定系數法與雙曲線與雙曲線 =1共漸近線的可設為共漸近線的可設為 =（0）若漸近線方程為若漸近線方程為y= x，則可設為，則可設為

7、 =（0）若過兩個已知點則設為若過兩個已知點則設為 =1（mn0，b0)， 直線直線AxByC0， 將直線方程與雙曲線方程聯立，消去將直線方程與雙曲線方程聯立，消去y得到關于得到關于x的方程的方程 mx2nxp0，(1)若若m0，當，當0時，直線與雙曲線有兩個交點時，直線與雙曲線有兩個交點 當當0時，直線與雙曲線只有一個公共點時，直線與雙曲線只有一個公共點 當當0，b0)由已知得：由已知得：a ，c2，再由，再由a2b2c2，b21，雙曲線雙曲線C的方程為的方程為 y21.(2)設設A(xA，yA)、B(xB，yB)，將將ykx 代入代入 y21，得：得：(13k2)x26 kx90.由題意知

8、由題意知 解得解得 k1.當當 k1時，時，l與雙曲線左支有兩個交點與雙曲線左支有兩個交點(3)由由(2)得：得：xAxB ，yAyB(kxA )(kxB )k(xAxB)2 .AB的中點的中點P的坐標為的坐標為 .設直線設直線l0的方程為：的方程為：y xm，將將P點坐標代入直線點坐標代入直線l0的方程，得的方程，得m . k1，213k20.m0，b0)的的左、右焦點分別為左、右焦點分別為F1(c,0)、F2(c,0)若雙曲線上存在點若雙曲線上存在點P使使 ，則該雙曲線的離心率的取值范圍是，則該雙曲線的離心率的取值范圍是_【解析解析】 (由正弦定理得由正弦定理得)， |PF1|e|PF2|

9、.又又|PF1|PF2|2a(e1)，(e1)|PF2|2a，|PF2| .由雙曲線性質知由雙曲線性質知|PF2|ca， ca，即，即 e1，得，得e22e11，得，得1e0，b0)右支上一點，右支上一點，F1，F2分別為雙曲線的左、右焦點，分別為雙曲線的左、右焦點，I為為PF1F2的內心，的內心，若若 成立，則成立，則的值為的值為 ()A. B.C. D.解析：解析：設設PF1F2的內切圓半徑為的內切圓半徑為R， S |PF1|R，S |PF2|R，S |F1F2|R，|PF1|PF2|F1F2|，|PF1|PF2|F1F2|，答案：答案：B1(2009安徽高考安徽高考)下列曲線中離心率為下

10、列曲線中離心率為 的是的是 () 解析：解析：雙曲線離心率雙曲線離心率e ，只有只有B選項符合選項符合答案：答案：B2(2009福建高考福建高考)若雙曲線若雙曲線 1(a0)的離心率的離心率 為為2，則，則a等于等于 () A2 B. C. D1解析：解析：由條件知，由條件知，c ，e 2，a1.答案：答案：D3雙曲線雙曲線 y21(n1)的兩焦點為的兩焦點為F1，F2，P在雙曲線在雙曲線 上，且滿足上，且滿足|PF1|PF2|2 ，則，則PF1F2的面積為的面積為 () A1 B. C2 D4解析：解析：不妨設不妨設|PF1|PF2|，則，則|PF1|PF2|2 ，又又|PF1|PF2|2

11、，|PF1| ，|PF2| .又又|F1F2|2 ，|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，S |PF1|PF2|1.答案：答案：A4過點過點(2，2)且與雙曲線且與雙曲線 y21有公共漸近線的雙有公共漸近線的雙 曲線曲線 方程是方程是_解析：解析：由題意，設雙曲線方程為由題意，設雙曲線方程為 y2(0)，由點由點(2，2)在雙曲線上，在雙曲線上， 42，所求雙曲線方程為所求雙曲線方程為 1.答案：答案： 15.(2010河南三市聯考河南三市聯考) A、F分別是雙曲線分別是雙曲線9x2-3y2=1的左頂的左頂 點和右焦點，點和右焦點，P是雙曲線右支上任一點，若是雙曲線右支上任一點，若 PFA=PAF，則，則= .解析：解析：特殊值法，取點特殊值法，取點P為為( ，1)，得，得PFA=2PAF，故故=2.答案：答案：26直線直線yax1與雙曲線與雙曲線3x2y21相交于相交于A、B兩點，兩點，O 為坐標原點為坐標原點 (1)若若 0，求，求a的值；的值； (2)若若A、B在雙曲線的左、右兩支上，求在雙曲線的左、右兩支上，求a的取值范圍的取值范圍解：解：(1)由由 消去